Logika - Tabel Kebenaran

LOGIKA
Ratna Wardani
Pendidikan Teknik Informatika
2 September 2007
Pertemuan-1 - 2
1
Materi Perkuliahan
™
™
Logical Connectives
Tabel Kebenaran
2 September 2007
Pertemuan-1 - 2
2
Arti Kalimat
™
™
™
™
™
Arti kalimat = nilai kebenaran
Setiap kalimat pada logika proposisi memiliki salah
satu dari nilai {true, false}
Arti kalimat kompleks yang terdiri atas n variabel
merupakan fungsi dari nilai kebenaran n variabel
tersebut
Perlu tahu nilai kebenaran masing-masing variabel
Perlu aturan untuk menghitung fungsi tersebut
2 September 2007
Pertemuan-1 - 2
3
Interpretasi
Interpretasi pada logika proposisi = pemberian
nilai kebenaran pada semua variabel
™ Contoh : P ∨ ¬Q
™ I1 : P true dan Q true
™ I2 : P true dan Q false
™ I3 : P false dan Q false
™ I4 : P false dan Q true
™
2 September 2007
Pertemuan-1 - 2
4
Aturan Semantik
™
™
™
™
™
™
™
kalimat true bernilai true untuk semua interpretasi
kalimat false bernilai false untuk semua interpretasi
kalimat P,Q,R,… bernilai sesuai interpretasinya
not F bernilai true jika F false dan bernilai false jika F true
F ∧ G bernilai true jika F dan G keduanya true dan bernilai
false jika tidak demikian
F ∨ G bernilai false jika F dan G keduanya false dan bernilai
true jika tidak demikian
F ⇒ G bernilai false jika F true dan G false dan bernilai true
jika tidak demikian
2 September 2007
Pertemuan-1 - 2
5
Tabel Kebenaran
Dengan aturan semantik dapat ditentukan nilai
kebenaran suatu kalimat kompleks untuk
semua interpretasi yang mungkin
™ Biasanya ditabelkan dan disebut tabel
kebenaran
™ Jika terdapat n variabel, maka terdapat 2n baris
tabel kebenaran
™
2 September 2007
Pertemuan-1 - 2
6
Operator / Logical Connectives
™
Sebuah operator atau penghubung menggabungkan satu
atau lebih ekspresi operand ke dalam ekspresi yang lebih
besar. (seperti tanda “+” di ekspresi numerik.)
™
Operator Uner bekerja pada satu operand (contoh −3);
Operator biner bekerja pada 2 operand (contoh 3 × 4).
™
Operator Proposisi atau Boolean bekerja pada proposisiproposisi atau nilai kebenaran, bukan pada suatu angka
2 September 2007
Pertemuan-1 - 2
7
Operator / Boolean Umum
Nama Resmi
Istilah
Arity
Operator Negasi
NOT
Unary
Operator Konjungsi
AND
Binary
Operator Disjungsi
OR
Binary
Operator Exclusive-OR
XOR
Binary
Operator Implikasi
IMPLIES
(jika-maka)
Binary
Simbol
¬
∧
∨
⊕
→
Operator Biimplikasi
(Biconditional)
IFF (jika dan
hanya jika)
Binary
↔
2 September 2007
Pertemuan-1 - 2
8
Operator Negasi
™
™
™
™
Operator negasi uner “¬” (NOT) mengubah suatu
proposisi menjadi proposisi lain yang bertolak belakang
nilai kebenarannya
Contoh: Jika p = Hari ini hujan
maka ¬p = Tidak benar hari ini hujan
Tabel kebenaran untuk NOT:
p
T
F
2 September 2007
¬p
F
T
T = True; F = False
≡ Diartikan “didefinisikan sebagai”
Pertemuan-1 - 2
9
Operator Konjungsi
™
™
™
Operator konjungsi biner “∧” (AND)
menggabungkan dua proposisi untuk membentuk
logika konjungsinya
Cth: p = Galih naik sepeda
q = Ratna naik sepeda
p∧q = Galih dan Ratna naik sepeda
2 September 2007
ΛND
Pertemuan-1 - 2
10
Tabel Kebenaran Konjungsi
™
™
p
q
Perhatikan bahwa
p∧q
F
F
Konjungsi p1 ∧ p2 ∧ … ∧ pn F
F
T
F
dari n proposisi akan
T
F
F
memiliki 2n baris
T
T
T
pada tabelnya
Operasi ¬ dan ∧ saja cukup untuk mengekspresikan
semua tabel kebenaran Boolean!
2 September 2007
Pertemuan-1 - 2
11
Operator Disjungsi
Operator biner disjungsi “∨” (OR) menggabungkan
dua proposisi untuk membentuk logika
disjungsinya
p=“Mesin mobil saya rusak”
q=“Karburator mobil saya rusak”
p∨q=“Mesin atau karburator mobil saya rusak.”
2 September 2007
Pertemuan-1 - 2
12
Tabel Kebenaran Disjungsi
™
™
™
Perhatikan bahwa p∨q
p q p∨q
berarti p benar, atau q
benar, atau keduanya benar! F F F
Jadi, operasi ini juga disebut
F T T Lihat
bedanya
inclusive or, karena mencakup
T F T dengan
kemungkinan bahwa both p
AND
T
T
T
dan q keduanya benar.
