plagiat merupakan tindakan tidak terpuji plagiat
advertisement
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
SISTEM PERSAMAAN LINEAR ALJABAR MAX-PLUS DAN
APLIKASINYA DALAM MASALAH RAMP HANDLING PESAWAT
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan
Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh:
REGINA WAHYUDYAH SONATA AYU
NIM :111414060
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2015
i
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING
ii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
HALAMAN PENGESAHAN
iii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
HALAMAN PERSEMBAHAN
All Things are Difficult Before They are Easy
(Thomas Fuller)
Mistakes are Often The Best Teachers
(James A. Froude)
The Noblest Pleasure is The Joy of Understanding
(Leonardo da Vinci)
Karya ini kupersembahkan kepada:
Tuhan Yesus dan Bunda Maria yang senantiasa menyertaiku
Bapa Ambros dan Mama Rosalia
Kakak Tian, Kakak Tini, Kakak Andy, Kakak Yovan dan Adik Etu
Keponakanku Chiko
iv
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
v
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH
vi
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
ABSTRAK
Regina Wahyudyah Sonata Ayu, 2015. Sistem Persamaan Linear Aljabar
Max-Plus dan Aplikasinya dalam Masalah Ramp Handling Pesawat. Skripsi.
Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan,
Universitas Sanata Dharma.
Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji penyelesaian sistem
atas aljabar max-plus dengan
,
,
, dan
serta aplikasinya dalam masalah ramp handling pesawat. Penelitian ini diawali
dengan mengkaji sub-penyelesaian terbesar dari sistem persamaan
yang kemudian menjadi calon penyelesaian sistem. Selanjutnya, diselidiki
mengenai eksistensi dan ketunggalan penyelesaian sistem persamaan
.
Langkah berikutnya adalah membahas aplikasi sistem
atas aljabar
max-plus dalam masalah ramp handling pesawat di bandara.
Hasil penelitian menunjukkan bahwa sistem
atas aljabar maxplus dapat tidak mempunyai penyelesaian, mempunyai penyelesaian tunggal, atau
mempunyai takhingga banyak penyelesaian. Diberikan matriks
dengan
elemen-elemen pada setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan dan
. Sistem persamaan
tidak mempunyai penyelesaian bila terdapat
baris nol dalam matriks
, mempunyai satu penyelesaian bila terdapat lone one
pada setiap baris matriks
dan mempunyai takhingga banyak penyelesaian bila
terdapat elemen slack dalam matriks
. Aplikasi sistem persamaan
dalam masalah ramp handling adalah untuk menentukan waktu mulai paling
lambat bagi setiap aktivitas ramp handling sehingga semua aktivitas tersebut telah
selesai pada waktu keberangkatan pesawat.
Kata kunci: Aljabar Max-Plus, Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-Plus,
Ramp Handling.
vii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
ABSTRACT
Regina Wahyudyah Sonata Ayu, 2015. System of Linear Equations in MaxPlus Algebra and Its Application in Aircraft Ramp Handling Problem. Thesis.
Mathematic Education Study Program, Mathematic and Science Education
Departement, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma
University, Yogyakarta.
This research aims to study the solution to system of
over maxplus algebra where
,
,
,
and its application
in aircraft ramp handling problem. This research is started by studying the
principal sub-solution that is the candidate for solution of
.
Furthermore, the existence and the uniqueness of the solution to
are
investigated. The next step is discussing the application of system of
over max-plus algebra in aircraft ramp handling problem at airport.
The result shows that the system of
has either no solution, one
solution or an infinite number of solutions. Let
with elements in each
column are not all equal to and
. System of
has no solution if
there is a zero-row in
, has one solution if each row of
has a lone one and
has an infinite number of solutions if there are slack entries in
. The
application of system of
in aircraft ramp handling problem is to
determine the latest starting times for each ramp handling activity so that all of the
activities are completed at the departure time of the plane.
Key word: Max-Plus Algebra, System of Linear Equations in Max-Plus Algebra,
Ramp Handling.
viii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena
atas berkat dan rahmat-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul
“Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-Plus dan Aplikasinya dalam Masalah
Ramp Handling Pesawat”. Skripsi ini disusun dalam rangka memenuhi salah satu
syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Pendidikan pada Program Studi
Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas
Sanata Dharma Yogyakarta.
Banyak hambatan dan rintangan yang dialami oleh penulis selama
penyusunan skripsi ini. Namun atas bantuan dan dukungan dari berbagai pihak,
maka penulis dapat mengatasi segala hambatan dan rintangan yang dialami. Oleh
karena itu, pada kesempatan kali ini penulis ingin mengucapkan terima kasih
kepada:
1. Dr. M. Andy Rudhito, S.Pd. selaku Kaprodi Pendidikan Matematika
Universitas Sanata Dharma sekaligus dosen pembimbing skripsi yang
telah membimbing, memberikan kritikan dan masukan yang membangun
dalam penyusunan skripsi ini.
2. Bapak Rohandi, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu
Pendidikan.
3. Kedua orang tuaku, Bapak Ambrosius Madut dan Ibu Rosalia Nuet serta
saudara-saudaraku, Kristianus Panjo Candra, Kristiana Deti Sajutin,
Didimus Andi Gunawan, Yuventus Yonavan Cahyono, dan Hersintus
Suwenda Syah Suyoso yang senantiasa menyayangi dan mendukung
penulis baik lewat doa, perhatian maupun dukungan materi.
4. Ibu Veronika Fitri Rianasari, S.Pd. M.Sc. selaku dosen pembimbing
akademik yang telah membantu dan membimbing penulis terutama
berkaitan dengan hal akademis selama penulis menempuh kuliah di
Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma.
5. Bapak dan Ibu dosen di Program Studi Pendidikan Matematika
Universitas Sanata Dharma yang telah membimbing dan mendidik penulis
ix
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
selama menuntut ilmu di Program Studi Pendidikan Matematika
Universitas Sanata Dharma..
6. Sahabat-sahabatku, Margaretha Nobilio Pasia Janu, Ana Karisma Adi
Purwito, Theresia Veni Dwi Lestari, Yuliana Pebri Heriawati, Pilipus Neri
Agustima dan Singgih Satriyo Wicaksono yang telah menemaniku serta
berbagi suka duka selama menempuh kuliah di Universitas Sanata
Dharma.
7. Adik-adikku tersayang, Imak, Itak dan Elisa serta teman-temanku, Yos,
Eki dan Charles yang senantiasa mendukung dan menyemangati penulis
dalam menyelesaikan tulisan ini.
8. Teman-teman seperjuangan di Program Studi Pendidikan Matematika
Universitas Sanata Dharma angkatan 2011 yang telah berbagi pengalaman
selama penulis menempuh kuliah di Universitas Sanata Dharma.
9. Semua pihak yang telah membantu penulis menyelesaikan tugas akhir ini,
baik secara langsung maupun tidak langsung yang tidak dapat disebutkan
satu persatu.
Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan
skripsi ini. Oleh karena itu, dengan rendah hati, penulis mengharapkan kritik dan
saran yang membangun demi kesempurnaan tulisan ini. Semoga tulisan ini dapat
memberikan manfaat dan wawasan yang lebih kepada setiap pembaca.
Yogyakarta, 17 Juni 2015
Penulis
x
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL................................................................................................ i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ..................................................... ii
HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iii
HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................ iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................................. v
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH .. vi
ABSTRAK ............................................................................................................ vii
ABSTRACT ......................................................................................................... viii
KATA PENGANTAR ........................................................................................... ix
DAFTAR ISI .......................................................................................................... xi
DAFTAR SIMBOL.............................................................................................. xiii
BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1
A. Latar Belakang........................................................................................ 1
B. Rumusan Masalah .................................................................................. 4
C. Batasan Masalah ..................................................................................... 4
D. Tujuan Penelitian .................................................................................... 4
E. Manfaat Penelitian .................................................................................. 5
F. Metode Penelitian ................................................................................... 5
G. Sistematika Penulisan ............................................................................. 5
BAB II LANDASAN TEORI ................................................................................. 7
A. Definisi dan Sifat-sifat Dasar Aljabar Max-Plus .................................... 7
B. Matriks dan Vektor atas Aljabar Max-Plus .......................................... 12
BAB III SISTEM PERSAMAAN LINEAR ALJABAR MAX-PLUS ................ 21
A. Sub-Penyelesaian Terbesar ................................................................... 22
B. Eksistensi dan Ketunggalan Penyelesaian Sistem Persamaan
...............................................................................................................25
xi
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
C. Penyelesaian Sistem Persamaan
dengan Program MATLAB
...............................................................................................................44
BAB IV APLIKASI SISTEM PERSAMAAN LINEAR ALJABAR MAX-PLUS
DALAM MASALAH RAMP HANDLING PESAWAT ...................... 50
A. Ramp Handling ..................................................................................... 50
B. Aplikasi Sistem Persamaan
dalam Masalah Ramp Handling 52
BAB V PENUTUP ................................................................................................ 60
A. Kesimpulan ........................................................................................... 60
B. Saran ..................................................................................................... 61
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 62
xii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
DAFTAR SIMBOL
(
)
: himpunan tak kosong
yang dilengkapi dengan dua operasi biner
dan
: himpunan semua bilangan real
:
:
* +
: operasi max
: operasi plus ( )
:(
)
:{
[
:{
,
]
}
-
}
: himpunan semua bilangan asli
: relasi “lebih kecil atau sama dengan” dalam aljabar max-plus
: matriks „discrepancy‟
: matriks hasil reduksi
: tanda akhir pembuktian.
xiii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Aljabar merupakan cabang matematika yang menggeneralisasi bentuk
aritmatika dengan menggunakan variabel-variabel untuk menggantikan bilanganbilangan. Aljabar memiliki ruang lingkupnya sendiri antara lain aljabar dasar,
aljabar linear, aljabar abstrak, dan sebagainya. Salah satu ruang lingkup aljabar
yang masih tergolong baru adalah aljabar max-plus. Menurut Andersen (2002),
aljabar max-plus muncul pada akhir tahun 1950‟an segera setelah topik mengenai
Riset Operasi mulai dikembangkan. Sementara itu, menurut Butkovič (2000),
aljabar max-plus telah dipelajari dan ditulis dalam bentuk makalah-makalah
penelitian dan buku-buku pada awal 1960‟an dan dikembangkan secara intensif
sejak tahun 1985.
