penentuan harga opsi keuangan dengan simulasi monte carlo

Bab III Simulasi Monte Carlo
BAB III
SIMULASI MONTE CARLO
Simulasi Monte Carlo dapat digunakan untuk memberikan suatu taksiran harga
opsi, baik yang memiliki formula analitik maupun tidak. Contoh opsi yang
biasanya tidak memiliki formula analitik adalah opsi exotic.
3.1 Simulasi
Simulasi adalah sebuah teknik numerik untuk melakukan percobaan-percobaan
dengan meniru sebuah situasi dengan menggunakan model-model matematika dan
logika dengan tujuan menaksir berbagai macam keluaran yang mungkin pada
periode waktu tertentu.
Terdapat beberapa situasi yang mendukung digunakannya teknik simulasi:
•
Ketika sangat sulit atau tidak mungkin untuk memperoleh data dari prosesproses berkaitan di dunia nyata. Misalnya, efek dari kebijaksanaan
pemotongan pajak terhadap ekonomi.
•
Tidak mungkin atau memerlukan biaya yang mahal untuk mengadakan
percobaan-percobaan terkait dengan model-model matematikanya.
•
Sistem yang mungkin sangat kompleks dan tidak dapat dideskripsikan
dengan persamaan matematika.
Simulasi komputer memungkinkan kita untuk mereplikasi sebuah percobaan.
Replikasi artinya mengulang sebuah percobaan dengan perubahan-perubahan
Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo
13
Bab III Simulasi Monte Carlo
yang dipilih untuk parameter-parameter terkait, tetapi tanpa mengubah keluarankeluaran.
Meskipun simulasi menjadi alat yang tidak ternilai harganya dan sangat
bermanfaat terhadap masalah-masalah yang tidak cukup hanya diselesaikan
dengan teknik analitik, tapi pada dasarnya simulasi bukanlah alat yang ideal.
Simulasi adalah teknik yang tidak teliti, hanya berlandaskan estimasi statistika
daripada hasil eksak. Memerlukan waktu yang tidak sedikit dalam mempelajari
suatu masalah, analisis dan membuat programnya.
Simulasi stokastik adalah percobaan yang berlandaskan model terhadap waktu dan
melibatkan stokastik variate sampling dari sebuah distribusi peluang, yaitu sebuah
percobaan statistika sampling. Sampling dari sebuah distribusi melibatkan
penggunaan dari bilangan-bilangan acak. Simulasi statistik ini kemudian disebut
simulasi Monte Carlo.
3.2 Metode Monte Carlo
Metode Monte Carlo adalah sebuah teknik untuk menyelesaikan suatu masalah
dengan menjalankan percobaan dalam jumlah banyak, disebut simulasi, dan
menyimpulkan suatu solusi dari hasil-hasil kolektif dari percobaan-percobaan
yang dijalankan tersebut.
Simulasi Monte Carlo telah diterapkan dalam berbagai bidang, termasuk dalam
penilaian harga derivatif finansial. Metode ini dapat digunakan dalam
memperkirakan harga opsi keuangan yang mempunyai formula analitik maupun
yang tidak punya. Simulasi Monte Carlo memanfaatkan penilaian risk-neutral
dimana ekspektasi payoff pada suatu dunia risk neutral dihitung menggunakan
sebuah prosedur sampling, dan didiskontokan pada suku bunga tanpa resiko (riskfree interest rate). Penilaian harga dari sebuah opsi ekuivalen dengan menghitung
ekspektasi dari payoff yang didiskontokan dibawah suatu ukuran tertentu.
Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo
14
Bab III Simulasi Monte Carlo
Metode simulasi Monte Carlo menjadi populer karena:
•
Mudah diterapkan pada berbagai masalah bahkan untuk model-model
keuangan yang rumit ataupun yang berdimensi tinggi.
•
Memiliki performa yang baik pada masalah-masalah berdimensi tinggi.
Rasio kekonvergenan dari suatu estimasi simulasi Monte Carlo tidak
bergantung dimensi dari masalah tersebut.
•
Selang kepercayaan dari estimasi simulasi Monte Carlo memungkinkan
kita mengetahui kualitas dari estimasi tersebut.
Dalam simulasi ini kita mengambil beberapa asumsi, yaitu:
•
Pergerakan harga saham mengikuti distribusi lognormal.
•
Tidak terdapat kesempatan arbitrasi.
•
Harga saham dinilai pada suku bunga tanpa resiko.
