struktur data hirarkis : tree - E

STRUKTUR DATA HIRARKIS : TREE
Tree merupakan salah satu struktur data yang paling penting, karena
banyak aplikasi menggunakan informasi dan data yang secara alami
memiliki struktur hirarkis berguna dalam membantu memecahkan
banyak masalah algoritmis.
Aplikasi pohon biner :
a.
sebagai representasi ekspressi matematika
b.
aplikasi pohon biner dalam Huffman Coding.
Cara Penggambaran Tree :
•
Notasi Kurung
•
Diagram Venn
•
Notasi Tingkat
•
Notasi Garis
Terminologi :
–
–
–
–
–
Tree (atau pohon)
sejumlah node yang berhubungan secara hirarkis dimana suatu
node pada suatu hirarki merupakan cabang dari node dengan
hirarki yang lebih tinggi dan juga memiliki cabang ke beberapa
node lainnya dengan hirarki yang lebih rendah.
Root (atau akar)
Node dengan hirarki tertinggi dinamakan root.
leaf (atau daun)
node yang tidak memiliki cabang.
Internal node (atau node dalam)
node yang bukan merupakan leaf.
edge (atau sisi atau cabang)
menyatakan hubungan hirarkis antara kedua node yang
terhubungkan, biasanya digambarkan berarah (berupa panah)
untuk menunjukkan node asal edge lebih tinggi dari node tujuan
dari edge.
–
–
–
–
–
–
Level (atau tingkat) suatu node (Kadang dimulai level 0 atau 1)
Bilangan yang menunjukan hirarki dari suatu node, root memiliki
level 1, node cabang dari root memiliki level 2, node cabang
berikutnya dari node adalah level 3, dan seterusnya.
Height (atau tinggi) suatu tree
Sama dengan level dengan angka terbesar (hirarki terendah) suatu
node yang ada dalam tree atau bisa juga didefinisikan sebagai
jumlah sisi terbanyak dari root hingga suatu leaf yang ada di tree.
Depth (atau kedalaman) suatu node
Jumlah sisi dari root hingga node ybs.
Subtree (atau subpohon)
sebagian dari tree mulai dari suatu node N melingkupi node-node
yang berada dibawah hirarkinya sehingga dapat dipandang
sebagai suatu tree juga yang mana N sebagai root dari tree ini.
Tree kosong
Suatu tree yang tidak memiliki satu node pun.
Tree dengan urutan
letak geometris node-node yang merupakan cabang yang sama
dari suatu node adalah penting; biasanya urutan dari kiri ke kanan.
-
-
-
B, C, D dan E memiliki induk (parent) yang sama yaitu A, sehingga ke4 node tersebut disebut saudara (siblings)
Semua node di bawah suatu node induk hanya dapat diakses melalui
induknya
Lintasan (path) sebuah node X adalah urutan akses untuk
mendapatkan X yang dimulai dari Akar. Path(M) = [A – B – G – M]
Panjang lintasan (path length) X adalah jumlah node yang harus
diakses untuk mendapatkan X; sehingga |Path(M)| = 4. Ada juga yang
menyatakan panjang lintasan sebuah node adalah jumlah garis dari
akar sampai node tersebut
Tinggi (height) dari sebuah pohon adalah panjang lintasan terpanjang.
Tinggi pohon di bawah ini = 4
Jika ada sebuah lintasan dari node a ke node b, maka a adalah
pendahulu (ancestor) dari b dan b disebut keturunan (descendent) dari
a
Kedalaman (depth) dari sebuah node adalah panjang lintasan dari
akar ke node tersebut. Depth (G) = 3
Karakteristik :
a.
Terdapat 1 node yang unik, yang tidak memiliki predecessor, yang
disebut dengan root (akar)
b.
Terdapat satu atau beberapa node yang tidak memiliki successor yang
disebut dengan leaf (daun)
c.
Setiap node kecuali root pasti memiliki satu predecessor
d.
Setiap node kecuali leaf pasti memiliki 1 atau lebih successor
Contoh :
Root
A
Node/Vertex/Simpul
Edge/ Link
B
C
F
K
D
G
L
E
H
M
J
I
N
Leaf (daun)
O
BINARY TREE
Karakteristik : Maksimum child adalah 2 (Left Child dan Right Child)
Complete Binary Tree :
Bila semua node kecuali Leaf memiliki 0 atau 2 child. Subtree pada Heap
Tree dapat memiliki path length yang berbeda
Skewed Binary Tree (Miring) :
Bila semua node, kecuali Leaf memiliki hanya 1 child
Full Binary Tree :
Bila semua node kecuali Leaf memiliki 2 Child dan semua subtree harus
memiliki path yang sama
Representasi :
- Ekspresi MM dengan Binary Tree
- Huffman Code
Ekspressi Matematika (EM) didefenisikan sebagai berikut:
(1). Variabel dan Bilangan adalah EM
(2). Jika E, E1 dan E2 adalah EM maka
– E, + E dan (E) adalah EM
E1 + E2, E1 – E2, E1 * E2, E1 / E2, E1 div E2, E1 mod E2 dan
E1^E2 juga adalah EM
Contoh :
4 adalah EM
X adalah EM
4 + X adalah EM
2 + 4 * 3 adalah EM
(2 + 4) * 3 adalah EM
((3 + 2) * (5 – 2)) / (2 + 3) adalah EM dan seterusnya
Contoh:
Diketahui: Ekspressi Matematika ((2 + 3) * (5 – 2) + 5) * (5 + 3 * 2)
Ditanya: Gambarkan pohon ekspressi dengan cara Bootom Up
Penyelesaian:
Ekspressi tersebut terbagi dua menjadi E1 dan E2 oleh operator *; sehingga
ekspressi tersebut dapat ditulis sebagai (E1) * (E2) dimana E1 = ((2 + 3)
* (5 – 2) + 5) dan E2 = (5 + 3 * 2).
