Fungsi Transenden - FMIPA Personal Blogs

Fungsi Transenden
Fungsi Transenden
Fungsi Transenden
Invers suatu fungsi dan turunannya
Fungsi logaritma asli
Fungsi eksponen asli
Fungsi eksponen dan logaritma umum
Pertumbuhan dan peluruhan eksponen
Fungsi Transenden
Fungsi satu-ke-satu
Fungsi f : D f  R f dikatakan satu-ke-satu jika untuk setiap
u, v Є Df berlaku u ≠ v, f (u) ≠ f (v). (atau f (u) = f (v)
maka u = v, untuk setiap u,v ЄD f )
Contoh:
 , f (x) = x3 satu-ke-satu karena
f (u)  f (v) maka u 3  v3 dengan demikian
u3 -v3  0 atau (u  v)(u 2  uv  v3 )  0, maka u  v
2
Fungsi f :  [0, ), f ( x)  x bukan satu-ke-satu
Fungsi f:
karena -2, 2
 D f dengan 2 ≠ 2 tetapi f (-2) = f (2) = 4.
Invers Fungsi & Turunannya
x
f
Misalkan x berada pada suatu daerah asal dan f fungsi
satu-satu;
Kemudian x kita kenakan pada f, akan menghasilkan f(x)
pada daerah hasil;
Selanjutnya kita kenakan f(x) pada fungsi invers atau
balikannya; yang hasilnya adalah x itu sendiri.
f (x)
Atau dengan kata lain dapat dinotasikan dengan
f -1
x
f 1  f x   x
dan
f 1  f  y   y
Fungsi Transenden
Notasi Fungsi Invers
Andaikan f memiliki balikan atau invers, maka
x  f 1  y   y  f  x 
Akibatnya y=f(x) dan f invers y menentukan pasangan bilangan
(x,y) yang sama, sehingga memiliki grafik-grafik yang identik.
y
( 2, 4 )
y=x
( 4, 2 )
y = f -1 (x)
x
y = f(x)
Fungsi Transenden
Teorema Eksistensi
Fungsi Invers
Jika f monoton murni pada daerah asalnya,
maka f memiliki fungsi invers
Fungsi Transenden
Contoh Soal
f x   x  2 x  1
5
f x   5x  2  0
4
f memiliki invers pada daerah asalnya,
yaitu bilangan real.
Fungsi Transenden
Prosedur Menentukan Bentuk Invers Fungsi
Langkah 1 : Selesaikan persamaan y = f(x) untuk x dalam bentuk y. Misalkan:
x
 1  x  y  x
1 x
 y  xy  x  x  xy  y
y
 x1  y   y  x 
y
1 y
Langkah 2 : Gunakan f-1 (y) untuk untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam y.
y
f y 
1 y
1
Langkah 3 : Gantilah y dengan x untuk mendapatkan rumus untuk f-1(x).
x
f x  
1 x
1
Fungsi Transenden
Teorema Turunan Fungsi Invers
Jika f adalah suatu fungsi yang memiliki invers, dengan
g = f - 1 dan f’(g(a)) ≠ 0,
maka g dapat diturunkan di a dan
g’ (a)=1/f ’(g(a)).
Contoh
f(x)=2x+cos x, tentukan (f – 1)’(1).
Perhatikan bahwa f’(x) = 2 – sin x > 0,
akan dicari f – 1(1);
f(0)=1 akibatnya f – 1(f(0)) =0= f – 1(1)
Jadi (f – 1)’(1) =1/(f ’ (f – 1(1))) = 1/(f ’ (0)) = ½
Fungsi Transenden
Fungsi Logaritma Asli
Perhatikan turunan2 fungsi berikut ini.
 x2 
Dx    x
 2
 x x
Dx   
2 2
 
