segiempat saccheri

SEGIEMPAT SACCHERI
(Jurnal 7)
Memen Permata Azmi
Mahasiswa S2 Pendidikan Matematika
Universitas Pendidikan Indonesia
Segiempat saccheri merupakan materi perkuliahan geometri pada pertemuan ke-7.
Perkuliah geometri pada rabu pagi tanggal 23 Oktober 2013 disampaikan Bapak Prof. Jozua.
Segiempat saccheri merupakan materi baru menurut pengetahuan saya sehingga terasa sulit
untuk memahaminya dengan cepat. Berikut rangkuman materi segiempat saccheri yang akan
saya jabarkan, mudah-mudahan dapat memberikan gambaran mengenai segiempat saccheri.
Segiempat saccheri merupakan bagian dari geometri netral. Geometri netral adalah
geometri yang tidak menerapkan postulat ke-5 dari geometri euclid.
Postulat ke-5 euclid:
k
l1
3
1
4
2
l2
∠1 + ∠2 < 180o , maka l1 dan l2 akan berpotongan pada sisi k yang memuat ∠1 dan ∠2.
Saccheri ingin membuktikan bakwa postulat ke-5 euclid sebagai teorema. Dia
membuat konstruksi sebagai berikut:
D
C
A
B
Segiempat Saccheri
Keterangan:
1. ∠A + ∠D = 90
2. AD = BC
3. AB disebut sisi alas
4. CD disebut sisi atas
5. ∠C dan ∠D disebut ∠ puncak
6. ∠A dan ∠B disebut ∠ alas
Teorema segiempat saccheri:
1. Pada segiempat saccheri Sudut-sudut puncak kongruen
2. Sudut puncak pada segiempat saccheri adalah sudut lancip
Untuk membuktikan teorema pada segiempat saccheri, pandanglah situasi berikut ini:
D
F
A
Keterangan:
1. E adalah titik tengah AB
2. F adalah titik tengah CD
E
C
B
Informasi yang didapat dari bangun tersebut:
1. Segiempat bagian kiri = segiempat bagian kanan
2. AD = BC
3. DF = CF
4. AE = BE
5.
Pertanyaan:
1. Apakah ∠AEF = ∠BEF ?
2. Apakah ∠DFE = ∠CFE ?
3. Apakah ∠ADF = ∠BCF ?
Strategi:
1. Gunakan segitiga-segitiga yang kongruen
D
F
2
C
9 10
8
1
7
4
6
3
A
5
E
B
3. Lihat ∆AED dan ∆BEC
2. Lihat ∆DEF dan ∆CEF
AE ≅ BE (diketahui)
DE ≅ CE (akibat)
∠A ≅ ∠B (Saccheri = 90o)
EF ≅ EF (diketahui)
AD ≅ BC (Saccheri)
FD ≅ FC (diketahui)
Jadi menurut sifat S-Sd-S, ∆AED ≅ ∆BEC
Jadi menurut sifat S-S-S, ∆DFE ≅ ∆CFE
Akibatnya,
Akibatnya,
DE = CE
∠9 = ∠10 atau ∠DFE = ∠CFE
∠1 = ∠7
∠3 = ∠5
∠2 = ∠8
(i)
∠4 = ∠6
(ii)
4. Dari (i) dan (ii) diperoleh
a. ∠3 + ∠4 = ∠5 + ∠6 berarti ∠AEF = ∠BEF atau ∠AEF ≅ ∠BEF
∠AEF + ∠BEF = 180o (berpelurus)
Karena ∠AEF ≅ ∠BEF maka ∠BEF = ∠AEF = 90o
b. ∠1 + ∠2 = ∠7 + ∠8 berarti ∠ADF = ∠BCF
5. Yang disimpulkan dari temuan-temuan ini adalah:
a. Segiempat AEFD ≅ segiempat BEFC atau EF sebagai sumbu simetri
b. EF adalah garis bagi ∆DEC
c. EF ⊥ AB dan EF ⊥ CD
Dari strategi tersebut menghasilkan teorema:
1.
