diktat kuliah kalkulus peubah banyak

DIKTAT KULIAH
KALKULUS PEUBAH BANYAK
(IE-308)
BAB 3
TURUNAN PARSIAL
Diktat ini digunakan bagi mahasiswa
Jurusan Teknik Industri Fakultas Teknik
Universitas Kristen Maranatha
Ir. Rudy Wawolumaja M.Sc
JURUSAN TEKNIK INDUSTRI - FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS KRISTEN MARANATHA
BANDUNG
2012
Diktat ini disusun berdasarkan “Calculus III” oleh Paul Dawkins, Lamar University dengan penyesuaian berupa penerjemahan, pengurangan
dan penambahan dari sumber-sumber lainnya.
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
BAB 3 TURUNAN PARSIAL
3.1. Limit
Dalam fungsi peubah tunggal, dikatakan :
jika,
Dimana,
Adalah limit sebelah kanan dan nilai x ditinjau hanya untuk nilai x yang lebih besar dari a.
Demikian juga,
Adalah limit sebelah kiri dilihat hanya untuk nilai x yang lebih kecil dari a.
Dengan kata lain kita akan mendapatkan
bila
mendekati L bila x
bergerak menuju
(sangat mendekati namun tidak sampai mencapai
) dari kedua
arah (kiri & kanan).
Untuk fungsi peubah ganda, konsepnya sama, hanya proses pengerjaannya agak lebih
panjang dan rumit. Untuk notasi ditetapkan sbb. :
Misal ingin didapat limit dari fungsi
Dapat dituliskan dengan notasi sbb.:
dimana x mendekati a dan y mendekati b.
Dalam kuliah dan buku ini akan digunakan notasi yang kedua.
Dengan mencari limit fungsi peubah ganda berarti mencari nilai
bergerak makin dekat dan lebih dekat lagi ke titik
bila titik
sedemikian sangat mendekati
namun tidak sampai mencapai
. Dan seperti konsep limit pada fungsi peubah tunggal,
maka agar suatu limit ada maka fungsi tersebut mencapai suatu nilai yang sama dari segala
arah pendekatan yang ditempuh menuju
. Masalahnya bila pada limit fungsi peubah
tunggal hanya ada 2 arah yaitu kiri dan kanan untuk mencapai batas x, maka pada fungsi
peubah ganda/dua ada banyak sekali bahkan tak hingga cara untuk menuju
.
Gambar 3.1.
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 44
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Dengan kata lain, untuk menunjukkan apakah limit suatu fungsi peubah ganda ada atau tidak
secara teknis perlu di cek melalui cara yang tak berhingga. Tetapi dengan menggunakan
konsep kontinuitas / kesinambungan fungsi hal tersebut tidak perlu dilakukan.
Definisi
Suatu fungsi
adalah kontinu/sinambung pada titik
Sehingga apabila diketahui suatu fungsi tidak kontinu dititik
jika,
maka
adalah salah.
Tafsiran fisis secara geometris suatu fungsi kontinu bila graphik garis atau permukaan fungsi
tersebut tidak lubang atau terpotong pada titik tersebut.
Dalam kalkulus 1, bila kita mengetahui suatu fungsi adalah kontinu maka nilai limit fungsi
tersebut didapatkan dengan memasukkan nilai titik kedalam fungsi.
Semua fungsi standard yang kita ketahui kontinu tetap kontinu walaupun sekarang kita
memasukkan lebih dari satu variabel. Yang perlu diperhatikan adalah pembagian dengan 0,
akar bilangan negatif dan logaritma nol atau negatif.
Contoh 3.1.1. Tentukan apakah limit berikut ada atau tidak. Bila ada berapa nilai limit nya.
(a)
(c)
(b)
(d)
Jawab
(a)
Fungsi diatas adalah kontinu pada titik yang diminta, sehingga kita tinggal memasukkan nilai
titik tersebut kedalam fungsi.
(b)
Dalam kasus ini fungsi tidak kontinyu sepanjang garis
karena pada garis tersebut kita
akan mendapatkan nilai penyebut pembagian = 0. Tapi karena titik yang diminta (5,1) tidak
terdapat dalam garis tersebut, maka
(c)
Dalam kasus ini fungsi tersebut tidak kontinyu pada titik yang diminta. Jadi tidak ada limit
pada titik tersebut.
