BAB II DASAR TEORI

BAB II
DASAR TEORI
Ada beberapa teori yang berkaitan dengan konsep-konsep umum mengenai aliran
fluida. Beberapa akan dibahas pada bab ini. Diantaranya adalah hukum kekekalan
massa dan hukum kekekalan momentum. Hukum kekekalan massa menyatakan
massa yang masuk sama dengan massa yang keluar. Begitu pula dengan hukum
kekekalan momentum yang menyatakan bahwa momentum yang masuk sama
dengan momentum yang keluar. Hukum kekekalan massa dan momentum erat
kaitannya dengan persamaan kontinuitas dan persamaan gerak pada fluida. Aliran
fluida sendiri dapat digambarkan ke dalam fungsi arus. Sementara fungsi arus bila
dikaitkan dengan fungsi kecepatan akan membentuk fungsi potensial, dimana fungsi
kecepatan merupakan bagian riil dan fungsi arus merupakan bagian imajiner dari
fungsi potensial. Selain itu pada bab ini juga akan dibahas mengenai transformasi
Schwarz-Christoffel dan integral Cauchy.
2.1 Persamaan Kontinuitas dan Persamaan Gerak
2.1.1 Persamaan Kontinuitas
Hukum kekekalan massa menyatakan bahwa massa fluida yang masuk sama dengan
massa fluida yang keluar. Hukum kekekalan massa sangat erat kaitannya dengan
persamaan
kontinuitas.
Persamaan
kontinuitas
diturunkan
berdasarkan
kesetimbangan massa terhadap elemen volume stasioner ΔxΔyΔz seperti terlihat
pada gambar 2.1. Massa merupakan hasil kali antara volume fluida dan rapat massa
dari fluida tersebut. Pada elemen volume tersebut, perubahan massa rata-rata
merupakan selisih antara massa rata-rata yang masuk dengan massa rata-rata yang
keluar. Dengan memandang secara satu arah aliran, katakanlah dalam arah-x, dengan
rapat massa ρ maka rata-rata massa yang masuk (melintasi bidang x) adalah
( u) | xyz dan rata-rata massa yang keluar (melintasi bidang x+Δx) adalah
x+Δx ΔyΔz.
3
Gambar 2.1 Elemen volume dan aliran massa
Komponen kecepatan dalam arah horizontal dinyatakan oleh . Secara penuh, vektor
kecepatan dinotasikan dengan
=
. Berdasarkan hukum kekekalan massa,
maka didapatkan persamaan
Untuk arah aliran fluida dalam arah-y dan arah-z juga dapat dituliskan dengan cara
yang sama dengan arah aliran fluida dalam arah-x. Oleh karena itu kita dapatkan
kesetimbangan massa
Kita bagi persamaan (2.2) dengan Δx ΔyΔz dan mengambil limit volumenya menuju
ke nol sehingga diperoleh
4
Persamaan (2.3) disebut sebagai persamaan kontinuitas yang menggambarkan ratarata perubahan rapat massa pada suatu titik tetap sebagai hasil dari perubahan pada
vektor kecepatan massa
. Persamaan (2.3) dapat dituliskan dalam bentuk lain yaitu
dengan menggunakan operator D / Dt sebagai simbol turunan total terhadap waktu t.
Dan dapat dituliskan menjadi
Untuk ρ yang bernilai konstan, maka persamaan (2.5) memberikan bentuk
. Bentuk tersebut merupakan bentuk fluida tak termampatkan (incompressible).
2.1.2 Persamaan Gerak
Hukum kekekalan momentum menyatakan bahwa momentum yang masuk sama
dengan momentum yang keluar. Neraca kesetimbangan menyatakan rata-rata
perubahan momentum merupakan selisih antara rata-rata momentum yang masuk
dengan jumlah antara rata-rata momentum yang keluar dan gaya yang terjadi pada
sistem. Seperti hukum kekekalan massa yang berkaitan dengan persamaan
kontinuitas, hukum kekekalan momentum berkaitan dengan persamaan gerak.