Aljabar max-plus merupakan suatu contoh semiring yang terdiri dari
himpunan
*
+ dengan
merupakan himpunan semua bilangan real, yang
dilengkapi dengan operasi maksimum, dinotasikan dengan
penjumlahan, dinotasikan dengan
dan operasi
. Dalam aljabar max-plus, operasi
penjumlahan didefinisikan sebagai operasi maksimum sedangkan operasi
perkalian didefinisikan sebagai operasi penjumlahan. Selanjutnya, (
) dinotasikan dengan
dan *
+ dinotasikan dengan
merupakan elemen netral terhadap operasi
terhadap operasi
.
1
*
+,
,
. Elemen
dan 0 merupakan elemen identitas
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
2
Sebagai suatu semiring, aljabar max-plus merupakan semiring komutatif
sekaligus idempoten (Subiono, 2013). Lebih jauh, aljabar max-plus merupakan
semifield sebab untuk setiap
yakni (
*
+)(
di
*
+ memiliki invers terhadap operasi
*
+)
Sama halnya dalam aljabar linear, pasangan operasi (
,
.
) dalam aljabar
max-plus juga dapat diperluas untuk operasi matriks atas aljabar max-plus.
Demikian juga, penjumlahan matriks atas aljabar max-plus hanya terdefinisi untuk
matriks dengan ukuran yang sama. Matriks atas aljabar max-plus kemudian
digunakan dalam merepresentasikan sistem persamaan linear aljabar max-plus
untuk kemudian dicari penyelesaiannya. Representasi sistem persamaan linear
yang dimaksud serupa dalam aljabar linear yakni berupa persamaan matriks
. Namun demikian, berbeda dengan aljabar linear, aljabar max-plus
tidak memiliki invers terhadap penjumlahan. Hal ini menyebabkan cara
menyelesaikan sistem persamaan linear aljabar max-plus berbeda dengan sistem
persamaan linear dalam aljabar biasa. Penyelesaian sistem persamaan linear
aljabar max-plus, sebagaimana dalam aljabar biasa, tidak selalu ada dan bila ada
tidak selalu tunggal.
Kehadiran sistem linear aljabar max-plus sangat membantu dalam
memodelkan serta menganalisa Discrete Event System (DES) seperti sistem
transportasi, sistem komunikasi, sistem produksi, sistem komputasi paralel, dan
sebagainya. Namun demikian, menurut Subiono (2013), pendekatan aljabar maxplus diterapkan pada sistem yang hanya mempertimbangkan sinkronisasi tanpa
konkurensi. Sinkronisasi berkaitan dengan ketersediaan beberapa sumber dalam
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
3
waktu bersamaan sedangkan konkurensi tampak ketika pada suatu saat seorang
pengguna harus memilih beberapa sumber.
Penanganan pesawat di bandara atau lebih dikenal dengan istilah ramp
handling merupakan salah satu masalah sinkronisasi. Ramp handling merupakan
penanganan pesawat yang dilakukan di ramp area, yakni suatu pelataran yang ada
di
bandara.
Ramp
handling
meliputi
beberapa
kegiatan
antara
lain
deplane/boarding, loading/unloading, refueling, dan lain-lain. Masing-masing
kegiatan memiliki durasi waktu yang berbeda untuk tiap pesawat. Kegiatankegiatan ini dilakukan secara simultan dan harus selesai pada waktu yang sudah
ditentukan. Karena itu, perlu ditentukan waktu mulai paling lambat untuk setiap
kegiatan sehingga semua kegiatan dipastikan telah selesai pada waktu
keberangkatan (departure time) pesawat-pesawat dari bandara. Masalah ramp
handling ini terkait dengan masalah
dimana matriks
menyatakan durasi tiap kegiatan ramp handling
untuk tiap pesawat, vektor
ditentukan vektor
penyelesaian sistem persamaan linear
menyatakan ground time pesawat dan akan
yang menyatakan waktu mulai paling lambat untuk tiap
kegiatan ramp handling.
Berdasarkan penjabaran di atas, penulis tertarik untuk mengkaji lebih jauh
mengenai sistem persamaan linear aljabar max-plus serta aplikasinya dalam
masalah ramp handling pesawat.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
4
B. Rumusan Masalah
Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah
1. Bagaimana menentukan penyelesaian dari suatu sistem persamaan linear
aljabar max-plus?
2. Bagaimana eksistensi dan ketunggalan penyelesaian dari suatu sistem
persamaan linear aljabar max-plus?
3. Bagaimana aplikasi sistem persamaan linear aljabar max-plus dalam masalah
ramp handling pesawat?
C. Batasan Masalah
Pembahasan masalah dalam skripsi ini hanya dibatasi pada sistem persamaan
linear aljabar max-plus berbentuk A
x = b, sedangkan aplikasinya hanya
dibatasi pada masalah ramp handling pesawat di bandara.
D. Tujuan Penelitian
Penulisan skripsi ini bertujuan untuk:
1. Mengetahui bagaimana cara menentukan penyelesaian sistem persamaan
linear aljabar max-plus berbentuk A
x = b.
2. Mengetahui bagaimana eksistensi dan ketunggalan penyelesaian sistem
persamaan linear aljabar max-plus A
x = b.
3. Mengetahui bagaimana aplikasi sistem persamaan linear aljabar max-plus
tersebut dalam masalah ramp handling pesawat.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
5
E. Manfaat Penelitian
Manfaat yang diperoleh melalui penulisan skripsi ini adalah:
1. Bagi penulis
Bila dalam perkuliahan penulis mempelajari struktur aljabar atas field,
melalui penelitian ini penulis mendapat pengetahuan baru tentang contoh
struktur aljabar lain yakni aljabar max-plus lebih khusus lagi mengenai sistem
persamaan linear aljabar max-plus. Selain itu, penelitian ini juga menambah
wawasan penulis mengenai aplikasi sistem persamaan linear aljabar max-plus
dalam masalah ramp handling pesawat di bandara.
2. Bagi pembaca
Pembaca dapat memahami sistem persamaan linear A
x = b dalam aljabar
max-plus serta aplikasinya dalam masalah ramp handling pesawat di bandara.
F. Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode studi pustaka, yaitu
dengan membaca dan mempelajari buku-buku, jurnal-jurnal serta tesis-tesis yang
berkaitan dengan topik skripsi.
G. Sistematika Penulisan
Tulisan ini akan mengkaji tentang sistem persamaan linear aljabar maxplus dan aplikasinya dalam masalah ramp handling pesawat. Untuk itu, tulisan ini
akan dibagi dalam lima bab. Pada Bab I, terlebih dahulu akan dibahas mengenai
latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat
penelitian, metode penelitian dan sistematika penulisan skripsi ini. Selanjutnya,
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
6
pada Bab II akan dibahas mengenai definisi dan sifat-sifat dasar aljabar max-plus,
dan vektor dan matriks atas aljabar max-plus yang akan melandasi pembahasan
mengenai sistem persamaan linear aljabar max-plus dan aplikasinya dalam
masalah ramp handling pesawat.
Inti dari tulisan ini terdapat dalam Bab III dan Bab IV. Pada Bab III akan
dibahas mengenai sistem persamaan linear aljabar max-plus yang meliputi subpenyelesaian terbesar, eksistensi dan ketunggalan penyelesaian sistem persamaan
A
x = b. Pada bab ini juga diberikan penyelesaian sistem persamaan A
x=b
dengan program MATLAB guna mempermudah perhitungan, sedangkan pada Bab
IV akan dibahas mengenai ramp handling dan aplikasi sistem persamaan A
x=
b dalam masalah ramp handling.
Bagian terakhir dalam tulisan ini adalah Bab V yang berisi kesimpulan
dari pembahasan pada Bab III dan Bab IV serta beberapa saran yang dapat
digunakan dalam penelitian selanjutnya.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
7
BAB II
LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep yang diperlukan sebagai
landasan teori dalam pembahasan mengenai sistem persamaan linear aljabar maxplus dan aplikasinya dalam masalah ramp handling pesawat. Pembahasan akan
dibagi menjadi dua bagian, yakni: definisi dan sifat-sifat dasar aljabar max-plus
serta matriks dan vektor atas aljabar max-plus.
A. Definisi dan Sifat-sifat Dasar Aljabar Max-Plus
Berikut ini akan diberikan definisi dan sifat-sifat dasar aljabar max-plus.
Pembahasan akan diawali dengan definisi semiring.
