BAB 2 URAIAN TEORITIS Pada bab ini akan dibahas tentang

BAB 2
URAIAN TEORITIS
Pada bab ini akan dibahas tentang masalah optimisasi berpembatas
persamaan. Sebelum membahas masalah optimisasi berpembatas persamaan maka
terlebih dahulu diberikan pengertian dan sifat-sifat ekstrim dari suatu fungsi.
2.1 Titik Ekstrim dari Suatu Fungsi
Titik ekstrim dari suatu fungsi adalah titik maksimum atau titik minimum
dari fungsi tersebut. Masalah penentuan titik ekstrim dari suatu fungsi mempunyai
peranan penting dalam optimisasi. Berikut ini diberikan defenisi titik maksimum
dan titik minimum dari suatu fungsi.
Defenisi 2.1.1
Misalkan f adalah fungsi riil dengan domain D ⊂ R n .
a. Fungsi f dikatakan mempunyai nilai maksimum lokal, jika ada selang
buka
(x1 , x2 ) yang
memuat x * sehingga memenuhi f ( x) ≤ f ( x * ), ∀x
pada selang buka tersebut.
b. Fungsi f dikatakan mempunyai nilai maksimum global pada titik x * jika
f ( x) ≤ f ( x * ), ∀x ∈ D .
c. Fungsi f dikatakan mempunyai nilai minimum lokal, jika ada selang
buka
(x1 , x2 ) yang
memuat x * sehingga memenuhi f ( x) ≥ f ( x * ), ∀x
pada selang buka tersebut.
Fungsi f dikatakan mempunyai nilai minimum global pada titik x * jika
f ( x) ≤ f ( x * ), ∀x ∈ D .
Universitas Sumatera Utara
Selanjutnya, misalkan f terdiferensial di x ∈ D ⊂ R n . Jika turunan parsial dari f
kontinu di x maka f disebut diferensial secara kontinu di x, dan jika turunan parsial
kedua dari f kontinu di x maka f disebut mempunyai turunan parsial kedua yang
kontinu di x.
Gradien dari f pada x dinotasikan dengan ∇f (x) dan didefenisikan dengan:
 δf ( x) δf ( x)
δf ( x) 
 …………………………………………...(2.1)
∇f ( x) = 
,
,...,
δx 2
δx n 
 δx1
dan matriks Hessian(H) dari f pada x adalah matriks yang diperoleh dari turunan
parsial kedua yang dinotasikan dengan ∇ 2 f ( x).
Teorema 2.1.2 (Rao, 1984)
Jika f terdefenisi pada selang buka yang memuat x * dan mempunyai minimum
lokal di x * dan jika f terdiferensial di x * , maka:
∇f ( x * ) = 0 ……………………………………………………………………(2.2)
Bukti:
( )
Andaikan x * adalah titik minimum lokal maka f ' x * ada, ini berarti bahwa limit
( )
kiri dan limit kanan ada dan sama dengan f ' x * .
(
)
(
)
f x* + h − f (x* )
f x* + h − f (x* )
= lim+
= f ' (x * )
lim
0
h
h →0 −
→
h
h
Jika
h > 0 maka
(
)
f x* + h − f (x* )
≥ 0 karena
h
( )
f x * ≤ f ( x * + h) untuk semua
bilangan-bilangan kecil positif dari h.
Untuk h → 0 , maka diperoleh:
( )
f ' x * = lim+
h →0
(
)
f x* + h − f (x* )
≥ lim+ 0 = 0
h →0
h
Universitas Sumatera Utara
Dan jika h > 0 maka
(
)
f x* + h − f (x* )
≤0
h
Untuk h → 0 , maka diperoleh:
( )
f ' x * = lim−
h →0
(
)
f x* + h − f (x* )
≤ lim− 0 = 0
h →0
h
( )
( )
( )
Limit kiri = limit kanan = 0, maka f ' x * ada. Karena f ' x * ≥ 0 dan f ' x * ≤ 0 ,
( )
( )
maka dapt disimpulkan bahwa f ' x * = 0 atau ∇f x * = 0. ■
2.2 Masalah Optimisasi Berpembatas Persamaan
Pada masalah optimisasi berikut:
Minimumkan f ( x )
Terhadap pembatas:
h1 ( x ) = 0 
h2 ( x ) = 0 
 ……………………………(2.3)


hm (x ) = 0
dimana x ∈ D ⊂ R n
Pada masalah (2.3) diasumsikan bahwa m ≤ n
dan fungsi-fungsi f dan hi,
(i=1,2,…,m) adalah kontinu dan mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu.
