Metode Binomial untuk Menentukan Harga Opsi
advertisement
4
II LANDASAN TEORI
2.1
Pengertian Opsi
Salah
satu
instrumen
derivatif
yang
mempunyai
potensi
untuk
dikembangkan adalah opsi. Opsi merupakan suatu kontrak antara dua pihak di
mana pemegang opsi mempunyai hak untuk membeli atau menjual suatu aset
tertentu dengan harga yang telah ditentukan, pada atau sebelum waktu yang telah
ditentukan. Pemegang opsi tidak diharuskan untuk menggunakan haknya atau
menggunakan haknya jika perubahan dari harga aset yang mendasarinya akan
menghasilkan keuntungan, baik dengan menjual atau membeli aset yang
mendasari tersebut.
2.2
Aset yang Mendasari Opsi
Dalam perdagangan opsi terdapat beberapa aset yang mendasari, antara lain:
opsi indeks (index option), opsi valuta asing (foreign currency option), opsi
berjangka (future option), dan opsi saham (stock option). Opsi indeks adalah suatu
opsi dengan aset berbasis indeks pasar saham. Opsi valuta asing adalah suatu opsi
dengan aset berbasis kontrak berjangka. Sedangkan opsi saham adalah suatu opsi
dengan saham sebagai aset yang mendasarinya.
2.3
Nilai Opsi
2.3.1 Nilai Intrinsik
Nilai intrinsik opsi adalah nilai ekonomis yang menggambarkan
keuntungan investor jika opsi dieksekusi segera. Jika nilai ekonomis dari eksekusi
opsi tidak positif, maka nilai intrinsiknya adalah nol. Untuk opsi call, nilai
intrinsik akan positif jika harga saham yang terjadi (ST) lebih besar dari harga
eksekusi (K). Sedangkan nilai intrinsik opsi put akan bernilai positif jika harga
saham yang terjadi (ST) kurang dari harga eksekusi (K).
2.3.2 Nilai Waktu
Nilai waktu adalah selisih antara nilai intrinsik dengan harga opsi. Harga
atau premi suatu opsi adalah nilai yang wajar dari suatu opsi yang ditentukan oleh
pasar kompetitif yang dibayarkan oleh pembeli opsi pada saat kontrak dibuat.
5
Opsi tipe Eropa tidak mempunyai nilai waktu karena eksekusi dilaksanakan hanya
pada saat jatuh tempo.
2.4
Tipe Opsi
Terdapat dua tipe opsi yang paling mendasar, yaitu opsi call dan opsi put.
Suatu opsi call memberikan hak kepada pemegangnya untuk membeli suatu aset
tertentu dengan jumlah tertentu pada harga yang telah ditentukan (strike/exercise
price) sampai waktu jatuh tempo. Sedangkan opsi put memberikan hak kepada
pemegangnya untuk menjual suatu aset tertentu dengan jumlah tertentu pada
tingkat harga tertentu sampai waktu jatuh tempo. Dalam kontrak opsi, terdapat
empat hal utama, yaitu (1) harga aset yang mendasari yang akan dibeli; (2) jumlah
aset yang mendasari yang dapat dibeli; (3) harga eksekusi aset yang mendasari;
(4) tanggal berakhirnya hak membeli, atau disebut dengan expiration date.
Transaksi opsi akan terkait dengan pelaksanaan hak. Berdasarkan waktu
pelaksanaannya opsi dibagi menjadi dua tipe, yaitu opsi tipe Eropa dan opsi tipe
Amerika. Misalkan harga awal (pada saat dibuat kontrak) adalah S, waktu jatuh
tempo T, dan harga eksekusi (harga yang ditetapkan pada saat jatuh tempo) adalah
K, serta c f (t , S ) menyatakan harga opsi call tipe Eropa, dan p f (t , S )
menyatakan harga opsi put tipe Eropa. Nilai intrinsik opsi call tipe Eropa pada
saat jatuh tempo dapat dituliskan sebagai imbalan (payoff) atau penerimaan bagi
pemegang kontrak opsi, yaitu
c max(S T K , 0) .
