sistem dinamik partikel relativistik pada potensial

Spektra: Jurnal Fisika dan Aplikasinya, Vol. 13 Edisi 1 Mei 2012
SISTEM DINAMIK PARTIKEL RELATIVISTIK PADA POTENSIAL
OSILATOR HARMONIK
Widyanirmala* dan T. B. Prayitno
Jurusan Fisika, FMIPA, Universitas Negeri Jakarta, Jl. Pemuda Rawamangun no. 10
Email: *[email protected]
Abstrak
Sistem dinamik dari gerak partikel relativistik pada potensial osilator harmonik telah dikaji dengan menerapkan teorema
kestabilan. Pada kasus ini, kami merumuskan terlebih dahulu Hamiltonian dari sistem yang bersangkutan. Hamiltonian
tersebut merupakan persamaan matematis yang menggambarkan dinamika dari gerak partikel dengan kecepatan mendekati
kecepatan cahaya. Untuk mengkaji sistem dinamik tersebut, kami mencari terlebih dahulu titik singular yang bersangkutan
yang nantinya dapat digunakan untuk menentukan kestabilan dari sistem tersebut. Hasil perhitungan menunjukkan bahwa
sistem osilator harmonik relativistik merupakan sistem yang stabil.
Kata kunci: osilator harmonik, sistem dinamik.
1. Pendahuluan
Osilator harmonik merupakan salah satu kajian
yang menarik dalam fisika, baik secara klasik
maupun kuantum [1-4]. Pada umumnya sistem
tersebut dapat dimodelkan sebagai sebuah benda
bermassa yang terikat oleh suatu pegas [5]. Dalam
mekanika klasik, sistem ini banyak dipelajari untuk
kasus osilasi harmonik dan teredam sedangkan
dalam mekanika kuantum sistem ini digunakan
untuk memodelkan vibrasi dari suatu kisi. Seperti
yang telah diketahui bahwa sistem osilator
harmonik mempunyai perbedaan yang mencolok
dalam pandangan mekanika klasik dan kuantum.
Menurut mekanika klasik energi dari osilator
harmonik dapat sembarang sedangkan menurut
mekanika kuantum energi dari sistem tersebut
haruslah tertentu (diskrit) [6-7].
Di sisi lain perilaku dari suatu sistem fisika
sembarang juga mempunyai karakteristik yang
menarik. Hal ini berkaitan dengan sistem yang
stabil atau pun sebaliknya. Menurut sistem
dinamik, sistem osilator harmonik dapat dikatakan
stabil. Hal ini dapat dilihat dari himpunan kurvakurva fase yang berkaitan. Pertanyaan selanjutnya
adalah apakah hal ini berlaku juga untuk kasus
relativistik ?
Pada makalah ini akan dibahas perbandingan
karakteristik dari sistem dinamik untuk kasus
osilator harmonik klasik dan relativistik. Hal yang
membedakan antara sistem di atas salah satunya
adalah bentuk Hamiltonian yang bersangkutan
sehingga pada awalnya kami menduga bahwa
terdapat perbedaan sistem dinamik dari kedua
sistem tersebut.
Pada bagian kedua akan dibahas perumusan
Hamiltonian untuk gerak partikel relativistik pada
potensial osilator harmonik. Setelah itu, titik
singular yang berkaitan akan dihitung dengan
menerapkan teorema kestabilan. Sifat kestabilan dari
sistem tersebut akan dikaji pada bagian ketiga yang
disertai dengan karakteristik sistem osilator harmonik
klasik sebagai pembanding.
2. Metode Penelitian
Pada bagian ini akan dihitung titik singular dari
sistem osilator harmonik relativistik. Hamiltonian dari
sistem ini dapat dirumuskan [4]
H ( x, p ) = c m 2 c 2 + p 2 +
1 2
kx
2
(1)
dengan c adalah kecepatan cahaya, m adalah massa
diam partikel, dan k adalah konstanta pegas. Sebagai
pembanding, harus diingat bahwa Hamiltonian untuk
kasus klasik ( v << c ) dapat dituliskan
H ( x, p ) =
p2 1 2
+ kx
2m 2
(2)
Melalui persamaan (1), kita dapat mencari
persamaan gerak Hamiltonian sebagai berikut
dx ∂H
=
=
dt ∂p
pc
m c + p2
2 2
(3)
dp
∂H
(4)
=−
= − kx
dt
∂x
Apabila dimisalkan bahwa f ( x, p ) = dx / dt dan
g ( x, p ) = dp / dt , maka menurut teorema
kestabilan titik-titik singular dapat dihitung dengan
menerapkan kondisi f ( x, p ) = 0 dan g ( x, p ) = 0
secara berturut-turut.
Berdasarkan kondisi di atas maka titik singular
yang didapat hanya berjumlah satu buah, yaitu
( x, p ) = (0,0) . Di samping itu, apabila persamaan
17
Spektra: Jurnal Fisika dan Aplikasinya, Vol. 13 Edisi 1 Mei 2012
(3) dibandingkan dengan persamaan (4) maka akan
diperoleh lintasan fase (“phase trajectory”) yang
sebenarnya adalah Hamiltonian sistem yang tertulis
pada persamaan (1).
