Cx x x C u u u duu u u duu u u du u u xdx x x x dx du x u xdx x x xdx

BAB VII. TEKNIK PENGINTEGRALAN
7.1. SUBSTITUSI
7.2. INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
7.3. SUBSTITUSI YANG MERASIONALKAN
7.4. PENGINTEGRALAN PARSIAL
7.5. PENGINTEGRALAN FUNGSI RASIONAL
¾ Daftar pendek integral yang sudah diketahui:
1)
∫
x r +1
+ C, bila r ≠ −1
x dx =
r +1
r
2)
∫ e dx = e + C
5) ∫ sin xdx = − cos x + C
7) ∫ tan xdx = ln cos x + C
9 ) ∫ sec xdx = tan x + C
11) ∫ sec x tan xdx = sec x + C
dx
13) ∫
= sin x + C = − cos
1-x
x
3)
x
2
−1
2
15)
∫
17)
∫
dx
= cosh−1 x + C
x −1
dx
−1
=
tanh
x+C
2
1− x
2
−1
∫
dx
= ln x + C
x
ax
+ C, a ≠ 1, a > 0
a dx =
ln a
∫
6) ∫ cos xdx = sin x + C
8) ∫ cot xdx = ln sin x + C
10) ∫ cosec xdx = − cot x + C
12) ∫ cosecxcot xdx = − cosecx + C
dx
= sinh x + C
x + C 14) ∫
1+ x
4)
x
2
−1
2
16)
∫ 1+ x
18)
∫x
dx
2
= tan−1 x + C
dx
x2 −1
= sec−1 x + C
7.1. TEKNIK SUBSTITUSI
∫ f ( g ( x)) g ′( x)dx = ∫ f (u)du = F (u) + C = F ( g ( x)) + C,
bila u = g ( x), du = g ′( x)dx, dan F ′(u ) = f (u )
Contoh-contoh:
INTEGRAL
1)
∫ cos
2)
∫
3)
∫
SUBSTITUSI
5x
2
(x2 )
3
5 − 9x2
6e
1
dx
u = x2
dx
u=
x
u=
dx
x2
ex
∫ 4 + 9e
5) ∫ x x + 11 dx
4)
2x
3
4
a tan x
6)
∫ cos
7)
∫x
2
dx
2
x
7
dx
x2 − x
dx
x +1
∫
9) ∫ sec xdx
8)
x2
1
x
u = ex
u = x 4 + 11
u = tan x
dx
− 6 x + 25
9
5
u = x − 3, v =
u = x +1
u = sec x + tan x
5
10)
∫
2
x x 2 − 4 dx
u
4
u = x2 − 4
7.2. INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
1)
∫
sin n ( x ) dx = ?
Bila n ganjil maka n = 2 m + 1, m = 1, 2 ,3 ..., sehingga
∫
∫
= ∫ (sin
∫
sin n ( x ) dx = sin 2 m +1 ( x ) dx = sin 2 m ( x ) sin( x ) dx
2
( x)
)
m
sin( x ) dx =
∫ (1 − cos
2
( x)
)
m
sin( x ) dx
misalkan u = cos x maka du = − sin xdx , sehingga
∫ (1 − cos
2
( x)
)
m
sin( x ) dx = −
∫ (1 − u )
2 m
du
Bila n genap maka n = 2 m , m bilangan bulat, sehingga
∫
sin 2 m ( x ) dx =
∫ (sin
2
( x)
)
m
m
⎛ 1 − cos 2 x ⎞
dx = ⎜
⎟ dx
2
⎝
⎠
∫
Cara yang sama juga berlaku untuk cosinus.
2)
∫
sin m ( x ) cos n ( x ) dx = ?
Bila n ganjil yaitu n = 2 k + 1, k = 1, 2 ,3,...
Simpan satu faktor cosinus dan gunakan cos 2 x = 1 − sin 2 x
sehingga faktor yang tersisa adalah sinus, kemudian
gunakan substitusi u = sin x
Demikian pula bila m ganjil.