Jika ST > K, opsi dikatakan dalam keadaan in the money. Pemegang opsi
akan mengeksekusi opsi call, yaitu dengan membeli saham dengan harga K yang
lebih kecil dari ST, dan akan mendapatkan hasil sebesar ST – K. Jika ST K , opsi
call dikatakan dalam keadaan at the money. Sedangkan apabila ST < K, opsi call
dikatakan dalam keadaan out of money. Kondisi payoff dari opsi put Eropa adalah
p max( K S T , 0) .
Jika ST > K, opsi put tidak bernilai sehingga pemegang opsi tidak akan
menggunakan haknya. Hubungan antara harga opsi call tipe Eropa dengan put tipe
Eropa yang dikenal dengan put-call parity, dapat dinyatakan sebagai berikut:
6
c Ke rT p S
dengan r menyatakan suku bunga bebas risiko.
Jika C f (t , S ) menyatakan harga opsi call tipe Amerika dan P f (t , S )
menyatakan harga opsi put tipe Amerika, maka payoff pada waktu jatuh tempo
untuk call adalah
C max(S T K , 0) ,
sedangkan untuk opsi put adalah
P max(K S T , 0) .
2.5
Keuntungan Opsi
Beberapa manfaat yang diperoleh dengan melakukan perdagangan opsi
antara lain:
1
Manajemen risiko: penerbit opsi put atas suatu aset yang mendasari dapat
melakukan hedging, yaitu berinvestasi pada suatu aset untuk mengurangi
risiko portofolio keseluruhan. Hal ini dilakukan bila harga aset yang
mendasarinya turun drastis secara tiba-tiba, sehingga risiko kerugian dapat
dihindari.
2
Memberi waktu yang fleksibel: untuk opsi tipe Amerika, maka pemegang
opsi call maupun opsi put dapat menentukan apakah akan melaksanakan
haknya atau tidak hinggga masa jatuh tempo.
3
Menyediakan sarana spekulasi: para investor dapat memperoleh keuntungan
jika dapat menentukan dengan tepat kapan membeli opsi put atau call.
Apabila diperkirakan harga naik maka akan membeli opsi call, dan
sebaliknya jika harga cenderung turun maka akan membeli opsi put.
4
Diversifikasi: dengan melakukan perdagangan opsi dapat memberikan
kesempatan kepada investor untuk melakukan diversifikasi portofolio untuk
tujuan memperkecil risiko investasi portofolio.
5
Tambahan
pendapatan:
perusahaan
yang
menerbitkan
saham
akan
memperoleh tambahan pemasukan apabila menerbitkan opsi, yaitu berupa
premi dari opsi tersebut.
7
2.6
Faktor-faktor yang Mempengaruhi Harga Opsi
2.6.1 Harga Aset yang Mendasari dan Harga Eksekusi
Jika suatu opsi call dieksekusi pada suatu waktu di masa yang akan datang,
pembayarannya sebesar selisih antara harga aset yang mendasari dan harga
eksekusi. Suatu opsi call akan menjadi lebih bernilai jika harga aset yang
mendasarinya meningkat dan akan menjadi kurang bernilai jika harga eksekusi
meningkat. Sedangkan pada opsi put, pembayaran atas eksekusi opsi sebesar
selisih antara harga eksekusi dan harga aset yang mendasarinya.
2.6.2 Tanggal Jatuh Tempo
Pada tipe Amerika, opsi call maupun opsi put akan menjadi lebih berharga
jika jatuh temponya semakin meningkat. Sedangkan pada opsi tipe Eropa, nilainya
tidak terpengaruh dengan waktu jatuh tempo, hal ini berkenaan dengan waktu
eksekusi hak.
2.6.3 Volatilitas
Volatilitas aset yang mendasari adalah sebuah ukuran tingkat ketidakpastian
mengenai pergerakan aset yang mendasari tersebut di masa yang akan datang. Jika
volatilitas semakin meningkat maka akan semakin meningkat pula peluang aset
yang mendasari untuk mengalami peningkatan atau penurunan. Pemilik dari suatu
opsi call memperoleh manfaat dari kenaikan harga tetapi dibatasi oleh risiko
penurunan harga. Begitu pula bagi pemegang opsi put yang memperoleh manfaat
dari penurunan harga tetapi dibatasi oleh risiko kenaikan harga.
2.6.4 Dividen
Dividen yang diharapkan selama opsi masih berlaku akan mempunyai
pengaruh terhadap pengurangan harga aset yang mendasari pada tanggal
pembagian dividen. Tanggal pembagian dividen dapat memberikan sentimen
negatif bagi nilai opsi call, tetapi berdampak baik untuk meningkatkan nilai opsi
put.