Langkah yang perlu diikuti dalam menggunakan simulasi Monte Carlo adalah:
•
Simulasikan sebuah lintasan harga saham di bawah kondisi tanpa resiko
pada selang waktu tertentu.
•
Diskontokan payoff yang bersesuaian dengan lintasan pada suku bunga
tanpa resiko.
•
Ulangi prosedur di atas untuk jumlah simulasi yang cukup besar.
•
Hitung rata-rata cash flow yang didiskontokan untuk mempoleh nilai
opsi.[5]
Misalkan pergerakan harga saham mengikuti proses acak berikut
dS = μ Sdt + σ SdWt
Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo
(3.1)
15
Bab III Simulasi Monte Carlo
dengan dWt adalah sebuah proses Wiener dan S adalah harga saham. Jika δ S
adalah kenaikan dari harga saham pada interval waktu berikutnya δ t yang kecil,
maka
δS
S
dengan
= μδ t + σ Z δ t ,
(3.2)
Z ∼ N ( 0,1) , σ adalah volatilitas dari harga saham dan μ adalah
ekspektasi return pada suatu risk-neutral word. Maka persamaan (3.2) dapat
ditulis:
S (t + δ t ) − S (t ) = μ S (t )δ t + σ S (t ) Z δ t
(3.3)
Kita dapat menghitung nilai dari S pada saat t + δ t dari nilai awal S, kemudian
nilai S pada saat t + 2δ t dari nilai pada saat t + δ t , dan seterusnya. Kita gunakan
N buah sampel acak dari distribusi normal untuk mensimulasikan lintasan S. Akan
lebih akurat jika kita mensimulasikan lnS daripada S, kita transformasikan proses
harga saham dengan menggunakan lemma Ito
d ln S = ( μ − σ 2 / 2 ) dt + σ dWt
ln S ( t + δ t ) − ln S ( t ) = ( μ − σ 2 / 2 ) δ t + σ Z δ t
atau
S ( t + δ t ) = S ( t ) exp ⎡⎣( μ − σ 2 / 2 ) δ t + σ Z δ t ⎤⎦ .
(3.4)
simulasi Monte Carlo lebih relevan digunakan ketika payoff derivatif finansial
tergantung pada lintasan dari harga saham selama masa hidup dari opsi tersebut,
yaitu untuk opsi bergantung lintasan (path dependent options). Metode ini juga
Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo
16
Bab III Simulasi Monte Carlo
bisa digunakan ketika nilai dari derivatif finansial hanya bergantung pada harga
akhir saham. Contohnya adalah opsi Eropa, dimana payoff-nya bergantung pada
nilai S pada saat jatuh tempo T. Pergerakan harga saham untuk opsi Eropa dapat
dituliskan
STi = S exp ⎡⎣( μ − σ 2 / 2 ) T + σ Z T ⎤⎦ .
(3.5)
dengan i = 1,2,…,M dan M melambangkan jumlah simulasi. Sejumlah M simulasi
ini adalah lintasan-lintasan yang mungkin dari suatu harga saham pada saat jatuh
tempo T. Dari persamaan (3.5) komponen yang tidak diketahui nilainya adalah σ
(volatilitas), untuk itu nilai ini akan di estimasi dengan menggunakan metode
hitorical volatility.
Volatilitas Historis
Volatilitas adalah ukuran simpangan baku dari potensi sebuah saham untuk
berdeviasi dari harga saat ini. Semakin besar nilai volatilitas dari suatu saham,
semakin besar pula nilai opsinya.
Estimasi volatilitas adalah sebuah ukuran dari ketidakpastian return dari saham.
Untuk penilaian harga opsi, volatilitas diasumsikan sebagai berikut: (1) Homogen
terhadap waktu, yaitu sama sepanjang masa hidup saham. (2) Konstan antara
tanggal kesepakatan opsi dan waktu jatuh tempo.
Metode estimasi voltilitas ini adalah dengan menghitung simpangan baku
logaritma dari perubahan harga saham pada suatu selang waktu dari data historis
harga saham. Return harian diberikan oleh, X t = ln ( St / St −1 ) .
Variansi diestimasi oleh variansi sampel, yang dinormalkan oleh (n-1) untuk
membuatnya statistic tak bias
2
=
Var = σ day
1 ⎡ n
⎤
X t2 − X 2 ) ⎥ .