Gambar 2.2 Elemen volume dan tegangan geser
Persamaan gerak dapat diturunkan untuk komponen-x, komponen-y, dan komponenz. Kita dapat melihat pada gambar 2.2, pada komponen-x, rata-rata momentum yang
5
masuk ke dalam elemen fluida ditinjau dari 3 arah yaitu x, y, dan z. Dalam arah x,
rata-rata momentum yang masuk (melintasi bidang x) yaitu
dan rata-rata
momentum yang keluar (melintasi bidang x+Δx) adalah
. Dalam arah
y, rata-rata momentum yang masuk (melintasi bidang y) yaitu
dan rata-
rata momentum yang keluar (melintasi bidang y+Δy) adalah
. Serta
dalam arah z, rata-rata momentum yang masuk (melintasi bidang z) yaitu
dan rata-rata momentum yang keluar (melintasi bidang z+Δz) adalah
. Sehingga kita peroleh momentum keseluruhan untuk komponen-x
yaitu
Di sisi lain, momentum yang ditransfer oleh molekul dinyatakan dalam tegangan
geser. Berdasarkan gambar 2.2 maka kita dapat
Selain itu, berdasarkan neraca kesetimbangan, faktor lain yang terlibat adalah gayagaya yang terjadi pada elemen volume. Gaya yang paling penting adalah dari tekanan
fluida p dan gaya gravitasi g. Resultan dari gaya-gaya tersebut dalam arah-x adalah
p|x merupakan tekanan pada bidang x dan gx merupakan percepatan akibat gravitasi
dalam arah x. Perubahan rata-rata momentum dalam elemen volume yaitu
, persamaan (2.6), (2.7), dan (2.8) kita substitusikan pada neraca
momentum. Persamaan yang diperoleh kemudian dibagi dengan
dan diambil
limitnya masing-masing Δx, Δy, dan Δz menuju ke nol. Kita peroleh persamaan
gerak untuk komponen-x yaitu
Sedangkan persamaan gerak untuk komponen-y adalah
6
Dan untuk komponen-z adalah
Besaran-besaran ρu, ρv, dan ρw merupakan komponen-komponen dasar dari vektor
kecepatan massa ρ
dan begitu juga dengan gx , gy , gz sebagai komponen dari
percepatan gravitasi . Persamaan (2.9), (2.10), dan (2.11) digabungkan menjadi satu
persamaan vektor yaitu
Kita dapat menuliskan persamaan gerak (2.9), dengan menggunakan persamaan
kontinuitas menjadi bentuk
Kita pun dapat melakukan hal yang sama kepada persamaan (2.10) dan (2.11) untuk
komponen-y dan komponen-z berturut-turut sehingga diperoleh bentuk
Setelah itu kita gabungkan ketiganya menjadi sebuah persamaan yang menyatakan
bahwa elemen volume yang kecil bergerak dengan fluida dan dipercepat oleh adanya
gaya-gaya yang bekerja padanya yaitu
7
Dari persamaan gerak (2.16) yang merupakan persamaan gerak fluida incompressible
berdasarkan kekekalan momentum, kita dapat menurunkan persamaan Bernoulli
melalui beberapa asumsi tertentu pada fluida. Dengan mengasumsikan fluida tersebut
tak kental (inviscid), kita dapat meninggalkan suku
yang menghasilkan
persamaan Euler yaitu
Dengan asumsi aliran fluida irrotasional (curl
= 0), menggantikan
pada suku
pertama di ruas kanan, serta definisi operator D/Dt, kita dapat menuliskan persamaan
sebagai berikut :
Bila kita substitusikan (2.18) pada persamaan Euler (2.17) dan kemudian kita
keluarkan operator , maka kita dapatkan
Lalu kita integralkan (2.19) sehingga diperoleh persamaan Bernoulli yaitu
2.2 Fungsi Arus dan Fungsi Kecepatan
Garis arus (streamline) merupakan lintasan yang dilalui oleh partikel fluida dan tidak
saling berpotongan antara satu dan lainnya. Sementara lintasan yang saling
berpotongan antara satu dan lainnya dinamakan turbulen. Sebuah garis arus sejajar
dengan kecepatan partikel-partikel fluida di tiap-tiap titik. Garis arus ada di dalam
aliran fluida yang tunak (steady). Tunak berarti kecepatan fluida di setiap titik yang
diberikan adalah konstan di dalam waktu. Tidak ada dua buah garis arus yang saling
berpotongan karena jika dua buah garis arus dapat bersilangan, maka sebuah partikel
fluida yang datang dapat pergi kemanapun sehingga aliran tersebut tidak mungkin
tunak.