2.7
Persamaan Black-Scholes
Fischer Black dan Myron Scholes dalam merumuskan nilai suatu opsi
mendasarkan pada beberapa asumsi, yaitu:
8
1
Harga aset yang mendasari mengikuti proses Wiener yang mempunyai fungsi
kepekatan peluang lognormal.
2
Tidak ada biaya transaksi dan pajak.
3
Tidak ada pembayaran dividen selama opsi berlaku.
4
Tidak terdapat peluang arbitrage.
5
Perdagangan dari aset yang mendasari bersifat kontinu.
6
Short selling diijinkan.
7
Suku bunga bebas risiko adalah konstan dan sama untuk semua waktu jatuh
tempo.
Untuk memodelkan persamaan Black-Scholes, didefinisikan atau ditentukan
beberapa istilah, yaitu:
Definisi 2.1 (Proses Stokastik)
Proses stokastik X X (t ), t T adalah suatu himpunan dari peubah acak
yang memetakan suatu ruang contoh (sample space) Ω ke suatu ruang state (state
space) S.
Definisi 2.2 (Gerak Brown)
Proses stokastik X X (t ), t T disebut gerak Brown jika:
1
X(0) = 0.
2
Untuk
0 t1 t 2 ... t n , peubah acak X (ti ) X (ti 1 ) , i = 1,2,..,n saling
bebas.
3
Untuk setiap t > 0, X(t) berdistribusi normal dengan rataan 0 dan varian 2t
(Ross 1996).
Definisi 2.3 (Gerak Brown Geometris)
Jika X (t ), t 0 adalah gerak brown, maka proses stokastik Z (t ), t 0
yang didefinisikan Z (t ) e X (t ) disebut gerak Brown Geometris (Ross 1996).
9
Definisi 2.4 (Proses Wiener)
Proses Wiener adalah gerak Brown dengan rataan 0 dan varian 1 (Niwiga
2005).
Definisi 2.5 (Proses Wiener Umum)
Proses Wiener umum untuk suatu peubah acak X dapat dinyatakan sebagai
berikut (Hull 2003):
dX (t ) a dt b dW (t )
a dt
(2.1)
disebut sebagai komponen deterministik dan b dW (t )
menyatakan
komponen stokastik, serta W(t) adalah proses Wiener, sedangkan a dan b masingmasing menyatakan drift rate dan varian rate dari X.
Definisi 2.6 (Proses Ito’)
Proses Ito’ adalah proses Wiener umum dengan a dan b menyatakan suatu
fungsi dari peubah acak X dan waktu t. Proses Ito’ dapat dinyatakan sebagai
berikut (Hull 2003):
dX (t ) a X (t ), t dt b X (t ), t dW (t )
(2.2)
Lema 2.1 (Lema Ito’)
Misalkan
proses
X(t)
memenuhi
persamaan
(2.2)
dan
fungsi
Y (t ) f ( X (t ), t ) adalah kontinu serta turunan-turunan f t ( X (t ), t ) , f X ( X (t ), t ) ,
f XX ( X (t ), t ) kontinu, maka Y (t ) f ( X (t ), t ) memenuhi persamaan berikut
(Gihman, 1972):
dY (t ) f t ( X (t ), t )dt f X ( X (t ), t )dX (t )
1
2
f XX ( X (t ), t )dX (t ) (2.3)
2
dengan
ft
df
df
d2 f
2
dan dt dW (t ) dt dtdW (t ) 0, ( dW (t )) 2 dt
, fX
, f XX
dt
dX
dX 2
10
Model Harga Saham
Jika S harga saham pada waktu t, µ adalah parameter konstan yang
menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan volatilitas harga
saham, maka model dari perubahan harga saham, yaitu (Hull 2003):
dS (t ) S (t )dt S (t )dW (t ) .
(2.4)
Berdasarkan ketentuan-ketentuan di atas akan diturunkan persamaan Black
Scholes. Misalkan X(t) mengikuti proses Wiener umum, yaitu persamaan (2.1).
Persamaan ini dapat dikembangkan menjadi persamaan (2.2). Selanjutnya akan
ditentukan model dari proses harga saham S. Diasumsikan bahwa tidak terjadi
pembayaran dividen pada saham. Misalkan S(t) adalah harga saham pada waktu t.