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 45
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Pendekatan sepanjang garis sumbu x,
Sepanjang garis sumbu y-axis.
Sepanjang garis
. Didapat
Menunjukkan tidak ada limit.
(d)
Fungsi tidak kontinyu pada titik yang diminta, jadi tidak ada limit.
Hal ini juga dapat ditunjukkan dengan berbedanya nilai limit dengan pendekatan arah yang
berbeda. Kita coba dekati melalui sepanjang garis
menuju (0,0) .
Kita coba dengan jalur
. Didapat,
Nilai limit tidak ada, karena melalui pendekatan yang ada nilai limit berbeda.
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 46
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
3.2. Turunan parsial
Prolog:
Diketahui sebuah fungsi peubah ganda
dan akan ditentukan laju perubahan
fungsi pada titik
. Penentuan laju perubahan dilakukan dua tahap; tahap pertama
dengan menahan y tetap (fixed) dan membolehkan x berubah kemudian pada tahp kedua
menahan x tetap dan membolehkan y berubah.
Tahap pertama kita menahan y=b dan membiarkan x bergerak, sehingga kita mendapatkan
Kita mendapatkan fungsi variabel tunggal dan menentukan laju perubahan g(x) pada x=a
dengan menghitung g’(a) yaitu g’(a) = 4a𝑏 3 .
adalah turunan parsial / partial derivative
terhadap x pada titik
dan
dinyatakan sebagai
Tahap kedua kita menahan x = a dan membiarkan y bergerak sehingga mendapatkan
adalah turunan parsial / partial derivative
terhadap y pada titik
dan we
dinyatakan sebagai
Kedua turunan diatas biasa disebut turunan parsial orde pertama / first order partial
derivatives.
Rumusan Formal :
Bila kita melakukan proses turunan parsial fungsi seperti diatas dengan tidak menggunakan
notasi
tetapi dengan tetap menggunakan
, kita dapat menuliskannya sebagai:
3
2 2
𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 4𝑥𝑦 dan 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = 6𝑥 𝑦 , yaitu pertama menahan y tetap dan melakukan
turunan terhadap x, setelah itu menahan x tetap dan melakukan turunan terhadap y.
Definisi formal dari kedua turunan parsial tsb adalah sbb.:
Berikut ini beberapa alternatif notasi untuk menyatakan turunan .
Untuk fungsi
Contoh 3.2.1.
notasi berikut dapat digunakan sebagai turunan parsial :
Dapatkan turunan parsial orde pertama untuk fungsi
(a)
(b)
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 47
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
(c)
Jawab :
(d)
UK Maranatha 2012
(a)
(b)
(c)
Untuk memudahkan penurunan persamaan diatas ditulis ulang sebagai,
Petunjuk untuk turunan fungsi natural logarithms, gunakan .
(d)
Gunakan aturan rantai/chain rule yang pernah dipelajari di kalkulus 1 &2, dalam contoh ini
bagaimana menurunkan fungsi eksponensial.
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 48
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Contoh 3.2.2. Dapatkan turunan parsial orde satu fungsi berikut ini:
(a)
Jawab:
(b)
(c)
(a)
(b)
(c)
Dengan menggunakan prinsip aturan rantai/chain rule didapat,
Turunan implisit dalam turunan parsial
Dari contoh-contoh yang diberikan diatas, dengan menguasai turunan fungsi peubah tunggal
dari kalkulus 1 & 2 maka proses turunan parsial fungsi peubah banyak tidak sulit.
Selanjutnya akan dibahas proses turunan implisit dalam turunan parsial fungsi peubah
banyak.
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 49
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Contoh 3.2.3. me- review turunan implisit pada fungsi peubah tunggal dan pada contoh
3.2.4. bagaimana penerapannya dalam fungsi peubah banyak.
Contoh 3.2.3. Dapatkan
Jawab:
untuk persamaan
.