Kemudian gambarkan pohon ekspressi untuk (E1) * (E2).
Huffman Code:
Hubungan Level dengan Jumlah Data :
Level
Ke :
Jumlah data
Minimum
Maksimum
1
1
1 = 20
2
1
2 = 21
3
1
4 = 22
4
1
8 = 23
5
1
16 = 24
6
1
32 = 25
…
…
…
L
1
2(L-1)
TRAVERSAL BINARY TREE
- Operasi penelusuran node-node dalam binary tree
- Traversal dibagi 3, yaitu :
a. Preorder
b. Inorder
c. Postorder
-
Algoritma :
Procedure Preorder (n : BST);
Begin
If (n<> NIL) Then
Begin
Write(n^.Info);
Preorder(n^.Kiri);
Preorder(n^.Kanan);
End;
End;
Procedure Inorder (n : BST);
Begin
If (n<> NIL) Then
Begin
Inorder(n^.Kiri);
Write(n^.Info);
Inorder(n^.Kanan);
End;
End;
Procedure Postorder (n : BST);
Begin
If (n<> NIL) Then
Begin
Postorder(n^.Kiri);
Postorder(n^.Kanan);
Write(n^.Info);
End;
End;
Contoh :
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
Implementasi Binary Tree :
a.
Array
b.
Linked List
Implementasi BT pada array :
Indeks pada array menyatakan nomor kode
Node root mempunyai indeks array = 1
Leftchild suatu node dengan nomor p adalah (2p)
Rightchild suatu node dengan nomor p adalah (2p+1)
Parent dari suatu node dengan nomor p adalah (p div 2)
Implementasi Binary Tree dengan Linked List
Uses crt;
Type
Pointer =^Cell;
Cell = Record
Kiri : Pointer;
Info : Char; (* boleh diganti dg integer / tipe data lain *)
Kanan : Pointer;
End;
BST = Pointer;
Implementasi Binary Search Tree :
Ketentuan :
a.
Semua left child harus lebih kecil dari parent
b.
Semua right child harus lebih besar dari parent
Keuntungan : Pencarian node target menjadi lebih efisien dan cepat
Operasi-Operasi Standar BST :
Mengosongkan BST
Mencek apakah BST kosong
Mencari Tree Minimum
Mencari Tree Maksimum
Memasukkan data baru ke dalam BST
Mencari elemen tertentu dalam BST
Menghapus data tertentu dari dalam BST
Menampilkan semua elemen dalam BST
a.
Mengosongkan BST (Makenull)
Procedure Makenul (T: BST);
Begin
T := Nil;
End;
b.
Memeriksa Apakah BST Kosong
Function Empty(T : BST) : Boolean;
Begin
Empty := (T = Nil)
End;
c. Pencarian Tree Minimum
Function TREE_MINIMUM (T : BST ) : BST;
Begin
If (Not Empty (T)) Then
Begin
While (T^.Kiri <> NIL) do
Begin
T = T^.Kiri;
End;
return T;
End;
End;
d. Pencarian Tree Maksimum
Function TREE_MAKSIMUM(T : BST ) : BST;
Begin
If (Not Empty (T)) Then
Begin
While (T^.Kanan <> NIL) do
Begin
T = T^.Kanan;
End;
return T;
End;
End;
Operasi Insert :
- Pencarian lokasi untuk node yang akan diinsert selalu dimulai dari root
- Jika node yang diinsert lebih kecil dari root , maka insert di daun pada left
subtree
- Jika node yang diinsert lebih besar dari root , maka insert di daun pada
right subtree
e. Memasukkan data baru ke dalam BST
Procedure Insert(x : TipeData; Var T : BST);
Begin
If (T = Nil) Then (* Jika ditemukan T yang nil *)
Begin
New(T);(* ciptakan node baru ditunjuk oleh T *)
T^.Kiri := Nil;
(* Set pointer kiri = nil *)
T^.Info := x;
(* Isi data pada node = x *)
T^.Kanan := Nil;
(* Set pointer kanan = nil *)
End
Else (If x = T^.Data) Then (* x sudah ada dalam T *)
Writeln(‘Error : data tersebut sudah ada *)
Else (If x < T^.Data) Then
Insert(x, T^.Ki) (*jika x < data yg ditunjuk T, maka sisipkan x ke kiri*)
Else (* x > data yang ditunuk T sisipkan x ke kanan *)
Insert(x, T^.Ka)
End;
f. Mencari elemen tertentu dalam BST
Function Search (x: TipeData, T : BST) : Boolean;
Begin
If (T = Nil) Then
Search := False
Else If (x = T^.Info) Then
Search := True (* x ditemukan *)
Else If (x < T^.Info) Then
Search := Search(x, T^.Kiri) (*cari x ke kiri *)
Else (*x > T^.Info *)
Search:= Search(x, T^.Kanan) (* cari secara rekursif ke kanan *)
End;
Operasi Delete
Ketentuan Delete :
- Jika yang didelete adalah leaf maka tidak perlu dilakukan modifikasi
terhadap lokasi
- Jika yang didelete adalah node yang hanya memiliki satu anak, maka
anak tersebut langsung menggantikan posisi dari parent-nya
- Jika yang didelete adalah node dengan 2 anak (2 subtree), maka node
yang diambil menggantikan node yang dihapus adalah :
a.
Berasal dari left subtree yang diambil adalah node yang paling
kanan (nilai terbesar)
b.