Mengingat proses Ito’, perubahan S(t) akan memiliki nilai harapan drift rate µS.
Parameter µ menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan µS(t)dt
disebut komponen deterministik. Karena harga saham juga dipengaruhi oleh
faktor ketidakpastian maka komponen stokastiknya adalah S (t )dW (t ) , dengan
menyatakan volatilitas harga saham. Volatilitas harga saham mengindikasikan
tingkat risiko dari harga saham. Dengan demikian model dari harga saham adalah
berbentuk (2.4), yaitu: dS (t ) S (t )dt S (t )dW (t ) .
Dengan persamaan (2.4) ini, dapat diterapkan lema Ito’ untuk suatu fungsi
V (t , S ) , yaitu nilai opsi dengan harga saham S pada waktu t, sehingga diperoleh:
V V 1 2 2 2V
S
dV S
S t 2
S 2
V
dt S
dW (t ) .
S
(2.5)
Untuk menghilangkan proses Wiener dipilih sebuah portofolio yang
diinvestasikan pada saham dan derivatif. Strategi yang dipilih adalah membeli
suatu opsi dan menjual
V
saham. Misalkan adalah nilai portofolio yang
S
didefinisikan oleh
V
V
S.
S
(2.6)
Perubahan portofolio pada selang waktu dt didefinisikan sebagai
d dV
V
dS .
S
(2.7)
11
Dengan menyubstitusikan persamaan (2.3) dan (2.5) ke dalam (2.7) diperoleh
V 1 2 2 2V
dt .
d
S
S 2
t 2
(2.8)
(penurunan dapat dilihat pada lampiran 1).
Return dari investasi sebesar pada saham tidak berisiko akan memiliki
pertumbuhan sebesar r dt dalam selang waktu dt. Agar tidak terdapat peluang
arbitrage, nilai pertumbuhan ini harus sama dengan ruas kanan dari persamaan
(2.8), yaitu:
V 1 2 2 2V
dt .
r dt
S
S 2
t 2
(2.9)
Substitusi persamaan (2.6) ke dalam persamaan (2.9), diperoleh
V 1 2 2 2V
V
dt.
S
r V
S dt
t
S 2
t 2
sehingga
1 2 2 2V
V V
S
rV 0.
rS
2
2
S t
S
(2.10)
Persamaan (2.10) ini dikenal sebagai persamaan diferensial Black-Scholes-Merton
(Hull 2003).
2.8
Formulasi Harga Black-Scholes
Hull (2003) menunjukkan bahwa salah satu cara untuk menentukan solusi
analitik persamaan Black-Scholes, yang merupakan harga opsi dan disebut
formula Black-Scholes adalah dengan menggunakan pendekatan penilaian risiko
netral. Untuk sebuah opsi call tipe Eropa, nilai harapan payoff dari opsi call pada
saat jatuh tempo adalah
Eˆ max(S T K , 0).
(2.11)
Didefinisikan g(ST) adalah fungsi kepekatan peluang dari ST, maka
E max(S T K ,0) S T K g ( S T )dS T .
(2.12)
K
Misalkan G ln(S ) , maka
Ito’ diperoleh
G 1 2 G
G
1
, 2 2 dan
0. Berdasarkan Lema
S S S
t
S
12
1
1
1
1
G S 0 2 S 2 2 dt S dz
S
2
S
S
1
2 dt dz.
2
Karena µ dan konstan maka G ln(S ) mengikuti gerak Brown dengan rataan
1 2
2
dan varian .
2
Berdasarkan persamaan (2.3),
dS
merupakan tingkat pengembalian dari
S
harga saham. Bentuk pengembalian dari harga saham yang dapat diprediksi dan
bersifat deterministik adalah µdt. Sebagai contoh dari pengembalian yang bersifat
deterministik adalah pengembalian dari sejumlah dana yang diinvestasikan di
bank yang bersifat bebas risiko. Karena bersifat bebas risiko maka ekspektasi dari
harga diganti dengan r. Karena G ln (S ) berubah dari 0 sampai T dan
G ln(S ) mengikuti gerak Brown, maka ln(S ) berdistribusi normal dengan rataan
(r – 1/22)T dan varian 2T.
