statistika lingkungan

STATISTIKA LINGKUNGAN
TEORI PROBABILITAS
Probabilitas - pendahuluan
• Statistika deskriptif : menggambarkan data
• Statistik inferensi kesimpulan valid dan perkiraan
akurat ttg populasi dengan mengobservasi sampel
•
Teori probabilitas sbg dasar statistika inferens
Konsep Probabilitas
Ruang sampel: gabungan semua kemungkinan
S
S
A
Kategori Probabilitas
• Probabilitas Apriori: probabilitas yang telah ditentukan
sebelumnya P[A]= n (A)/n(S)
• Probabilitas frekuensi relatif (empiris): probabilitas
berdasarkan fakta setelah kejadian P[A]= f/n ; f=jumlah
kejadian A muncul; n= jumlah sampel /eksperimen
• Probabilitas subyektif: probabilitas berdasarkan
pertimbangan seseorang
Contoh:
1. Probabilitas bayi cacat yang dilahirkan oleh seorang Ibu yang
menderita campak Jerman saat hamil?
2. Probabilitas anak kidal yang dilahirkan dari pasangan kidal dan
tidak kidal?
3. Hasil analisa air sungai menunjukkan bahwa dari pengalaman yang
ada , 8 % dari 100 sampel mengandung kadar fosfat yang tdk
terdeteksi jika dianalisa dengan menggunakan metode rutin.
PERANAN PROBABILITAS
• Pembuatan model, analisis matematis, simulasi komputer banyak didasarkan atas asumsi yang dalam kondisi ideal model
kuantitatif mungkin bisa mendekati atau jauh dari kondisi
sebenarnya.
• Dalam pengembangan desain rekayasa keputusan dirumuskan
pada ketidakpastian banyak keputusan terpaksa harus diambil:
* tanpa memandang kelengkapan informasi
* fenomena alamiah bersifat acak atau tak tentu
PERANAN PROBABILITAS
• Kuantifikasi ketidakpastian dan penilaian
pengaruhnya pada perilaku dan perancangan
suatu sistem melibatkan konsep atau metode
probabilitas (kemungkinan).
• Variabel acak variabel yang tidak dapat
diramalkan dengan pasti nilainya hanya dapat
diramalkan dengan probabilitas.
PERANAN PROBABILITAS
• Ketidakpastian yang lain pemodelan atau
penaksiran tidak sempurna nilai rerata tidak
akan bebas dari kesalahan terutama bila datanya
terbatas.
• Dalam beberapa hal taksiran lebih baik didasarkan atas pertimbangan seorang ahli
DASAR-DASAR PROBABILITAS
• Probabilitas
mengacu pada terjadinya suatu peristiwa (event) relatif terhadap
peristiwa lain ada lebih dari satu kemungkinan masalah
menjadi tidak tertentu (non deterministik).
sebagai ukuran numerik dari kecenderungan terjadinya suatu
peristiwa relatif terhadap sehimpunan peristiwa lain.
memerlukan identifikasi himpunan semua kemungkinan, yaitu
ruang kemungkinan (possibility space) dan peristiwa yang ditinjau
DASAR-DASAR PROBABILITAS
•
Contoh : aerator taksiran kemungkinan masa layan selama 6 tahun adalah 50%.
Digunakan 3 aerator pertanyaan: berapa probabilitas 1 aerator masih baik setelah 6 tahun?
Aerator 1
B
B
B
R
R
R
B
R
Aerator 2
B
B
R
R
B
R
R
B
Aerator 3
B
R
R
R
B
B
B
R
Satu aerator yang baik 3 kombinasi : B-R-R, R-R-B dan R-B-R probabilitas adalah 3/8 atau 37,5%
ELEMEN TEORI HIMPUNAN
• Ruang sampel (sample space) gabungan dari
semua kemungkinan dalam suatu masalah
probabilitas secara individu titik sampel.
• Suatu peristiwa sub himpunan dari ruang
sampel.
• Ruang sampel bisa bersifat :
* diskrit atau kontinu
* berhingga (finite) atau tak berhingga
Variabel Diskrit
Distribusi probabilitas variabel acak diskrit:
gabungan seluruh kemungkinan yang terjadi serta
probabilitas untuk terjadi.