Berasal dari right subtree yang diambil adalah node yang
paling kiri (nilai terkecil)
g. Menghapus data tertentu dari dalam BST
Procedure Delete (x : TipeData; Var T : BST);
Var
Bantu : Pointer;
Begin
If (T = Nil) Then
Writeln(‘Error : ‘, x, ‘ tidak ditemukan ‘)
Else If (x < T^.Info) Then
Delete(x, T^.Kiri) (* rekursif ke kiri *)
Else If (x > T^.Info) Then
Delete(x, T^.Kanan) (*rekursif ke kanan *)
Else (*x ditemukan *)
If (T^.Kiri = Nil And T^.Kanan = Nil) Then (*Kasus x adalah daun *)
Begin
Bantu := T; (*Tangkap node dengan pointer Bantu *)
T := Nil; (*potong T yang tadinya menunjuk node berisi x *)
Dispose(Bantu) (*deallocate Bantu atau lepaskan node *)
End
Else If (T^.Kiri = Nil) Then (*x berada pada node dimana kirinya nil *)
Begin
Bantu := T;
T := T^.Kanan;
(* Set T = pointer kanannya *)
Bantu^.Kanan := Nil; (*putuskan hubungan node dgn kanannya *)
Dispose (Bantu);
(*lepaskan node berisi x *)
End
Else If (T^.Kanan = Nil) Then (*x berada dinode dimana kanannya nil *)
Begin
Bantu := T;
T := T^.Kiri ;
(* Set T = pointer kirinya *)
Bantu^.Kiri := Nil; (*putuskan hubungan node dengan kirinya *)
Dispose (Bantu);
(* lepaskan node yang berisi x *)
End
Else (* pointer kiri dan kanan T tidak kosong *)
T^.Info := DeleteMin(T^.Kanan)
End;
Fungsi Untuk Mendukung Operasi Delete :
Function DeleteMin (Var A : BST) : TipeData;
Var
Bantu : Pointer;
Begin
If (T^.Kiri = Nil) Then (*ditemukan data terkecil *)
Begin
Bantu := T ;
(* tangkap node yang berisi data terkecil *)
DeleteMin := T^.Info; (*Ambil&simpan data terkecil *)
T := T^.Kanan;
(* Set T = pointer kanannya *)
Bantu^.Kanan := Nil; (*lepas hubungan node tsb dgn anaknya *)
Dispose (Bantu);
(*lepaskan node yang berisi data terkecil *)
End
Else
DeleteMin := DeleteMin(T^.Ki); (*rekursif ke kiri *)
End;
h. Menampilkan semua elemen dalam BST
Procedure Tampil(T);
Var Pilih : Integer;
Begin
Clrscr;
Writeln(‘1. Tampil Secara Preorder’);
Writeln(‘2. Tampil Secara Inorder’);
Writeln(‘3. Tampil Secara Postorder’);
Writeln;
Write(‘Silahkan Pilih : ‘); Readln(Pilih);
If (Pilih = 1) Then
Preorder(T)
Else If (Pilih = 2) Then
Inorder (T)
Else
Postorder(T);
Readln
End;
AVL TREE
Definisi : BST yang mempunyai ketentuan bahwa maks
perbedaan tinggi antara subtree kiri dan kanan adalah satu
Height-Balanced Tree :
- BST adalah Height Balanced p-tree yang artinya maksimum
perbedaan height antara subtree kiri dan kanan adalah p
- AVL Tree adalah height balanced 1-tree yang berarti
maksimum perbedaan height antara subtree kiri dan kanan
adalah satu
a. TallLeft bila subtree kiri lebih panjang dari subtree kanan
(simbol -)
b. TallRight bila subtree kanan lebih panjang dari subtree kiri
(simbol +)
c. Balance bila Subtree kiri dan kanan mempunyai height
sama, simbolnya 0
Search Path :
Path pencarian lokasi untuk dilakukan operasi insert dimulai
dari Root
Pivot Point :
- Adanya node pada search path yang balancenya TallLeft
(tanda -) atau TallRight (tanda +) dan terletak paling dekat
dengan node yang baru
- Contoh : Jika diinsert node baru dengan nilai 5, maka pivot
pointnya di node 25
Operasi Insert :
- Kasus-1
Tidak ada pivot point dan setiap node adalah balance, maka
bisa langsung diinsert sama seperti BST
- Kasus 2
Jika ada PP tetapi subtree yang akan ditambahkan node
baru memiliki height yang lebih kecil, maka bisa langsung di
insert
- Kasus 3
Jika ada PP dan subtree yang akan ditambahkan node baru
memiliki height yang lebih besar, maka tree harus digenerate
supaya tetap menghasilkan AVL Tree
Regenerate :
- Single Rotation
a. Single Left Rotation
b. Single Right Rotation
- Double Rotation
a. Double Left Rotation
b. Double Right Rotation
Algoritma Single Right Rotation :
Function SRR (R : Node) : Node;
Begin
Node P := R^.Left;
R^.Left := P^.Right;
P^.Right := R;
SRR := P;
End;
Algoritma Single Left Rotation :
Function SLR (R : Node) : Node;
Begin
Node P := R^.Right;
R^.Right := P^.Left;
P^.Left := R;
SLR := P;
End;
Algoritma Double Right Rotation :
Function DRR (R : Node) : Node;
Begin
Node P := R^.Left;
Node Q := P^.Right;
R^.Left := Q^.Right;
P^.Right := Q^.Left;
Q^.Right := R;
Q^.Left := P;
DRR := Q;
End;
Algoritma Double Left Rotation :
Function DLR (R : Node) : Node;
Begin
Node P := R^.Right;
Node Q := P^.Left;
R^.Right := Q^.Left;
P^.Left := Q^.Right;
Q^.Left := R;
Q^.Right := P;
DLR := Q;
End;
HEAP TREE :
Definisi :
- Heap adalah Tree yang memenuhi persamaan :
R[ I ] < R[ 2*I ] dan R[ I ] < R[2*I + 1]
- Heap disebut juga Complete Binary Tree
- Minimum Heap : Jika nilai parentnya selalu lebih kecil dari pada kedua
childrennya
- Maximum Heap : Jika nilai parentnya selalu lebih besar dari pada kedua
childrennya
Algoritma :
Procedure Heapify(A:T; I : Integer);
Begin
L := 2*I;
R := 2*I+1;