Definisi 2.A.1
Suatu semiring (S,
dua operasi biner
1. (S,
) adalah suatu himpunan tak kosong S disertai dengan
dan
yang memenuhi:
) komutatif dan asosiatif serta memiliki elemen netral, yakni:
a.
(
b.
c. (
)(
)
(
)
)
2. (S, ) asosiatif serta memiliki elemen identitas, yakni:
(
a.
b. (
)(
)
(
)
)
3. Sifat penyerapan elemen netral
terhadap operasi
7
, yakni:
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
4. Operasi
distributif terhadap
yakni
berlaku
(
a.
b. (
)
)
(distributif kiri dan distributif kanan),
(
)
(
)
(distributif kiri)
(
)
(
)
(distributif kanan)
Contoh 2.A.1
*
Diberikan
dan
+ dengan
:= 0. Kemudian, dalam
himpunan semua bilangan real,
didefinisikan operasi
dan
:=
yakni
berlaku:
(
) dan
Selanjutnya akan ditunjukkan
(
,
) merupakan semiring.
Bukti:
(
,
1. (
) semiring sebab:
) komutatif dan asosiatif serta memiliki elemen netral, yakni:
(
a.
b.
(
)
*
)
(
)
(
) +
(
)+
(
*
c. (
2. (
,
a.
)(
(
)
(
)
(
)
) asosiatif serta memiliki elemen identitas, yakni:
(
)
8
(
)
(
(
)
)
)
)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
b. (
)(
)
3. Sifat penyerapan elemen netral
terhadap operasi
(
4. Operasi
(
)
, yakni
(
(
b. (
)
(
,
berlaku
)
)
(
)
(
)
)
(
(
, yakni:
)
distributif terhadap
a.
9
)
(
) kemudian cukup ditulis
)
(
)
. Selanjutnya akan
diberikan definisi mengenai dua semiring khusus, yakni semiring komutatif dan
semiring idempoten.
Definisi 2.A.3
Suatu semiring (S,
) merupakan semiring komutatif bila dan hanya bila
berlaku sifat komutatif terhadap operasi , yakni
.
Definisi 2.A.4
Suatu semiring (S,
) merupakan semiring idempoten bila dan hanya bila
berlaku sifat idempoten terhadap operasi
, yakni
Contoh 2.A.2
Semiring
merupakan semiring komutatif sekaligus semiring idempoten.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
10
Bukti:
a. Semiring
merupakan semiring komutatif sebab
:
.
b. Semiring
merupakan semiring idempoten sebab
(
:
)
Lebih lanjut, dalam Subiono (2013) didefinisikan mengenai semifield
yang merupakan ragam khusus dari semiring komutatif.
Definisi 2.A.5
Suatu semiring komutatif (
elemen a di
)(
) disebut semifield bila dan hanya bila setiap
* + mempunyai invers terhadap operasi
)
, yaitu (
.
Contoh 2.A.3
Semiring komutatif
merupakan semifield.
Bukti:
semifield sebab (
(
Struktur aljabar
*
)
(
max-plus. Elemen-elemen
(
,
+)(
)
(
*
)
+)
.
) inilah yang kemudian disebut sebagai aljabar
akan disebut juga sebagai skalar (Rudhito, 2003).
Sama halnya dalam aljabar biasa, operasi perkalian dikerjakan terlebih
dahulu sebelum operasi penjumlahan, demikian juga halnya dalam aljabar max-
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
plus, operasi
mempunyai prioritas daripada operasi
. Berikut ini diberikan
beberapa contoh yang mengilustrasikan operasi-operasi dalam
Tabel 1: Pengoperasian dalam
11
.
.
Arti
Operasi dalam
Hasil
(
)
3
(
)
9
(
)
4
16
7
(
)
(
)
(
)
(
6
)
8
Bila dalam field bilangan real terdapat elemen invers terhadap operasi +,
tidak demikian halnya dalam
sehingga menyebabkan
.
merupakan semiring idempoten
tidak memiliki invers terhadap operasi
. Hal ini
ditunjukkan dalam teorema berikut.
Teorema 2.A.1 (Farlow, 2009)
Diberikan semiring
elemen invers terhadap
(
tidak ada .
). Sifat idempoten dari
berakibat bahwa
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
12
Bukti:
memiliki invers terhadap operasi
(
yakni dirinya sendiri di mana
)
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa untuk setiap elemen dalam
* +. Misalkan bahwa
memiliki invers yakni dengan mengambil sebarang
mempunyai invers terhadap
Tambahkan
yaitu , didapat
* + tidak
.
pada kedua ruas persamaan, didapat
Dengan sifat idempoten, persamaan menjadi
dengan
. Hal ini bertentangan
.
Hal inilah yang kemudian membedakan aljabar max-plus dengan aljabar
konvensional.
B. Matriks dan Vektor atas Aljabar Max-Plus
Pada bagian ini akan dibahas mengenai matriks dan vektor atas aljabar
max plus serta relasi urutan di dalamnya. Himpunan matriks berukuran
dalam aljabar max-plus dinotasikan dengan
untuk
. Elemen
pada baris ke dan kolom ke dinotasikan dengan
atau , - untuk
dan
Dalam hal ini matriks
sebagai berikut
[
]
direpresentasikan
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
13
Serupa dalam matriks real, pada matriks atas aljabar max-plus juga dapat
didefinisikan operasi penjumlahan matriks, perkalian skalar, dan perkalian
matriks. Selain itu, pada matriks atas aljabar max-plus juga dapat didefinisikan
transpos matriks.
Definisi 2.B.1
Diberikan matriks
matriks
,
dan
. Elemen ke-ij dari penjumlahan
, perkalian skalar
, serta transpos matriks
didefinisikan
sebagai
1. ,
-
2. ,
3. ,
(
-
),
untuk
, untuk
-
, untuk
dan
dan
dan
Contoh 2.B.1
[
Diberikan matriks
] dan
[
], maka
a.
[
]
[
]
b.
[
]
[
]
[
c.
]
Definisi 2.B.2
Misalkan
dan
didefinisikan sebagai
maka elemen ke-ij dari perkalian matriks
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
,
-
,
14
,
Contoh 2.B.2
[
Diberikan matriks
[
] dan
][
[
], maka
]
[
]
[
]
[
]
Teorema 2.B.1 (Rudhito, 2003)
Pernyataan-pernyataan berikut berlaku untuk sebarang skalar
sebarang matriks , , dan
1. (
dan
serta
asalkan operasi yang dimaksud terdefinisi.
)
(
)
)
(
)
2.
3.
4. (
5.
(
6. (
7.
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Sifat-sifat lain dapat dibuktikan dengan menggunakan definisi operasi dan sifatsifat operasi dalam
Di bawah ini akan diberikan bukti untuk sifat 4.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
15
Bukti:
,
Misalkan
-
,
,
ke- kolom ke- matriks (
)
[(
)
-
dan
[
]
. Elemen
adalah
]
(
)
(
[
)
(
(
)]
)
Definisi 2.B.3 (Rudhito, 2003)
Didefinisikan matriks
dengan , -
untuk semua dan .
Selanjutnya akan dibahas mengenai semimodul atas
serta relasi
urutan di dalamnya. Definisi semimodul berikut ini mengikuti definisi dalam
Rudhito (2003).
Definisi 2.B.4
Misalkan (S,
) adalah semiring komutatif dengan elemen netral 0 dan
elemen identitas 1. Semimodul M atas S adalah semigrup komutatif (M, )
bersama operasi perkalian skalar ●:
● yang memenuhi aksioma berikut:
dan
berlaku:
, dituliskan sebagai (
)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
i)
)
●(
ii) (
)●
iii)
●( ● )
iv)
●
v)
●
●
●
●
●
(
16
)●
Elemen dalam semimodul dinamakan vektor.
Contoh 2.B.3
adalah semimodul atas
, dalam hal ini
cukup ditulis
dimana
{
[
Untuk setiap
]
}
dan untuk setiap
didefinisikan operasi
dengan
,
-
dan operasi perkalian skalar ● dengan
●
,
-
Berdasarkan Teorema 2.B.1 1 dan 2 maka dapat disimpulkan bahwa (
merupakan
semigrup
komutatif
dengan
elemen
netral
,
)
- .
Selanjutnya, berdasarkan Teorema 2.B.1 5, 6 dan 7 maka dapat disimpulkan
bahwa
merupakan semimodul atas
.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
17
Definisi 2.B.5
Suatu relasi
untuk semua
pada suatu himpunan P dinamakan urutan parsial pada P bila
memenuhi:
1. Sifat reflektif, yaitu:
2. Sifat antisimetris, yaitu: jika
3. Sifat transitif, yaitu: jika
Elemen
dan
Sementara itu,
dan
dan
, maka
, maka
dikatakan komparabel (comparable) jika
dapat juga ditulis
. Jika
dan
atau
.
maka ditulis
.
Definisi 2.B.6
Bila setiap dua elemen P komparabel, maka urutan parsial
disebut urutan
total.
Definisi 2.B.5 dan Definisi 2.B.6 di atas didasarkan pada definisi
Wohlgemuth (dalam Rudhito, 2003). Berikut ini diberikan suatu teorema yang
berkaitan dengan urutan parsial pada suatu semigrup komutatif idempoten.
Teorema 2.B.2 (Rudhito, 2003)
Jika (
pada
) semigrup komutatif idempoten maka relasi
dengan
merupakan urutan parsial pada .