Misalkan pada waktu t 0 , nilai G ln(S 0 ) dan pada waktu T nilai
G ln(ST ) , maka pada selang waktu 0 sampai dengan T, (ln(ST ) ln(S 0 )) adalah
berdistribusi normal dengan rataan dan varian seperti di atas, sehingga diperoleh:
ln ST ln S 0 N r 1 2 T ,
2
T
atau dapat dituliskan lnST berdistribusi normal dengan
1
ln S T N ln S 0 r 2 T , T .
2
Dengan demikian lnST berdistribusi normal dengan rataan
1
m ln S 0 r 2 T
2
dan standar deviasi
s T
Selanjutnya didefinisikan juga sebuah peubah Q dengan
(2.13)
13
Q
ln S T m
.
T
(2.14)
Substitusi m dari Persamaan (2.13) ke dalam Persamaan (2.14), sehingga
diperoleh
Q
1
T
ln ST ln S 0
1 2
r
T
T 2
maka peubah Q juga berdistribusi normal dengan rataan 0 dan standar deviasi 1,
dan fungsi kepekatan peluang dari Q dinyatakan dengan h(Q), yaitu
h(Q)
1 Q 2 / 2
e
2
(2.15)
(lihat lampiran 2)
Persamaan (2.14) dinyatakan menjadi
S T e Q
T m
.
(2.16)
Perubahan batas integral pada sisi kanan dari persamaan (2.12), dari integral
menurut ST menjadi integral menurut Q adalah sebagai berikut:
Jika ST = , maka Q = .
Jika ST = K, maka K e Q
T m
sehingga Q
ln K m
.
T
Dengan menggunakan persamaan (2.15), (2.16), perubahan batas integral dan
misalkan s T , maka persamaan (2.12) menjadi:
Eˆ max S T K ,0
e
Qs m
K h(Q ) dQ
(ln K m ) / s
(ln K m ) / s
(ln K m ) / s
Qs m
e h(Q) dQ K
(ln K m ) / s
(ln K m ) / s
(ln K m ) / s
e Qs m
h(Q) dQ
1 Q 2 / 2
e
dQ K h(Q) dQ
2
(ln K m ) / s
1 ( Q 2 2Qs 2 m ) / 2
e
dQ K h(Q) dQ
2
(ln K m ) / s
1 ( (Q s )2 s 2 2 m ) / 2
e
dQ K h(Q) dQ
2
(ln K m ) / s
14
e m ( s
2
/ 2)
(ln K m ) / s
m( s
e
2
1 ( Q s ) 2 / 2
e
dQ K h(Q) dQ
2
(ln K m ) / s
/ 2)
h(Q s ) dQ K
(ln K m ) / s
h(Q) dQ ,
(ln K m ) / s
Sehingga persamaan (2.12) dapat dinyatakan dengan
Eˆ max S T K ,0
m( s
e
2
/ 2)
h(Q s) dQ K
(ln K m ) / s
h(Q) dQ
(2.17)
(ln K m ) / s
Jika N(x) menyatakan notasi dari fungsi distribusi normal baku kumulatif maka
e
m( s 2 / 2)
h(Q s) dQ e m
2
T /2
1 N ln K m / s s
(ln K m ) / s
e m
2
T /2
N ln K m / s s .
Peubah m pada ruas kanan yang terdapat dalam tanda kurung siku persamaan di
atas disubstitusikan dengan persamaan (2.13) dan s T , maka diperoleh
2
ln
ln
K
S
r
0
2
m s 2 / 2
m 2 T / 2
(
)
e
h
Q
s
dQ
e
N
T
(ln K m ) / s
T
T
S0 2
T 2T
ln r
2
2
K
e m T / 2 N
T
S0 2
T
ln r
2
K
m 2T / 2
e
N
T
e m
2
T /2
N d1 ,
S0 2
T
ln r
2
K
dengan d1
.
T
15
Dengan alasan yang serupa di atas, maka
K
ln K m
ln K m
h(Q) dQ K 1 N
KN
s
s
(ln K m ) / s
Dengan mensubstitusikan m dan s pada persamaan (2.13) ke dalam persamaan di
atas diperoleh
2
ln K ln S 0 r
T
2
K h(Q) dQ KN
T
(ln K m ) / s
S0 2
T
ln r
2
K
KN
T
=KN(d2),
S0 2
T
ln r
K
2
,
dengan d 2
T
Sehingga persamaan (2.12) menjadi
2
Eˆ max(S T K ,0) e m T / 2 N d1 KN d 2 .