If (L<=Heap_Size[A] And A[L] > A[I]) Then
besar := L
Else
besar := I;
If (R<=Heap_Size[A] And A[R] > A[besar]) Then besar := R;
If (besar <> I) Then
Begin
Swap(A[I], A[besar]);
Heapify(A, besar);
End;
End;
Procedure Bentuk_Heap(A : T);
Begin
Heap_Size[A] = Length[A];
For I:=Length[A]/2 DownTo 1 Do
Heapify(A, I);
End;
Algoritma Heap Sort :
Procedure Heap_Sort(A : T);
Begin
Bentuk_Heap(A);
For I:= Length[A] Downto 2 Do
Begin
Swap(A[1], A[I]);
Heap_Size[A] := Heap_Size[A] -1;
Heapify(A,1);
End;
End;
B-Tree :
-
-
Definisi : Tree yang setiap nodenya dapat berisi lebih dari pada satu
elemen
Jumlah elemen dalam sebuah node tergantung kepada order dari B-Tree
tersebut
Jumlah minimum elemen dalam setiap node (kecuali root) adalah d, dan
jumlah max adalah 2d, dimana d adalah order. Untuk Root, jumlah
minimum elemen 1, dan jumlah maksimum adalah 2d
Jumlah minimum children dari suatu node dalam B-Tree adalah 0, dan
jumlah Max-nya adalah jumlah elemen+1
Operasi dalam B-Tree :
- Insert
Jika node belum penuh (jumlah elemen < 2d), maka elemen
bisa langsung di-insert
Contoh : d = 2
23 30 35
Insert (25)
23 25 30 35
Jika node sudah penuh, maka perlu dilakukan node split
Langkah Node Split :
- Split node menjadi 2
- Letakkan d elemen terkecil di node kiri
- Letakkan d elemen terbesar di node kanan
- Letakkan elemen tengah ke node parentnya
Contoh :
14 25 30 35
Insert(20)
25
14 20
30 35
Delete :
- Jika target node yang akan dihapus berisi elemen lebih dari
d, maka target elemen bisa langsung dihapus tanpa perlu
regenerate
- Jika target node yang akan dihapus berisi d node,
penghapusan langsung akan menyebabkan underflow
- Regenerate dilakukan dengan meminjam elemen yang
berada di node kiri atau dikanan (yang memiliki elemen lebih
dari d). Parent/ Separator akan berubah
- Jika node dikiri atau dikanan yang akan dilakukan
peminjaman ternyata mempunyai elemen kurang dari d,
yang mana jika dilakukan peminjaman, node tersebut akan
terjadi underflow
- Regenerate akan dilakukan dengan menggabungkan node
yang akan dihapus dengan node dikiri/kanan
Struktur Data Graph :
Pendahuluan :
1.
Graph : struktur data yang berbentuk network/jaringan, hubungan
antar elemen adalah many-to-many
2.
Struktur Data Linear = keterhubungan sekuensial antara entitas data
3.
Struktur Data Tree = keterhubungan hirarkis
4.
Struktur Data Graph = keterhubungan tak terbatas antara entitas data.
Contoh graph : Informasi topologi jaringan dan keterhubungan antar
kota-kota
5.
Keterhubungan dan jarak tidak langsung antara dua kota = data
keterhubungan langsung dari kota-kota lainnya yang
memperantarainya.
6.
Penerapan struktur data linear atau hirarkis pada masalah graph dapat
dilakukan tetapi kurang efisien. Struktur data graph secara eksplisit
menyatakan keterhubungan ini sehingga pencariannya langsung
(straightforward) dilakukan pada strukturnya sendiri.
Masalah-masalah Graph
Masalah path minimum (Shortest
path problem)
mencari route dengan jarak terpendek dalam suatu
jaringan transportasi.
Masalah aliran maksimum
(maximum flow problem)
menghitung volume aliran BBM dari suatu reservoir ke
suatu titik tujuan melalui jaringan pipa.
Masalah pencarian dalam graph
(graph searching problem)
mencari langkah-langkah terbaik dalam program
permainan catur komputer.
Masalah pengurutan topologis
(topological ordering problem)
menentukan urutan pengambilan mata-mata kuliah yang
saling berkaitan dalam hubungan prasyarat (prerequisite).
Masalah jaringan tugas (Task
Network Problem)
membuat penjadwalan pengerjaan suatu proyek yang
memungkinkan waktu penyelesaian tersingkat.
Masalah pencarian pohon rentang
minimum (Minimum Spanning
Tree Problem)
mencari rentangan kabel listrik yang totalnya adalah
minimal untuk menghubungkan sejumlah kota.
Travelling Salesperson Problem
tukang pos mencari lintasan terpendek melalui semua
alamat penerima pos tanpa harus mendatangi suatu
tempat lebih dari satu kali.
Four-color problem
dalam menggambar peta, memberikan warna yang
berbeda pada setiap propinsi yang saling bersebelahan.
Graph terdiri dari himpunan verteks (node) dan himpunan sisi (edge, arc).
Verteks menyatakan entitas-entitas data dan sisi menyatakan
keterhubungan antara verteks.
Notasi matematis graph G adalah :
G = (V, E)
Sebuah sisi antara verteks x dan y ditulis {x, y}.
Subgraph : graph yang merupakan suatu subset (bagian) graph yang
connected
Graph H = (V1, E1) disebut subgraph dari graph G jika V1 adalah himpunan
bagian dari V dan E1 himpunan bagian dari E.
Jenis Graph :
a.
Directed Graph (Digraph) : jika sisi-sisi graph hanya berlaku satu arah.
Misalnya : {x,y} yaitu arah x ke y, bukan dari y ke x; x disebut origin
dan y disebut terminus. Secara notasi sisi digraph ditulis sebagai
vektor (x, y).