Bukti:
Ambil sebarang
1. Karena
yang didefinisikan
idempoten maka
.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
2. Jika
dan
komutatif maka
3. Jika
maka
dan
. Karena
maka
dan
. Karena
18
.
dan
semigrup maka berlaku sifat asosiatif. Akibatnya,
(
Sehingga
)
(
)
.
Akibat 2.B.1 (Rudhito, 2003)
Relasi
yang didefinisikan pada
merupakan urutan parsial pada
dengan
. Lebih lanjut, relasi
pada
merupakan urutan total.
Bukti:
Karena (
) merupakan semigrup komutatif idempoten, maka menurut
Teorema 2.B.2 relasi
untuk setiap
Jadi, relasi
Relasi
pada
merupakan urutan parsial. Selanjutnya,
berlaku:
(
)
(
)
atau
merupakan urutan total.
pada
ekuivalen dengan relasi
(
pada
)
, sebab
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
19
Akibat 2.B.2 (Rudhito, 2003)
Relasi
yang didefinisikan pada
dengan
untuk setiap dan merupakan urutan parsial pada
.
Bukti:
Berdasarkan Teorema 2.B.1 1, 2, dan 3 nampak bahwa (
) merupakan
semigrup komutatif idempoten sehingga menurut Teorema 2.B.2 relasi
pada
merupakan urutan parsial.
Akibat 2.B.3 (Rudhito, 2003)
Relasi
yang didefinisikan pada
dengan
untuk setiap merupakan urutan parsial pada
.
Bukti:
Berdasarkan Teorema 2.B.1 1, 2, dan 3 nampak bahwa (
) merupakan
semigrup komutatif idempoten sehingga menurut Teorema 2.B.2 relasi
pada
Relasi
merupakan urutan parsial.
yang didefinisikan pada
[
total sebab terdapat matriks
[
]
[
] dan
]
[
di atas bukan merupakan urutan
[
] tetapi
] sedemikian sehingga
dan
.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
Demikian juga, relasi
yang didefinisikan pada
merupakan urutan total sebab terdapat vektor
,
20
di atas bukan
- r dan
,
-
sedemikian sehingga
,
-
,
-
,
- tetapi
dan
Teorema 2.B.3 (Subiono, 2013)
Diberikan
(
)
.
(
Jika
dengan
).
Bukti:
Ambil sebarang
dengan
(
, maka
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
maka
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
BAB III
SISTEM PERSAMAAN LINEAR ALJABAR MAX-PLUS
Sistem persamaan linear yang akan dibahas adalah sistem persamaan
berbentuk
dengan
,
,
, dan
Penyelesaian sistem ini adalah himpunan semua vektor
sehingga
. Sistem persamaan
.
sedemikian
dapat ditulis ulang dalam
bentuk persamaan matriks yang lebih rinci dan kemudian dalam bentuk sistem
ekuivalen persamaan max-plus sebagai berikut
[
]
(
(
) (
) (
(
) (
[
]
)
)
[
]
(
(
)
)
)
(
)
Bila ditulis dalam bentuk baku, maka sistem persamaan di atas menjadi
Penyelesaian
*(
*(
)(
)(
*(
)(
sistem
)
)
(
(
)
persamaan
)+
)+
(
}
)+
diperoleh
dengan
menyelesaikan sistem terakhir di atas secara simultan. Sama halnya dalam aljabar
biasa, penyelesaian sistem persamaan
tidak selalu ada. Sistem yang
tidak memiliki penyelesaian ditunjukkan dalam contoh berikut.
21
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
22
Contoh 3.1
[
Diberikan matriks
] dan
[ ]. Persamaan
tidak
mempunyai penyelesaian, sebab bila mempunyai penyelesaian berarti ada
[ ] sehingga
[
Didapat
]
[ ]
*
,
+
tidak akan ada
Jadi,
[ ]
, dan
*
*
sehingga
+
+
. Nampak bahwa
dan
*
+
.
tidak mempunyai penyelesaian.
Di lain pihak, sistem
karena untuk
penyelesaian
mendefinisikan
selalu mempunyai penyelesaian
diperoleh
sistem
. Karena itu, masalah
persamaan
konsep
dapat
sub-penyelesaian
terbesar
diperlemah
dengan
dengan
sebelumnya
mendefinisikan konsep sub-penyelesaian.
A. Sub-Penyelesaian Terbesar
Berikut
diberikan
definisi
mengenai
penyelesaian terbesar sistem persamaan
sub-penyelesaian
dan
sub-
.
Definisi 3.A
Diberikan
dan
adalah vektor
. Sub-penyelesaian sistem persamaan
yang memenuhi
.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
23
Definisi 3.B
Sub-penyelesaian
terbesar
adalah
, dinotasikan dengan
Dengan kata lain,
persamaan
vektor
terbesar
yang
memenuhi
.
untuk setiap sub-penyelesaian
dari sistem
. Sub-penyelesaian terbesar tidak harus merupakan suatu
penyelesaian dari
. Sub-penyelesaian terbesar diberikan oleh teorema
berikut.
Teorema 3.A.1 (Rudhito, 2003)
Diberikan
dengan elemen-elemen pada setiap kolomnya tidak
semuanya sama dengan
dan
, maka
(
untuk setiap
*
+ dan
)
*
+.
Bukti:
{
(
)
dan
(
)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
(
24
)
Jadi, sub-penyelesaian dari sistem persamaan
adalah setiap vektor
di mana komponen-komponennya memenuhi
(
)
,
Jika vektor
- didefinisikan dengan
(
)
maka diperoleh:
(
)
(
)
dan
(
Hal ini berarti bahwa
merupakan sub-penyelesaian dari sistem persamaan
(
. Karena
Akibatnya,
sistem persamaan
)
. Jadi, vektor
)
, maka
merupakan sub-penyelesaian terbesar dari
.
Teorema 3.A.1 menjelaskan penyelesaian dari
penyelesaian dari
.
dijelaskan dalam teorema berikut:
sedangkan
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
25
Teorema 3.A.2 (Butkovič, 2000)
Diberikan
dengan elemen-elemen pada setiap kolomnya tidak
semuanya sama dengan
dan hanya bila
dan
.
memiliki penyelesaian bila
adalah penyelesaiannya.
Bukti:
Misalkan
merupakan penyelesaian dari sistem
merupakan sub-penyelesaian terbesar maka
. Karena
. Berdasarkan Teorema
2.B.3 diperoleh
.
Jadi,
B. Eksistensi dan Ketunggalan Penyelesaian Sistem Persamaan
Pada pembahasan sebelumnya telah dibahas mengenai sub-penyelesaian
terbesar dari sistem persamaan
. Pada bagian ini akan dibahas
mengenai eksistensi dan ketunggalan penyelesaian sistem persamaan
.
Berdasarkan Teorema 3.A.2 dapat disimpulkan bahwa eksistensi penyelesaian
sistem persamaan ini ditentukan oleh sub-penyelesaian terbesarnya.
Diberikan matriks
kolomnya tidak semuanya sama dengan
dengan elemen-elemen pada setiap
dan
merupakan calon penyelesaian sistem persamaan
dengan
. Sub-penyelesaian terbesar
yakni vektor
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
[
]
[
[
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)]
(
)]
[
*
*
+
+
*
+
Selanjutnya didefinisikan matriks „discrepancy‟ dinotasikan dengan
[
Catatan bahwa setiap
dari setiap kolom
26
]
dimana
]
dapat ditentukan dengan mengambil nilai maksimum
.
Untuk memprediksi banyaknya penyelesaian persamaan
selanjutnya didefinisikan matriks
, maka
yang merupakan reduksi matriks
sebagai berikut
[
] di mana
{
Di bawah ini akan diberikan contoh-contoh penyelesaian sistem persamaan
.
Contoh 3.2
Tentukan penyelesaian
jika
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
[
Berdasarkan matriks
],
dan vektor
[ ], dan
]
diperoleh matriks
[
]
[
[
[
]
]
Perhatikan bahwa terdapat elemen bernilai 1 pada tiap baris matriks
pada tiap kolom matriks
persamaan
27
. Karena
pasti terdapat elemen bernilai 1, maka sistem
pada contoh ini hanya memiliki satu penyelesaian. Elemen-
elemen dari vektor penyelesaian dapat ditentukan dengan mengambil nilai
maksimum dari tiap kolom
, yakni:
*
Dengan demikian,
,
+
*
+
*
+
-
merupakan calon penyelesaian sekaligus
menjadi satu-satunya penyelesaian dari sistem persamaan
ditunjukkan sebagai berikut
. Hal ini
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
*
[
]
[ ]
+
*
*
[
28
+
]
+
+
*
[
]
Contoh 3.3
Tentukan penyelesaian
jika
[
Berdasarkan matriks
],
dan vektor
[ ], dan
[ ]
diperoleh matriks
[
]
[
[
]
]
Perhatikan bahwa terdapat elemen bernilai 1 pada tiap baris matriks
berarti bahwa sistem persamaan
satu penyelesaian yakni
[
. Hal ini
pada contoh ini juga hanya memiliki
,
- . Hal ini ditunjukkan sebagai berikut
]
[
]
*
*
*
[
+
+]
+
[ ]
Contoh 3.2 dan 3.3 di atas merupakan contoh sistem persamaan
yang memiliki penyelesaian tunggal baik untuk kasus
maupun
Berikut ini akan diberikan contoh-contoh sistem persamaan
memiliki penyelesaian baik untuk kasus
,
maupun kasus
.
yang tidak
.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
29
Contoh 3.4
Tentukan penyelesaian
jika
[
Berdasarkan matriks
],
dan vektor
[ ], dan
]
[
matriks
]
diperoleh matriks
[
Berdasarkan matriks
[
]
,
diperoleh
- . Namun demikian, dari
di atas terlihat bahwa terdapat baris yang tidak memiliki nilai
maksimum yakni baris pertama atau dengan kata lain semua elemen dalam baris
pertama bernilai 0. Hal ini mengisyaratkan bahwa sistem persamaan
tidak memiliki penyelesaian. Hal ini diperkuat melalui perhitungan berikut:
*
[
]
[ ]
+
*
*
[
+
]
+
+
*
Dengan demikian,
[
]
[
]
hanya merupakan sub-penyelesaian terbesar dan bukan
merupakan penyelesaian sistem persamaan
.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
30
Contoh 3.5
Tentukan penyelesaian
jika
[
Berdasarkan matriks
],
dan vektor
[ ], dan
diperoleh matriks
[
]
[
Berdasarkan matriks
matriks
[ ]
]
,
diperoleh
- . Namun demikian, dari
di atas terlihat bahwa semua elemen dalam baris pertama bernilai 0.