Dengan selalu mengingat bahwa y adalah fungsi dari x, atau
dan dengan demikian
setiap kali menurunkan suatu suku/term yang melibatkan y terhadap x maka diperlukan
untuk menggunakan aturan rantai, berarti perlu dituliskan
pada suku/term tersebut.
Langkah ke 1: menurunkan suku/term yang ada pada sisi kiri dan kanan tanda( = )terhadap x.
Langkah ke-2: mendapatkan
.
Perlakuan untuk proses turunan implisit fungsi peubah banyak, berlaku serupa dengan proses
turunan implisit pada fungsi peubah banyak. Dalam fungsi yang melibatkan variabel
x, y, dan z dan misal z adalah fungsi x dan y,
. Maka ketika kita memproses
turunan z / differensiasi z terhadap x maka aturan rantai/chain rule digunakan dan
dituliskan . Demikian juga dalam proses turunan z / differensiasi z terhadap y maka
perlu ditulis.
Contoh 3.2.4. Dapatkan
(a)
Jawab:
dan
untuk fungsi berikut ini:
(b)
(a)
Untuk mendapatkan
. Kedua sisi kiri kanan persamaan kita turunkan terhadap x dengan
selalu menuliskan
setiap kita menurunkan z.
Ingat karena
maka setiap perkalian x dan z merupakan perkalian dua fungsi x
sehinga teorema aturan turunan perkalian fungsi harus dipakai.
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 50
Rudy Wawolumaja
Untuk mendapatkan
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
.
Untuk mendapatkan
dilakukan proses yang sama
.
(b)
Untuk mendapatkan
.
Untuk mendapatkan
.
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 51
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
3.3. Interpretasi Geometris Turunan Parsial
Dalam Kalkulus Peubah tunggal,
tangent line terhadap
adalah kemiringan (slope) dari garis singgung /
pada
atau dapat juga dikatakan sebagai kemiringan
kuva pada x=a. Demikian juga,
dan
juga adalah kemiringan (slope)
dari garis singgung/tangent lines . Pada Kalkulus Peubah tunggal tangent line menyinggung
lengkungan kurva, dalam kalkulus peubah ganda kita tahu fungsi berupa bidang permukaan,
sehingga ada banyak garis singgung yang dapat menyinggung bidang permukaan pada suatu
titik. Jadi pertanyaannya turunan parsial fungsi ganda merepresentasi kemiringan sudut garis
singgung yang mana? Dalam hal ini turunan parsial adalah kemiringan garis singgung pada
traces atau dapat dikatakan kemiringan dari irisan/traces. (Untuk trace lihat lagi bab fungsi
multivariable)
Definisi traces: Bila level curve adalah irisan permukaan
dengan bidang datar
, maka traces suatu permukaan adalah kurva/garis lengkung yang merupakan
penampang irisan dengan bidang datar
Jadi turunan parsial
datar
pada titik
atau
.
adalah kemiringan trace yaitu irisan
dengan bidang
. Demikian juga partial derivative
kemiringan trace yaitu irisan
dengan bidang datar
adalah
pada titik
Contoh 3.3.1. : Dapatkan kemiringan traces untuk fungsi
.
Solusi
Gambar sketsa trace untuk irisan bidang
Gambar 3.2.
Turunan parsial fungsi
dan
.
pada titik
adalah sbb.:
adalah sbb.:
Dengan memasukkan titik singgung kedalam persamaan kita mendapatkan:
Jadi, garis singgung/ tangent line pada
dengan bidang datar
untuk irisan/trace permukaan
mempunyai kemiringan/slope sebesar -8. Dan garis singgung/
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 52
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
tangent line pada
untuk irisan/ trace permukaan
dengan bidang datar
mempunyai kemiringan sebesar -4.
Menentukan persamaan garis singgung dan bidang singgung fungsi peubah ganda.
Kita telah pelajari bahwa garis, bidang dalam 3 Dimensi dapat dinyatakan dalam tiga bentuk
persamaan:
1. bentuk vektor persamaan garis / vector form of the equation of a line.
2. bentuk parametric persamaan garis / parametric form of the equation of a line.