(
∑
⎢
n − 1 ⎣ t =1
⎦
Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo
17
Bab III Simulasi Monte Carlo
Simpangan baku yang dihitung adalah volatilitas harian jika data yang dipakai
adalah harian. Kemudian dibuat tahunan dengan
σ year = σ day × 252
dimana σ year adalah volatilitas tahunan, σ day adalah volatilitas harian dan X
adalah mean dari return harian. Pada umumnya kita memakai 252 hari sebagai
jumlah keseluruhan jam kerja perdagangan saham dalam satu tahun.
Jika saham membayarkan dividen, maka barisan harga saham bergerak tak
homogen. Suatu pembayaran dividen meningkatkan return yang harus dibayarkan
kepada pembeli. Jika pembeli memiliki sebuah saham yang membayarkan sebuah
dividen D, maka harga return harian diberikan oleh ln ⎡⎣( St + D ) / St −1 ⎤⎦ .
3.2.1
Opsi Eropa
Estimasi nilai opsi call Eropa adalah
c=
M
1
M
∑e
i =1
− rT
max ⎡⎣ STi − K , 0 ⎤⎦.
(3.6)
ini adalah estimator tak bias dari harga derivatif. Ketika jumlah simulasi M besar,
teorema limit pusat memberikan sebuah selang kepercayaan untuk estimasi ini,
berdasarkan variansi sampel dari payoff yang didiskontokan. Besarnya simulasi M
yang saling bebas ditetapkan sesuai dengan akurasi yang diinginkan. Jika ω
adalah deviasi standard an μ adalah mean dari payoff-payoff yang didiskontokan
dari (3.6), maka kesalahan standar (standard error) diestimasi dengan ω / M .
Sebuah selang kepercayaan 95% dari harga derivatif f diberikan oleh
μ−
1.96ω
1.96ω
< f <μ+
,
M
M
Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo
(3.7)
18
Bab III Simulasi Monte Carlo
dibawah asumsi bahwa f berdistribusi normal.
Dari selang diatas dapat diperoleh informasi sebagai berikut:
1. Ukuran dari selang kepercayaan mengecil sebanding dengan invers akar
kuadrat dari jumlah sampel yang dipakai. Dengan kata lain, untuk
memperkecil error sebesar 10 kali lipat diperlukan ukuran sampel 100 kali
lipat lebih besar.
2. Ukuran dari selang kepercayaan sebanding dengan simpangan baku, yaitu
akar kuadrat dari variansi. Dari informasi ini, kita dapat memperkecil selang
kepercayaan dengan cara melakukan transformasi peubah acak X menjadi
peubah acak Y dengan syarat E ( X ) = E (Y ) tetapi Var (Y ) lebih kecil dari
Var ( X ) . Ide ini kemudian dikenal dengan nama reduksi variansi.
3.2.2
Opsi Amerika
Pada umumnya, Opsi Amerika sama seperti Opsi Eropa. Hanya saja pada Opsi
Amerika pemegang opsi diperbolehkan untuk meng-exercise opsinya kapanpun
dalam selang waktu antara awal masa berlakunya opsi sampai dengan waktu jatuh
tempo opsi tersebut.
Definisi Sebuah Opsi Call Amerika memberikan hak (bukan kewajiban) kepada
pemegang opsi untuk membeli sebuah saham dari writer dengan harga yang telah
disepakati (disebut strike price atau exercise price) kapanpun dalam selang waktu
antara awal masa berlakunya opsi sampai dengan waktu jatuh tempo opsi tersebut
(disebut maturity atau expiry date).
Definisi Sebuah Opsi Put Amerika memberikan hak (bukan kewajiban) kepada
pemegang opsi untuk menjual sebuah saham kepada writer dengan harga yang
telah disepakati, kapanpun dalam selang waktu antara awal masa berlakunya opsi
sampai dengan waktu jatuh tempo opsi tersebut.
Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo
19
Bab III Simulasi Monte Carlo
Masalah yang dihadapi pemegang Opsi Amerika adalah kapan waktu yang tepat
untuk melakukan exercise. Jika, pada saat t , nilai opsi adalah out-of-the-money
maka tentu saja lebih baik tidak melakukan exercise. Jika nilai opsi adalah in-themoney, mungkin akan lebih menguntungkan untuk menunggu kesempatan
exercise berikutnya karena payoff-nya mungkin lebih besar.
