Ukuran Pemusatan

Ukuran Pemusatan
dan
Ukuran Penyebaran
Tujuan Pembelajaran :
1. Memahami dan mengerti tentang ukuran pemusatan
2. Mampu mencari nilai Rata-rata hitung, Median, Modus,
Kuartil Desil dan Persentil pada data yang tidak
dikelompokkan dan pada data yang dikelompokkan
3. Memahami plus minusnya ukuran pemusatan : rata-rata
hitung, median dan modus
4. Memahami dan mengerti tentang ukuran penyebaran
5. Dapat menghitung Deviasi standar pada data populasi
maupun pada data sampel
6. Memahami penggunaan Koefisien Variasi
1
Ukuran Pemusatan
Ukuran Pemusatan menunjukkan di mana suatu data
memusat atau suatu kumpulan pengamatan memusat
(mengelompok)
Pada umumnya data akan memusat pada nilai-nilai :
Rata-rata hitung, Median dan Modus
Rata-rata hitung
Jumlah semua nilai data
Rata-rata hitung = -----------------------------------Banyaknya data
2
Ukuran Pemusatan
Rata-rata hitung
Pada data yang tidak dikelompokkan
n
X 
contoh :
X
i 1
i
n
5 8 4 7 9
_
5+8+4+7+9
X = ----------------------- = 6,6
5
3
Rata-rata hitung
Ukuran Pemusatan
Tabel 1
Kelas
Batas Kelas
ttk tengah
f
x.f
1
2
3
4
5
6
7
20 – 29
30 – 39
40 – 49
50 – 59
60 – 69
70 – 79
80 - 89
24,5
34,5
44,5
54,5
64,5
74,5
84,5
4
7
8
12
9
8
2
98
241,5
356
654
580,5
596
169
50
2695
4
Ukuran Pemusatan
Untuk data yang dikelompokkan
Rata-rata hitung :
X
x. f


f
_
X = 2695 / 50 = 53,9
5
Median
Ukuran Pemusatan
Median adalah nilai yang berada di tengah, yang
membagi dua jumlah data sama banyak
(setelah data diurut).
Pada data yang tidak dikelompokkan
1. Data diurut dari nilai kecil ke besar
2. Tentukan posisi median = (n+1)/2
3. Tentukan nilai median
Contoh : data : 9 5 7 8 4 5
1. Sort data : 4 5 5 7 8 9
2. Posisi median = (6+1)/2 = 3,5
3. Nilai median pada posisi 3,5 adalah 6
6
Median
Ukuran Pemusatan
Pada data yang dikelompokkan
 (n / 2)  F 
.i
Md  B  
fm


Md : Nilai Median
B : Tepi batas bawah kelas median
F : frekuensi kumulatif sebelum kelas median
fm : frekuensi pada kelas median
i : interval kelas median
Contoh : Lihat tabel blkng cara penghitungan md
Md = 49,5 + [( 25 – 19) / 12] x 10
Md = 54,5
7
Cara penghitungan median
kelas
1
2
3
4
5
6
7
Batas kelas
20-29
30-39
40-49
50-59
60-69
70-79
80-89
frek
4
7
8
12
9
8
2
50
frek kum kurang frek x ttk
ttk tngh dr tepi bts bwh tngh
24.5
0
98
34.5
4
241.5
44.5
11
356
54.5
19
654
64.5
31
580.5
74.5
40
596
84.5
48
169
50
26958
Modus
Ukuran Pemusatan
Modus adalah nilai yang paling sering
muncul.
Pada data yang dikelompokkan
 d1 
Mo  B  
.i
 d1  d 2 
Mo = Nilai Modus
B = Tepi Batas Bawah kelas modus
d1= beda frekuensi antara kelas modus dg kelas sebelumnya
d2 = beda frekuensi antara kelas modus dg kelas sesudahnya
i = interval kelas modus
9
Modus
Ukuran Pemusatan
Contoh : Lihat tabel 1
Tentukan kelas modusnya (kelas yg
memiliki frekuensi terbesar) : 50 – 59
d1 = 12 – 8 = 4
d2 = 12 – 9 = 3
Mo = 49,5 + [4 / (4+3)] 10 = 55,21
10
Plus Minus Rata-rata hitung, Median dan Modus
Ukuran
Pemusatan
Kelebihan
1.
Rata-rata hitung
2.
3.
1.
Median
2.
1.
Modus
2.
3.
Kekurangan
Mempertimbangkan
semua nilai
Dapat menggambarkan
mean populasi
Cocok untuk data
homogen (rasio)
1.
Tidak terpengaruh oleh
data ekstrim
Cocok untuk data
heterogen ( nominal)
1.
Tidak terpengaruh oleh
nilai ekstrim
Cocok untuk data
homogen/heterogen
Open ended data
1.
2.
2.
2.
Peka atau mudah
terpengaruh oleh nilai
ekstrim
Kurang baik unutk data
heterogen
Tidak mempertimbangkan
semua nilai
Kurang dapat
menggambarkan mean
populasi
Kurang menggambarkan
mean populasi
Modus bisa lebih dari satu
11
Ukuran Letak
Kuartil : membagi data menjadi 4 bagian sama banyak.
Q1
Q2
Pada data yang tidak dikelompokkan
1. Data diurut (dari kecil ke besar)
2. Tentukan posisi (letak) kuartil = LK
Posisi Qi adalah [i(n+1) / 4]
3. Tentukan nilai kuartil = NK = Qi
Q3
i = 1, 2, 3
NK = NKB + (LK – LKB) x (NKA-NKB)
NKB : Nilai kuartil yg berada di bawah letak kuartil
NKA : Nilai kuartil yg berada di atas letak kuartil
LKB : Letak data yg berada di bawah letak kuartil
12
Kuartil
Ukuran letak
Contoh :
Data : 5 7 3 9 11 9
Tentukan nilai Q1 !
1. Data diurut : 3 5 7 9 9 11
2. Posisi (Letak) Kuartil 1
LK1 = [1(6+1) / 4] = 1,75
3. Nilai kuartil 1 = Q1
Q1 = 5 + (1,75 -1) x (5-3) = 6,5
Latihan : Tentukan Q3 !
13
Kuartil
Ukuran letak
Pada data yang dikelompokkan
1.
2.
Tentukan kelas yg terdapat letak Qi.
Tentukan nilai Qi
 (i / 4)n  F 
.c
Qi  B  
f


