struktur aljabar 1

STRUKTUR ALJABAR 1
Winita Sulandari
FMIPA UNS
Pengantar Struktur Aljabar
Sistem Matematika terdiri dari
• Satu atau beberapa himpunan
• Satu atau beberapa operasi yg bekerja pada
himpunan di atas
• Operasi-operasi di atas memenuhi ketentuan
atau aksioma tertentu
Pengantar Struktur Aljabar
• Struktur aljabar dengan satu himpunan dan
satu operasi
 grup, semi grup, monoid, grupoid
• Sruktur aljabar dengan satu himpunan dan
lebih dari satu operasi
 gelanggang, lapangan, daerah integral, dll
• Struktur aljabar dengan dua himpunan dan
beberapa operasi
 ruang vektor, modul, dll
GRUP dan SUBGRUP
Operasi Biner (def 1.4.1)
Bila A suatu himpunan, maka suatu Operasi
biner T : A x A  A adalah pemetaan yang
mengawankan setiap pasang (a,b)  A x A
dengan satu unsur c  A
Notasi: T(a,b) = c
aTb=c
a. b = c, di mana a, b, c  A.
Operasi biner
Dengan kata lain…
Terdapat operasi antara unsur-unsur dalam
himpunan A yang bersifat tertutup,
 setiap dua unsur dalam A, bila
dioperasikan menghasilkan unsur ketiga
yang juga unsur dalam A kembali.
Operasi Biner
• Dalam bahasa matematika:
• ( a,b  A ) (c  A)  a * b = c
• dimungkinkan c = a atau c = b atau
a dan c  b.
c
Contoh Operasi Biner
• Operasi (+) dan (.) pada himp bil bulat (Z)
• Coba cek!
Operasi * pada Z+ dengan n*m = n – m.
Apakah biner?
GRUPOID
Definisi 2.1.1
Suatu himpunan tidak kosong G dengan
operasi biner ( *) di dalamnya, disebut
grupoid
Notasi: (G, *)

Contoh Grupoid
• (Z,+)
• (G,*)
dgn G = { x, y, z } dan
*
x
y
z
x
x
y
y
y
y
x
y
z
z
y
x
Grupoid Abel
• Grupoid dengan sifat komutatif
• Jika (G, *) maka  x, y  G berlaku
x*y= y*x
Semi Grup
• Definisi 2.1.2
Suatu grupoid (G, * ) disebut semi-grup,
apabila terhadap operasi biner dalam G
berlaku sifat asosiatif sebagai berikut:
 x, y, z  G berlaku (x * y) * z = x * (y * z)
Contoh Semi Grup
• (Q,.)
berlaku (n. m). p = n .( m. p ),  n,m,p Q.
LATIHAN
• Bila R’=R|{-1} himpunan bil riil tanpa -1 dan
operasi dalam R’ ditentukan sbb:
x*y = x + y + xy, dengan x, y  R’. Apakah
operasi * merupakan operasi biner?
LATIHAN
Manakah di antara struktur aljabar berikut
mrpk grupoid, grupoid yang komutatif
dan yang berupa semi-grup:
a). Operasi biner * dalam Z dgn a* b = a - b
b). Operasi biner * dalam Q dgn a * b = ab + 1
c). Operasi biner * dalam Z+ dgn a * b = 2a b
LATIHAN
• Bila S himpunan berhingga, A(S) = { f : S  S /
f pemetaan bijektif } maka A(S) merupakan
semi-grup terhadap operasi komposisi,
jelaskan !
Sifat-sifat istimewa dalam grupoid
• Idempoten
• Mempunyai unsur identitas
• Mempunyai unsur invers
Sifat-sifat tersebut kadang terdapat pada grupoid
Sifat idempoten
• Suatu unsur a  G disebut idempoten jika
a* a = a
• Contoh:
1. Unsur 0 dalam semi-grup ( Z,+ )
2. Unsur 1 dan 0 dalam Semi-grup ( Z, . )
Latihan : Tentukan unsur idempotent pada Z4 dan Z6
Unsur Identitas
• Suatu unsur e  G disebut unsur identitas kiri
jika berlaku sifat:x  G maka berlaku
e * x = x.
• unsur e’ disebut identitas kanan jika  x  G
maka x * e’ = x.
• Identitas kiri = identitas kanan  e tunggal
Contoh unsur Identitas
• Unsur 0 dalam ( Z, + )
• Unsur 1 dalam (Z,. )
• unsur 1 dalam Z6 dengan operasi perkalian
modulo 6
Unsur Invers
• Pada grupoid ( G, * ) dgn unsur identitas e,
unsur a  G dikatakan mempunyai invers
jika terdapat unsur a-1  G yang memenuhi
a-1 *a = e = a * a-1