Opsi Amerika lebih banyak diperdagangkan daripada Opsi Eropa. Hal ini
dikarenakan fasilitas early exercise yang dimiliki oleh opsi Amerika lebih
memberikan tantangan kepada para pemain saham untuk berlomba-lomba
menentukan strategi exercise yang paling optimal.
Untuk harga opsi tanpa dividen terdapat pernyataan, “ Bukanlah keputusan yang
optimal jika kita melakukan exercise terhadap Opsi Call Amerika sebelum waktu
jatuh temponya.” [2]. bukti dari pernyataan diatas adalah sebagai berikut:
misalkan S ( t ) adalah harga saham pada saat t dan misalkan K adalah strike
price. Misalkan pemegang opsi ingin melakukan exercise terhadap opsinya pada
satu waktu t < T . Keadaan ini hanya akan memberikan keuntungan jika
S ( t ) > K , dan memberikan payoff sebesar S ( t ) − K pada saat t . Sedangkan,
pemegang opsi dapat melakukan short selling terhadap saham di pasar pada saat t
kemudian membeli kembali saham tersebut saat t = T . Maka dua hal yang dapat
dilakukan:
a. Melakukan exercise terhadap opsi pada saat t = T .
b. Membeli dengan harga pasar saat T .
Dengan melakukan strategi ini pemegang opsi memperoleh keuntungan S ( t ) > K
pada saat t dan membayar biaya kurang dari atau sama dengan K pada saat T .
Jelas lebih menguntungkan daripada memperoleh keuntungan S ( t ) − K pada saat
t . Dengan pernyataan ini maka sebuah Opsi Call Amerika mempunyai nilai yang
sama dengan sebuah Opsi Call Eropa. Dan seperti yang kita ketahui bersama
bahwa Opsi Eropa dapat dihitung dengan mudah karena memiliki formulasi
eksak, contohnya formulasi Black-Scholes. Pernyataan ini tidak berlaku untuk
Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo
20
Bab III Simulasi Monte Carlo
opsi Put Amerika. Tidak terdapat formulasi eksak untuk opsi Put Amerika ini.
Oleh karena itu, dipergunakanlah metode-metode numerik untuk menaksirnya.
Salah satu metode yang bisa dipakai adalah metode Monte Carlo.
3.2.2.1
Metode Monte Carlo untuk menilai opsi Put Amerika
Banyak orang percaya bahwa pendekatan dengan metode Monte Carlo hanya
dapat digunakan untuk menghitung nilai Opsi Eropa. Hal ini dikarenakan metode
Monte Carlo mudah digunakan jika pekerjaan tersebut bersifat maju sesuai
pertambahan waktu. Tetapi untuk pekerjaan yang bersifat mundur, metode ini
menjadi susah untuk diterapkan. Di bawah asumsi kondisi tanpa resiko μ = r ,
nilai Opsi Put Amerika saat t = 0 adalah:
P Am ( S0 , 0 ) = sup E ⎡⎣e − rτ (Vτ ) ⎤⎦
0 ≤τ ≤T
(3.8)
Dengan τ adalah stopping time dan Vτ adalah payoff saat τ . [2]
Secara umum, terdapat dua cara untuk menilai opsi Amerika. Yang pertama
adalah dengan parameterisasi. Ilmuwan yang memanfaatkan teknik ini adalah
Andersen (2000). Cara yang kedua adalah dengan menaksir nilai kekontinuan dari
opsi Amerika
melalui fungsi ekspektasi bersyarat. Salah satu ilmuwan yang
menggunakan teknik ini adalah Longstaff dan Schwartz (2001). Mereka
memperkenalkan metode Monte Carlo Kuadrat Terkecil atau Least-Squares
Monte Carlo (LSM) sebagai cara yang mudah untuk memanfaatkan konsep
ekspektasi bersyarat ini. Pada Tugas akhir ini hanya akan dibahas penilaian harga
opsi Amerika dengan metode Monte Carlo Kuadrat Terkecil ini.