3. Bentuk simetrik persamaan garis / symmetric equations of the line.
Dalam bab Fungsi Vektor telah dibahas bahwa : Semua Fungsi Multivariabel dapat
dinyatakan dalam Fungsi Vektor !!!!!!!.
Untuk menyatakan persamaan suatu garis dalam bentuk vector, maka kita membutuhkan
suatu titik pada garis tersebut dan vector arah. Untuk menentukan titik dalam 3 D kita
memasukkan kedalam koodinat (a,b, f(a,b)).
Berikut kita menentukan garis singgung pada titik tersebut:
Bila kita mempunyai permukaan / surface yang dinyatakan dengan z= f(x,y), maka kita
dapat menyatakan nya dalam bentuk fungsi vector: 𝑟 𝑥, 𝑦 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦) .
Kita akan mendapatkan tangent vector dengan mendifferensiasi fungsi vector terhadap x ,
yang berarti dalam persoalan kita dengan mendifferensiasi fungsi irisan permukaan
𝑟 𝑥, 𝑦 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦) dengan bidang datar y=b.
Irisan yang kita dapat adalah: 𝑟 𝑥, 𝑏 = 𝑥, 𝑏, 𝑧 = 𝑥, 𝑏, 𝑓(𝑥, 𝑦)
Vektor tangent untuk trace/irisan dengan y constant (y=b) adalah:
𝑟𝑥 (𝑥, 𝑦) = 1,0, 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) .
Dengan mendifferensiasi fungsi vector terhadap y , yaitu mendifferensiasi fungsi irisan
permukaan 𝑟 𝑥, 𝑦 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦) dengan bidang datar x=a.
Irisan yang kita dapat adalah: 𝑟 𝑎, 𝑦 = 𝑎, 𝑦, 𝑧 = 𝑎, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦)
Vektor tangent untuk trace/irisan dengan x constant (x=a) adalah:
𝑟𝑦 (𝑥, 𝑦) = 0,1, 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) .
Kedua tangent vector 𝑟𝑥 𝑥, 𝑦 = 1,0, 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 , 𝑟𝑦 (𝑥, 𝑦) = 0,1, 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) yang didapat
adalah vector arah yang dari garis singgung yang ingin dicari.
Persamaan garis singgung dengan irisan fungsi vector dan y=b adalah:
𝑟 𝑡 = 𝑎, 𝑏, 𝑓(𝑎, 𝑏) + 𝑡 1,0, 𝑓𝑥 (𝑎, 𝑏)
Persamaan garis singgung dengan irisan fungsi vector dan x=a adalah:
𝑟 𝑡 = 𝑎, 𝑏, 𝑓(𝑎, 𝑏) + 𝑡 0,1, 𝑓𝑦 (𝑎, 𝑏)
Menentukan bidang singgung:
Dalam bab persamaan bidang, persamaan bidang dinyatakan sebagai dot product:
𝑛 . 𝑟 − 𝑟0 = 0, dimana 𝑛 adalah vector normal bidang dan 𝑟0 adalah titik pada bidang.
𝑛 = 𝐴, 𝐵, 𝐶 , 𝑟 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑟0 = 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0
𝐴, 𝐵, 𝐶 . 𝑥, 𝑦, 𝑧 − 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 = 0
𝐴, 𝐵, 𝐶 . 𝑥 − 𝑥0 , 𝑦 − 𝑦0 , 𝑧 − 𝑧0 = 0
𝐴 𝑥 − 𝑥0 + 𝐵 𝑦 − 𝑦0 + 𝐶 𝑧 − 𝑧0 = 0
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 53
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Dalam persoalan kita mencari bidang singgung, perlu dicari titik pada bidang 𝑟0 dan vector
normal bidang 𝑛 .
Titik pada bidang yang merupakan titik singgung dengan permukaan adalah: (a,b, f(a,b))
yang kita tuliskan (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) . Vektor posisi 𝑟0 = 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 .