Dx x  2  2 x 1
Kemudian adakah fungsi yang turunannya adalah 1/x?
Dx ????  
1
x
Fungsi Transenden
Definisi Logaritma
Fungsi logaritma asli dinyatakan dalam ln, didefinisikan sebagai
x
1
ln x   dt , x  0
t
1
Daerah asalnya adalah himpunan real positip.
Secara Geometri
3
y
1
 t dt  ln 3
1
y = 1/x
x
Fungsi Transenden
1
3
Luas = ln 3
Turunan Fungsi Logaritma
x1  1
Dx ln x   Dx   dt   , x  0.
1 t  x
Dengan demikian bila kita akan mencari anti turunan dari fungsi 1/x kita dapatkan
x1  1
Dx ln x   Dx   dt   , x  0.
1 t  x
Fungsi Transenden
Penyelesaian Soal
1
Dx ????   ,
x
1
Dx ln x   , x  0
x
Dari rumusan ini kita dapat menjawab pertanyaan yang muncul pada awal sub bab ini
yakni ln(x)
Fungsi Transenden
Teorema A
Sifat-sifat yang dimiliki oleh fungsi logaritma asli adalah;
Jika a dab b bilangan-bilangan positif dan r sebarang bilangan rasional, maka
(i ). ln 1  0
(ii ) ln ab  ln a  ln b
a
(iii ) ln  ln a  ln b
b
r
(iv ) ln a  r ln a
Fungsi Transenden
Contoh Soal
Tentukan turunan dari
Jawabannya :


3
ln x

Dx ln x  1 .Dx  x

3
x
3
1
1
3
 1 1
 1. x

 x3 3
2

3
1
 .
3x
Fungsi Transenden
Fungsi Eksponen Asli
Invers dari fungsi logaritma asli disebut fungsi eksponen asli
dan dinyatakan oleh lambang e atau exp; yakni
x  exp y  y  ln x
kata exp dikenal dengan lambang e,
yg menyatakan bilangan real positip
sedemikian rupa sehingga ln e = 1.
Fungsi Transenden
Sifat Fungsi Eksponensial
Andaikan a dan b adalah sebarang bilangan real, maka
(i).e e  e
a
b
a b
a
e
a b
(ii ) b  e
e
Fungsi Transenden
Turunan & Integral Fungsi Eksponen
Dx e x  e x
x
x
e
dx

e
C

Karena fungsi logaritma natural dan eksponensial asli adalah fungsi yang saling invers,
maka grafik dari kedua fungsi tersebut adalah sebagai berikut
y = ex
y  ex 
y=x
y = ln(x)
ln y  ln e x 
ln y  x ln e 
ln y  x
Fungsi Transenden
Fungsi Eksponen & Logaritma Umum
Definisi
Fungsi eksponensial berbasis a didefinisikan sebagai berikut
Untuk a > 0 dan sebarang bilangan real x.
a e
x
x ln a
Fungsi Transenden
Sifat Fungsi Eksponen & Logaritma Umum
Jika a > 0, b > 0, dan x,y adalah bilangan-bilangan real, maka
(i )a x a y  a x  y
ax
(ii ) y  a x  y
a
 
(iii ) a x
y
 a xy
(iv )ab   a x b x
x
x
ax
a
(v)   x
b
b
dengan bentuk turunan dan integralnya adalah sebagai berikut;
 
Dx a x  a x ln a
ax
 a dx  ln a  C, a  1
x
Fungsi Transenden
Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
1. Pertumbuhan Populasi dan Peluruhan Radioactive
Glacier National Park, Montana
Photo by Vickie Kelly, 2004
Pertumbuhan & Peluruhan
Eksponensial
Greg Kelly, Hanford High School, Richland, Washington
Fungsi Transenden
Model Peluruhan & Pertumbuhan Eksponensial
Pertumbuhan suatu populasi dapat dinyatakan sebagai:
laju perubahan populasi relative terhadap populasi awalnya;
misalnya laju pertumbuhan tersebut konstan sebesar k;
maka dapat dinyatakan dalam formula berikut;
dy
 ky
dt
Solusi
Solusi
Fungsi Transenden
1
dy  k dt
y
1
 y dy   k dt
ln y  kt  C
e
ln y
 ekt C
y  eC  ekt
y  eC  ekt
y  Aekt
y0  Aek 0
Fungsi Transenden
Diperoleh:
y  y0ekt
Bila k bernilai positif maka disebut sebagai pertumbuhan eksponensial;
dan bila k bernilai negatif disebut sebagai peluruhan eksponensial;
yang contohnya ada dalam peluruhan radioaktif.
Peluruhan radioaktif dapat digambarkan dalam proses berikut :
Alpha