3.2.2.2
Metode Monte Carlo Kuadrat Terkecil (Least-Squares Monte
Carlo)
Longstaff dan Schwartz (2001) memperkenalkan simulasi Monte Carlo dengan
metode kuadrat terkecil untuk menilai Opsi Amerika. Pada setiap titik waktu
exercise, pemegang opsi membandingkan payoff dari early exercise dengan
Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo
21
Bab III Simulasi Monte Carlo
ekspektasi payoff dari kekontinuan. Dengan mengasumsikan bahwa kesempatan
melakukan exercise adalah diskret, nilai opsi dipenuhi oleh persamaan dinamik
berikut:
Vn = max ( hn ( S ) , H n ( S ) ) ,
n = 0,1,..., N − 1,
(3.9)
Dengan H n ( S ) adalah nilai kekontinuan saat tn , S ( tn ) = S , hn ( S ) adalah payoff
dari exercise. Jika payoff dari early exercise lebih tinggi, pemegang opsi akan
meng-exercise opsinya. Sebaliknya, mereka akan membiarkan opsi tersebut (tidak
meng-exercise). Saat jatuh tempo t N = T , kita dapatkan VN ( S ) = hN ( S ) (dengan
kata lain H N ( S ) = 0 ). Ekspektasi payoff dari kekontinuan adalah bersyarat
terhadap informasi yang ada pada titik waktu tersebut , atau secara rekursi dapat
diperoleh sebagai berikut :
(
)
H n ( S ) = E max ⎡ hn +1 ( S ( tn +1 ) ) , H n +1 ( S ( tn +1 ) ) | S ( tn ) = S ⎤ .
⎣
⎦
Ekspektasi bersyarat di atas dapat ditaksir dengan:
M
H n ( S ) ≈ ∑ α nmφnm ( S ),
m=0
Dengan φnm ( S ) adalah fungsi basis yang dipilih. Dan koefisien α nm ditentukan
dengan proyeksi kuadrat terkecil dari data-data simulasi yang ada. Untuk
memperoleh fungsi ekspektasi bersyaratnya, kita regresikan payoff dari
kekontinuan yang mungkin terhadap sebuah fungsi basis. Nilai yang diperoleh
adalah ekspektasi nilai kekontinuan. Sederhananya, kita membandingkan nilai
kekontinuan ini dengan nilai early exercise dan menentukan keputusan exercise
yang optimal. Kita gunakan algoritma ini secara rekursif dan diskontokan payoff
optimal yang didapat ke waktu nol. Inilah harga opsi yang kita cari.
Berdasarkan pada sebuah Opsi Amerika, yang dapat di-exercise kapanpun di
selang waktu [ 0,T ] , kita gunakan diskretisasi. Misalkan kita gunakan N buah
Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo
22
Bab III Simulasi Monte Carlo
titik yang membagi waktu menjadi 0 < t1 ≤ t2 ≤ ... ≤ t N = T . Pada saat jatuh
tempo, strategi exercise sama dengan pada Opsi Eropa. Jika nilai opsi adalah inthe-money, pemegang opsi akan meng-exercise-nya. Sebaliknya, biarkan opsi
tersebut berakhir. Sebelum jatuh tempo, pemegang opsi harus memilih untuk
meng-exercise opsinya atau menahannya sampai waktu exercise selanjutnya.
Misal terdapat sebuah ruang probabilitas ( Ω, F , P ) dan sebuah ukuran martingale
yang ekivalen Q . Notasi C (ω , s; t , T ) adalah cash flow pada saat s yang
dibangkitkan oleh opsi untuk lintasan sampel ω , bersyarat pada di-exercise atau
tidaknya opsi pada saat t , dan pada pemegang opsi yang mengikuti aturan
berhenti yang optimal untuk setiap s , t < s ≤ T .
Misalkan H n (ω; tn ) adalah nilai kekontinuan saat tn . Dari prinsip no arbitrage,
H n (ω ) diberikan oleh ekspektasi dari diskonto payoff dibawah ukuran tanpa
resiko. Saat tn , H n (ω ) diberikan oleh :
⎡ N − r ( t −t )
⎤
H n ( ω ; tn ) = E ⎢ ∑ e j n C ( ω , t j ; tn , T ) ⎥ ,
⎣ j = n +1
⎦
(3.10)
dimana ekspektasi terdefinisi dibawah ukuran tanpa resiko bersyarat pada filtrasi
saat tn . Misalkan kita pilih fungsi basis M , kemudian H n (ω ) ditaksri dengan
meregresikan diskonto cash flow ke dalam fungsi basis untuk lintasan dimana
nilai opsinya adalah in-the-money saat tn . Yang digunakan dalam penaksiran ini
adalah hanya lintasan yang in-the-money karena keputusan exercise hanya relevan
jika kondisinya adalah in-the-money. Nilai kekontinuan yang ditaksir dengan
regresi tersebut dinotasikan Hˆ n (ω ) .