Vektor normal 𝑛 didapat dengan perkalian silang (cross product) dari vector tangent:
𝑛 = 𝑟𝑥 x 𝑟𝑦 , sehingga didapat
𝑖 𝑗 𝑘
𝑛 = 1 0 𝑓𝑥 = - 𝑓𝑥 𝑖 - 𝑓𝑦 𝑗 + 1 𝑘 = − 𝑓𝑥 , − 𝑓𝑦 , 1
0 1 𝑓𝑦
𝑛 . 𝑟 − 𝑟0 = 0
− 𝑓𝑥 , − 𝑓𝑦 , + 1 . 𝑥 − 𝑥0 , 𝑦 − 𝑦0 , 𝑧 − 𝑧0 = 0
− 𝑓𝑥 𝑥 − 𝑥0 − 𝑓𝑦 𝑦 − 𝑦0 + 𝑧 − 𝑧0 =0
Sehingga persamaan bidang singgung adalah : 𝑧 − 𝑧0 = 𝑓𝑥 𝑥 − 𝑥0 + 𝑓𝑦 𝑦 − 𝑦0
Contoh 3.3.2.
Tuliskan persamaan bidang singgung dengan permukaan
di titik
.
Titik singgung adalah:
Persamaan garis singgung pada irisan/trace permukaan dengan bidang datar
.
Persamaan garis singgung pada irisan/trace permukaan dengan bidang datar
.
Bidang singgung:
𝑛 = 𝐴, 𝐵, 𝐶 = 8,4,1 , sehingga persamaan bidang singgung :
8 𝑥 − 𝑥0 + 4 𝑦 − 𝑦0 + 𝐶 𝑧 − 𝑧0 = 0
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 54
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
3.4.Turunan parsial orde tinggi.
Untuk fungsi variable ganda,
dapat diturunkan beberapa kali, misal turunan parsial
orde satu adalah fungsi dari x dan y, maka turunan itu bisa diturunkan lagi. Berikut ini notasi
yang digunakan :
Contoh 3.4.1. Dapatkan turunan orde dua untuk
Turunan orde satu adalah:
.
Turunan orde satu diturunkan lagi sehingga didapat turunan orde dua:
Dari contoh diatas kita mendapatkan :
. Hal ini bukan kebetulan dan untuk semua
kasus berlaku, dan hal ini dinyatakan dalam Teorema Clairut.
Teorema Clairaut
Bila f didefinisikan pada D dan memiliki titik
kontinu pada D maka,
. Bila fungsi
Contoh 3.4.2. Verifikasi Teorema Clairaut untuk
dan
adalah
.
Keduanya sama.
Teorema Clairut dapat diperluas untuk turunan orde ketiga dan seterusnya untuk orde yang
lebih tinggi.
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 55
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Sehingga
Teorema ini juga berlaku tidak hanya untuk fungsi variable ganda, tetapi juga untuk fungsi
variable 3 , 4 dan seterusnya (multivariable umumnya).
Sehingga bila memenuhi syarat kontinu berlaku
Secara umum bila memenuhi syarat kontinuitas, Teorema Clairut berlaku untuk fungsi
multivariable dan turunan orde tinggi.
Contoh 3.4.3. (a) Dapatkan
untuk
(b) Dapatkan
untuk
Jawab
(a)
,
(b)
,
,
,
,
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
,
Halaman 56
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
3.5. Differentials
Diketahui fungsi
maka differential dz atau df adalah :
dz = 𝑓𝑥 dx + 𝑓𝑥 dy
atau
df = 𝑓𝑥 dx + 𝑓𝑥 dy
Rumusanl diatas dapat diperluas kefungsi variable 3 atau lebih..
Contoh diketahui fungsi
Contoh 3.5.1.
maka differential dw adalah:
Hitung differential untuk fungsi berikut ini
(a)
(b)
(a)
(b)
Catatan : Terkadang differential disebut juga total differentials.
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 57
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
3.6. Aturan Rantai
Berikut notasi pada single variable, yang menyatakan bila F fungsi x yang dapat dinyatakan
sebagai F fungsi dari g dan g fungsi dari x , maka turunannya dinyatakan sebagai F’(x)
dengan rumusan:
Notasi alternatif adalah sbb.:
Bila y = f(x)
dan x = g(t)
maka
Untuk fungsi dua variabel,
Kasus 1 :
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑑𝑥 𝑑𝑡
ada beberapa kemungkinan.