Hal ini mengisyaratkan bahwa sistem persamaan
dalam contoh ini
tidak memiliki penyelesaian. Hal ini juga diperkuat melalui perhitungan berikut:
[
Dengan demikian,
]
[
]
[
*
*
*
+
+]
+
[ ]
[ ]
hanya merupakan sub-penyelesaian terbesar dan bukan
merupakan penyelesaian sistem persamaan
.
Contoh 3.6
Tentukan penyelesaian
jika
[
],
[ ], dan
[ ]
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
Berdasarkan matriks
dan vektor
diperoleh matriks
[
]
[
Berdasarkan matriks
31
]
,
diperoleh
sebelumnya, sistem persamaan
- . Serupa dengan dua contoh
dalam contoh ini juga tidak memiliki
penyelesaian karena semua elemen pada baris kedua matriks
-nya bernilai 0.
Hal ini ditunjukkan juga melalui perhitungan berikut:
[
]
[
]
[
*
*
+
]
+
[ ]
[ ]
Jadi, sistem persamaan linear tersebut hanya memiliki sub-penyelesaian terbesar
namun tidak mempunyai penyelesaian.
Selanjutnya akan diberikan contoh-contoh sistem persamaan
yang memiliki takhingga banyak penyelesaian baik untuk kasus
maupun kasus
,
.
Contoh 3.7
Tentukan penyelesaian
jika
[
Berdasarkan matriks
dan vektor
],
[ ], dan
diperoleh matriks
[
]
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
[
]
[
Berdasarkan matriks
apakah
]
,
diperoleh
- . Selanjutnya akan dicek
memang merupakan penyelesaian dari
.
*
[
Ternyata
]
[
]
[
+
*
*
*
+
]
+
+
memang merupakan penyelesaian dari
baris kedua dan ketiga matriks
32
[
]
. Akan tetapi, pada
terdapat lebih dari satu nilai maksimum atau
dengan kata lain terdapat lebih dari satu elemen bernilai 1 pada kedua baris
tersebut. Hal ini mengisyaratkan bahwa sistem persamaan
memiliki
takhingga banyak penyelesaian. Selain itu, berdasarkan Teorema 3.A.1 diperoleh
bahwa elemen-elemen dari
vektor penyelesaian
merupakan batas atas. Karena itu, elemen-elemen
dalam contoh ini harus mememenuhi
. Pada baris pertama dan keempat matriks
maksimum terdapat pada kolom ke-3 karena itu
,
dan
nampak bahwa nilai
. Pada baris kedua nilai
maksimum terdapat pada kolom ke-2 dan ke-3 maka terdapat dua kemungkinan
yakni
atau
. Bila nilai
diubah maka akan mempengaruhi
persamaan baris pertama dan keempat. Karena itu, selama
maka
persamaan pertama dan keempat akan selalu terpenuhi. Demikian halnya dengan
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
memilih
33
maka persamaan baris akan selalu terpenuhi. Jadi, semua vektor
,
yang berbentuk
-
dengan
dan
juga memenuhi
sistem persamaan.
Jadi, sistem persamaan
dalam contoh ini memiliki takhingga banyak
penyelesaian.
Contoh 3.8
Tentukan penyelesaian
jika
[
Berdasarkan matriks
],
dan vektor
[ ], dan
diperoleh matriks
[
]
[
Berdasarkan matriks
apakah
]
,
diperoleh
- . Selanjutnya akan dicek
memang merupakan penyelesaian dari
[
Nampak bahwa
]
[
]
[
.
*
*
*
+
+]
+
[ ]
memang merupakan penyelesaian dari sistem persamaan
. Akan tetapi, dapat diperiksa bahwa semua
,
[ ]
- dengan
yang memenuhi bentuk
juga memenuhi sistem persamaan di atas.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
Jadi, sistem persamaan
34
dalam contoh ini memiliki takhingga banyak
penyelesaian.
Contoh 3.9
Tentukan penyelesaian
jika
[
Berdasarkan matriks
],
dan vektor
[ ], dan
diperoleh matriks
[
]
[
Berdasarkan matriks
bahwa
[ ]
]
,
diperoleh
- . Selanjutnya ditunjukkan
juga merupakan penyelesaian dari sistem persamaan
[
]
[
]
*
*
[
Namun demikian, dapat diperiksa bahwa semua
dengan
dan
+
+
]
yakni:
[ ]
yang berbentuk
,
-
juga memenuhi sistem persamaan di atas.
Jadi, sistem persamaan
pada contoh ini juga memiliki takhingga
banyak penyelesaian.
Matriks
persamaan
dan
berperan dalam menentukan perilaku sistem
. Berikut ini diberikan teorema mengenai ada atau tidak
adanya (eksistensi) penyelesaian
.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
35
Teorema 3.B.1
Diberikan sistem persamaan
di mana
dengan elemen-
elemen pada setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan
1. Jika terdapat baris nol pada matriks
dan
.
maka sistem tidak mempunyai
penyelesaian.
2. Jika terdapat paling tidak satu elemen 1 pada tiap baris
adalah penyelesaian dari sistem persamaan
, maka
.
Bukti:
1. Misalkan baris nol pada matriks
adalah baris ke
merupakan penyelesaian dari sistem persamaan
(
dan andaikan
, maka
)
Akibatnya,
.
Dengan demikian,
tidak memenuhi persamaan ke-
bertentangan dengan
. Jadi,
atau
. Hal ini
adalah penyelesaian dari sistem persamaan
bukan merupakan penyelesaian dari sistem persamaan
sistem
persamaan
tidak
mempunyai
penyelesaian.
2. Akan dibuktikan kontrapositifnya. Andaikan
penyelesaian dari sistem persamaan
diperoleh
bukan merupakan
. BerdasarkanTeorema 3.A.1
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
36
Akibatnya,
(
Jika
)
bukan merupakan penyelesaian dari
, maka terdapat
sedemikian sehingga
(
)
Hal ini ekuivalen dengan
(
Karena
dalam baris
dari
) untuk beberapa , maka tidak ada elemen
yang bernilai 1.
Teorema 3.B.1 di atas digunakan untuk menentukan eksistensi
penyelesaian sistem persamaan
. Namun demikian, eksistensi ini belum
menjelaskan kapan penyelesaiannya tunggal dan kapan penyelesaiannya
taktunggal. Karena itu, untuk menentukan ketunggalan sistem persamaan
diberikan definisi berikut.
Definisi 3.B
Elemen bernilai 1 pada suatu baris
dinamakan elemen peubah tetap jika
1. Elemen tersebut merupakan satu-satunya elemen bernilai 1 pada baris
tersebut ( lone-one), atau
2. Elemen tersebut berada pada kolom yang sama dengan lone-one.
Elemen-elemen bernilai 1 lainnya dinamakan elemen-elemen slack.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
37
Tabel berikut ini akan menunjukkan elemen peubah tetap dari setiap
contoh yang telah diberikan sebelumnya. Elemen yang dilingkari merupakan
elemen peubah tetap
Tabel 2: Elemen Peubah Tetap
Tidak Mempunyai
Takhingga Banyak
Satu Penyelesaian
Penyelesaian
Contoh 3.4
[
Penyelesaian
Contoh 3.2
]
[
Contoh 3.7
]
Contoh 3.5
[
]
Contoh 3.8
]
Contoh 3.3
[
Contoh 3.6
[
[
[
]
]
]
Contoh 3.9
[
]
Pada contoh 3.2, semua elemen bernilai 1 merupakan peubah tetap.
Persamaan baris pertama menetapkan elemen
menetapkan elemen
, persamaan baris kedua
, dan persamaan baris ketiga menetapkan elemen
. Ketika sampai pada persamaan keempat, semua elemen
sudah
ditentukan. Setiap elemen yang sudah dipilih tidak dapat diubah karena bila
diubah akan menimbulkan pertidaksamaan pada salah satu dari ketiga baris
sebelumnya.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
38
Pada contoh 3.3, semua elemen bernilai 1 juga merupakan peubah tetap.
Persamaan baris pertama menetapkan elemen
menetapkan elemen
, persamaan baris kedua
, dan persamaan baris ketiga menetapkan elemen
.
