grup siklis - Binus Repository

Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman
1
GRUP SIKLIS
Definisi:
Suatu grup G disebut siklis, jika untuk sejumlah aG, setiap
elemen xG berbentuk an (n=bilangan bulat). Elemen a disebut
generator dari G. Generator dapat lebih dari sebuah. Jika G grup
siklis yang dibangun oleh a, maka ditulis G=(a). Elemen-elemen
grup G tersebut dapat ditulis sebagai: ...., a-3, a-2, a-1, a0=e, a1, a2,
a3, ....
Contoh-contoh:
 S={1, -1} dengan operasi perkalian adalah grup siklis dengan
generator -1.
 G={1,-1,i,-i} dengan operasi perkalian biasa adalah grup
siklis. Generatornya adalah i dan -i. G dapat dinyatakan
sebagai {i4, i2, i, I3} atau {(-i)4, (-i)2, (-i)3, (-i)} .
2 i
n
 G={x / x = 1} adalah grup siklis. Generatornya e n .
 1 0  1 0   0
1  0 1 
 ,
 ,
 ,


dengan
operasi
M  
 
 
 

0
1
0

1

1
0
1
0
 
 
 




perkalian matriks merupakan grup siklis dengan generator
 0 1

.

0 
1
 1 0  1 0  1 0   1
0  
,
,
,

 N  
dengan
operasi
 
 
 

0
1
0
1
0

1
0

1












perkalian matriks bukan merupakan grup siklis. Periksalah.
 Grup [Z,+] merupakan grup siklis dengan generator = 1.
Pertemuan 15
Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman
2
Sifat-sifat Grup Siklis
Teorema-teorema:
 Setiap grup siklis adalah abelian.
 Order grup siklis sama dengan order generatornya.
 Generator grup siklis yang berorder n adalah semua elemen
ap, 0<p<n, p prima terhadap n.
Contoh-contoh:
 G={x /x3 = 1} dengan operasi perkalian biasa. (G,.) adalah
grup siklis order 3. Carilah generator-generatornya.
 G={a, a2, a3, a4, a5, a6=e} dengan operasi perkalian biasa
adalah grup siklis. Berapakah ordernya? Carilah generatorgeneratornya.
 G={1,2,3,4,5,6} dengan operasi perkalian modulo 7. G adalah
grup siklis. Berapakah ordernya? Carilah generatorgeneratornya.
 Buktikah bahwa setiap grup berorder 3 adalah siklis.
KOMPLEKS
Definisi:
Suatu kompleks adalah subset dari suatu grup.
SUBGRUP
Definisi:
1. Suatu subset tak kosong H dari grup G disebut subgrup, jika
komposisi biner di G berlaku pula di H, dan H adalah grup di
bawah komposisi biner tersebut. Ada 2 subgrup dari G yang
trivial, yakni: G sendiri dan {e}. Suatu subgrup yang tidak trivial
disebut subgrup sejati.
Pertemuan 15
Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman
3
2. Suatu grup yang tidak mempunyai subgrup sejati disebut grup
sederhana (simple group).
3. Kompleks belum tentu subgrup, tetapi subgrup pasti kompleks.



Unsur kesatuan subgrup sama dengan unsur kesatuan grup.
Invers tiap elemen subgrup sama seperti invers elemen
tersebut dalam grup.
Order tiap elemen subgrup sama seperti order elemen
tersebut dalam grup.
Contoh-contoh:
 Grup aditif bilangan bulat adalah subgrup dari grup aditif
bilangan rasional.
 Grup multiplikatif bilangan rasional positif adalah subgrup dari
grup multiplikatif bilangan riil tak nol.
 Grup multiplikatif {1,-1} adalah subgrup dari grup multiplikatif
{1,-1,i,-i}.
 S={0,2,4} dengan operasi jumlah modulo 6 adalah subgrup
dari grup {0,1,2,3,4,5} dengan operasi jumlah modulo 6.
 Pandang G = grup matriks 2x2 bilangan riil dengan
determinan  0, dengan operasi perkalian matriks. Ambil H =
himpunan matriks diagonal 2x2 bilangan riil dengan
determinan  0, dengan operasi perkalian matriks. Himpunan
H merupakan subgrup dari G. Perhatikan bahwa H komutatif,
walaupun G tidak komutatif.
Contoh-contoh:
 Grup aditif bilangan asli adalah kompleks dari grup aditif
bilangan rasional.
 Grup multiplikatif bilangan rasional negatif adalah kompleks
dari grup multiplikatif bilangan riil tak nol.
Pertemuan 15


Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman
4
Grup multiplikatif {-1, 1} adalah kompleks dari grup
multiplikatif {1,-1,i,-i}.
S={0,2,4} dengan operasi jumlah modulo 6 adalah kompleks
dari grup {0,1,2,3,4,5} dengan operasi jumlah modulo 6.
Teorema-teorema:
 Suatu subset H dari G adalah subgrup jika dan hanya jika ab
 H, untuk setiap a,b  H, dan a-1  H, untuk setiap x  H.
 Syarat cukup dan perlu agar subset tak kosong H dari grup G
merupakan subgrup adalah a.b-1  H, untuk setiap a,b  H.
 Irisan dua subgrup dari grup G adalah subgrup dari G juga.
 Gabungan dua subgrup dari grup G adalah subgrup dari G,
jika dan hanya jika yang satu tercakup dalam yang lain.
 Setiap subgrup dari grup siklis adalah siklis juga.
 Setiap subgrup dari grup siklis tidak berhingga adalah tak
berhingga.
Buktikanlah.
Pertemuan 15