Bila m dan n genap gunakan rumus sudut ganda
1 − cos 2 x
1 + cos 2 x
2
2
sin x =
atau cos x =
2
2
atau sin 2 x = 2 sin x cos x
Contoh-contoh:
1)
∫
∫
∫
sin 5 ( x ) dx = sin 4 x sin xdx = (1 − cos 2 x ) 2 sin xdx
Misalkan u = cos x maka du = − sin xdx , sehingga
∫
∫
− (1 − u 2 ) 2 du = − 1 − 2u 2 + u 4 du
= −(u − 23 u 3 + 15 u 5 ) = − cos x + 23 cos 3 x − 15 cos 5 x + C
2)
∫
cos 4 ( x ) dx =
=
=
=
2
⎛ 1 + cos 2 x ⎞
(cos 2 x ) 2 dx = ⎜
⎟ dx
2
⎝
⎠
1
1 + 2 cos 2 x + cos 2 2 x dx
4
1 ⎛
1 + cos 4 x ⎞
x
1
2
cos
2
+
+
⎟ dx
⎜
4 ⎝
2
⎠
1 ⎛3
cos 4 x ⎞
⎟ dx
⎜ + 2 cos 2 x +
4 ⎝2
2 ⎠
∫
∫
∫(
)
∫
∫
1⎛3
cos 4 x ⎞
⎟
⎜ x + sin 2 x +
4⎝2
8 ⎠
3
1
cos 4 x
= x + sin 2 x +
+C
8
4
32
=
Cara lain: dengan integral parsial
2)
∫
∫
∫
cos 4 ( x ) dx = cos 3 x cos xdx = cos 3 xd sin x
∫ ( )
x sin x + ∫ sin x.3(cos x )sin xdx
x sin x + 3∫ sin x cos xdx
x sin x + ∫ sin 2 xdx
x sin x + ∫ (1 − cos 4 x )dx
= cos 3 x sin x − sin xd cos 3 x
= cos 3
= cos 3
= cos 3
= cos 3
2
2
3
2
2
2
3
4
= cos 3 x sin x + 34 x − 163 sin 4 x + C
3)
∫
∫
= ∫ sin
sin 4 ( x ) cos 5 ( x ) dx = sin 4 ( x ) cos 4 ( x ) cos xdx
4
( x )(1 − sin 2 x ) 2 cos xdx
Misalkan u = sin x maka du = cos x dx , sehingga
∫
∫
= ∫u
= ∫u
sin 4 ( x )(1 − sin 2 x ) 2 cos xdx = u 4 (1 − u 2 ) 2 du
4
(1 − 2u 2 + u 4 ) du
4
− 2u 6 + u 8 ) du
= 15 u 5 − 72 u 7 + 19 u 9 + C
= 15 sin 5 x − 72 sin 7 x + 19 sin 9 x + C
7.3. SUBSTITUSI YANG MERASIONALKAN
¾ Kasus 1 :Integran memuat bentuk
n
ax + b
Penanganan: lakukan substitusi
u = n ax + b
u = ax + b
atau
Contoh:
x 2 + 3x
∫ x + 4 dx
3) ∫ x(1 − x) dx
1)
2
3
∫
4) ∫ x
t
2)
dt
t +1
3
x + π dx
¾ Kasus 2 :Integran memuat bentuk
a 2 − x 2 , a 2 + x 2 , atau x 2 − a 2
Bentuk
Substitusi
a2 − x2
x = a sin u
a2 + x2
x = a tan u
x2 − a2
x = a sec u
Contoh:
1)
∫
3
3)
∫
2
x2
16 − x
2
x2 −1
x
3
dx
2)
∫ (t
dt
2
+ 4)
3
2
dx
7.4. PENGINTEGRALAN PARSIAL
Teknik ini biasanya digunakan untuk menyelesaikan integral
dari perkalian fungsi.
Ingat kembali bahwa
d
(u ( x)v( x) ) = du ( x) v( x) + u ( x) dv( x)
dx
dx
dx
sehingga
u ( x)
dv( x) d
du ( x)
= (u ( x)v( x) ) − v( x)
.
dx
dx
dx
Bila kedua ruas dikalikan dengan dx maka
u ( x)dv( x) = d (u ( x)v( x) ) − v( x)du ( x).
Bila kedua ruas diintegralkan maka
∫ u ( x ) dv ( x ) = ∫ d (u ( x ) v ( x ) ) − ∫ v ( x ) du ( x )
atau
∫ udv = uv − ∫ vdu
Contoh :
x
1)
dx
x +1
∫
2) ∫ xe dx
3) ∫ x ln xdx
4) ∫ sin ( x ) dx
5) ∫ ln(1 + x ) dx
6) ∫ x cos xdx
7) ∫ x e dx
8) ∫ x ln xdx
9) ∫ x sec xdx
10) ∫ cos x ln(sin x ) dx
x
2
−1
2
3 x2
2
Agar terampil mengintegralkan diperlukan
1. Mata jeli
2. Feeling
3. LATIHAN
7.5. PENGINTEGRALAN FUNGSI RASIONAL
Bentuk umum fungsi rasional:
2
n
f ( x) a 0 + a1 x + a2 x + K + an x
y=
=
g ( x) b0 + b1 x + b2 x 2 + K + bm x m
Bentuk umum integral fungsi rasional:
∫
f ( x)
dx =
g ( x)
∫
a 0 + a1 x + a2 x 2 + K + an x n
b0 + b1 x + b2 x + K + bm x
2
m
dx
Langkah-langkah penyelesaian:
1. Jika n ≥ m , bagilah f(x) dengan g(x), sehingga diperoleh
a 0 + a1 x + a2 x 2 + K + an x n
b0 + b1 x + b2 x 2 + K + bm x m
= Q( x) +
R( x)
g ( x)
2. Uraikan g(x) menjadi hasil kali faktor-faktor linier dan
kuadrat yang tak terfaktorkan lagi.
3. Untuk tiap faktor yang berbentuk (ax
kanlah menjadi
+ b)k, dekomposisi-
Ak
A1
A2
+
+
K
+
ax + b (ax + b) 2
(ax + b) k
4. Untuk tiap faktor yang berbentuk (ax2
dekomposisikanlah menjadi
B1 x + C1
ax + bx + c
2
+
B2 x + C2
(ax + bx + c)
2
2
+K+
+ bx+c)j,
Bjx + C j
(ax 2 + bx + c) j
5. Tentukan A1 ,K, Ak , B1 ,K, B j , C1 ,K, C j , lalu selesaikan
integralnya.
Contoh :
1)
2)
3)
4)
5)
∫
∫
∫
∫
∫
x5 + 2 x3 − x + 1
x + 5x
3
2
x + 3x
2
dx
5x
2x + 6x
3
2
dx
2 x 2 − x − 20
x + x−6
2
5x + 7
x + 4x + 4
2
dx
dx
dx