Contoh Digraph G = {V, E} :
V = {A, B, C, D, E, F, G, H, I,J, K, L, M}
E = {(A,B),(A,C), (A,D), (A,F), (B,C), (B,H), (C,E), (C,G), (C,H), (C,I), (D,E),
(D,F), (D,G), (D,K), (D,L), (E,F), (G,I), (G,K), (H,I), (I,J), (I,M), (J,K), (J,M),
(L,K), (L,M)}.
B
A
H
C
M
F
I
E
D
G
K
L
J
b.
Graph Tak Berarah (undirected graph atau undigraph): setiap sisi {x, y}
berlaku pada kedua arah: baik x ke y maupun y ke x. Secara grafis sisi
pada undigraph tidak memiliki mata panah dan secara notasional
menggunakan kurung kurawal.
Contoh Undigraph G = {V, E}
V = {A, B, C, D, E, F, G, H, I,J, K, L, M}
E = { {A,B},{A,C}, {A,D}, {A,F}, {B,C}, {B,H}, {C,E}, {C,G}, {C,H}, {C,I}, {D,E},
{D,F}, {D,G}, {D,K}, {D,L}, {E,F}, {G,I}, {G,K}, {H,I}, {I,J}, {I,M}, {J,K},
{J,M}, {L,K}, {L,M}}.
Khusus graph, undigraph bisa sebagai digraph (panah di kedua ujung edge
berlawanan)
Struktur data linear maupun hirarkis adalah juga graph. Node-node pada
struktur linear ataupun hirarkis adalah verteks-verteks dalam
pengertian graph dengan sisi-sisinya menyusun node-node tersebut
secara linear atau hirarkis.
Struktur data linear adalah juga tree dengan pencabangan pada setiap node
hanya satu atau tidak ada.
Linear 1-way linked list (digraph), linear 2-way linked list (undigraph).
B
A
H
C
M
F
I
E
D
G
K
L
J
B
A
H
C
M
F
I
E
D
G
K
L
J
Konektivitas pada Undigraph
• Adjacency: Dua verteks x dan y yang berlainan disebut
terhubung langsung (adjacent) jika ada sisi {x, y} dalam E.
• Path : Urutan dari kumpulan node-node, dimana tiap node
dengan node berikutnya dihubungkan dengan Edge
• Simple Path : Jika node dalam path tsb hanya muncul 1 kali
• Panjang dari path: jumlah sisi yang dilalui path.
• Siklus (cycle) : suatu path dengan panjang lebih dari satu,
dimana vertex awal dan akhir sama.
• Siklus sederhana: dalam undigraph, siklus yang terbentuk dari
tiga atau lebih verteks yang berlainan, dimana tidak ada vertex
muncul lebih satu kali kecuali verteks awal/akhir.
• Dua verteks x dan y yang berbeda dalam suatu undigraph
disebut berkoneksi (connected) apabila ada path penghubung.
• Suatu komponen terkoneksi (connected components) adalah
subgraph (bagian dari graph) yang berisikan satu himpunan
bagian verteks yang berkoneksi.
Konektivitas pada Digraph
Terminologi pada Undigrap berlaku, kecuali dalam digraph harus dikaitkan
dengan arah tertentu karena pada arah yang sebaliknya belum tentu
terdefinisi.
Adjacency ke/dari : Jika ada sisi (x,y) maka pada digraph dikatakan bahwa
x "adjacent ke" y atau y "adjacent dari" x. Demikian pula jika terdapat
path dari x ke y maka belum tentu ada path dari y ke x. Jadi dalam
digraph keterkoneksian didefinisikan lebih lanjut lagi sebagai berikut.
Terkoneksi Kuat : Bila setiap pasangan verteks berbeda x dan y
dalam S, x berkoneksi dengan y dan y berkoneksi dengan x
Terkoneksi Lemah : Bila setiap pasangan verteks berbeda x dan y
dalam S, salah satu: x berkoneksi dengan y (atau y berkoneksi
dengan x) dan tidak kebalikan arahnya (hanya terdefinisi satu path:
dari x ke y atau sebaliknya dari y ke x).
Graph berbobot (weighted graph)
Graph dengan sisi mempunyai Bobot/ Biaya. “Biaya" ini bisa mewakili
banyak aspek: biaya ekonomi suatu aktifitas, jarak geografis/tempuh, waktu
tempuh, tingkat kesulitan, dan lain sebagainya.
Contoh :
Graph ini merupakan Undirected Weighted Graph. Order dari verteks A = 4,
verteks B = 3, dst. Adjacentcy list dari D adalah = {A, E, F, G, K, L}.
Representasi Graph
Representasi Matriks Keterhubungan Langsung (Adjacency Matrix)
Matriks digunakan untuk himpunan adjacency setiap verteks. Baris berisi
vertex asal adjacency, sedangkan kolom berisi vertex tujuan adjacency.
Bila sisi graph tidak mempunyai bobot, maka [x, y] adjacency disimbolkan
dengan 1 dan 0 bila tidak adjacency.
Bila sisi graph mempunyai bobot, maka [x, y] adjacency disimbolkan dengan
bobot sisi tersebut, dan bila tidak disimbolka ∞.