Beta  +

Gamma

Fungsi Transenden
2. Kegunaan pada bahan makanan adalah untuk pengawetan
Fungsi Transenden
Waktu Paruh Bahan Radioaktif
1
y0  y0e kt
2
1
ln    ln e kt
2
0
ln1  ln 2  kt
 
ln 2  kt
ln 2
t
k

Fungsi Transenden
Pertumbuhan terbatas
Laju pertumbuhan
sebanding dengan selisih
antara jumlah tertentu dan
populasinya.
Aplikasi: Penjualan produk
terbaru, depresiasi peralatan,
pertumbuhan perusahaan,
proses belajar, dan
sebagainya.
Solusi:
Pertumbuhan logistik
Laju pertumbuhan sebanding
dengan perkalian populasinya
dengan selisih antara jumlah
tertentu dan populasinya.
Aplikasi: Pertumbuhan
populasi jangka panjang,
epidemi, penjualan produk baru,
penyebaran rumor (gosip),
pertumbuhan perusahaan, dan
sebagainya
dy
M
= ky(M - y), k, t > 0, y(0) = 1 + c .
dt
M
y
=
Solusi:
- kM t
1 + ce
M dy
dy
= kM dt
•Bukti:
=
ky
(
M
y
)
ubah
menjadi
y
(
M
y
)
dt
1
1
Membuat rasional sederhana:
+
dy = k M dt
y M- y
1
1
+
dy = kM dt
y M- y
y
kMt +c1
kMt
y
=
e
=
c
e
ln M - y = kMt + c1 atau M - y
2
M- y
1
- kMt
- kMt
=
=
c
e
M
y
=
yc
e
atau
3
3
y
c2ekM t
M
- kMt
y (1 + c3e
) = M atau y = 1 + c e- kM t
3
ò(
)
(
)
ò
M
Karena y (0) = 1 + c
maka
M
M
=
1 + c3 1 + c
sehingga c3 = c. Jadi solusinya adalah y =
M
1 + ce- kM t
Exercise (1)
Carbon 14, an isotope of carbon is
radioactive and decays at a rate proportional
to the amount present. Its half-life is 5730
years; that is, it takes 5730 years for a given
amount of carbon 14 to decay to one-half its
original size. If 10 grams was present
originally, how much will be left after 2000
years?
Fungsi Transenden
Answer
The half-life of 5730 allows us to determine
k, since it implies that
1
 1ek (5730)
2
Or, after taking logarithms,
 ln 2  570k
 ln 2
k
 0.000121
5730
Thus,
y=10e-0.000121t
At t = 2000, that gives
y  10e0.000121(2000)  7.85grams
Fungsi Transenden
Exercise (2)
The number of bacteria in a rapidly growing
culture was estimated to be 10,000 at noon
and 40,000 after 2 hours. Predict how many
bacteria there will be at 5 P.M.
Fungsi Transenden
Answer
We assume that the differential equation
kt
y

y
e
0
dy/dt = ky is applicable, so
Now we have two conditions (y0=10,000 and
y=40,000 at t=2), from which we conclude that
Fungsi Transenden
40,000  10,000e k (2)
4  e2 k
Taking logarithms yields
ln 4  2k
or
1
k  ln 4  ln 4  ln 2
2
Thus,
y  10,000e(ln 2) t
and at t=5, this gives
y  10,000e0.693(5)  320,000
Fungsi Transenden
Fungsi Transenden