Dengan mengambil h = (h1,h2,…,hm) maka masalah optimisasi yang terdapat
pada persamaan (2.3) tersebut dapat ditulis menjadi:
Minimumkan f ( x )
Dengan pembatas:
h( x ) = 0

 ……………………………………….(2.4)
x ∈ D ⊂ Rn 
Universitas Sumatera Utara
h( x ) = 0 pada persamaan (2.4) tersebut adalah pembatas fungsi
f ( x ) dan
x ∈ D disebut pembatas himpunan. Suatu titik x ∈ D yang memenuhi seluruh
pembatas fungsi f ( x ) disebut titik fisibel.
2.3 Bidang Singgung
Untuk menyelidiki apa syarat agar M menjadi bidang singgung di x * , maka
diperlukan konsep titik tetap. Berikut ini diberikan defenisi bidang singgung pada
suatu permukaan S.
Defenisi 2.3.1 (Leithold, 1991)
(
)
Jika persamaan suatu permukaan S adalah h x * , y * , z * = 0, maka bidang singgung
(
)
vektor normal ∇h(x , y , z ) .
dari S pada titik h x * , y * , z * adalah sebuah bidang melalui titik h dan mempunyai
*
*
*
Defenisi 2.3.2 (Luenberger, 1984)
Suatu kurva pada permukaan S adalah keluarga titik-titik x(t ) ∈ S dengan
parameterisasi kontinu t untuk a ≤ t ≤ b.
x' =
Suatu kurva terdiferensial jika
d 2 x(t )
dx(t )
ada dan terdiferensial dua kali jika x" (t ) =
ada. Suatu kurva x(t)
dt
dt 2
disebut melalui titik
x(t ) disebut melalui titik
x * jika
x * = (t ) untuk suatu
t * , a ≤ t * ≤ b.
Defenisi 2.3.3 (Leon, 1999)
Jika X = {x1 , x 2 ,..., x n } adalah himpunan vektor, maka X disebut bebas linear jika k1
= k2 = ……= kn = 0 sehingga persamaan vektor k1 x1 + k 2 x 2 + ... + k n x n = 0
Universitas Sumatera Utara
Defenisi 2.3.4 (Luenberger, 1984)
( )
Suatu titik x * yang memenuhi pembatas h x * = 0 disebut titik regular dari
( )
( )
( )
pembatas jika vektor gradien ∇h1 x * , ∇h2 x * ,..., ∇hm x * adalah bebas linier.
Defenisi 2.3.5 (Anton, 1997)
Misalkan matriks A = Anxn maka A dikatakan non singular jika ada matriks A-1
disebut invers matriks sedemikian sehingga AA-1 = A-1 A = I.
Defenisi 2.3.6 (Luenberger, 1984)
Misalkan A adalah suatu matriks nxn, maka Rank matriks A didefenisikan sebagai
banyaknya baris-baris atau kolom-kolom yang bebas linier pada matriks A.
misalkan A adalah suatu matriks mxn, jika rank A adalah minimum dari (m,n),
maka A dikatakan mempunyai rank penuh.
