Logika matematika - altien jonathan rindengan

LOGIKA PREDIKAT
Altien Jonathan Rindengan, S.Si, M.Kom
Logika Predikat



Seringkali kita harus memeriksa argumen yang
berisi proposisi-proposisi yang berkenaan dengan
kumpulan objek.
Misalkan, memeriksa kebenaran dari proposisi
“Semua bilangan asli yang habis dibagi 4 adalah
habis dibagi 2”.
Pada proposisi ini mengandung suatu pernyataan
yang berkenaan dengan himpunan bilangan asli.
Logika Predikat ….


Misalkan ada rangkaian proposisi :
Setiap manusia pasti mati. Karena Furlan adalah
manusia maka dia pasti mati.
Pada logika proporsional :
p
q
r

: setiap manusia pasti mati
: Furlan adalah manusia
: Furlan pasti mati
Karena q anggota dari p maka struktur ini tidak
dikenal dalam logika proposisi
Logika Predikat ….
Definisi 2.5
Suatu predikat (proposisi terbuka) adalah suatu
pernyataan yang melibatkan peubah yang nilainya
tidak ditentukan.
Logika Predikat ….


Misalnya :
Predikat : P(x) : bilangan bulat x habis dibagi 3
dan 4.
Proposisi : P(24) : 24 habis dibagi 3 dan 4.
Peubah dalam predikat hanya bisa diganti oleh
nilai yang merupakan anggota semesta
pembicaraan.
Logika Predikat ….
Definisi 2.6
Himpunan nilai-nilai yang mungkin menggantikan
peubah dalam suatu predikat disebut sebagai
semesta bagi peubah tersebut.
Logika Predikat ….

Untuk menyatakan nilai-nilai apa saja yang akan
menjadi peubah dalam suatu predikat, digunakan
kata:
 semua,
setiap, selalu, dll, disebut suku pengkuatifikasi
umum,
disimbolkan 
 ada,
terdapat, beberapa, minimal satu, dll, disebut
suku pengkuatifikasi khusus,
disimbolkan 
Logika Predikat ….

Misalkan x [P(x)] = untuk setiap x berlaku P(x)
x [P(x)] = ada x sehingga P(x)
P(x) bisa berupa proposisi tunggal atau majemuk.
Logika Predikat ….
Contoh 1
Nyatakan dalam lambang logika predikat dari proposisi :
a. Untuk semua bilangan bulat, jika habis dibagi 4 maka
habis dibagi 2
b. Ada bilangan asli yang habis dibagi 3 dan 4.
Jawab
a. P(x) : x habis dibagi 4
Q(x) : x habis dibagi 2
xZ [P(x)  Q(x)]
b. P(x) : x habis dibagi 3
Q(x) : x habis dibagi 4
xN [P(x)  Q(x)]
Logika Predikat ….
Contoh 2
Jika semesta dinyatakan U = {3,5,17,120}, x adalah
peubah dalam U. Buatlah suatu logika predikat
dengan menggunakan proposisi, P(x) = x > 2.
Jawab
xU [P(x)]
= semua x di U adalah lebih besar 2
-[xU (-P(x))]
= tidak ada x di U yang tidak lebih
besar 2
xU [P(x)]
= ada x di U yang lebih besar 2
-[xU (-P(x))]
= tidak semua x di U adalah tidak
lebih besar 2.
Logika Predikat ….
Contoh 3
Tidak ada orangtua menginginkan anaknya menjadi
penjahat
Jawab
Kalimat tersebut ekivalen dengan “Jika x adalah orang
tua maka x tidak ingin anaknya menjadi penjahat”
P(x) = x adalah orang tua
Q(x) = x ingin anaknya menjadi penjahat
xU [P(x)
- Q(x)]
U = himpunan orang tua
Negasi Logika Predikat

Jika suatu logika predikat dibuat
negasi/ingkarannya, maka tanda ingkaran itu akan
berlaku pada suku kuantifikasi dan predikatnya.
-[x (P(x))] =(-x )[-P(x)] = x[-P(x)]
-[x (P(x))] =(-x )[-P(x)] = x [-P(x)]
Negasi Logika Predikat ….