Pada contoh 3.7, terdapat elemen slack pada
pertama menetapkan elemen
. Pada persamaan baris kedua, terdapat dua
kemungkinan untuk memenuhi persamaan yakni
nilai
. Persamaan baris
atau
. Akan tetapi,
sudah ditetapkan sebelumnya yakni sama dengan 3. Jadi, asalkan
maka persamaan baris diatasnya tidak akan berubah. Dengan cara yang sama,
pada persamaan baris ketiga, asalkan
maka persamaan baris diatasnya
tidak akan berubah. Sedangkan, pada persamaan baris keempat, elemen
penyelesaiannya sudah ditetapkan oleh persamaan baris pertama. Dengan
demikian, dengan menetapkan
dan asalkan
serta
, maka
persamaan baris akan selalu benar.
Berikut ini diberikan teorema untuk menunjukkan bila mana persamaan
memiliki penyelesaian tunggal dan bilamana penyelesaiannya
taktunggal.
Teorema 3.B.2
Diberikan persamaan matriks
dimana
elemen pada setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan
penyelesaian persamaan
ada.
dengan elemendan
serta
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
1. Jika tiap baris
39
memiliki lone one, maka penyelesaian sistem
persamaan tunggal.
2. Jika terdapat elemen-elemen slack pada
, maka sistem memiliki
takhingga banyak penyelesaian.
Bukti:
1. Jika terdapat lone one pada tiap baris
peubah tetap pada tiap baris
, maka terdapat satu elemen
. Hal ini berarti bahwa tidak akan ada
elemen-elemen slack. Dengan demikian, semua elemen
tetap dan
penyelesaian sistem persamaan tunggal.
2. Misalkan
adalah salah satu elemen slack pada
penyelesaian dari
. Karena
elemen peubah tetap pada kolom ke
dipenuhi tanpa menggunakan elemen
nilai
dan
merupakan
tidak tetap, maka tidak terdapat
dari
. Jadi, persamaan dapat
. Dengan demikian, meskipun
menunjukkan nilai maksimum yang mungkin untuk elemen ini,
setiap nilai yang lebih kecil atau sama dengan
tidak akan
mempengaruhi eksistensi persamaan baris yang telah ditetapkan.
Sistem persamaan
dalam Contoh 3.2 dan 3.3 memiliki
penyelesaian tunggal karena pada tiap baris matriks
Sedangkan sistem persamaan
-nya memiliki lone one.
dalam Contoh 3.7, 3.8 dan 3.9 memiliki
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
takhingga banyak penyelesaian karena terdapat elemen slack pada matriks
40
-
nya.
Akibat 3.B
Diberikan persamaan matriks
di mana
dengan elemen-
elemen pada setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan
. Jika penyelesaian persamaan
dan
serta
ada maka sistem memiliki
takhingga banyak penyelesaian.
Bukti:
Penyelesaian sistem persamaan
matriks
ada maka tidak terdapat baris nol pada
Andaikan penyelesaian sistem tunggal maka terdapat lone one pada
tiap baris
. Sementara itu,
berarti banyaknya persamaan lebih sedikit
daripada banyaknya variabel. Karena itu, pastilah terdapat slack pada matriks
. Hal ini bertentangan dengan penyelesaian sistem tunggal. Jadi, haruslah
sistem memliki takhingga banyaknya penyelesaian.
Pembahasan pada bagian A dan B dalam bab ini ditekankan pada sistem
persamaan
dengan
dengan elemen-elemen pada setiap
kolomnya tidak semuanya sama dengan
dan
. Berikut ini diberikan
penyelesaian sistem persamaan untuk kasus-kasus lain.
Andaikan terdapat
setiap
*
+ dan
*
+ sedemikian sehingga
maka berlaku hal-hal berikut
untuk
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
1. Jika elemen-elemen pada setiap baris matriks
dengan
maka
untuk sebarang
fakta bahwa elemen netral
41
tidak semuanya sama
. Hal ini berangkat dari
merupakan elemen penyerap terhadap operasi
.
2. Jika terdapat baris pada matriks
dengan semua elemennya sama dengan
maka sistem tidak memiliki penyelesaian. Hal ini ditunjukkan sebagai
berikut. Andaikan baris tersebut adalah baris ke-
. Persamaan ke-
berbentuk
(
)
*
+
Mengingat untuk setiap
maka (
)
berlaku
. Dengan kata lain, persamaan baris ke-
tidak
terpenuhi. Jadi, sistem tidak memiliki penyelesaian.
Berikut diberikan contoh-contoh untuk mengilustrasikan dua hal di atas.
Contoh 3.10
Diberikan sistem persamaan linear
[
]
[ ]
[ ]
Sistem persamaan ini ekuivalen dengan
{
{
atau {
sehingga diperoleh
atau {
.
(
(
)
)
atau
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
Jadi, semua vektor
,
yang berbentuk
42
- merupakan penyelesaian sistem
di atas.
Contoh 3.11
Diberikan sistem persamaan linear
[
]
[ ]
[ ]
Sistem persamaan ini ekuivalen dengan
{
atau {
Karena
atau {
maka persamaan baris kedua tidak terpenuhi. Jadi, sistem
persamaan di atas tidak memiliki penyelesaian.
Selanjutnya, andaikan terdapat
*
untuk setiap
sehingga
+ sedemikian sehingga
+ dan terdapat
*
+ sedemikian
maka berlaku hal-hal berikut
1. Jika elemen-elemen pada baris kedengan
*
matriks
tidak semuanya sama
maka sistem tidak memiliki penyelesaian. Hal ini ditunjukkan
sebagai berikut. Karena elemen-elemen pada baris kesama dengan
maka terdapat
*
+ sedemikian sehingga
Agar persamaan ke-
terpenuhi maka haruslah
karena terdapat
*
persamaan ke-
tidak semuanya
.
. Namun demikian,
+ sedemikian sehingga
maka
tidak terpenuhi. Jadi, sistem tidak memiliki penyelesaian.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
2. Jika elemen-elemen pada baris kemaka
matriks
untuk sebarang
43
semuanya sama dengan
. Hal ini berangkat dari fakta bahwa
elemen netral merupakan elemen penyerap terhadap operasi
.
Berikut diberikan contoh-contoh untuk mengilustrasikan dua hal di atas.
Contoh 3.12
Diberikan sistem persamaan linear
[
]
[ ]
[ ]
Sistem persamaan ini ekuivalen dengan
{
atau {
atau {
Agar persamaan baris kedua terpenuhi maka haruslah
jika
(
(
)
)
. Namun demikian,
maka persamaan baris pertama tidak terpenuhi sebab
.
Jadi, sistem di atas tidak memiliki penyelesaian.
Contoh 3.13
Diberikan sistem persamaan linear
[
]
[ ]
[ ]
Sistem persamaan ini ekuivalen dengan
{
Jadi, semua vektor
di atas.
atau {
yang berbentuk
atau
,
atau
- merupakan penyelesaian sistem
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
44
Kasus selanjutnya adalah andaikan elemen-elemen pada setiap kolom
matriks
tidak semuanya sama dengan
sedemikian sehingga
. Jika
sebagai berikut. Persamaan keharuslah
dan terdapat
maka
berbentuk
*
+
. Hal ini ditunjukkan
. Karena
maka
.
Contoh 3.13
Diberikan sistem persamaan linear
[
]
[ ]
[ ]
Sistem persamaan ini ekuivalen dengan
{
atau {
Agar persamaan baris kedua terpenuhi maka haruslah
Jadi,
,
. Akibatnya,
.
- merupakan penyelesaian sistem di atas.