Direpresentasikan dalam matriks sbb.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
A
-
1
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
B
1
-
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
C
1
1
-
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
D
1
0
0
-
1
1
1
0
0
0
1
1
0
E
0
0
1
1
-
1
0
0
0
0
0
0
0
F
1
0
0
1
1
-
0
0
0
0
0
0
0
G
0
0
1
1
0
0
-
0
1
0
1
0
0
H
0
1
1
0
0
0
0
-
1
0
0
0
0
I
0
0
1
0
0
0
1
1
-
1
0
0
1
J
0
0
0
0
0
0
0
0
1
-
1
0
1
K
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
-
1
0
L
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
-
1
M
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
-
Dari\Ke
B
34
43
A
45
18
H
35
C
31
25
33
15
F
16
35
22
22
21
M
I
E
19
D
39
13
27
K
G
19
25
13
19
L
10
J
15
Dari\Ke
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
A
-
24
43
33
∞
31
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
B
24
-
18
∞
∞
∞
∞
45
∞
∞
∞
∞
∞
C
43
18
-
∞
16
∞
22
35
15
∞
∞
∞
∞
D
33
∞
∞
-
19
22
39
∞
∞
∞
13
27
∞
E
∞
∞
16
19
-
15
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
F
31
∞
∞
22
15
-
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
G
∞
∞
22
39
∞
∞
-
∞
21
∞
13
∞
∞
H
∞
45
35
∞
∞
∞
∞
-
25
∞
∞
∞
∞
I
∞
∞
15
∞
∞
∞
21
25
-
19
∞
∞
35
J
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
19
-
10
∞
15
K
∞
∞
∞
13
∞
∞
13
∞
∞
10
-
19
∞
L
∞
∞
∞
27
∞
∞
∞
∞
∞
∞
19
-
25
M
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
35
15
∞
25
-
Adjacency List : ???
Perhatikan deklarasi berikut :
Type
Pointer = ^Simpul;
Simpul = Record
Elemen : TipeData; (* tipe data menurut pilihan kita *)
Next
: Pointer
End;
Var
X : Array [1..N] Of Pointer;
Algoritma-algoritma Pencarian
Pencarian vertex adalah proses umum dalam graph.
Terdapat 2 metoda pencarian:
Depth First Search (DFS): pada setiap pencabangan, penelusuran
verteks-verteks yang belum dikunjungi dilakukan secara lengkap
pada pencabangan pertama, kemudian selengkapnya pada
pencabangan kedua, dan seterusnya secara rekursif.
Breadth First Search (BFS): pada setiap pencabangan
penelusuran verteks-verteks yang belum dikunjungi dilakukan
pada verteks-verteks adjacent, kemudian berturut-turut
selengkapnya pada masing-masing pencabangan dari setiap
verteks adjacent tersebut secara rekursif.
Algoritma Depth First Search :
a.
b.
c.
d.
e.
Algoritma diawali pada vertex S dalam G
Kemudian algoritma menelusuri graph dengan suatu insiden edge (u,
v) ke current vertex u.
Jika edge (u, v) menunjuk ke suatu vertex v yang siap untuk
dikunjungi, maka kita ikuti jalur mundur ke current vertex u. Jika pada
sisi lain, edge (u, v) menunjuk ke vertex v yang tidak dikunjungi,
maka kita pergi ke v dan v menjadi current vertex.
Kita proses ini hingga kita mencapai sasaran akhir.
Pada titik ini, kita mulai jalur mundur. Proses ini berakhir ketika jalur
mundur menunjuk balik ke awal vertex.
void graph()
{
for semua node u do
{
colour[u]=white;
p[u]=NULL;
}
time = 0;
for semua node u do
if colour[u] == white then
DFS(u);
}
void DFS(u)
{
visit(u); time = time + 1;
d[u] = time;colour[u] = grey;
for semua node v adjacent ke u do
{
if colour[v] == white then
{ p[v] = u;
DFS(u); }
}
time = time + 1; f[u] = time;
colour[u] = black;
}
Algoritma Breadth First Search :
BFS diawali dengan vertex yang diberikan, yang mana di level 0. Dalam
stage pertama, kita kunjungi semua vertex di level 1. Stage kedua, kita
kunjungi semua vertex di level 2. Disini vertex baru, yang mana adjacent
ke vertex level 1, dan seterusnya. Penelusuran BFS berakhir ketika setiap
vertex selesai ditemui.
Implementasi algoritma BFS
Algoritma BFS menjadi kurang straightforward jika dinyatakan secara
rekursif. Jadi sebaiknya diimplementasikan secara nonrekursif dengan
memanfaatkan queue sebagai struktur data pendukung
void BFS()
{
Queue q = new Queue();
Vertex v, w, t;
for (setiap vertex v dalam G)
v.Status = false;
for (setiap vertex v dalam G)
{
if (v.Status == false)
{
v.Status = true; q.Enqueue(v);
while (EmptyQueue(Q) == false)
{
w = q.Dequeue();
visit(w);
for (setiap vertex T adjacent dari w)
{
if (t.Status == false)
{
t.Status = true;
q.Enqueue(t);
}
}
}
}
}
}
Contoh :
Perhatikan graph berikut dimana penelusuran diawali pada vertex s.
Input :
Graph G dan vertex.
Output :
Edge dilabeli sebagai jelajah dan edge yang dilewati
sesuai komponen terhubung.
Langkah-1:
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and then insert it again.
Langkah-2 :
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and then insert it again.
Langkah-3 :
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and then insert it again.
Langkah-4:
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and then insert it again.
Langkah-5:
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and then insert it again.
Langkah-6:
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and then insert it again.
Langkah-7:
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and then insert it again.
Masalah Pencarian Lintasan Terpendek
Pencarian shortest path (lintasan terpendek) adalah masalah umum dalam
suatu weighted, connected graph. Misal : Pencarian jaringan jalan raya
yang menghubungkan kota-kota disuatu wilayah
• Lintasan terpendek yag menghubungkan antara dua kota
berlainan tertentu (Single-source Single-destination Shortest
Path Problems)
• Semua lintasan terpendek masing-masing dari suatu kota ke
setiap kota lainnya (Single-source Shortest Path problems)
• Semua lintasan terpendek masing-masing antara tiap
kemungkinan pasang kota yang berbeda (All-pairs Shortest Path
Problems)
Untuk memecahkan masing-masing dari masalah-masalah tersebut
terdapat sejumlah solusi.
•
Algoritma Dijkstra untuk Single-source Shortest Path
•
Algoritma Floyd-Warshall untuk masalah All-pairs Shortest
Path
•
Algoritma Johnson untuk masalah All-pairs Shortest Path
pada sparse graph
Dalam beberapa masalah graph lain, suatu graph dapat memiliki bobot
negatif dan kasus ini dipecahkan oleh algoritma Bellman-Ford.