Dari bentuk ingkaran ini diperoleh 4 dasar kesetaraan pada
logika predikat yaitu :
1. Semua benar sama artinya dengan tidak ada yang salah
x [P(x)] = -[x (-P(x))]
2. Semua salah sama artinya dengan tidak ada yang benar
x [-P(x)] = -[x (P(x))]
3. Tidak semua benar sama artinya dengan ada yang salah
-[x (P(x))] = x [-P(x)]
4. Tidak semua salah sama artinya dengan ada yang benar
-[x (-P(x))] = x [P(x)]
Negasi Logika Predikat ….
Contoh 4
Buatlah ingkaran dari logika predikat berikut :
a. x [P(x) Q(x)]
b. x[y [P(y)  Q(x,y)]
c. xy[z(P(x) R(y,z))  (P(y) z R(x,z))]
Jawab
a. -[x [P(x) Q(x)]] = -(x)(-(P(x) Q(x)))
= x[-(-P(x) Q(x))]
= x[P(x)  -Q(x)]
Negasi Logika Predikat ….
Contoh 5
Buatlah ingkaran dari logika predikat berikut :
a. x [P(x) Q(x)]
b. x[y [P(y)  Q(x,y)]
c. xy[z(P(x) R(y,z))  (P(y) z R(x,z))]
Jawab
a. -[x [P(x) Q(x)]]= -(x)(-(P(x) Q(x)))
= x[-(-P(x) Q(x))]
= x[P(x)  -Q(x)]
Negasi Logika Predikat ….
b. -[x[y [P(y)  Q(x,y)]]
= -(x)[-(y P(y)  Q(x,y))]
= x[-(-y P(y)  Q(x,y))]
= x[y P(y)  -Q(x,y)]
c. -[xy[z(P(x) R(y,z))  (P(y) z R(x,z))]]
= -(xy)(-[z(P(x) R(y,z))  (P(y) z R(x,z))])
= xy [-(z(-P(x)  R(y,z)))  -(P(y) z R(x,z))]
= xy [z(-(P(x)  R(y,z)))  (-P(y) -(z R(x,z)))]
= xy [z (P(x)  -R(y,z))  (-P(y) z (-R(x,z)))]
Kesetaraan Logika Predikat
1. a. x y P(x,y)  y x P(x,y)
b. x y P(x,y)  y x P(x,y)
2. a. x y P(x,y)  y x P(x,y)
b. x y P(x,y)  y x P(x,y)
3. a. -x P(x)  x [-P(x,y)]
b. -x P(x)  x [-P(x,y)]
a. x P(x)  -x [-P(x,y)]
b. x P(x)  -x [-P(x,y)]
Kesetaraan Logika Predikat ….
4. a. xP(x) Q  x [P(x) Q]
b. xP(x) Q  x [P(x) Q]
5. a. xP(x) Q  x [P(x)  Q]
b. xP(x)  Q  x [P(x)  Q]
Kesetaraan Logika Predikat ….
6. a. xP(x)  zQ(z)  x z[P(x)  Q(z)]
b. xP(x)  zQ(z)  x z[P(x)  Q(z)]
c. xP(x)  zQ(z)  x z[P(x)  Q(z)]
d. xP(x)  zQ(z)  x z[P(x)  Q(z)]
7. a. xP(x)  zQ(z)  x z[P(x)  Q(z)]
b. xP(x)  zQ(z)  x z[P(x)  Q(z)]
c. xP(x)  zQ(z)  x z[P(x)  Q(z)]
d. xP(x)  zQ(z)  x z[P(x)  Q(z)]
Bentuk Normal Prenex
Definisi
Bentuk logika predikat dengan proposisi
penyusunnya disebut normal prenex jika dan
hanya jika bentuk tersebut hanya mengandung
perangkai negasi, konjungsi dan disjungsi.
 Menggunakan semua aturan kesetaraan dan
kesamaan logika proposisi dan logika predikat
Bentuk Normal Prenex ….
Contoh 6
Ubahlah bentuk x P(x)  x Q(x) dalam bentuk
normal prenex
Penyelesaian
x P(x)  x Q(x) = -(x P(x))  x Q(x)
= x (-P(x))  x Q(x)
= x (-P(x))  Q(x))
Bentuk Normal Prenex ….
Soal
Ubahlah bentuk
x y (z (P(x,z)  P(y,z))  u Q(u,x,y))
dalam bentuk normal prenex