Tujuan kita adalah untuk memberikan aturan berhenti yang memaksimalkan nilai
opsi pada setiap titik waktu sepanjang tiap lintasan harga saham. Kita mulai dari
saat jatuh tempo t N , dan bergerak mundur seiring waktu. Di t N , cash flow
diberikan oleh fungsi payoff yang telah diketahui. Satu langkah mundur, kita cari
Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo
23
Bab III Simulasi Monte Carlo
lintasan yang in-the-money di t N −1 . Dari lintasan ini, kita hitung diskonto cash
flow yang didapat saat t N jika diasumsikan opsi masih berlaku saat t N −1 .
Berdasarkan langkah ke- k , harga saham pada saat t N −1 dan t N adalah S N( −)1 dan
k
S N( ) , dengan k = 1,..., K , dimana K adalah jumlah keseluruhan lintasan yang ink
the-money saat t N −1 . Diskonto dari cash flow saat t N −1 untuk lintasan ke- k
diberikan oleh e
− r ( t N −t N −1 )
hN S N( ) , dimana hN adalah fungsi payoff dari opsi. Dengan
k
menggunakan informasi data K dan dengan memilih fungsi basis M , kita taksir
k
nilai kekontinuan Hˆ N( −)1 dengan meregresikan diskonto cash flow di t N −1 yang
sesuai dengan harga saham saat t N −1 . Early exercise saat t N −1 adalah optimal
untuk lintasan in-the-money ω jika nilai exercise dini lebih besar atau sama
dengan nilai kekontinuan yang ditaksir tersebut. Dalam kasus ini, cash flow di
t N −1 ditetapkan sama dengan nilai exercise.
Setelah lintasan-lintasan cash flow dan aturan berhenti saat t N −1 telah ditentukan,
kemudian secara rekursif mengulangi proses tersebut untuk t N − 2 ,..., t1 . Hasilnya,
kita dapatkan aturan berhenti yang optimal untuk setiap waktu pada setiap
lintasan. Setelah cash flow ditemukan, kita bisa menghitung taksiran dari nilai
opsi dengan mendiskontokan tiap cash flow ke waktu nol dan merata-ratakan
seluruh lintasan sampel harga saham yang mungkin. [5]
3.2.3
Opsi Exotic
Berbagai macam opsi exotic diciptakan untuk memenuhi kebutuhan pasar yang
beraneka ragam. Kita dapat menggolongkan opsi-opsi exotic menjadi tiga bagian,
yaitu:
•
Opsi bergantung lintasan (path dependent options). Contohnya adalah,
Asian, Barrier, dan Lookback.
Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo
24
Bab III Simulasi Monte Carlo
•
Opsi korelasi (correlation options). Contohnya adalah, Basket, Exchange,
Foreign-Equity, Quanto, dan Spread.
•
Opsi exotic lain. Contohnya, Digital, Chooser, dan Contingent premium.
Dalam tugas akhir ini hanya akan membahas contoh untuk opsi bergantung
lintasan, yaitu opsi Asian dan Barrier sebagai contoh penerapan metode simulasi
Monte Carlo dalam opsi exotic.
Opsi Bergantung Lintasan
Sebuah opsi bergantung lintasan adalah sebuah opsi yang nilainya bergantung
pada barisan harga saham sebagian atau sepanjang masa hidupnya, tidak hanya
pada harga saham di akhir periode.
Opsi Asian
Opsi Asian atau Average adalah opsi yang payoff-nya bergantung pada rata-rata
harga saham selama paling sedikit beberapa bagian dari masa hidup opsi tersebut.
Misalkan N melambangkan jumlah hari dimana opsi diperdagangkan, T adalah
waktu jatuh tempo opsi, dan S ( t j ) adalah harga saham pada akhir hari
perdagangan j dimana j = 1,2,…,N, dan t N = T . Kemudian, rataan dari harga
saham dapat dihitung dengan menggunakan dua metode, yaitu aritmatika dan
geometrika.
•
Rataan Aritmatik : Misalkan S A ( t ) adalah nilai rataan aritmatik dari
saham yang dihitung sepanjang masa hidup opsi. Rataan aritmatik dihitung
menggunakan:
Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo
25
Bab III Simulasi Monte Carlo
S A (t ) =
S ( t1 ) + S ( t2 ) + ... + S ( t N )
N
=
•
1
N
∑ S ( t ).
