Integral Trigonometri

oki neswan (fmipa-itb)
Tehnik Pengintegralan: Integral Trigonometri
Bentuk-bentuk integral yang akan dibahas:
R
1. sinn x cosm xdx:
R
R
R
2. sin nx sin mxdx; cos nx cos mxdx; sin nx cos mxdx:
R
R
3. tann x secm xdx; cotn x cscm xdx:
Strategi pengintegraan untuk tiap bentuk:
R
1. sinn x cosm xdx:
Kasus n ganjil atau m ganjil. Dalam hal ini, identitas yang digunakan adalah
sin2 x + cos2 x = 1
Jika n ganjil, pisahkan satu faktor sin x dan gunakan substitusi u = cos x: Gunakan identitas sin2 x =
1 cos2 x untuk mengganti semua sin x dengan cos x: Contoh:
Z
Z
Z
Z
sin5 x cos2 xdx = sin4 x cos2 x sin dx = sin4 x cos2 xd ( cos x) =
sin4 x cos2 xd cos x
Z
Z
Z
2
2
2
2
2
2
2
=
sin x cos xd cos x =
1 cos x cos xd cos x =
1 u2 u2 du
=
1 7 2 5
u + u
7
5
1 3
u +C =
3
1
2
cos7 x + cos5 x
7
5
1
cos3 x + C
3
Strategi unutk m ganjil adalah serupa: pisahkan satu faktor cos x dan gunakan substitusi u = sin x:
Gunakan identitas cos2 x = 1 sin2 x untuk mengganti semua cos x dengan sin x: Contoh:
Z
Z
Z
Z
3
3
3
3
2
2
sin x cos xdx = sin x cos x cos dx = sin x cos xd sin x = sin3 x 1 sin2 x d sin x
Z
Z
1
1 6
= u3 1 u2 du =
u3 u5 du = u4
u +C
4
6
1
1
= sin4 x
sin6 x + C:
4
6
Kasus m dan n genap. Dalam hal ini, identitas yang digunakan adalah
cos2 x =
1 + cos 2x
1
dan sin2 x =
2
cos 2x
2
Kedua identitas digunakan untuk ’menurunkan pangkat dari cos dan sin sehingga kompleksitas juga
1
turun. Contoh:
Z
Z
2
2
sin x cos xdx =
1
Z
1 + cos 2x
1
(1 cos 2x) (1 + cos 2x) dx
dx =
2
8
Z
Z
1 + cos 4x
1
1
2
1
(1 cos 4x) dx
cos 2x dx =
dx =
8
2
16
cos 2x
2
Z
1
=
1
8
x
1
=
sin 4x + C
16 64
Z
Z
Z
2
1 cos 2x
1 + cos 2x
1
2
(1 cos 2x) (1 + cos 2x) dx
sin2 x cos4 xdx =
dx =
2
2
8
Z
1
=
(1 cos 2x) 1 + 2 cos 2x + cos2 2x dx
8
Z
1
1 + cos 2x cos2 2x cos3 2x dx
=
8
Z
Z
Z
Z
1
=
dx + cos 2xdx
cos2 2xdx
cos3 2xdx
8
Z
Z
1
1
1
1
=
(1 + cos 4x) dx
cos2 2xd sin 2x
x + sin 2x
8
2
2
2
Z
Z
1
1
1
1
=
(1 + cos 4x) dx
1 sin2 2x d sin 2x
x + sin 2x
8
2
2
2
1
1
1
1
1
1
=
x + sin 2x
x + sin 4x
sin 2x
sin3 2x
+C
8
2
2
4
2
3
Maka,
Z
1
1
1
1
1
1
x + sin 2x
x + sin 4x
sin 2x
sin3 2x
8
2
2
4
2
3
x
1
1
=
sin 4x +
sin3 2x + C
16 64
48
R
R
R
2. sin nx sin mxdx; cos nx cos mxdx; sin nx cos mxdx: Gunakan identitas-identitas
sin2 x cos4 xdx =
+C
1
1
cos (n m) x
cos (n + m) x
2
2
1
1
cos nx cos mx = cos (n m) x + cos (n + m) x
2
2
1
1
sin nx cos mx = sin (n + m) x + sin (n m) x
2
2
sin nx sin mx =
Sebagai contoh
Z
Z
p
p
p
x
1
1
1
sin 3x sin dx =
cos
3
x cos
3+
x
2
2
2
2
Z
Z
p
p
1
1
1
=
cos
3
xdx
cos
3+
2
2
2
p
1
1
1
1
1
p
= p
sin
3
x
sin
1
2 3 2
2
2 3 + 12
3.