C. Penyelesaian Sistem Persamaan
dengan Program MATLAB
Bila sistem memuat banyak persamaan, dalam hal ini ukuran matriks
sangat besar maka perhitungan manual dirasa kurang efektif untuk menentukan
penyelesaian sistem persamaan linear
. Untuk itu, perlu dibuat program
komputer untuk memudahkan perhitungan. Bahasa program yang akan digunakan
adalah bahasa pemograman komputer MATLAB. Program ini akan menampilkan
penyelesaian sistem persamaan linear . Program secara lengkap diberikan sebagai
berikut dengan nama file solsislinmax.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
% Program Matlab Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Ax = b
% Input: A = matriks max-plus Amxn
%
b = vektor mx1
% Output: Menampilkan penyelesaian sistem
function x = solsislinmax
% Memasukkan matriks A dan b
A = input('Masukkan matriks A(mxn) = ');
disp('
')
b = input('Masukkan matriks b(mx1) = ');
disp('
')
[m,n]= size (A);
[p,q]= size (b);
if m == p & q == 1
A1=zeros(1,n);
for j = 1:n
if A(:,j)== -inf
A1(j)=0;
else
A1(j)=1;
end;
end;
Sum1 = sum(A1);
b1=zeros(m,1);
for i = 1:m
if b(i)== -inf
b1(i)=0;
else
b1(i)=1;
end;
end;
Sum2 = sum(b1);
if Sum1 == n & Sum2 == m
for i = 1:m
for j = 1:n
D(i,j)= -b(i)+ A(i,j);
end;
end;
xj = max(D);
xc = -xj';
R = zeros(m,n);
for j = 1:n
for i = 1:m
if D(i,j)== xj(j)
R(i,j) = 1;
else
R(i,j) = 0;
end;
end;
end;
45
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
46
c = zeros(m,1);
for i = 1:m
if R(i,:)== 0
c(i)= 0;
else
c(i)= 1;
end
end;
Sum3 = sum(c);
if Sum3 < m
x = '{}';
else
x = xc;
end
%Menampilkan Penyelesaian Sistem
disp('Matriks A = '),disp(A)
disp('Matriks b = '),disp(b)
disp('Matriks D = '),disp(D)
disp('Matriks R = '),disp(R)
disp('Penyelesaian sistem adalah '), disp('x = ')
disp(x)
else
disp('Elemen-elemen tiap kolom matriks A tidak
semuanya -inf dan elemen-elemen matriks b semuanya
berhingga')
end;
% Peringatan sistem persamaan tidak dapat diselesaikan
else
disp('Ordo matriks A dan b tidak sesuai')
end;
Berikut ini diberikan hasil eksekusi untuk beberapa contoh soal yang telah
diberikan pada bagian sebelumnya
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
Contoh 3.2
Masukkan matriks A(mxn) = [1 6 11; 4 1 2; 8 -1 0; 10 5 12]
Masukkan matriks b(mx1) = [12; 5; 8; 13]
Matriks A =
1
6
11
4
1
2
8
-1
0
10
5
12
-11
-6
-1
-1
-4
-3
0
-9
-8
-3
-8
-1
Matriks b =
12
5
8
13
Matriks D =
Matriks R =
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
Penyelesaian sistem adalah
x =
0
4
1
47
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
Contoh 3.4
Masukkan matriks A(mxn) = [1 6 11; 4 1 2; 8 -1 0; 10 5 12]
Masukkan matriks b(mx1) = [14; 6; 8; 13]
Matriks A =
1
6
11
4
1
2
8
-1
0
10
5
12
-13
-8
-3
-2
-5
-4
0
-9
-8
-3
-8
-1
Matriks b =
14
6
8
13
Matriks D =
Matriks R =
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
Penyelesaian sistem adalah
x =
{}
48
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
Contoh 3.9
Masukkan matriks A(mxn) = [1 6 11;4 1 2;8 -1 0;10 5 12]
Masukkan matriks b(mx1) = [14;5;3;15]
Matriks A =
1
6
4
1
8
-1
10
5
11
2
0
12
Matriks b =
14
5
3
15
Matriks D =
-13
-8
-1
-4
5
-4
-5
-10
-3
-3
-3
-3
Matriks R =
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
Penyelesaian sistem adalah
x =
-5
4
3
49
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
BAB IV
APLIKASI SISTEM PERSAMAAN LINEAR ALJABAR MAX-PLUS
DALAM MASALAH RAMP HANDLING PESAWAT
A. Ramp Handling
Ramp handling merupakan kegiatan penanganan pesawat yang dilakukan di
ramp area atau apron yakni suatu pelataran yang ada di bandara, saat jeda waktu
antara pesawat block-on (yakni saat ganjalan pesawat dipasang dan pesawat dalam
posisi berhenti) hingga pesawat block-off (yakni saat ganjalan dilepas dan pesawat
bersiap menuju landasan pacu). Waktu antara pesawat block-on dan pesawat
block-off ini dikenal dengan istilah ground time. Keberlangsungan kegiatan ramp
handling berada dalam pengawasan dari satuan unit khusus yang dikenal dengan
istilah ramp dispatcher. Setiap petugas ramp dispatcher bertanggung jawab untuk
mengawasi dan mengkoordinasi segala aktivitas ramp berkaitan dengan
keberangkatan ataupun kedatangan pesawat. Secara umum, aktivitas-aktivitas
yang dilakukan dalam ramp handling adalah sebagai berikut
1. Maintenance merupakan
kegiatan
pemeriksaan/pemeliharaan kondisi
pesawat, termasuk kebersihan tempat duduk dan pantry.
2. Fueling/Refueling merupakan kegiatan pengisian bahan bakar pesawat.
3. Loading/Unloading berkaitan pelaksanaan bongkar muat barang/bagasi.
4. Aircraft Cleaning berkaitan dengan kegiatan membersihkan kabin pesawat
dan kamar kecil.
50
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
51
5. Catering berkaitan dengan penyediaan konsumsi bagi para penumpang
selama penerbangan.
Menurut Widadi (2001), penanganan pesawat di bandara dibedakan atas dua
cara yakni turnaround arrangement dan transit arrangement. Turnaround
arrangement adalah penanganan bagi pesawat yang mendarat di kota tujuan akhir
(destination) sedangkan transit arrangement adalah penanganan bagi pesawat
yang mendarat di kota persinggahan atau transit. Penanganan pesawat ini
dilakukan pada tempo waktu yang sudah ditentukan yakni sesuai dengan ground
time agar sesuai dengan jadwal penerbangan (departure time).
Lebih lanjut, Widadi menambahkan penanganan pesawat di bandara udara,
baik turnaround arrangement maupun transit arrangement menganut sistem yang
sama. Perbedaannya terletak pada lama waktu penanganannya. Penanganan
transit arrangement biasanya lebih pendek dibanding turnaround arrangement.
Hal ini disebabkan karena pada transit arrangement terdapat perbedaan dalam
hal-hal tertentu, yaitu:
1. Kabin tidak dibersihkan seluruhnya.
2. Awak pesawat (crew) biasanya tidak diganti.
3. Penumpang transit tidak turun ke ruang transit.
4. Kadangkala konsumsi untuk penumpang sudah tersedia di dalam pesawat,
kecuali jika ada penambahan penumpang pada saat-saat terakhir.
Prosedur penanganan pesawat di bandara udara antara satu jenis pesawat
dengan jenis pesawat yang lain tidak sama. Hal ini tergantung tipe pesawat,
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
52
kondisi pesawat, jarak yang akan ditempuh pesawat, serta banyaknya penumpang.
Namun, secara umum lama ground time untuk keperluan turnaround arrangement
adalah 40 menit sampai 1 jam sedangkan untuk transit arrangement memerlukan
minimal 25 menit untuk penerbangan domestik dan sekitar 1 jam untuk
penerbangan internasional (Bazargan, 2004).
B. Aplikasi Sistem Persamaan
dalam Masalah Ramp Handling
Berdasarkan penjelasan di atas nampak bahwa kegiatan ramp handling
merupakan salah satu masalah sinkronisasi yang merupakan salah satu
karakteristik DES. Dalam masalah sinkronisasi, kejadian-kejadian (events) terjadi
secara simultan dan harus selesai pada batas waktu yang ditentukan (deadline).
Rangkaian kegiatan ramp handling dilakukan secara simultan dan harus selesai
pada waktu yang ditentukan sehingga ketepatan jadwal tercapai.
Misalkan di suatu bandara terdapat tiga pesawat yakni pesawat A, B dan C
telah tiba di gate-nya masing-masing. Pesawat-pesawat tersebut membutuhkan
penanganan sebelum penerbangan berikutnya. Penanganan yang dibutuhkan
berupa refueling, maintenance, food service dan luggage service. Masing-masing
pesawat membutuhkan waktu yang berbeda untuk refueling dan food service
(terkait dengan jarak tempuh penerbangan selanjutnya), maintenance (tergantung
apakah ada masalah dalam penerbangan selanjutnya atau tergantung pada usia
pesawat terbang tersebut), dan luggage service (berkaitan dengan jarak tempuh
dan banyaknya penumpang). Ketiga pesawat tersebut akan ditangani sekaligus
dengan asumsi bahwa tim yang bertugas memadai dan peralatan yang dibutuhkan
pun memadai. Berikut ini diberikan matriks yang berisi waktu yang diperlukan
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
53
untuk penanganan pesawat per kegiatan penanganan (waktu kegiatan dalam
menit).
Gate 1
Gate 2
[
]
Gate 3
Contoh 4.1
Ketiga pesawat memiliki ground time berturut-turut
,
menit. Akan dicari waktu mulai paling lambat untuk kegiatan
,
,
,
, dan
sedemikian sehingga kegiatan terakhir sudah selesai pada waktu keberangkatan
pesawat. Masalah ini dapat diformulasikan dalam bentuk sistem persamaan
aljabar max-plus sebagai berikut.
[
]
[ ]
[
]
Dalam hal ini kita akan mencari vektor . Hasil eksekusi program MATLAB untuk
sistem ini diberikan sebagai berikut
Masukkan matriks A(mxn) = [25 10 35 15;15 45 15 20;25 15 20 15]
Masukkan matriks b(mx1) = [45;50;55]
Matriks A =
25
10
15
45
25
15
Matriks b =
45
50
55
35
15
20
15
20
15
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
Matriks D =
-20
-35
-35
-5
-30
-40
-10
-35
-35
-30
-30
-40
Matriks R =
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
54
Penyelesaian sistem adalah
t =
{}
Berdasarkan matriks
penyelesaian. Vektor
dan teorema 3.B.1 maka sistem tidak memiliki
,
- bukan merupakan penyelesaian sebab
[
Meskipun
]
[
]
[
]
[
]
bukan merupakan penyelesaian yang tepat untuk sistem
persamaan di atas, bukan berarti pesawat akan mengalami delay. Akan tetapi,
tidak terpenuhinya persamaan ketiga disebabkan karena penanganan pesawat di
gate 3 selesai lebih awal. Penyelesaian seperti ini disebut sebagai penyelesaian
tak ideal.