,
,
diminta untuk menghitung
.
Aturan rantai untuk kasus ini adalah sbb.:
Contoh 3.6.1. Hitung
untuk (a)
(b)
,
,
,
,
Solution
(a)
,
,
Dengan men substitusi x dan y dengan t kita mendapatkan:
Soal diatas lebih mudah dikerjakan dengan mensubstitusi x dan y dengan t dari awal,
pengerjaan diatas adalah untuk menunjukkan penggunaan aturan rantai.
Dengan mensubstitusi x dan y dengan t dari awal, kita mendapatkan:
Hasilnya sama.
(b)
,
,
Dalam kasus ini menggunakan aturan rantai akan lebih mudah daripada mensubstitusi x dan
y dari awal.
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 58
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Berikut ini variasi dari kasus, dimana
Maka aturan rantai untuk
adalah:
Dimana :
Contoh 3.6.2.
Hitung
Kasus 2 :
untuk
,
,
,
Contoh 3.6.3. Dapatkan
Aturan rantai untuk
.
Aturan rantai untuk
.
dan
dan diminta
untuk
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
dan
,
.
,
.
Halaman 59
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Berikut ini rumusan umum Aturan Rantai
Jika z adalah fungsi n variabel,
, dan variabel tersebut adalah fungsi dari m
variabel,
. Maka untuk setiap variabel
,
maka:
Untuk memudahkan pengerjaan aturan rantai untuk setiap situasi maka diagram pohon
sebaiknya digunakan.
Contoh penggunaan diagram pohon dalam pengerjaan aturan rantai / chain rule untuk
diketahui bahwa
,
,
Berikut diagram pohon untuk kasus ini:
.
𝜕𝑧
𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝑑𝑧 𝜕𝑦
=
+
𝜕𝑠
𝜕𝑥 𝜕𝑠 𝑑𝑦 𝜕𝑠
𝜕𝑧
𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝑑𝑧 𝜕𝑦
=
+
𝜕𝑡
𝜕𝑥 𝜕𝑡
𝑑𝑦 𝜕𝑡
Contoh 3.6.4. Gunakan tree diagram untuk menuliskan chain rule untuk turunan.
(a)
untuk
,
(b)
untuk
,
(a)Diagram pohon untuk
dimana
,
, dan
,
,dan
,
,
, dan
Sehingga:
(b) Diagram pohon untuk
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 60
Rudy Wawolumaja
dimana
Multivariable Calculus
,
,
UK Maranatha 2012
dan
Sehingga :
Contoh 3.6.5. Dapatkan
Solution
Turunan pertama:
untuk
bila
dan
.
Turunan kedua :
Dengan menggunakan aturan perkalian turunan didapat:
Kita perlu menentukan
dan
.
Kita menulis ulang hasil aturan rantai pertama, sebagai:
(1)
Rumusan persamaan (1) diatas dapat ditafsirkan sebagai rumusan untuk men differensiasi
sembarang fungsi x dan y terhadap
yang memenuhi syarat
Dan kita tahu bahwa turunan parsial orde satu,
dan
dan
.
, adalah fungsi x dan y dan syarat
dan
berlaku, sehingga kita dapat menggunakan persamaan (1) dengan
𝜕𝑓
𝜕𝑓
mensubstitusi f dengan 𝜕𝑥 dan 𝜕𝑦 :
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 61
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
persamaan (1)
Sehingga kita dapat menghitung
.
Dan dapat menghitung
.
Dengan memasukkan
dan
kedalam persamaan yang telah didapat:
Kita mendapatkan:
Turunan Implisit.
Suatu fungsi dituliskan dalam bentuk
dimana
. Untuk mendapatkan
dengan mendifferensi sehingga didapat :
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 62
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
Contoh 3.6.6. Dapatkan
untuk
Persamaan diatas dituliskan dalam bentuk F(x,y) = 0.
Sehingga dengan menggunakan formula
Untuk kasus fungsi dituliskan dalam
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=−
𝐹𝑥
𝐹𝑦
UK Maranatha 2012
.
diperoleh
dimana z = f (x,y) ,dicari
dan
.
