Sistem Pengaturan

IDENTIFIKASI MODEL MATEMATIK
Dalam desain sistem yang berazaskan metode matematik, sistem fisis selalu disajikan
dalam bentuk model matematik yang menggambarkan hubungan dinamik antara input dan output
sistem. Model matematik suatu sistem dapat diturunkan dengan dua cara, yaitu ;
1. Melalui hubungan fisik antar variabel input-output dari tiap komponen,
selanjutnya disusun susunan antar komponen hingga membentuk
model matematik sistem secara keseluruhan;
2. Menggunakan
metode
identifikasi,
yaitu
suatu
metode
yang
berdasarkan pada evaluasi data input output yang selanjutnya dilakukan
pengujian dan analisa pada model pendekatan (asumsi model) hingga
dapat ditentukan nilai parameter yang sesuai.
Pada suatu sistem yang komplek, hubungan antar komponen sering kali kurang jelas atau
bahkan tidak diketahui. Oleh karena itu model matematik yang didapatkan melalui identifikasi lebih
mudah diterapkan dalam aplikasi praktis dibanding dengan metode yang pertama. Dalam sistem
pengaturan dikenal beberapa macam metode identifikasi, antara lain:
1. Metode pendekatan Respon Waktu Sistem Orde I dan Orde II.
2. Metode penyelesaian Persamaan Linier Simultan.
3. Metode Regresi Linier Multivariabel.
4. Metode Gradient.
5. Metode Least Square.
6. Metode Extended Least Square.
1. Metode pendekatan Respon Waktu
Adalah salah satu model identifikasi yang paling sederhana di mana model
suatu sistem/plant didekati dengan model orde I atau orde II berdasarkan
kemiripan respon step dari sistem/plant. Disamping untuk sistem linier, metode ini
dapat pula diterapkan untuk non sistem linier yang memiliki sifat kontinyu pada
sekitar titik kerja. Model Pendekatan ini disebut pula sebagai model reduksi.
2. Model Matematik Melalui Pendekatan Respon Sistem Orde I
Model matematik suatu sistem/plant dapat dinyatakan dalam bentuk model
orde I, jika untuk sinyal uji step respon output sistem/plant menyerupai atau dapat
Indentifikasi Model - 1/4
didekati dengan respon sistem orde satu. Oleh karena itu model pendekatan atau
model reduksi sistem/plant dapat dinyatakan sebagai berikut:
Y ( s)
K*
= *
X ( s) τ s + 1
Tampak bahwa terdapat dua parameter (K* dan τ*) yang perlu ditentukan
berdasarkan spesifikasi respon.
a. Menentukan parameter K* (gain over all)
Jika sistem adalah linier, hubungan yss dengan xss dapat dituliskan sebagai
hubungan linier :
y SS = K * X SS
atau
K* =
y SS
x SS
Sedangkan jika pada sistem/plant non-linier, hubungan dapat tersebut dapat dinyatakan dalam
bentuk hubungan non-linier, yaitu :
y SS = f ( xSS ) sehingga K * dapat dirumuskan sebagai : K * =
∂
f ( x SS )
∂x SS
X
SS = X OP
Algoritma menentukan nilai gain over all K* (metode grafis)
1. Memberikan beberapa masukan step pada sistem/plant, selanjutnya
dilakukan pengukuran harga steady state output untuk tiap masukan.
2. Membuat kurva kerja dengan ySS sebagai ordinat dan xSS sebagai absis
3. Meletakan titik kerja yang telah ditentukan pada kurva kerja
4. Menarik garis singgung kurva melalui titik kerja yang dipilih
5. Mengukur koefesien arah dari garis singgung
6. Nilai gain over all K* adalah koefisien arah garis singgung.
Di samping metode grafis di atas, harga K* dapat pula ditentukan dengan regressi
linier maupun regressi polinomial (non linier).
Indentifikasi Model - 2/4
b. Menentukan parameter τ* (Time Constant)
Time constant τ* ditentukan melalui pengukuran respon output sistem/plant untuk masukan
step pada titik kerja yang dipilih. Algoritma menentukan nilai time constant ini dapat dituliskan
sebagai berikut:
Algoritma menentukan nilai Time Constant τ* (metode grafis)
1. Memberikan masukan step pada sistem/plant dengan magnitude sinyal
step sesuai titik kerja yang dipilih.
2. Mengamati respon output melalui plotter atau storage oscilloscope, selanjutnya
membuat kurva respon transient dengan y(t) sebagai ordinat dan waktu t sebagai
absis.
3. Mengukur nilai steady state, selanjutnya mengukur waktu yang
diperlukan untuk mencapai 63,2% dari keadaan steady state.
4. Nilai time constant τ* adalah waktu yang diperlukan respon untuk
mencapai 63,2% dari keadaan steady state.
3. Model Matematik Melalui Pendekatan Respon Sistem Orde II
Model matematik suatu sistem/plant dapat dinyatakan dalam bentuk model
orde II, jika untuk sinyal uji step respon output sistem/plant menyerupai atau dapat
didekati dengan respon sistem orde II. Oleh karena itu model pendekatan atau
model reduksi sistem/plant dapat dinyatakan sebagai berikut:
Y ( s)
K*
=
1 2 2ξ
X ( s)
s +
s +1
ω n2
ωn
Tampak bahwa terdapat tiga parameter (K*, ξ , dan ωn) yang perlu ditentukan
berdasarkan spesifikasi respon.
a. Menentukan parameter K* (gain over all)
Jika sistem adalah linier, hubungan yss dengan xss dapat dituliskan sebagai
hubungan linier :
y SS = K * X SS
atau
K* =
y SS
x SS
Sedangkan jika pada sistem/plant non-linier, hubungan dapat tersebut dapat dinyatakan dalam
bentuk hubungan non-linier, yaitu :
Indentifikasi Model - 3/4
y SS = f ( xSS ) sehingga K * dapat dirumuskan sebagai : K * =
∂
f ( x SS )
∂x SS
X
SS = X OP
Tampak bahwa formulasi untuk menentukan gain over all pada sistem orde kedua adalah
sama dengan formulasi pada sistem orde kesatu. Oleh karena itu algoritma untuk
mendapatkan gain over all pada sistem orde kedua sama dengan algoritma pada sistem
orde satu.
b. Menentukan parameter ξ (koefesien redaman) dan ωn (frekuensi natural)
Koefesien redaman ξ dan frekuensi natural ωn dapat ditentukan melalui
pengukuran respon output sistem/plant untuk masukan step pada titik kerja
yang dipilih. Algoritma menentukan nilai koefesien redaman ξ dan frekuensi
natural ωn ini dapat dituliskan sebagai berikut:
Algoritma menentukan nilai ξ dan ωn (metode grafis)
1. Memberikan masukan step pada sistem/plant dengan magnitude sinyal
step sesuai titik kerja yang dipilih.
2. Mengamati respon output melalui plotter atau storage oscilloscope,
selanjutnya membuat kurva respon transient dengan y(t) sebagai
ordinat dan waktu t sebagai absis.
3. Mengukur nilai steady state ySS, nilai peak overshoot yP serta time peak
TP.
4. Menghitung harga ξ dan ωn dengan formulasi sebagai berikut:
ξ =
1



π
1+ 
 Ln YP − YSS
  Y
SS
 



 



2
;
ωn =
π
TP 1 − ξ 2
Indentifikasi Model - 4/4