i = 1,2,3
Qi = Nilai kuartil ke – i
B = Tepi batas bawah kelas kuartil
n = jumlah frekuensi
F = frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil
f = frekuensi pada kelas kuartil
c = interval kelas kuartil
14
Kuartil
Ukuran letak
Contoh : data dari tabel 1
Tentukan Q3 !
1. Tentukan kelas yg terdapat letak Q3 :
(3/4 x 50) = 37,5 yaitu kelas : 60 - 69
2. Tentukan Nilai Q3 :
Q3 = 59,5 + [ (37,5 – 31)/9 ] x 10 = 66,72
15
Desil
Ukuran letak
Desil : membagi data menjadi 10 bagian sama banyak
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D 9
Cara menecari nilai desil, prinsipnya sama dg cara
mencari nilai kuartil. Bedanya pada menentukan posisi
(letak) desil (LD) yaitu :
Pada data yang tidak dikelompokkan
LD = i (n+1) / 10
i = 1, 2, 3, …., 10
16
Desil
Ukuran letak
Pada data yang dikelompokkan
1.
2.
Tentukan kelas yg terdapat letak Di.
Tentukan nilai Di
 (i / 10)n  F 
.c
Di  B  
f


i = 1,2,3,4,5,6,7,8,9
Di = Nilai desil ke – i
B = Tepi batas bawah kelas desil
n = jumlah frekuensi
F = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil
f = frekuensi pada kelas desil
c = interval kelas desil
17
Persentil
Persentil :
Ukuran letak
membagi data menjadi 100 bagian sama banyak.
P1 P2 P3
P98 P99
Cara menecari nilai persentil, prinsipnya sama dg cara
mencari nilai kuartil. Bedanya pada menentukan posisi
(letak) persentil (LP) yaitu :
Pada data yang tidak dikelompokkan
LP = i (n+1) / 100
i = 1, 2, 3, …., 100
18
Persentil
Ukuran letak
Pada data yang dikelompokkan
1.
2.
Tentukan kelas yg terdapat letak Pi.
Tentukan nilai Pi
 (i / 100)n  F 
.c
Pi  B  
f


i = 1,2,3,4,……,99
Pi = Nilai persentil ke – i
B = Tepi batas bawah kelas persentill
n = jumlah frekuensi
F = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil
f = frekuensi pada kelas persentil
c = interval kelas persentil
19
Ukuran Penyebaran
Ukuran Penyebaran menggambarkan
bagaimana suatu kelompok data menyebar
terhadap pusat data.
Macam-macam ukuran penyebaran :
> Jarak (Range)
Jarak = Nilai terbesar – nilai terkecil
> Deviasi rata-rata (MD)
x

MD 
N
20
Ukuran Penyebran
> Deviasi Standar
Pada data yang tidak dikelompokkan
Untuk data populasi :
Untuk data sampel :

 x   
s
 x  X 
2
N
2
n 1
21
Deviasi Standar
Contoh :
Data populasi : 5 3 7 5 8 2
=5
(5  5)  (3  5)  (7  5)

2
2
2
 (5  5) 2  (8  5) 2  (2  5) 2
6
 = 2,08
Data sampel : 5 3 7 5 8 2
X 5
(5  5) 2  (3  5) 2  (7  5) 2  (5  5) 2  (8  5) 2  (2  5) 2
s
6 1
s = 2,28
22
Deviasi Standar
Pada data yang dikelompokkan
Batas
Kelas
x
f
20 – 29
30 – 39
40 – 49
50 – 59
60 – 69
70 – 79
80 - 89
24,5
34,5
44,5
54,5
64,5
74,5
84,5
2695

 53,9
50
x.f
(x-)²
4
7
8
12
9
8
2
98
241,5
356
654
580,5
596
169
864.36
376.36
88.36
0.36
112.36
424.36
936
50
2695
f.(x-)²
3457.44
2634.52
706.88
4.32
1101.24
3394.88
1872.72
13082
13082

 16,17
50
23
Ukuran Penyebaran Relative
Digunakan untuk membandingkan dua
atau lebih distribusi.
Koefisien Variasi
Untuk data populasi
Untuk data sampel

KV  x100%

s
KV  x100%
X
24
Soal Latihan
Berikut Nilai UTS Statistika Ekonomi 15
mahasiswa D3 FEUI :
45 78 95 65 88 70 55 65 81 90
52 73 65 55 67
Tentukan :
1.  2.  3. Md 4. Mo
6. Q3 7. D6 8. P82
5. KV
25
Soal Latihan
Berikut data Berat badan 50 mhs D3 FEUI
Berat Badan (kg)
Frekuensi
50 – 54
55 – 59
60 – 64
65 – 69
70 – 74
75 - 79
5
9
15
11
6
4
50
Tentukan :
1.  2.  3. Md 4. Mo 5. Q3 6. D7 7. P15
26