Untuk mendapatkan
maka dilakukan differensiasi terhadap x dan memperlakukan y
sebagai konstan. Kita melakukan pernurunan dengan menggunakan aturan rantai, sehingga
didapat:
Dengan memasukkan
𝜕𝑥
=1
dan
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑥
= 0 kedalam persamaan didapat:
Contoh 3.6.7. Dapatkan
dan
untuk
Persamaan diatas dituliskan dalam bentuk F(x,y,z) = 0.
.
Maka
sehingga
Dan
sehingga
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 63
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
UK Maranatha 2012
Halaman 64
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
3.7. Turunan Berarah
Turunan parsial
dan
, menyatakan laju perubahan dari f bila kita merubah
x (dengan menahan y tetap) dan merubah y (dengan menahan x tetap). Pada bagian ini kita
akan mempelajari bagaimana perubahan f bila kita membolehkan x dan y berubah bersamaan.
Ada banyak cara untuk membolehkan x dan y berubah bersamaan. Misalnya x berubah lebih
cepat dari y. Misalnya pada suatu titik
. Kita merubah x dengan laju positif dua kali
lebih cepat dari laju perubahan positif y.
Dalam turunan parsial kita mendefinisikan bahwa laju perubahan f yang dinyatakan dengan
adalah dalam arah vector 1,0 , sedangkan laju perubahan f yang dinyatakan dengan
adalah dalam arah vector 0,1 . Dan misalnya ingin diketahui laju perubahan f
dalam arah
. Ada banyak vektor yang menyatakan arah 2,1 , bisa vektor
,
Maka agar tetap konsisten maka kita nyatakan vektor arah perubahan dinyatakan dalam unit
vektor. Definisi unit vektor adalah vektor yang memiliki panjang =1.
Bila kita mempunyai vektor
, maka panjang vektor (magnitude) dinyatakan
sebagai :
.
2 1
Jadi untuk contoh
, unit vektor yang panjang =1 dan arah yang sama adalah 5 , 5 .
Terkadang kita menyatakan arah perubahan x dan y sebagai suatu sudut. Misalnya, berapa
laju perubahan f dalam arah
.
Unit vektor yang mewakili arah ini adalah:
.
Berikut definisi dari Turunan Berarah:
Definisi
Laju perubahan
dalam arah vektor unit
ditulis dengan notasi
disebut turunan berarah dan
. Definisi dari turunan berarah adalah,
Definisi diatas secara teknis dan praktis akan sangat sulit menghitung limitnya. Perlu dicari
suatu cara agar dapat lebih mudah menghitung turunan berarah.
Berikut ini diuraikan proses penurunan suatu rumusan yang lebih praktis untuk menghitung
directional derivatives.
Suatu fungsi peubah tunggal didefinisikan :
dimana
,
, a , dan b adalah suatu bilangan tetap.
Maka berdasarkan definisi turunan fungsi perubah tunggal didapat,
dan turunan pada
Bila kita substitusi
adalah:
didapat,
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 65
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Jadi kita mendapatkan hubungan sbb.:
(1)
Bila
ditulis ulang sebagai:
Dari aturan rantai didapat:
(2)
Dengan memasukkan
didapat
dan
kedalam persamaan (2), kita mendapatkan :
sehingga bila kita masukkan
(3)
Persamaan (1) sama dengan persamaan (3), sehingga:
Bila 𝑥0 dan 𝑦0 disubstitusi dengan x dan y (sebagai variabel) kita mendapatkan rumus /
formula sbb. :
Rumusan diatas lebih praktis dan sederhana dari definisi limit turunan berarah.
Rumusan yang sama dapat diperluas untuk fungsi lebih dari 2 variabel.
Misal untuk fungsi
, turunan berarah dari
dalam arah unit vektor
adalah,
Contoh 3.7.1. Tentukan turunan berarah untuk soal dibawah ini .
(a)
(b)
Jawab :
dimana
dan
adalah unit vektor dengan arah
dimana
dengan arah
.
.