Yang akan dibahas di sini adalah algoritma Dijkstra yaitu mencari lintasan
terpendek dari suatu verteks asal tertentu vs ke setiap verteks lainnya.
Algoritma Dijkstra
Algoritma Dijkstra's :
a.
Menyelesaikan problem single-source shortest-path ketika semua
edge memiliki bobot tidak negatif.
b.
Algoritma greedy mirip ke algoritma Prim's.
c.
Algoritma di awali pada vertex sumber s, kemudian berkembang
membentuk sebuah tree T, pada akhirnya periode semua vertex
dijangkau dari S. Vertex di tambah ke T sesuai urutan.
Misalnya : pertama S, kemudian vertex yang tepat ke S, kemudian yang
tepat berikutnya dan seterusnya.
DIJKSTRA (G, w, s)
{
INITIALIZE SINGLE-SOURCE (G, s)
S←{}
Initialize priority queue Q
Q ← V[G]
while priority queue Q is not empty do
u ← EXTRACT_MIN(Q)
S ← S È {u}
// Lakukan relaxation untuk setiap vertex v adjacent ke u
for setiap vertex v dalam Adj[u] do
Relax (u, v, w)
}
Relax (u, v, w)
{
If d[u] + w(u, v) < d[v] then
d[v] = d[u] + w[u, v]
}
Step1. Diberikan inisial graph G=(V, E). Semua node-node mempunyai
biaya tak terhingga, kecuali node sumber s, dengan biaya 0.
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and then insert it again.
Step 2. Pertama, lakukan pemilihan node, yang mana tepat ke node sumber
S. Kita inisialisasi d[S] ke 0. Tambahkan itu ke S. Relaksasi semua node
adjacent dari sumber S. Update predecessor (lihat panah merah dalam
diagram di bawah) untuk semua node yang di-update.
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and then insert it again.
Step 3. Pilih node paling tepat ke x. Relaksasi semua node adjacent ke
vertex x. Update predecessor untuk node u, v dan y (kembali, perhatikan
panah merah dalam diagram berikut).
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and then insert it again.
Step 4. Sekarang, node y adalah node tepat, sehingga di tambahkan ke S.
Relaksasi node v dan periksa predecessor yang dimiliki (perhatikan panah
merah!).
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and then insert it again.
Step 5. Sekarang kita memiliki node u yang tepat. Pilih node ini dan periksa
bahwa itu merupakan tetangga dari node v.
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and then insert it again.
Step 6. Akhirnya, tambahan node v. Daftar predecessor sekarang
mendefinisikan shortest path dari setiap node ke node asal, s.
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and then insert it again.
Dynamic Programming :
Terdiri dari sederetan tahapan keputusan. Pada setiap tahapan berlaku
prinsip optimality (apapun keadaan awal dan keputusan yang diambil,
keputusan berikutnya harus memberikan hasil yang optimal dengan melihat
hasil keputusan sebelumnya.
Misalnya : Multistage Graph
Dimana : Cost (i,j) = Min(C(j,l) + Cost(i+1,l)}
Dengan :
C(j,l) = Bobot edge j dan l
l = Elemen Vi+1 Dan <j,l> eemen E
i=stage ke-I dan j = node dalam V
Proses dimulai dari k-2, dimana k adalah banyak stage
Perhatikan contoh untuk menentukan biaya termurah dari 1 hingga 12.
Diketahui graph dengan stage sebagai berikut :
S1
S2
S3
S4
4
2
9
1
2
2
6
3
9
6
5
7
4
4
7
1
7
3
10
3
5
4
11
8
8
5
6
12
2
5
11
2
S5
11
Maka langkah-langkah yang dilakukan adalah :
K=5, sehingga dimulai dari S3
Cost(3,6) = Min{6+Cost(4,9); 5+Cost(4,10)} = Min{6+4;5+2} = 7
Cost(3,7) = Min{4+Cost(4,9); 3+Cost(4,10)} = Min{4+4;3+2} = 5
Cost(3,8) = Min{5+Cost(4,10); 6+Cost(4,11)} = Min(5+2;6+5} = 7
Cost(2,2) = Min{4+Cost(3,6);2+Cost(3,7);1+Cost(3,8)}
= Min{4+7;2+5;1+7} = 7
Cost(2,3) = Min{2+Cost(3,6); 7+Cost(3,7)} = Min(2+7; 7+5) = 9
Cost(2,4) = Min{11+Cost(3,8)} = 18
Cost(2,5) = Min{11+Cost(3,7); 8+Cost(3,8)} = Min(11+5;8+7} = 15
Cost(1,1) = Min{9+Cost(2,2);7+Cost(2,3);3+Cost(2,4),2+Cost(2,5)}
= Min{9+7;7+9;3+18;2+15} = 16
Jadi : Shorthest Path menjadi :
1 3 6 10 12 Atau : 1 2 7 10 12
Jika ada dua atau lebih shorthest path maka total biaya harus sama.
Shortest Path Pertama adalah :
4
2
9
1
2
2
6
5
7
3
9
6
4
4
7
1
7
3
10
3
5
4
11
8
8
5
6
2
5
11
2
12
11
Shortest Path Kedua adalah :
4
2
9
1
2
2
6
5
7
3
9
6
4
4
7
1
7
3
10
3
5
4
11
8
8
5
6
2
5
11
2
12
11
Struktur Data graf: representasi & algoritma-algoritma
Masalah Pencarian Pohon Rentangan Minimum
Definisi Pohon rentangan atau spanning tree dari suatu connected graph
didefinisikan sebagai free-tree yang terbentuk dari subset sisi-sisi serta
menghubungkan setiap verteks dalam graph tersebut. Pohon rentangan
Minimum (MST) adalah pohon rentangan dengan total bobot dari sisisisinya adalah minimal. Dalam penelusuran vertex tidak diperkenankan
terbentuk siklus (cycle)
Diketahui sebuah graph tak berarah dan tak berbobot sebagai berikut :
Kemungkinan Spanning Tree :
Bila jalur (edge) mempunyai biaya (cost) maka yang dicari adalah
minimum cost spanning tree.