R
tanm x secn xdx;
Z
R
dx
1
2
xdx
p
3+
1
2
x + C:
cotm x cscn xdx: Beberapa fakta yang digunakan:
tan2 x = sec2 x
cot2 x = csc2 x
1 dan
sec2 xdx = tan x + C (d tan x = sec2 xdx) dan
2
Z
csc2 xdx =
1
cot x + C (
d cot x = csc2 xdx)
Z
Z
tan xdx =
ln jcos xj + C dan
sec x tan xdx = sec x + C dan
Z
Z
cot xdx = ln jsin xj + C
csc x cot xdx =
csc x + C
(a) Kasus n = 0:
i. Subkasus m genap. Pisahkan tan2 x atau cot2 x; kemudian gunakan identitas tan2 x =
sec2 x R1 atau cot2 x = csc2 x 1: Selesaikan
dengan substitusi
peubah u = tan x
R integral
R
n
n
2
(untuk
tan
xdx)
atau
u
=
cot
x
(untuk
cot
xdx)
dan
integral
sec
xdx = tan x + C
R
dan csc2 xdx = cot x + C
Z
Z
Z
Z
tan4 xdx = tan2 x sec2 x 1 = tan2 x sec2 xdx
tan2 xdx
Z
Z
Z
Z
Z
= tan2 x sec2 xdx
sec2 x 1 dx = tan2 xd tan x
tan xdx + dx
Z
1
tan4 xdx = tan3 x tan x + x + C:
3
ii. Subkasus m ganjil. Pisahkan tan2 x atau cot2 x; kemudian gunakan identitas tan2 x =
sec2 x 1 atau cot2 x = Rcsc2 x 1: Selesaikan integral dengan substitusi peubahR u = tan x
n
2
dan du = csc2 x (untuk tann xdx)
R atau u = cot x dan du = cscR xdx(untuk cot xdx)
serta (dalam hal n ganjil) integral tan xdx = ln jcos xj + C dan cot xdx = ln jsin xj + C:
Strategi
Z
Z
Z
Z
Z
Z
cot5 xdx = cot3 x csc2 x 1 dx = cot3 x csc2 xdx
cot3 xdx = cot3 x csc2 xdx
cot x csc2 x
Z
Z
Z
3
2
2
= cot x csc xdx
cot x csc xdx + cot xdx
Z
Z
= cot3 x ( 1) d (cot x)
cot x ( 1) d cot x + ln jsin xj + C
=
(b)
R
1
1
cot4 x + cot2 x + ln jsin xj + C:
4
2
R
tanm x secn xdx; cotm x cscn xdx:
i. Subkasus m ganjil: Pisahkan sec x tan x: Gunakan hubungan tan2 x = sec2 x 1 untuk
menulis tann 1 x (dalam sec x dan d sec x = sec x tan xdx;R untuk menyelesaikan integral dengan substitusi u = sec x: Lakukan strategi serupa untuk cotm x cscn xdx:
Z
Z
Z
Z
2
2
tan5 x sec3 xdx = tan4 x sec2 x sec x tan xdx =
tan2 x sec2 xd sec x =
sec2 x 1 sec2 xd sec x
Z
1
2 5 1 3
2
=
u2 1 u2 du = u7
u + u +C
7
5
3
1
2
1
= sec7 x
sec5 x + sec3 x + C:
7
5
3
ii. Subkasus n genap. Pisahkan sec2 x dan bentuk sec2 xdx = d tan x: Gunakan sec2 x = tan2 x+
1 untuk menuliskan secm 2 x dalam
tan x: Selesaikan integral dengan substitusi u = tan x:
R
Lakukan strategi serupa untuk cotm x cscn xdx:
Z
Z
Z
tan2 x sec4 xdx = tan2 x sec2 x sec2 xdx = tan x tan2 x + 1 d tan x
Z
u4
u2
tan4 x tan2 x
= u u2 + 1 du =
+
+C =
+
+C
4
2
4
2
Z
Z
Z
1
cot4 x csc2 xdx = cot4 x ( 1) d cot x =
u4 du =
cot5 x + C
5
3
Peta penyelesaian kasus sejauh ini:
mjn
m genap
m ganjil
n genap
X
X
n ganjl
X
iii. Subkasus m genap dan n ganjil. (Pengayaan) Tidak ada strategi umum. Beberapa integral
Z
sec xdx = ln jsec x + tan xj + C
Z
csc xdx = ln jcsc x + cot xj + C
Penjelasan:
Z
Z
Z
sec2 x + sec x tan x dx
sec x + tan x
R
R
Misalkan u = sec x + tan x: Maka du = sec x tan x + sec2 x dx: Maka
sec xdx = du
u =
R
ln juj+C = ln jsec x + tan xj+C: Dengan cara serupa,[erlihatkan bahwa csc xdx = ln jcsc x + cot xj+
C:
Contoh lain
Z
Z
Z
Z
3
2
sec xdx = sec x sec xdx = sec xd tan x = sec x tan x
tan xd sec x
Z
Z
= sec x tan x
tan x sec x tan xdx = sec x tan x
tan2 x sec xdx
Z
Z
3
= sec x tan x
sec xdx + sec xdx
Z
= sec x tan x
sec3 xdx + ln jsec x + tan xj
Maka
sec xdx =
Z
sec x
sec3 xdx =
sec x + tan x
dx =
sec x + tan x
1
(sec x tan x + ln jsec x + tan xj) + C
2
Satu contoh lagi.
Z
Z
Z
2
tan x sec xdx = tan x sec x tan x = tan xd sec x
Z
Z
=
sec2 x 1 sec xdx = sec3 xdx
Z
sec xdx
1
(sec x tan x + ln jsec x + tan xj) ln jsec x + tan xj + C
2
1
1
= sec x tan x
ln jsec x + tan xj + C
2
2
=
4