Expected value: merupakan nilai rata-rata (µx)
semua kemungkinan peristiwa, dengan nilai setiap
kemungkinan merupakan frekuensi relatif atau
probabilitas
12
12/23/2012
Dwina Roosmini
ELEMEN TEORI HIMPUNAN
• Peristiwa mustahil (impossible event) φ peristiwa yang tidak mempunyai titik sampel himpunan kosong.
• Peristiwa tertentu (certain event) S peristiwa yang mengandung semua titik sampel
dalam ruang sampel.
• Peristiwa komplementer (complementary event)
E semua titik sampel dalam S yang tidak
terkandung dalam E
ELEMEN TEORI HIMPUNAN
Pasien hipertensi
Pasien kelebihan berat
badan
Not mutually exclusive
Pasien perokok
Binatang
Mamalia
Mutually exclusive
Unggas
Independen
Peristiwa terjadi dengan bebas
Kelinci yang diinokulasi virus polio
Darah kelinci mengandung antibodi cacar
Kelinci yang diinokulasi virus polio
Darah kelinci mengandung antibodi polio
Aturan Probabilitas
1. Probabilitas adalah nilai antara 0 dan 1 yang
merupakan hasil suatu proses atau
eksperimen/pengamatan
2. Peristiwa bahwa A tidak terjadi disebut
komplemen A dengan lambang A’. Jika P(A)
merupakan probabilitas kejadian A maka
P(A’)= 1- P(A)
18
3. Jika peristiwa A dan B ME, maka probabilitas A
dan terjadi bersama adalah 0
12/23/2012
Dwina Roosmini
Aturan probabilitas (lanj.)
4. Jika persitiwa A dan B ME, maka probabilitas
baik A atau B terjadi adalah jumlah probabilitas
masing-masing P(A atau B) = P(A) + P (B)
5. Jika peristiwa A dan B not ME, maka probabilitas
baik A atau B terjadi adalah P(A atauB)= P(A) +
P(B) – P(A dan B)
6. Jika dua peristiwa saling dependen, maka
probablilitas kondisional B terjadi setelah A
terjadi adalah P(B/A)= P(A dan B)/P(A)
19
12/23/2012
Dwina Roosmini
Aturan probabilitas (lanj.)
7.
Jika peristiwa A dan B independen, probabilitas bahwa baik
peristiwa A dan B akan terjadi adalah:
P(A dan B) = P(A) x P(B)
8.
Jika peristiwa A dan B not independen, probabilitas bahwa A dan
B akan terjadi adalah:
P(A dan B)= P (A) x P(B/A)
12/23/2012
20
Dwina Roosmini
Aturan Penjumlahan
• Mutually Exclusive:
Kemungkinan terjadi peristiwa A dan B:
P(A atau B)= P(A)+P(B)
• Not Mutually Exclusive:
Kemungkinan terjadi peristiwa A dan B:
P(Aatau B): P(A)+P(B)-P(A dan B)
Contoh:
• Analisa kimia air laut menunjukkan kandungan Pb
dan Hg. Hasil analisa menunjukkan bahwa pada
sampel dekat dekat muara sungai, 38% sampel
mengandung Hg atau Pb tinggi, 32 % sampel
mengandung Pb dan 10% mengandung Pb dan
Hg. Berapa probabilitas bahwa sampel tersebut
akan mengandung Hg dan berapa yang hanya
mengandung Pb?
• Probabilitas dalam melempar dadu mendapatkan
nilai genap?
Lokasi produksi
mobil
Perlu perbaikan dalam 90 hari pertama
pemakaian
Jumlah
Ya
Tidak
US
7
293
300
Non US
13
187
200
20
480
500
a. Pembelian 1 bh mobil Probabilitas mobil perlu perbaikan ?
b. Probabilitas jumlah mobil br perlu perbaikan dan diproduksi di US?
c. Probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan yang tidak memerlukan
perbaikan?
d. Probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan mobil yang diproduksi di US?
e. Probabilitas mobil baru produksi US yang perlu perbaikan ?
a. Jika dilakukan pembelian satu buah mobil, berapa probabilitas
mobil perlu perbaikan pada 90 hari pertama pemakaian ?
P(perlu perbaikan)= Jumlah perlu
perbaikan/jumlah
mobil baru
= 20/500 = 0,04 = 4%
total
b. Jika dilakukan pembelian satu buah mobil, berapa probabilitas
mobil yang diproduksi di USA perlu perbaikan pada 90 hari pertama
pemakaian ?