Dua algoritma populer untuk menentukan minimum spanning tree (MST) :
a.
Kruskal Algorithm
b.
Prim’s Algorithm
Algoritma Kruskal :
Algoritma ini lebih sederhana jika dilihat dari konsepnya namun lebih sulit
dalam implementasinya. Idenya adalah mendapatkan satu demi satu
sisi mulai dari yang berbobot terkecil untuk membentuk tree; suatu
sisi walaupun berbobot kecil tidak akan diambil jika membentuk siklik
dengan sisi yang sudah termasuk dalam tree.
Yang menjadi masalah dalam implementasinya adalah keperluan adanya
pemeriksaan kondisi siklik tersebut.
Salah satu pemecahaannya adalah dengan subsetting yaitu pembentukan
subset-subset yang disjoint dan secara bertahap dilakukan penggabungan
atas tiap dua subset yang berhubungan dengan suatu sisi dengan bobot
terpendek. Algoritma lengkapnya:
Tahap pertama, jika dalam V terdapat n verteks maka diinisialisasi
n buah subset yang disjoint, masing-masing berisi satu verteks,
sebagai subset-subset awal.
Tahap berikutnya, urutkan sisi-sisi dengan bobot yang terkecil
hingga terbesar.
Mulai dari sisi dengan bobot terkecil hingga terbesar lakukan
dalam iterasi:
jika sisi tsb. menghubungkan dua verteks dalam satu subset
(berarti membentuk siklik) maka skip sisi tersebut dan periksa
sisi berikutnya
jika tidak (berarti membentuk siklik) maka kedua subset dari
verteks-verteks yang bersangkutan digabungkan menjadi satu
subset yang lebih besar.
Iterasi akan berlangsung hingga semua sisi terproses.
MST_KRUSKAL (G)
{
For setiap vertex v dalam V[G] Do
{
set S(v) ← {v} }
Inisialisasi priority queue Q yang berisi semua edge dari G, gunakan
bobot sebagai keys.
A←{}
// A berisi edge dari MST
While A lebih kecil dari pada n-1 edge Do
{ set S(v) berisi v dan S(u) berisi u }
IF S(v) != S(u) Then
{ Tambahkan edge (u, v) ke A
Merge S(v) dan S(u) menjadi satu set
}
Return A
}
Contoh : Diktahui sebuah graph sebagai berikut :
Step 1. Dalam graph, Edge(g, h) adalah terpendek. Setiap vertex g atau
vertex h dapat menjadi representatif. Misal, pilih vertex g secara bebas :
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and then insert it again.
Step 2. edge (c, i) menciptakan dua tree. Pilih vertex c sebagai
representasi untuk dua tree
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and then insert it again.
Step 3. Edge (g, g) adalah edge terpendek berikutnya. Tambahkan edge
ini dan pilih vertex g sebagai representatif :
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and then insert it again.
Step 4. Edge (a, b) menciptakan tiga tree.
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and then insert it again.
Step 5. Tambahkan edge (c, f) dan merge dua tree. Vertex c terpilih
sebagai representatif.
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and then insert it again.
Step 6. Edge (g, i) adalah yang paling minimum berikutnya, tetapi jika kita
tambahkan edge ini, sebuah cycle akan tercipta. Vertex c adalah
representasi dari keduanya.
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and then insert it again.
Step 7. Sebagai alternatif, tambahkan edge (c, d).
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and then insert it again.
Step 8. Jika kita tambahkan edge (h, i), maka edge(h, i) akan membuat
sebuah cycle.
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and then insert it again.
Step 9. Sebagai alternatif penambahan edge (h, i), tambahkan edge (a, h).
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and then insert it again.
Step 10. Kembali, jika kita tambahkan edge (b, c), akan menciptakan
sebuah cycle. Tambahkan edge (d, e) sebagai alternatif untuk
menyempurnakan spanning tree. Dalam spanning tree ini, semua tree
digabung dan vertex c adalah sebuah representatif tunggal.
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and then insert it again.
Algoritma Prim
Algoritma dimulai dari suatu verteks awal tertentu: bisa ditentukan oleh
pemanggil atau dipilih sebarang oleh algoritma. Misalnya verteks awal
tersebut adalah v.
Pada setiap iterasi terdapat kondisi di mana himpunan verteks V terbagi
dua dalam:
W yaitu himpunan verteks yang sudah dievaluasi sebagai node di
dalam pohon, serta (V-W) yaitu himpunan verteks yang belum
dievaluasi.
Di awal algoritma W diinisialisasi berisi verteks awal v.
Selanjutnya, di dalam iterasinya:
Pada setiap adjacency dari tiap verteks dalam W dengan
verteks dalam (V-W) dicari sisi dengan panjang minimal.
setelah diperoleh, sisi tersebut ditandai sebagai sisi yang
membentuk tree dan verteks adjacent sisi tersebut dalam (VW) dipindahkan ke W (menjadi anggota W).
Jika sisi tersebut tidak ada maka proses selesai.
Dari contoh di atas misalnya dilakukan pencarian mulai dari verteks A
(ingat tidak harus selalu dari verteks A!). Maka algoritma ini
menghasilkan tahapan-tahapan iterasi pencarian sbb.:
MST_PRIM (G, w, v)
{
Q ← V[G]
for setiap u dalam Q do
key [u] ← ∞
key [r] ← 0
π[r] ← NIl
while queue tidak kosong do
{ u ← EXTRACT_MIN (Q)
for setiap vertex v dalam Adj[u] do
{
if v ada dalam Q dan w(u, v) < key [v] then
{
π[v] ← w(u, v)
key [v] ← w(u, v)
}
}
}
}