N
j =1
(3.11)
j
Rataan Geometrik : Misalkan SG ( t ) adalah nilai rataan geometrik dari
saham yang dihitung sepanjang masa hidup opsi. Rataan geometrik
dihitung menggunakan:
1/ N
⎡ N
⎤
SGt = ⎢∏ S ( t j ) ⎥
⎣ j =1
⎦
= ⎡⎣ S ( t1 ) S ( t2 ) ...S ( t N ) ⎤⎦
1/ N
.
(3.12)
Dua jenis opsi asia standar yang dihitung menggunakan rataan aritmatika dan
geometrika dari harga saham adalah:
•
Opsi Rataan Harga Saham
o Payoff
sebuah
opsi
call
rataan
harga
saham
adalah
saham
adalah
max ⎡⎣ S ( t ) − K , 0 ⎤⎦ .
o Payoff
sebuah
opsi
put
rataan
harga
max ⎡⎣ K − S ( t ) , 0 ⎤⎦ .
•
Opsi Rataan Strike Price
o Payoff sebuah opsi call rataan strike adalah max ⎡⎣ ST − S ( t ) , 0 ⎤⎦ .
o Payoff sebuah opsi put rataan strike adalah max ⎡⎣ S ( t ) − ST , 0 ⎤⎦ .
Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo
26
Bab III Simulasi Monte Carlo
Dimana S ( t ) adalah nilai rataan aritmatika yang diberikan pada persamaan (3.11)
atau nilai rataan geometrika yang diberikan pada persamaan (3.12). [2]
Opsi Barrier
Payoff dari opsi Barrier ada nilainya atau tidak tergantung dari pernah atau
tidaknya harga saham melewati suatu batas tertentu yang diberikan.
−
Opsi call down-and-out mempunyai payoff nol jika harga saham pernah
berada di bawah suatu nilai batas B < S0 pada selang waktu [ 0,T ] . Jika
harga saham tidak melampaui batas tersebut, payoff dari opsi ini sesuai
dengan opsi Call Eropa, max ( S (T ) − K , 0 ) .
−
Opsi call down-and-in mempuyai payoff nol jika harga saham tidak
pernah berada di bawah suatu nilai batas B < S0 pada selang waktu
[0,T ] . Jika harga saham melampaui nilai batas tersebut, payoff dari opsi
ini sesuai dengan opsi Call Eropa, max ( S (T ) − K , 0 ) .
Opsi ini menjadi populer karena kesempatan payoff yang terbatas membuatnya
lebih murah dari opsi Eropa.
Dengan mengubah ‘down’ dengan ’up’ maka opsi barrier yang lain adalah:
−
Opsi up-and-out mempunyai payoff nol jika harga saham pernah berada
diatas
suatu nilai batas B < S0 pada selang waktu [ 0,T ] . Jika harga
saham tidak melampaui batas tersebut, payoff dari opsi ini sesuai dengan
opsi Call Eropa, max ( S (T ) − K , 0 ) .
−
Opsi call up-and-in mempuyai payoff nol jika harga saham tidak pernah
berada diatas suatu nilai batas B < S0 pada selang waktu [ 0,T ] . Jika
harga saham melampaui nilai batas tersebut, payoff dari opsi ini sesuai
dengan opsi Call Eropa, max ( S (T ) − K , 0 ) .
Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo
27
Bab III Simulasi Monte Carlo
Juga terdapat opsi put barrier, yaitu dengan mengganti kata ‘call’ dengan kata
‘put’. [2]
Opsi Lookback
Payoff dari opsi lookback tergantung dari nilai maksimum atau nilai minimum
dari aset. Terdapat dua pembagian, yaitu fixed dan floating strike. Yang
dinotasikan sebagai berikut:
S max = max S (t )
(3.13)
S min = min S (t )
(3.14)
[0,T ]
[0,T ]
Jenis-jenis opsi lookback adalah sebagai berikut:
•
Sebuah opsi fixed strike lookback call memiliki payoff saat jatuh tempo T
sebesar max ( S max − K , 0 ) .
•
Sebuah opsi fixed strike lookback put memiliki payoff saat jatuh tempo T
sebesar max ( K − S min , 0 ) .
•
Sebuah opsi floating strike lookback call memiliki payoff saat jatuh tempo
T sebesar S (T ) − S min .