8
Garis arus dapat diformulasikan ke dalam fungsi arus secara umum. Formulasi
tersebut dapat digambarkan ke dalam bidang 2-dimensi karena aliran fluida
diasumsikan tanpa hambatan dengan tambahan variabel bebas t sebagai satuan
waktu. Garis arus merupakan garis yang tegak lurus terhadap garis ekipotensial. Jadi
fungsi arus merupakan bagian imajiner dari kompleks potensial. Fungsi arus yang
melewati suatu garis yang dihubungkan oleh 2 buah titik dinamakan fluks yang
dinotasikan dengan
.
Fluks dapat dinyatakan dalam bidang 2-dimensi atau lebih. Namun kasus 2-dimensi
digunakan untuk lebih memudahkan pemodelan dari fluks tersebut.
Selain fungsi arus, terdapat juga fungsi kecepatan. Vektor kecepatan di suatu titik
pada garis arus diperoleh dari turunan parsial dari fungsi arus di titik tersebut,
dimana vektor kecepatan biasa dinotasikan dengan
untuk kasus 2-dimensi.
Gambar 2.3 Garis arus
Seperti terlihat pada gambar 2.3, dimana terdapat sebuah kurva AB dengan garis
singgung di titik C. Persamaan kecepatan yang melewati kurva AB yaitu
. Sedangkan kecepatan yang memenuhi persamaan
9
tidak
menyebabkan fluks melewati kurva AB sehingga massa atau volume yang melewati
kurva tersebut adalah nol.
Gambar 2.4 Fungsi kecepatan
Kita coba ambil selang yang sangat kecil pada kurva AB, sebutlah sebagai ds seperti
yang bisa dilihat pada gambar 2.4. Maka kita dapat menuliskan persamaan
Berdasarkan persamaan (2.22) tersebut, kita dapatkan hubungan
yang dikenal sebagai fungsi arus massa. Sedangkan untuk fungsi arus volume dapat
dituliskan sebagai
10
Dalam kenyataannya, partikel fluida selain bergerak berdasarkan garis arus, juga
mengikuti arah putaran rotational. Putaran rotational merupakan putaran terhadap
pusat partikel itu sendiri. Pada kasus fluida irrotational, maka nilai dari
dimana
,
adalah vektor kecepatan.
Untuk kasus 2-dimensi, nilai w dan
bernilai nol. Sehingga diperoleh
Karena fungsi arus bernilai konstan, berdasarkan persamaan (2.21) maka diperoleh
Fungsi arus merupakan bagian imajiner dari kompleks potensial, dan bagian riil dari
kompleks potensial dikenal dengan nama fungsi potensial. Fungsi potensial dapat
dicari dengan menentukan kurva yang orthogonal dengan fungsi arus. Fungsi
potensial dapat dituliskan dalam bentuk
Untuk aliran fluida irrotational, ruas kiri memenuhi diferensial eksak dari fungsi
potensial. Kita dapat tuliskan sebagai
Dengan mengambil turunan parsial dari
, maka diperoleh u dan v yang
menyatakan hubungan antara fungsi potensial dengan kecepatan (u,v) yaitu
Dan pada aliran irrotational ini, fluida memenuhi persamaan Laplace
11
2.3 Transformasi Schwarz-Christoffel
Transformasi Schwarz-Christoffel merupakan salah satu jenis pemetaan konformal.