Contoh 4.2
Bagian Departure Control memutuskan untuk menjadwal ulang waktu lepas
landas (take-off) dari ketiga pesawat karena pesawat di gate 1 dan 2 membutuhkan
waktu penanganan yang lebih panjang. Ground time ketiga pesawat secara
berturut-turut dalam
berbentuk
,
,
menit. Sistem persamaaannya
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
[
]
[ ]
[
55
]
Hasil eksekusi program MATLAB untuk sistem ini diberikan sebagai berikut
Masukkan matriks A(mxn) = [25 10 35 15;15 45 15 20;25 15 20 15]
Masukkan matriks b(mx1) = [50;55;45]
Matriks A =
25
10
15
45
25
15
35
15
20
15
20
15
Matriks D =
-25
-40
-40
-10
-20
-30
-15
-40
-25
-35
-35
-30
Matriks R =
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
1
Matriks b =
50
55
45
Penyelesaian sistem adalah
t =
20
10
15
30
Berdasarkan matriks
dan berdasarkan teorema 3.B.2 maka sistem
memiliki takhingga banyak penyelesaian dan merupakan salah satu penyelesaian
sistem. Semua vektot
yang berbentuk
,
- dengan
dan
juga merupakan penyelesaian sistem. Dalam hal ini, waktu mulai paling
lambat untuk kegiatan perawatan dan layanan makanan sudah pasti dan tidak
dapat diubah. Sedangkan waktu mulai untuk kegiatan pengisian bahan bakar dan
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
56
layanan bagasi bisa lebih awal tanpa mempengaruhi penyelesaian. Kehadiran
lebih dari satu elemen 1 pada baris ketiga matriks
mengindikasi bahwa kegiatan
pengisisan bahan bakar dan layanan bagasi selesai dalam waktu bersamaan.
Contoh-contoh yang diberikan di atas mengikuti contoh dalam tesis Maria
Andersen (2002). Penanganan pesawat hanya dibatasi pada empat kegiatan yakni
pengisian bahan bakar, perawatan, layanan makanan, dan layanan bagasi. Berikut
diberikan contoh rangkaian kegiatan ramp handling secara lebih rinci.
Contoh 4.3
Terdapat tiga pesawat yakni pesawat model 767-200, 767-200ER dan 767-300
yang tiba di gatenya masing-masing dan memerlukan penanganan turnaround
sebelum penerbangan selanjutnya. Lama ground time ketiga pesawat secara
berturut-turut
,
,
menit. Akan dicari waktu mulai paling
lambat untuk setiap kegiatan penanganan sedemikian sehingga kegiatan terakhir
sudah selesai pada waktu keberangkatan pesawat. Diasumsikan bahwa tim
bertugas dalam kegiatan penanganan memadai. Tabel kegiatan ramp handling
ketiga pesawat diberikan sebagai berikut.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
57
Tabel 3: Kegiatan ramp handling
Waktu yang
Waktu yang
Diperlukan
Diperlukan
Pesawat 767-
Pesawat
200ER
767-300
(menit)
(menit)
26
31
36
Waktu yang
No
Nama Kegiatan
Diperlukan
Pesawat 767200 (menit)
Unloading & loading
1
bulk compartment
2
Fuel airplane
18
30
18
3
Service toilet
12
12
12
4
Service potable water
7
7
10
5
Service galleys
21
21
26
6
Service cabin
13,5
18,5
14,5
10
10
14
12
6
16
Loading AFT
7
compartment
Loading FWD
8
compartment
Berdasarkan tabel di atas, maka dapat dibentuk sistem persamaaan
sebagai berikut
[
]
[
[ ]
]
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
Penyelesaian sistem ini dapat dicari dengan menggunakan program yang telah dibuat sebelumnya dengan sedikit modifikasi. Hasil
eksekusi program diberikan sebagai berikut:
Masukkan matriks A(mxn) = [26 18 12 7 21 13.5 10 12;31 30 12 7 21 18.5 10 6;36 18 12 10 26 14.5 14 16]
Masukkan matriks b(mx1) = [40;40;45]
Matriks A =
26.0000
31.0000
36.0000
18.0000
30.0000
18.0000
12.0000
12.0000
12.0000
7.0000
7.0000
10.0000
21.0000
21.0000
26.0000
13.5000
18.5000
14.5000
10.0000
10.0000
14.0000
12.0000
6.0000
16.0000
Matriks D =
-14.0000 -22.0000
-9.0000 -10.0000
-9.0000 -27.0000
-28.0000
-28.0000
-33.0000
-33.0000
-33.0000
-35.0000
-19.0000
-19.0000
-19.0000
-26.5000
-21.5000
-30.5000
-30.0000
-30.0000
-31.0000
-28.0000
-34.0000
-29.0000
Matriks b =
40
40
45
Matriks R =
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
58
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
Penyelesaian sistem adalah
t =
9.0000
10.0000
28.0000
33.0000
19.0000
21.5000
30.0000
28.0000
Kolom-kolom matrks
menyatakan jenis kegiatan ramp handling berturut dari nomor 1 sampai 9. Dalam hal ini, akan
ditentukan waktu mulai paling lambat untuk setiap jenis kegiatan. Berdasarkan matriks
dan berdasarkan teorema 3.B.2 maka sistem
memiliki takhingga banyak penyelesaian dan t merupakan salah satu penyelesaian sistem persamaan
terdapat elemen peubah tetap pada matriks
,
-
dengan
,
maka semua elemen vektor
,
,
,
di atas. Karena tidak
berupa variabel bebas. Semua vektor
,
penyelesaian sistem. Kehadiran lebih dari satu elemen 1 pada tiap baris matriks
,
, dan
yang berbentuk
juga merupakan
mengindikasi bahwa kegiatan yang bersesuaian
dengan kolom di mana elemen-elemen bernilai 1 itu ada selesai dalam waktu bersamaan. Namun demikian, karena kegiatan loading
dilakukan
,
setelah
kegiatan
unloading
selesai
maka
dipilih
dan
.
Penyelesaian
sistem
menjadi
- .
59
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
BAB V
PENUTUP
A. Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan-pembahasan sebelumnya, maka dapat diambil
kesimpulan sebagai berikut
1. Sub-penyelesaian terbesar
memenuhi sistem
merupakan vektor terbesar yang
. Diberikan matriks
dengan
elemen-elemen pada setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan
dan
. Sub-penyelesaian terbesar merupakan calon penyelesaian sistem
persamaaan
dengan
(
untuk setiap
*
)
+ dan
*
+.
2. Serupa dalam aljabar biasa, sistem persamaan
dalam aljabar
max-plus dapat mempunyai penyelesaian dan dapat pula tidak mempunyai
penyelesaian. Diberikan matriks
dengan elemen-elemen pada
setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan
persamaan
dalam matriks
dan
tidak mempunyai penyelesaian bila terdapat baris nol
dan mempunyai penyelesaian bila terdapat paling tidak
satu elemen 1 pada tiap baris dalam matriks
adalah
. Sistem
. Sistem persamaan
dan penyelesaiannya
mempunyai satu penyelesaian bila
terdapat elemen peubah tetap pada setiap baris matriks
60
dan mempunyai
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
61
takhingga banyak penyelesaian bila terdapat elemen slack dalam matriks
.
3. Sistem persamaan
dalam aljabar max-plus dapat diterapkan
dalam masalah ramp handling pesawat di bandara yakni untuk menentukan
waktu mulai paling lambat untuk setiap aktivitas ramp handling sehingga
semua aktivitas tersebut telah selesai pada waktu keberangkatan pesawat.
B. Saran
Adapun saran-saran yang dapat penulis berikan bagi penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1. Sistem persamaan linear yang dibahas dalam penelitian ini hanya terbatas
pada semiring aljabar max-plus. Penelitian selanjutnya dapat mengkaji
sistem persamaan linear atas semiring aljabar min-plus.
2. Aplikasi sistem persamaan
dalam penelitian ini dibatasi pada
masalah ramp handling pesawat di bandara. Penelitian selanjutnya dapat
mengkaji aplikasi lain dalam aktivitas bandara seperti penjadwalan
penerbangan pesawat.
3. Program MATLAB yang telah dibuat baru sebatas menampilkan eksistensi
penyelesaian. Penelitian selanjutnya dapat menambahkan ketunggalan
penyelesaian sistem.
4. Penelitian ini hanya mengkaji sistem persamaan berbentuk
atas
aljabar max-plus. Peneltian selanjutnya dapat mengkaji sistem persamaan
dalam bentuk lain seperti
.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
DAFTAR PUSTAKA
Andersen, Maria H. 2002. Max-Plus Algebra: Properties and Applications.
Master of Science in Mathematics‟ Thesis. Laramie, WY .
Bazargan, Massoud. 2004. Airline Operations and Scheduling. Asghate
Publishing Company: USA.
Butkovič, Peter. 2010. Max Linear System: Theory and Algorithm.London:
Springer.
Farlow, Kasie G. 2009. Max-Plus Algebra. Master‟s thesis Virginia Polytechnic
Institute and State University. Virginia: Virginia Polytechnic Institute and
State University.
Rudhito, M. Andy. 2003. Sistem Linear Max-Plus Waktu Invariant. Tesis.
Yogyakarta: Universitas Gajah Mada.
Subiono. 2013. Aljabar Max-Plus dan Terapannya. Surabaya: Institut Teknologi
Sepuluh November.
Suwarno, FX Widadi A. 2001. Tata Operasi Darat. Jakarta: PT Gramedia
Widiasarana Indonesia.
http://www.boeingfrontiers.com/assets/pdf/commercial/airports/acaps/767sec5.pd
f diakses pada tanggal 20 Mei 2015.
62