Sudut puncak pada segiempat saccheri kongruen
2.
Garis yang menghubungkan titik tengah pada sisi alas dan sisi atas tegak lurus dengan sis
alas
Pandang situasi segiempat berikut:
D
A
C
B
Pertanyaan:
1. Apakah ∠C dan ∠D Siku-siku?
2. Apakah ∠C dan ∠D tumpul?
3. Apakah ∠C dan ∠D lancip?
Strategi:
1. Jika ∠C dan ∠D Siku-siku maka ini segiempat ABCD bukan geometri netral, karena
akan berlaku postulat ke-5 euclid.
Jika ∠C dan ∠D tumpul
F
G
D
A
H
E
C
B
CD merupakan satu garis
Apakah titik G bertemu dengan titik H?
Apakah ∠C dan ∠D tumpul?
Strategi:
a. Buat dari D garis ⊥ DA memotong FE di G
b. Buat dari C garis ⊥ CB memotong FE di H
c. Klaim ∆DGF≅ ∆CHF
DF ≅ CF (F adalah titik tengah)
∠DFG = ∠CFH
∠FDG = ∠FCH (karena ∠ADF = ∠BCF dan ∠ADH = ∠BCH siku-siku
jadi ∠GDF = ∠HCF
d. Akibatnya
FG = FH atau G = H (berhimpitan)
∠DGF = ∠CHF
SEGIEMPAT SACCHERI HIPERBOLIK
Akan dibuktikan ∠C dan ∠D lancip pada segiempat saccheri hiperbolik
F
E
B
A
Segiempat hiperbolik ABEF
Akan ditunjukkan bahwa sudut puncak pada segiempat saccheri adalah sudut lancip.
Sudut-sudut kesejajaran adalah sudut lancip
C
A
B
D
Sudut kesejajaran adalah ∠APQ dan ∠BPQ
Akan ditunjukkan :
1. Tidak mungkin ∠ kesejajaran sama dengan 90o
2. Tidak mungkin ∠ kesejajaran > 90o
3. Maka yang mungkin ∠ kesejajaran < 90o
Strategi:
1. Jika ∠ kesejajaran sama dengan 90 o
Jika ∠DCB = 90o maka ∠DCA = 90o (maka ini merupakan geometri euclid)
Jadi tidak mungkin ∠ kesejajaran sama dengan 90o
2. Jika ∠ kesejajaran > 90o
E
C
F
90o
A
D
D
B
∠DCF = ∠ECF adalah sudut kesejajaran
Jika ∠ kesejajaran > 90o maka dari C dapat dibuktikan
∠ DCF yang 90o maka ada garis cf yang tidak memotong AB di B.
Padahal jika sudut kesejajaran maka CE haruslah yang pertama memotong lingkaran.
Jadi tidak mungkin sudut kesejajaran itu tumpul.
3. Jika ∠ kesejajaran < 90o
E
F
C
D
B
A
Akan ditunjukkan bahwa sudut puncak pada segiempat saccheri adalah sudut lancip.
a. Lihat ∆BED dan ∠AFD
BE = AF (saccheri)
∠DBE = ∠DAF (90o)
BD = AD (tak hingga)
Jadi ∠BED = ∠AFD
b. Perhatikan bahwa ∠AFE + ∠AFD + ∠DFC = 180o (sudut berpelurus).
Ingat ∠BEC = ∠AFE (sudut puncak pada segiempat saccheri sama)
Dengan substitusi diperoleh ∠AFE = ∠BEC
∠AFE = ∠BED + ∠DEC
c. ∠AFE + ∠AFD + ∠DFC = 180o
(∠BED + ∠DEC) + ∠BED + ∠DFC = 180o ,
Karena ∠DFC > ∠DEC maka
∠BED + ∠DEC + ∠BED + ∠DFC < 180o
2 (∠BED + ∠DEC) < 180o
∠BED + ∠DEC < 90o
∠BED + ∠DEC = BEC = sudut alas
Jadi terbukti bahwa sudut alas yang kongruen pada segiempat saccheri lancip.