P(perlu perbaikan)= Jumlah perlu perbaikan dan
diproduksi di USA/jumlah
total mobil baru
= 7/500 = 0,014 = 0,14%
b. Jika dilakukan pembelian satu buah mobil, berapa probabilitas
mobil yang diproduksi di USA perlu perbaikan pada 90 hari pertama
pemakaian ?
P(perlu perbaikan)= Jumlah perlu perbaikan dan
diproduksi di USA/jumlah
total mobil baru
= 7/500 = 0,014 = 0,14%
Mutually Exclusive
c. Probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan
yang tidak memerlukan perbaikan?
P(mobil memerlukan perbaikan atau tidak
memerlukan perbaikan) = (20/500) + (480/500) =
1
Not Mutually Exclusive
d. Probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan
mobil yang diproduksi di USA
P(mobil memerlukan perbaikan atau diproduksi di USA) =
P(memerlukan perbaikan)+ P(diproduksi di USA) - P(memerlukan
perbaikan dan diproduksi di USA)= (20/500) + (300/500) – (7/500) =
0,626 = 62,6 %
Independen
• Probabilitas akan diperoleh angka 5 pada 2 kali
pelemparan dadu?
P(A dan B) = P(A) x P(B)
Distribusi Probabilitas
Terdapat 2 kelompok:
Distribusi probabilitas diskrit
Distribusi probabilitas kontinu
30
12/23/2012
Dwina Roosmini
Distribusi Probabilitas
Diskrit
•
•
•
•
•
31
Distribusi Probabilitas
Kontinu
•
•
•
•
•
Binomial
Hypergeometrik
Poisson
Geometrik
Multinomial
12/23/2012
Normal
Binomial
Uniform
Log Normal
Gamma
Dwina Roosmini
Expected Value
µx=E(x)=∑ Xi P(Xi)
X= Variabel acak distkrit
Xi= Hasil X pada perlakuan I
P(Xi)= Probabilitas terjadinya hasil I dari X
i = 1,2,3,….,n
Varians = σx2=∑(Xi-µx)2 P(Xi)
Standard Deviasi = σx
32
12/23/2012
Dwina Roosmini
Contoh: Data kecelakaan lalu lintas
X
Frek.
Relatif
P(X)
Nilai rata-rata/Expected
value?
0
1
2
3
4
5
6
12
27
9
3
3
0,10
0,20
0,45
0,15
0,05
0,05
Varians dan standard
deviasi?
12/23/2012
Dwina Roosmini
33
Expected value=µx= Ex= ∑ Xi P(Xi)=
(0)*(0,10)+(1)*(0,20)+(2)*(0,45)+(3)*(0,15)+(4)*(0,0
5)+(5)*(0,05)= 2
Varians=
(0-2)2*(0,10)+(1-2)2*(0,2)+(2-2)2*(0,45)+ (32)2*(0,15)+ (4-2)2*(0,05)+(5-2)2*(0,05)= 1,4
Standard Deviasi= √1,4=1,18
34
12/23/2012
Dwina Roosmini
Distribusi Binomial
Digunakan untuk probabilitas yang bersifat diskrit, dengan asumsi:
1.Terdapat n kejadian pada sampling variabel acak
2.Hasil dari n independent antara satu dengan lainnya
3. Hanya ada dua kemungkinan hasil
4. Probabilitas setiap hasil konstant dari satu pengambilan sampel
terhadap pengambilan sampel berikutnya
35
12/23/2012
Dwina Roosmini
Distribusi Binomial
Probabilitas keberhasilan suatu peristiwa terjadi = p
Probabilitas tidak berhasil/kegagalan = q=1-p
Probabilitas keberhasilan suatu peristiwa terjadi tepat x kali
dalam setiap perlakuan (x berhasil dan n-x gagal) = b
12/23/2012
Dwina Roosmini
36
Distribusi Binomial
x
n x
n
!
p
b ( x; n , p ) =   p (1 − p ) n − x =
(1 − p ) n − x
x! ( n − x )!
 x
Dimana x= 0,1,2,3,:n
n!=n(n-1)(n-2)(n-3)::..