“¬” dan “∨” keduanya membentuk opearator
universal.
2 September 2007
Pertemuan-1 - 2
13
Proposi Bertingkat
™
Gunakan tanda kurung untuk mengelompokkan
sub-ekspresi:
“Saya baru saja bertemu teman lama, dan anaknya
sudah dua atau tiga.” = f ∧ (g ∨ s)
– (f ∧ g) ∨ s artinya akan berbeda
– f ∧ g ∨ s artinya akan ambigu
™
Menurut perjanjian, “¬” presedensinya lebih tinggi
dari “∧” dan “∨”.
– ¬s ∧ f artinya (¬s) ∧ f , bukan ¬ (s ∧ f)
2 September 2007
Pertemuan-1 - 2
14
Latihan
Misalkan p=“Tadi malam hujan”,
q=“Tukang siram tanaman datang tadi malam,”
r=“Pagi ini kebunnya basah.”
Terjemahkan proposisi berikut dalam bahasa Indonesia:
¬p
r ∧ ¬p
= “Tadi malam tidak hujan.”
= “Pagi ini kebunnya basah dan tadi
malam tidak hujan.”
¬r∨p∨q=
2 September 2007
“Pagi ini kebun tidak basah, atau
tadi malam hujan, atau tukang siram
tanaman datang tadi malam.”
Pertemuan-1 - 2
15
Operator Exclusive OR
Operator biner exclusive-or “⊕” (XOR)
menggabungkan dua proposisi untuk membentuk
logika “exclusive or”-nya
p = “Saya akan mendapat nilai A di kuliah ini,”
q = “Saya akan drop kuliah ini,”
p ⊕ q = “Saya akan mendapat nilai A atau saya
akan drop kuliah ini (tapi tidak dua-duanya!)”
2 September 2007
Pertemuan-1 - 2
16
Tabel Kebenaran Exclusive OR
Perhatikan bahwa p⊕q
p q p⊕q
berarti p benar, atau q
F F F
benar tapi tidak duaF T T
duanya benar!
™ Disebut exclusive or,
T F T
karena tidak memungkinkan T T F
p dan q keduanya benar
™ “¬” dan “⊕” tidak membentuk operator
universal
™
2 September 2007
Pertemuan-1 - 2
17
Bahasa Alami sering Ambigu
™
™
™
Perhatikan bahwa kata “atau” dapat bermakna
ambigu berkenaan dengan kasus keduanya benar.
“Tia adalah penulis atau
p q p "or" q
Tia adalah aktris.” F F
F
“Tia perempuan atau
F T
T
Tia laki-laki” –
T F
T
T T
™
?
Perlu diketahui konteks pembicaraannya!
2 September 2007
Pertemuan-1 - 2
18
Operator Implikasi
™
™
™
™
Implikasi p → q menyatakan bahwa p
mengimplikasikan q.
p disebut antecedent dan q disebut consequent
Jika p benar, maka q benar; tapi jika p tidak benar,
maka q bisa benar - bisa tidak benar
Contoh :
p = Nilai ujian akhir anda 80 atau lebih
q = Anda mendapat nilai A
p → q = “Jika nilai ujian akhir anda 80 atau lebih,
maka anda mendapat nilai A”
2 September 2007
Pertemuan-1 - 2
19
Implikasi p → q
(a) Jika p, maka q
(b) Jika p, q
(c) p mengakibatkan q
(d) q jika p
(e) p hanya jika q
(f) p syarat cukup agar q
(g) q syarat perlu bagi p
(i) q bilamana p
2 September 2007
(if p, then q)
(if p, q)
(p implies q)
(q if p)
(p only if q)
(p is sufficient for q)
(q is necessary for p)
(q whenever p)
Pertemuan-1 - 2
20
Tabel Kebenaran Implikasi
p → q salah hanya jika
p q p→q
p benar tapi q tidak benar
F
F
T
™ p → q tidak mengatakan
F
T
T
bahwa hanya p yang menyeT
F
F
babkan q!
T
T
T
™ p → q tidak mensyaratkan
bahwa p atau q harus benar!
™ Cth. “(1=0) → kucing bisa terbang” BENAR!
™
2 September 2007
Pertemuan-1 - 2
Satusatunya
kasus
SALAH!
21
Contoh Implikasi
“Jika saya rajin kuliah hari ini, matahari
akan bersinar esok hari” True / False?
™ “Jika hari ini Selasa, maka saya adalah
seekor pinguin.” True / False?
™ “Jika 1+1=6, Maka SBY adalah presiden.”
True / False?
™ “Jika bulan dibuat dari keju, maka saya
lebih kaya dari Bill Gates.” True or False?
™
2 September 2007
Pertemuan-1 - 2
22
Converse, Inverse &
Contrapositive
Beberapa terminologi dalam implikasi p → q:
™ Converse-nya adalah:
q → p.