•
Sebuah opsi floating strike lookback put memiliki payoff saat jatuh tempo
T sebesar S max − S (T ) . [2]
3.3 Prosedur Reduksi Variansi
Ketidakpastian nilai dari opsi keuangan berbanding terbalik dengan akar kuadrat
dari jumlah simulasi. Kemudian, jika kita ingin simulasi ini memberikan hasil
yang lebih akurat, dibutuhkan jumlah simulasi harga saham yang lebih besar.
Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo
28
Bab III Simulasi Monte Carlo
Tentu saja hal ini tidak menguntungkan dari segi waktu komputasi. Teknik
reduksi variansi memperbaiki dan meningkatkan efisiensi dari simulasi.
3.3.1
Teknik antithetic variable
Dalam teknik ini, sebuah simulasi percobaan melibatkan penghitungan dua buah
nilai opsi. Nilai yang pertama f1 dihitung dengan cara biasa. Nilai yang kedua f 2
dihitung dengan mengubah tanda dari seluruh sampel-sampel acak dari distribusi
normal baku. Jika Z adalah sebuah sampel yang digunakan untuk menghitung f1 ,
maka –Z adalah sampel yang digunakan untuk menghitung f 2 . Contohnya, jika
kita gunakan (3.5) kita memiliki dua buah bentuk persamaan
ST = S exp ⎡⎣( μ − σ 2 / 2 ) T + Zσ T ⎤⎦
ST = S exp ⎡⎣( μ − σ 2 / 2 ) T − Zσ T ⎤⎦
(3.15)
Kita lebih baik menggunakan masukan acak dalam bentuk (Z,-Z) daripada koleksi
2N. Kita notasikan f sebagai rata-rata dari f1 dan f 2 .
f =
f1 + f 2
2
(3.16)
Kemudian,
1
1
⎡1
⎤ 1
Var ( f ) = Var ⎢ ( f1 + f 2 ) ⎥ = Var [ f1 ] + Var [ f 2 ] + Cov [ f1 , f 2 ] .
4
2
⎣2
⎦ 4
Jika kovariansi, Cov [ f1 , f 2 ] , antara f1 dan f 2 adalah negatif maka estimasi dari
variansi dari teknik ini akan semakin mengecil dari pada teknik biasa. [5]
Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo
29
Bab III Simulasi Monte Carlo
3.3.2
Teknik control variate
Dalam teknik ini, kita menggantikan penilaian terhadap ekspektasi yang tidak
diketahui dengan penilaian dari perbedaan antara kuantitas yang tidak diketahui
dan sebuah kuantitas yang berkaitan, yang ekspektasinya diketahui.
control variate menggunakan estimasi kedua yang memiliki suatu korelasi tinggi
positif dengan estimasi suku bunga. Kita lakukan simulasi dengan alur bilangan
yang sama dan dengan δ t yang sama. Misalkan f A dan f B adalah nilai dari A
dan B. Lalu kita dapat menuliskan f A = E ⎡ f A ⎤ dan f B = E ⎡ f B ⎤ dengan f A* dan
⎣ ⎦
⎣ ⎦
*
*
f B* adalah nilai estimasi dari A dan B.
Opsi A memiliki nilai f A . Opsi B memiliki nilai f B , sama seperti opsi A tetapi
memiliki solusi analitik. Suatu variate acak f B adalah control variate untuk f A
dengan f B berkorelasi dengan f A , maka:
fˆA = f A* + ( f B − f B* ) ,
Dengan f B adalah nilai yang diketahui dari opsi B. Error
(3.17)
(f
B
− f B* ) digunakan
sebagai control pada estimasi f A . Kita bertujuan untuk menurunkan variansi, dan
dengan membandingkannya dengan nilai opsi A dan B, maka:
Var ⎡⎣ fˆA ⎤⎦ = Var ⎡⎣ f A* ⎤⎦ + Var [ f B ] + Var ⎡⎣ f B* ⎤⎦ − 2Cov ⎡⎣ f A* , f B* ⎤⎦
(3.18)
dan Var [ f B ] = 0 karena f B adalah nilai B yang diketahui dan bukan suatu peubah
acak. Teknik control variate ini efektif digunakan jika kovariansi antara f A* dan
f B* besar, sehingga, jika 2Cov ⎡⎣ f A* , f B* ⎤⎦ > Var ⎡⎣ f A* ⎤⎦ + Var ⎡⎣ f B* ⎤⎦ , maka variansi
akan mengecil. [5]
Penentuan Harga Opsi Keuangan dengan Simulasi Monte Carlo
30