(2.18)
Berdasarkan argumentasi penilaian risiko netral, harga opsi call tipe Eropa
yang dilambangkan dengan c adalah nilai harapan yang didiskon pada suku bunga
bebas risiko yang dapat dinyatakan sebagai
c e rT Eˆ max( S T K ,0 .
(2.19)
Dengan substitusi persamaan (2.18) dan (2.19) diperoleh formula BlackScholes untuk opsi call tipe Eropa tanpa membayar dividen pada saat kontrak opsi
dibuat, yaitu
c S 0 N d1 Ke rT N ( d 2 ) .
dengan
(2.20)
16
S0 2
S0 2
T
T
ln r
ln r
2
2
K
K
d1
.
dan d 2
T
T
2.9
Rasio Lindung Nilai (Hedge Ratio)
Rasio lindung nilai adalah perbandingan dari pergerakan yang mungkin dari
nilai opsi dan saham pada akhir periode. Rasio itu adalah
cu c d
uS 0 dS 0
(2.21)
Dengan cu dan cd adalah nilai opsi yang mengacu saat harga saham naik atau
turun, sedangkan uS0 dan dS0 merupakan harga saham dalam dua kondisi setelah
terjadi perubahan naik atau turun. Jika investor menerbitkan satu opsi dan
memegang lembar saham, maka nilai portofolio tidak akan dipengaruhi oleh
harga saham akhir. Portofolio itu sering disebut portofolio bebas risiko (riskless
portofolio).
2.10 Pengertian Model Binomial
Model binomial merupakan suatu bentuk cara penentuan harga opsi, yang
mengasumsikan bahwa sebuah saham hanya dapat memiliki dua nilai yang
mungkin pada saat opsi kadaluwarsa. Saham tersebut mungkin meningkat (up)
hingga harga tertinggi atau turun (down) hingga harga terendah (Bodie 1997).
Meskipun tampaknya merupakan penyederhanaan yang berlebihan, tetapi cara ini
memungkinkan untuk lebih dekat memahami model-model yang lebih rumit dan
realistik.
2.11 Model Binomial dengan Suku Bunga Diskret
Penghitungan nilai opsi call tipe Eropa menggunakan metode binomial
dengan suku bunga diskret, dengan langkah-langkah sebagai berikut:
Definisikan proses harga saham, yaitu diberikan harga saham sekarang saat
T – 1 maka harga saham pada saat T akan bergerak naik dengan faktor u atau akan
bergerak turun dengan faktor d dengan 1 d 1 1 u , d<0 dan u>0.
17
ST,u = (1+u)ST-1
ST-1
ST,d = (1+d)ST-1
Jika cT menyatakan nilai opsi call pada waktu T, maka:
cT,u = max{0, (1+u)ST-1 – K}
c(T-1)
cT,d = max{0, (1+d)ST-1 – K}
Pada waktu T – 1 dapat dibentuk portofolio leverage yang terdiri atas saham S dan
obligasi sebesar B yang akan memberikan payoff yang sama seperti payoff opsi
call pada waktu T:
(1+u)ST-1 +(1+r)B
ST-1+B
(1+d)ST-1 +(1+r)B
Dengan menyamakan payoff dari opsi call dan payoff dari portofolio leverage
pada waktu T diperoleh:
(1+u)ST-1 +(1+r)B = cT,u
(2.22)
(1+d)ST-1 +(1+r)B = cT,d
(2.23)
Setelah diselesaikan sistem persamaan linear pada (2.22) dan (2.23) di atas
diperoleh:
B
cT ,u cT ,d
u d ST 1
(1 u )cT ,d (1 d )cT ,u
(u d )(1 r )
(2.24)
(2.25)
18
dengan menyatakan rasio lindung nilai, artinya untuk membentuk portofolio
yang bebas risiko maka diperlukan perbandingan, yaitu sejumlah saham dan
satu opsi call.