™ Inverse-nya adalah:
¬p → ¬q.
™ Contrapositive-nya adalah:
¬q → ¬ p.
™ Salah satu dari ketiga terminologi di atas memiliki
makna yang sama (memiliki tabel kebenaran yang
sama) dengan p → q. Bisa Anda sebutkan yang
mana?
2 September 2007
Pertemuan-1 - 2
23
Bagaimana Menunjukkannya?
Membuktikan eqivalensi antara p → q dan
contrapositive-nya dengan tabel kebenaran:
p
F
F
T
T
q
F
T
F
T
2 September 2007
¬q
T
F
T
F
¬p
T
T
F
F
p→q ¬q →¬p
T
T
T
T
F
F
T
T
Pertemuan-1 - 2
24
Operator Biimplikasi
™
™
™
™
Operator biimplikasi p ↔ q menyatakan bahwa p
benar jika dan hanya jika (jikka) q benar
p = “SBY menang pada pemilu 2004”
q = “SBY akan menjadi presiden mulai tahun
2004.”
p ↔ q = “Jika dan hanya jika SBY menang pada
pemilu 2004 maka dia akan menjadi presiden
mulai tahun 2004.”
2 September 2007
Pertemuan-1 - 2
25
Biimplikasi p ↔ q
(a) p jika dan hanya jika q.
(p if and only if q)
(b) p adalah syarat perlu dan cukup untuk q. (p is
necessary and sufficient for q)
(c) Jika p maka q, dan sebaliknya.
(if p then q, and conversely)
(d) p jikka q
(p iff q)
2 September 2007
Pertemuan-1 - 2
26
Tabel Kebenaran Biimplikasi
p ↔ q benar jika p dan q
p
memiliki nilai kebenaran
F
™
yang sama.
F
™ Perhatikan bahwa tabelnya
T
™
adalah kebalikan dari tabel
T
™
exclusive or ⊕!
™
q p ↔q
F T
T F
F F
T T
– p ↔ q artinya ¬(p ⊕ q)
2 September 2007
Pertemuan-1 - 2
27
Perhatikan
Nyatakan pernyataan berikut dalam ekspresi logika : “Anda
tidak dapat terdaftar sebagai pemilih dalam Pemilu jika
anda berusia di bawah 17 tahun kecuali kalau anda
sudah menikah”
Misalkan :
p : Anda berusia di bawah 17 tahun.
q : Anda sudah menikah.
r : Anda dapat terdaftar sebagai pemilih dalam Pemilu.
maka pernyataan di atas dapat ditulis sebagai
(p Λ ~ q) → ~ r
2 September 2007
Pertemuan-1 - 2
28
Ringkasan
p
F
F
T
T
q
F
T
F
T
¬p
T
T
F
F
2 September 2007
p∧q
F
F
F
T
p∨q p⊕q p→q p↔q
F
F
T
T
T T
T
F
T T
F
F
T F
T
T
Pertemuan-1 - 2
29
Latihan - 1
™
1)
2)
3)
4)
5)
Gunakan konstanta proposisional A untuk
“Bowo kaya raya” dan B untuk “Bowo hidup
bahagia”.Lalu ubahlah pernyataan-pernyataan
berikut menjadi bentuk logika :
Bowo tidak kaya raya
Bowo kaya raya dan hidup bahagia
Bowo kaya raya atau tidak hidup bahagia
Jika Bowo kaya raya, maka ia hidup bahagia
Bowo hidup bahagia jika dan hanya jika ia kaya
raya
2 September 2007
Pertemuan-1 - 2
30
Latihan - 2
™
1)
2)
3)
4)
5)
Berilah konstanta proposisional, dan ubahlah
pernyataan-pernyataan berikut menjadi bentuk
logika :
Jika Bowo berada di Malioboro, maka Dewi
juga berada di Malioboro
Pintu rumah Dewi berwarna merah atau coklat
Berita itu tidak menyenangkan
Bowo akan datang, jika ia mempunyai
kesempatan
Jika Dewi rajin kuliah, maka ia pasti pandai
2 September 2007
Pertemuan-1 - 2
31
Latihan - 3
™
1)
2)
3)
4)
5)
Jawablah dengan tabel kebenaran :
Apakah nilai kebenaran dari (A ∧ A)?
Apakah nilai kebenaran dari (A ∨ A)?
Apakah nilai kebenaran dari (A ∧ ¬A)?
Apakah (A⇒B) ekivalen dengan (B⇒A)
Apakah (A⇒B)⇒C ekivalen dengan
A⇒(B⇒C)
2 September 2007
Pertemuan-1 - 2
32
Latihan - 4
™
1)
2)
3)
4)
5)
Buat tabel kebenaran untuk pernyataan berikut:
¬(¬A ∧ ¬A)
A ∧(A ∨ B)
((¬A ∧ (¬B ∧ C)) ∨ (B ∧ C)) ∨ (A ∧ C)
(A ∧ B) ∨ ((( ¬A ∧B) ⇒A) ∧ ¬B)
(A⇒B)⇔ (¬B⇒¬A)
2 September 2007
Pertemuan-1 - 2
33