Contoh unsur invers
• Setiap n dalam (Z,+) mempunyai invers yaitu
(-n).
• G = { a, b, c } dengan operasi biner seperti
pada tabel sebagai berikut:
*
a
b
c
unsur identitas : b
a
b
a
c
a-1=a dan b-1=b, c-1 =?
b
a
b
c
c
a
c
a
Perhatikan tabel berikut
• G = { a, b, c } dengan operasi biner seperti
pada tabel sebagai berikut:
tentukan unsur identitas
dan unsur inversnya?
*
a
b
c
a
b
a
c
b
a
b
c
c
a
c
b
GRUP
Semi grup yang memuat unsur identitas dan
setiap unsurnya mempunyai invers merupakan
struktur aljabar yang disebut grup.
Grup (def 2.1.4)
Suatu himpunan tidak kosong G merupakan
suatu grup jika di dalam G terdapat operasi
biner, misalkan “ . ” yang memenuhi sifat sifat
 a,b,c  G berlaku :
a). Assosiatif : a . ( b . c ) = ( a . b ) . c
b).  e  G  a . e = e . a = a
c).  a  G  a-1  G  a . a-1 = a-1 . a = e
Grup (def 2.1.4’)
Suatu himpunan tidak kosong G merupakan
suatu grup jika di dalam G terdapat operasi *
dan unsur-unsur dalam G memenuhi sifat
a) tertutup:  a,b  G maka a *b = c dengan c  G
b) Assosiatif :  a,b,c  G berlaku a*(b*c ) = (a*b) *c
c).  e  G  a * e = e * a = a,  a  G
d).  a  G  a-1  G  a * a-1 = a-1 * a = e
Contoh Grup
• A(S) = { f : S  S / f pemetaan bijektif, S   }
dengan operasi “komposisi “
• (Z, +)
• (Z6, +)
• Bagaimana dengan (Z,.) dan (Z6, .), apakah
keduanya Grup?
LATIHAN
• Apabila G = { 1, -1, i, -i } di mana i2 = -1
dengan operasi dalam G adalah perkalian
bilangan kompleks, Selidiki apakah ( G,. )
merupakan suatu grup .
LATIHAN
Apakah struktur aljabar brkt mrpk suatu grup,
bila jawab ‘ya’ , buktikan dan bila jawab bukan ,
syarat grup mana yang tidak dipenuhi
a). Himpunannya Z dengan operasi yang
ditentukan a * b = ab
b). Pada 2Z = { 2n / n  Z } dengan operasi
sebagai berikut: a * b = a + b
LATIHAN
Selidiki manakah struktur aljabar berikut
membentuk grup:
a). Z ‘ = { 2n + 1 / n  Z } dengan operasi +
b). Z dengan operasi yang ditentukan
a *b= a+b+1
LATIHAN
• Buktikan dengan menggunakan tabel bahwa
Z 4 merupakan grup terhadap penjumlahan
modulo 4.
LATIHAN
• Himpunan H = { 1, 2, 3 } dengan operasi
perkalian modulo 4, apakah merupakan grup ?
Bila bukan, syarat mana yang tidak dipenuhi.
• Bagaimana dengan himpunan K={1, 2, 3, 4}
terhadap operasi perkalian modulo 5, jelaskan
dengan bukti.
Grup Komutatif
Apabila dalam grup G juga dipenuhi sifat
a∗b=b∗a
untuk setiap a,b ∈ G, maka grup G disebut
sebagai grup komutatif
Contoh : (Z, +)
Grup Komutatif
• Bagaimana dengan (Z, .)?
• Bukan merupakan grup karena tidak setiap
unsur Z mempunyai invers
Grup Komutatif
Jika M2(R) adalah semua matriks bertipe
2 x 2 dengan elemen-elemennya diambil
dari himpunan bilangan riil, apakah
merupakan suatu grup komutatif terhadap
operasi perkalian matriks?
Jika M2(R) adalah semua matriks bertipe 2 x 2
dengan elemen-elemennya diambil dari himpunan
bilangan riil, bukanlah suatu grup terhadap
operasi pergandaan matriks.
Jawab:
0 1
0 1
 M 2 ( R ) , jelas bahwa 
Pandang 


0
0
0
0




tidak mempunyai invers di dalam M2(R)
Jadi M2(R) bukan grup terhadap pergandaan matriks.
38