Langkah selanjutnya, jika pada waktu T, opsi call dan portofolio leverage
memberikan payoff yang sama, maka pada T-1 harus memiliki nilai yang sama
pula. Maka substitusikan persamaan (2.24) dan (2.25) dalam persamaan berikut,
diperoleh
cT 1 S T 1 B
cT ,u cT ,d
(u d ) S T 1
(1 u )cT ,d (1 d )cT ,u
S T 1
(u d )(1 r )
(r d )cT ,u (u r )cT ,d
(2.26)
(u d )(1 r )
Dengan mensubstitusikan p
r d
ur
, dan 1 p
diperoleh
ud
ud
cT 1
pcT ,u (1 p)cT ,d
(1 r )
.
(2.27)
Dengan cara yang sama dapat diturunkan nilai opsi call tipe Eropa dengan
metode binomial 2 periode, 3 periode dan n periode, yaitu
cT 2
p 2 cT ,uu 2 p (1 p )cT ,ud (1 p) 2 cT ,dd
(1 r ) 2
p 3 cT ,uuu 3 p 2 (1 p )cT ,uud 3 p 1 p cT ,udd (1 p ) 3 cT ,ddd
(2.28)
2
cT 3
cT n
(1 r ) 3
n
n
j 0
j p
j
(2.29)
(1 p ) n j ( S T K )
(1 r ) n
(2.30)
19
2.12 Model Binomial dengan Suku Bunga Kontinu
Perhitungan nilai opsi call tipe Eropa menggunakan metode binomial
dengan suku bunga kontinu, dengan langkah-langkah sebagai berikut:
Definisikan proses harga saham, yaitu diberikan harga sekarang saat T–1
maka harga saham pada saat T akan naik dengan faktor kenaikan u dan akan turun
dengan faktor penurunan d dengan d < 1 < u, demikian juga terhadap nilai opsinya
yaitu dari f menjadi fu dan fd
fu
S0u
f
S0
fd
S0d
dengan S0 merupakan harga saham saat waktu T – 1, fu dan fd adalah harga opsi
pada
waktu
T
yang
didefinisikan
sebagai
f u max(0, S 0u K )
dan
f d max(0, S 0 d K ) dengan K merupakan harga eksekusi pada waktu T.
Portofolio yang dibentuk adalah posisi long untuk sejumlah saham dan
posisi short untuk satu opsi call
S0u - fu
S0 - f
S0d - fd
Portofolio akan menjadi bebas risiko ketika S0u – fu = S0d – fd, sehingga
diperoleh nilai
fu f d
.
S 0u S 0 d
(2.31)
Nilai portofolio pada waktu T adalah S0u – fu, sehingga nilai portofolio pada saat
ini merupakan present value dari S0u – fu yaitu (S0u – fu)e-rT, dengan r adalah
suku bunga bebas risiko. Ekspresi lain dari portofolio pada saat ini adalah S0 –f.
Sehingga dengan membandingkan di antara dua pernyataan di atas diperoleh
S0 – f = (S0u – fu)e-rT
f = S0 – (S0u – fu)e-rT
(2.32)
20
substitusikan nilai pada persamaan (2.32)
f fd
S 0 u f u e rT
u
S0u S 0 d
f
fu f d
S0
S0u S 0 d
f
e rT d rT
e rT d
f u 1
f d e
ud
ud
f pf u (1 p ) f d e rT
(2.33)
e rT d
dan untuk pembahasan selanjutnya p disebut sebagai peluang
ud
dengan p
risiko netral.
Dengan langkah-langkah yang dilakukan seperti di atas, untuk metode
binomial dengan dua periode, diperoleh
dengan p
f u pf uu (1 p ) f ud e rt
(2.34)
f d pf du (1 p ) f dd e rt
(2.35)
f pf u (1 p) f d e rT
(2.36)
e rT d
.
ud
Substitusikan persamaan (2.34) dan (2.35) ke dalam persamaan (2.36) diperoleh
harga opsi call dengan model binomial dua periode adalah
f = [p2fuu + p(1 – p)fud + (1 – p)2fdd]e-2rt.
(2.37)
Untuk penentuan harga opsi call dengan metode binomial tiga periode
dirumuskan
f = [p3fuuu + 3p2(1 – p)fuud +3p(1 – p)2fudd + (1 – p)3fddd]e-3rt.
(2.38)
Sehingga untuk n periode pada metode binomial dengan waktu kontinu diperoleh
21
n n
f p j (1 p ) n j S n K e nrt
j 0 j
dengan t = T/n.
(2.39)