J ( x, p ) = c m 2 c 2 + p 2 +
1 2
kx = 0
2
Untuk
λ1 = i k / m didapat vektor eigen
⎛ − i 1 / km ⎞
⎟ , sedangkan untuk
⎜
⎟
1
⎝
⎠
ternormalisasi ⎜
(5)
Untuk
λ 2 = −i k / m didapat vektor eigen
3. Hasil dan Pembahasan
Untuk mempelajari suatu sistem dinamika
sembarang perlu dirumuskan matriks evolusi di
titik singular melalui persamaan (3) dan (4), yang
dapat dituliskan [8-9]
⎛ ∂f / ∂x ∂f / ∂p ⎞
⎟⎟
Γ( x, y ) = ⎜⎜
⎝ ∂g / ∂x ∂g / ∂p ⎠ x =0
⎛ i 1 / km ⎞
⎟
⎜ 1 ⎟.
⎠
⎝
ternormalisasi ⎜
Sebagai pembanding dengan osilator harmonik
(6)
klasik, melalui persamaan (2) kita akan mendapatkan
y =0
Setelah disubstitusikan semua besaran yang terkait,
maka matriks evolusi dari sistem osilator harmonik
relativistik
⎛ 0 1/ m ⎞
⎟
Γ(0,0) = ⎜⎜
0 ⎟⎠
⎝− k
persamaan gerak Hamiltonian yang berbentuk
dx ∂H p
=
=
dt ∂p m
(7)
dp
∂H
= − kx
=−
dt
∂x
Melalui persamaan (7) nilai eigen/akar-akar
karakteristik dari sistem yang bersangkutan dapat
dihitung melalui persamaan
⎛ − λ 1/ m ⎞
⎟⎟
det⎜⎜
−
−
k
λ
⎝
⎠
(8)
Dengan demikian, titik singular yang didapatkan
dengan λ adalah nilai eigen yang bersangkutan.
Melalui perhitungan kita mendapatkan dua akar
adalah ( x, p ) = (0,0) . Melalui persamaan, (6)
berbeda dan imajiner, yaitu
λ1 = i k / m dan
λ 2 = −i k / m . Karena baik k dan m adalah
bilangan positif real, maka sistem gerak partikel
relativistik dalam potensial osilator harmonik
termasuk sistem stabil dengan titik (0,0) adalah titik
center.
(9)
(10)
matriks evolusi untuk sistem harmonik klasik
berbentuk
⎛ 0 1/ m ⎞
⎟
Γ(0,0) = ⎜⎜
0 ⎟⎠
⎝− k
(11)
Hal ini menunjukkan bahwa kedua sistem osilator
tersebut sama-sama sistem yang stabil.
4. Kesimpulan
Gbr 1. Kurva fase osilator harmonik relativistik (
k = m = 1 ).
Menurut hasil perhitungan pada bagian ke 3, kita
mengambil kesimpulan bahwa sistem gerak partikel
relativistik pada potensial osilator harmonik
merupakan sistem yang stabil. Hal ini ditunjukkan
melalui kurva fase pada gambar 1 yang memberikan
interpretasi bahwa sistem ini tergolong periodik
dengan titik (0,0) adalah titik pusat. Dalam hal ini,
kurva fase dibuat melalui pendekatan yang
mempelajari perilaku sistem di sekitar titik singular.
Hal ini disebabkan metode langsung untuk
18
Spektra: Jurnal Fisika dan Aplikasinya, Vol. 13 Edisi 1 Mei 2012
menggambarkan kurva fase sangat sulit dilakukan
dan hanya beberapa sistem fisika saja yang dapat
menerapkannya, sebagai contoh kasus osilator
harmonik klasik.
Di samping itu, kita juga mengambil
kesimpulan bahwa walaupun sistem osilator
harmonik klasik dan relativistik berbeda dalam
persamaan gerak Hamiltonian, mereka merupakan
sistem yang stabil dengan titik nilai-nilai eigen
yang imajiner.
UCAPAN TERIMAKASIH
Kami mengucapkan terima kasih kepada para
dosen fisika UNJ dan semua pihak yang membantu
sehingga makalah ini dapat diterbitkan
DAFTAR ACUAN
[1] Kim and M. E. Noz, Amer. J. Phys. 46 (1978),
480.
[2] R. A. Frick, arXiv:hep-th/1004.2433v3
[3] M. Cadoni, arXiv:hep-th/0405174v3.
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
D. Babusci, G. Dattoli, M. Quattromini, and
E. Sabia, arXiv: 1209.2876.
A. P. Arya. Introduction to Classical
Mechanics. 1st ed. p. 58-70.
D. J. Griffiths, Introduction to Quantum
Mechanics. 2nd ed. Prentice Hall (2005), p.
40-59.
S. Gasiorowicz, Quantum Physics. 3rd ed.
John Wiley & Sons (2003), p. 112-114.
H. J. Wospakrik, Catatan kuliah fisika
nonlinear, unpublished.
A. A. Iskandar, Catatan kuliah fisika
nonlinear, ITB (2003).
19