Pemetaan konformal adalah pemetaan yang mengawetkan sudut. Pada pemetaan
konformal, bentuk dan ukuran sebuah bangun geometri berubah sesuai fungsi
pemetaannya, namun sudut yang diapit oleh kedua kurva tidak berubah.
Transformasi Schwarz-Christoffel memetakan sumbu real pada bidang artifisial ke
dalam bentuk poligon yang sederhana, begitu juga sebaliknya. Poligon tersebut bisa
berupa segi banyak yang terbatas maupun tidak terbatas. Rumus untuk transformasi
Schwarz-Christoffel yaitu
dengan x1,x2,……,xn adalah titik-titik pada sumbu real di bidang artificial,
α1,α2,…,αn adalah sudut-sudut interior dari titik-titik yang berada pada bidang
poligon, K adalah konstanta, dan L adalah konstanta integrasi. Untuk bukti dari
transformasi Schwarz-Christoffel ini dapat dilihat pada buku Schwarz-Christoffel
Mapping karangan Driscoll dan Trefethen [5].
2.4 Integral Cauchy
Pada kalkulus kita mengenal ada dua buah macam integral yaitu integral tentu dan
integral tak tentu. Integral tak tentu adalah suatu fungsi yang turunannya sama
dengan suatu fungsi analitik tertentu dalam suatu daerah. Sedangkan integral tentu
adalah integral garis pada fungsi kompleks
dituliskan dengan
dengan
atau biasa
 f ( z )dz . Pada integral tak tentu, bagian nyata (real) diambil di
C
atas garis bilangan nyata dan bagian kompleks diambil sepanjang kurva C pada
bidang kompleks atau lintasan integrasi. Kurva C dinamakan lintasan tertutup jika
atau dengan kata lain titik akhir berhimpit dengan titik awal. Hal tersebut
biasa dilambangkan dengan

.
C
Jika fungsi
tersebut memiliki turunan dan anti turunan maka fungsi tersebut
kontinu di domain D. Pada fungsi kompleks, nilai limit dapat didekati dari berbagai
12
arah. Jadi jika turunan dari fungsi tersebut ada, maka nilai limit harus sama walau
didekati dari berbagai arah di domain D. Semua fungsi
pasti memenuhi persamaan Cauchy-Riemann
yang memiliki turunan
dan fungsi yang memenuhi
persamaan Cauchy-Riemann adalah fungsi analitik.
Integral garis dari fungsi kompleks
tidak hanya bergantung pada titik akhir
lintasan, tetapi juga tergantung pada pilihan lintasannya.
Lintasan dikatakan
terhubung sederhana (simple closed path) jika lintasan tersebut tidak memotong atau
tidak menyinggung dirinya sendiri. Seperti yang terlihat pada gambar 2.5 yang
merupakan lintasan terhubung sederhana dan gambar 2.6 yang merupakan lintasan
terhubung tidak sederhana.
Gambar 2.5 Lintasan terhubung sederhana
Gambar 2.6 Lintasan terhubung tidak sederhana
Domain terhubungkan sederhana jika setiap lintasan tertutup sederhana dalam
domain melingkungi hanya titik-titik dalam domain tersebut seperti yang terlihat
pada gambar 2.7.
13
Gambar 2.7 Domain terhubung sederhana
Jika
analitik dalam domain D yang terhubungkan sederhana, maka untuk
sembarang titik
yang melingkungi
dalam D dan sembarang lintasan tertutup sederhana C dalam D
(seperti yang terlihat pada gambar 2.8), kita dapat menuliskan
persamaan integral Cauchy yaitu
Gambar 2.8 Lintasan tertutup sederhana
Jika
analitik di dalam suatu domain D yang terhubungkan sederhana, maka
Lintasan tertutup sederhana (simple closed path) disebut juga dengan nama kontur
(contour) sehingga integral pada lintasan tertutup sederhana dikenal juga dengan
nama integral kontur (contour integral). Untuk pembahasan lebih lengkap mengenai
integral kontur dan integral Cauchy dapat dilihat pada Basic Analysis Complex
karangan Jerrold Marsden dan Michael Hoffman [4].
14