0!=1
Rerata= µ=n*p
Simpangan baku=
12/23/2012
σ = np (1 − p )
Dwina Roosmini
37
Distribusi Binomial
Tentukan probabilitas untuk mendapatkan secara tepat
dua peristiwa dalam 4 sampel, dimana probabilitas
keberhasilan suatu peristiwa adalah 0,3.
4 2
b ( 2;4,0,3) =   0,3 (1 − 0,3) 4 − 2 = 0, 2646
2
38
12/23/2012
Dwina Roosmini
Tabel Distribusi Binomial
n
x
p
0,05
16
0
1
0,8108
2
0,9571
3
0,9930
0,1
0,5
b ( x; n , p ) = B ( x; n , p ) − B ( x − 1; n , p )
39
12/23/2012
Dwina Roosmini
Distribusi Hipergeometris
• Berlaku jika pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian
kembali
• Jumlah sampel n, dari N populasi a diantaranya rusak
• Sampel 1= probabilitas mengambil yang rusak = a/N
• Sampel 2= terdapat 2 probabilitas mengambil yang rusak:
1.
2.
•
a/(N-1) jika sampel 1 yang terambil bukan yang rusak dan
(a-1)/(N-1) jika sampel 1 terambil yang rusak
Probabilitas mendapatkan x berhasil dalam n percobaan= h
40
12/23/2012
Dwina Roosmini
Distribusi hipergeometrik






a  N − a 










h( x; n, a, N ) = P ( x) = x n − x
N 
n







dimana :
x ≤ a dan (n − x) ≤ ( N − a)
x = 0,1,2,...n
Rata − rata = µ = n(a / N )
σ 2 = n.a( N − a)( N − n)
N 2 ( N −1)
41
12/23/2012
Dwina Roosmini
Distribusi Hipergeometrik
Suatu kotak yang berisi 40 suku cadang akan
memenuhi persyaratan penerimaan bila berisi tidak
lebih dari 3 suku cadang yang cacat. Dipilih 5 sampel
suku cadang secara acak, berapa kemungkinan
mendapat tepat satu yang cacat dalam 5 sampel
diatas bila dalam kotak tersebut berisi 3 yang cacat
42
12/23/2012
Dwina Roosmini
Distribusi Poisson
•
Observasi yang dapat dilakukan pada kejadian diskret dalam suatu
area kesempatan, contoh: jumlah telepon panggilan perjam pada kantor
polisi; jumlah laporan kehilangan kopor perhari pada suatu airport, dll
•
Merupakan pendekatan terhadap distribusi binomial jika n>> dan
p<< n.p ≤10
•
Batasan:
1. µ konstant untuk setiap unit waktu dan ruang
2. probabilitas lebih dari satu peristiwa dalam satu titik waktu atau ruang
adalah 0
3. peristiwa satu dengan lainnya independen
43
12/23/2012
Dwina Roosmini
Distribusi Poisson
P ( x; µ ) =
e
−µ x
µ
x!
untuk x = 0,1,2,3,...
µ = rata - rata peristiwa = λ s
Hasil pengukuran kualitas udara selama 9 perioda menunjukkan hasil
sebagai berikut:
3, 1, 10, 2, 4, 6, 8, 2 ppb
Pada konsentrasi rendah hanya akan dilaporkan sampai dengan
besaran tertentu. Berapakah probabilitas bahwa pada perioda
monitoring berikutnya hanya ada satu atau kurang dari satu ppb?
44
12/23/2012
Dwina Roosmini
Distribusi Geometris
• Bila peristiwa berhasil pertama akan dicapai
setelah x percobaan, gagal= x-1.
• Probabilitas berhasil = p, probabilitas gagal (x-1)
pada percobaan (x-1) adalah g
g ( x; p ) = P ( x ) = p (1 − p ) x − 1
dengan
µ = 1/ p
45
12/23/2012
Dwina Roosmini
Distribusi Multinomial
Sampel n bersifat bebas
Semua hasil merupakan mutually exclusive
Digunakan jika hasil pengamatan terdapat lebih dari
2, mis: nilai A, B, C, D
n!
m( x1, x 2, x3,..., xk ) =
= p1x1 p 2 x 2... pk xk
x1!x2!x3!...xk!
46
12/23/2012
Dwina Roosmini