(a) . Unit vektor arah adalah:
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 66
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
UK Maranatha 2012
Jadi,
Dengan memasukan titik (2,0) kepersamaan didapat:
(b) Perlu dicari unit vektor arah, vektor
dicari panjangnya.
Jadi vektor
diatas bukan unit vektor. Sehingga perlu vektor arah tersebut
dikonversi menjadi unit vektor arah, yaitu dengan membaginya dengan panjang vektor,
sehingga didapat:
Maka turunan berarah adalah:
Rumusan turunan berarah dapat dituliskan dalam beberapa versi :
Turunan berarah ditulis sebagai dot product antara gradient vektor f dengan unit vektor arah
. Dimana gradient f atau gradient vektor f didefinisikan sebagai,
∇𝑓 = 𝑓𝑥 , 𝑓𝑦 , 𝑓𝑧
atau
∇𝑓 = 𝑓𝑥 , 𝑓𝑦
Atau bila menggunakan notasi basis vektor dituliskan:
∇𝑓 = 𝑓𝑥 𝑖 + 𝑓𝑦 𝑗 + 𝑓𝑧 𝑘
atau
∇𝑓 = 𝑓𝑥 𝑖 + 𝑓𝑦 𝑗 + 𝑓𝑧 𝑘
Dengan definisi gradient , maka turunan berarah dapat dituliskan sebagai:
Atau juga dengan notasi sbb.:
dimana
atau
Contoh 3.7.2. Tentukan turunan berarah.
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 67
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
(a)
untuk
dalam arah
(b)
untuk
at
UK Maranatha 2012
.
arah
.
Solusi
(a)
Jadi :
(b)
Unit vektor arah:
Jadi, directional derivative pada titik yang dimaksud adalah:
Teorema 1
Nilai maximum dari
(atau laji perubahan maximum fungsi
dan terjadi dalam arah
Bukti
.
Karena
adalah unit vector, bentuk perkalian titik
) adalah
adalah
dimana
adalah sudut antara gradient dan .,
maka nilai maximum yang mungkin adalah pada nilai
= 1 yaitu pada
. Jadi nilai
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 68
Rudy Wawolumaja
maximum
Multivariable Calculus
adalah
UK Maranatha 2012
dan terjadi pada sudut antara gradient dan
nol, dengan kata lain pada kondisi
adalah
mempunyai arah yang sama dengan gradient,
.
Contoh 3.7.3. Misalkan ketinggian bukit diatas permukaan laut dinyatakan dalam fungsi
. Pada titik
dalam arah manakah yang paling menanjak
atau menurun ? Berapakah nilai maximum kemiringan pada titik ini?
Jawab
Persamaan fungsi diatas menunjuk pada bentuk elliptic paraboloid dengan mulut terbuka
kebawah.
Perubahan maximum laju perubahan kemiringan adalah pada
Nilai kemiringan maximum pada titik ini adalah,
Vektor arah
, mempunyai kedua komponen negative artinya arah perubahan
maximum adalah kearah pusat.
Teorema 2
Vektor gradient
adalah orthogonal (atau tegak lurus) terhadap level curve
pada titik
. Demikian juga, vektor gradient
orthogonal terhadap level surface
Bukti
pada titik
adalah
.
Bila S adalah level surface yang dinyatakan
dan bila
dimana P
ada di S. Dan bila C adalah suatu kurva pada S dan melewati P , yang dinyatakan dalam
bentuk persamaan vektor
. Sehingga pada t =
sehingga
, yaitu vektor posisi P . Dan karena C ada pada S sehingga setiap titik
pada C harus memenuhi persamaan S. Yaitu,
Dengan menerapkan Aturan Rantai / Chain Rule didapat kan :
(4)
dan
At,
sehingga persamaan (4) menjadi,
this is,
Perkalian titik diatas menyatakan, bahwa vektor gradient pada P ,
, adalah
orthogonal terhadap vektor tangent ,
, untuk setiap kurva C yang melewati P dan
terletak pada permukaan S dan karena itu harus juga orthogonal terhadap permukaan S.
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Halaman 69
Rudy Wawolumaja
Multivariable Calculus
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha
KALKULUS PEUBAH BANYAK
UK Maranatha 2012
Halaman 70