Teorema 2.3.7 (Luenberger, 1984)
Misalkan S adalah permukaan yang didefenisikan oleh h(x) = 0. Persamaan bidang
singgung pada titik regular x * dari permukaan S tersebut adalah:
{
( )
}
M = y : ∇h x * y = 0 I
…………………………………………..(2.5)
Bukti:
Misalkan T adalah bidang singgung x * maka T ⊂ M , apakah x * titik reguler atau
tidak. Untuk suatu kurva x(t ) yang melalui x * pada t = t * yang mempunyai turunan
( )
( )( )
x' t * sehingga ∇h x * x t * ≠ 0 tidak akan terletak pada S. Untuk membuktikan
M ⊂ T harus ditunjukkan bahwa jika y ∈ M maka terdapat suatu kurva pada S
Universitas Sumatera Utara
yang melalui x * dengan turunan y. Untuk membangun kurva yang demikian
ditinjau persamaan berikut:
(
( )
)
h x * + ty + ∇h x * u (t ) = 0 …………………………………...(2.6)
T
Pada persamaan (2.6) untuk t tetap, dianggap u (t ) ∈ R m tidak diketahui dengan
parameterisasi kontinu dari t. Pada t = 0 terdapat solusi u(0) = 0. Matriks Jacobian
dari sistem tersebut terhadap u pada t = 0 adalah matriks m x m, yaitu:
( ) ( )
∇h x * ∇h x *
T
……………………………………………….(2.7)
( )
Matriks pada (2.7) adalah non singuler karena ∇h x *
adalah rank penuh jika
x * adalah suatu titik tetap, maka untuk suatu solusi terdiferensial secara kontinu
( )
u(t) di daerah − a ≤ t ≤ a kurva x(t ) = x * + ty + ∇h x * u (t ) ada pada S. Dengan
T
pendiferensialan (2.12) pada t = 0 diperoleh:
0=
d
d

h( x(t )) = h( x * + ty + ∇h( x * )u (t ))
dt
 t =0 dt
0 = ∇h( x * ) y + ∇h( x * )∇h( x * ) T u ' (0)
Karena y terdefenisi maka diperoleh ∇h( x * ) y = 0 dan karena ∇h( x * )∇h( x * ) T
adalah non singular maka dapat disimpulkan bahwa u ' (0) = 0 , sehingga diperoleh:
x' (0) = y + ∇h( x * ) T u ' (0) = y
Hal ini menunjukkan bahwa kurva yang dibangun mempunyai turunan x * pada
yaitu y. ■
2.4
Syarat Orde Satu dan Dua
Penurunan syarat perlu agar suatu titik menjadi titik minimum terhadap
pembatas persamaan dapat dinyatakan dalam bidang singgung. Untuk itu akan
dijelaskan dengan lemma berikut.
Universitas Sumatera Utara
Lemma 2.4.1 (Luenberger,1984)
Misalkan x * adalah titik regular dari pembatas h( x ) = 0 dan titik ekstrim lokal
terhadap pembatas tersebut, maka ∀y ∈ R n memenuhi:
( )
∇h x * y = 0 ………………………………………….(2.8)
( )
∇f x * y = 0 ………..…..…………………………….(2.9)
Bukti:
Misalkan y adalah suatu vektor dalam bidang singgung di x * dan x(t ) adalah
kurva pada permukaan terbatas yang melalui x * dengan turunan y pada x * yaitu
x(0) = x * , x(0 ) = y dan h( x(t )) = 0 untuk ˗ ɑ ≤ t ≤ ɑ untuk suatu ɑ > 0.
Karena x * adalah titik regular, bidang singgung identik dengan himpunan y
( )
yang memenuhi ∇h x * y = 0 dan karena x * adalah titik ekstrim lokal berpembatas
dari ƒ maka diperoleh:
d
f ( x(t ))
dt
df dx
dx dt
]t =0 = 0
] t =0 = 0
( )
atau ekivalen dengan ∇f x * y = 0 .■
( )
Lemma di atas mengatakan bahwa ∇f x *
adalah ortogonal terhadap bidang
singgung.
Defenisi 2.4.2 (Anton, 1997)
Bentuk kuadrat x T Ax disebut definit positif jika x T Ax > 0 untuk semua x ≠ 0 dan
bentuk kuadrat x T Ax disebut semi definit positif jika x T Ax ≥ 0.
Universitas Sumatera Utara
Teorema berikut menjelaskan syarat perlu orde dua. Untuk selanjutnya
diasumsi ƒ dan h adalah fungsi yang kontinu hingga turunannya yang kedua jelas.
Teorema 2.4.3 (Luenberger, 1984)
Misalkan bahwa x’adalah titik minimum lokal dari ƒ terhadap pembatas
h( x ) = 0 dan x * adalah titik reguler dari pembatas tersebut, maka terdapat λ ∈ R m
sehingga:
( )
( )
∇f x * + λT ∇h x * = 0 …………………….………………(2.10)
{
( )
}
Jika M = y : ∇h x * y = 0 maka matriks:
( )
L( x * ) = ∇ 2 f x * + λT ∇ 2 h( x ) ……….………………….......(2.11)
( )
adalah semidefinit positif pada M, yaitu : y T L x y ≥ 0, ∀y ∈ M
*
Bukti :
Karena x(0) = x * adalah minimum lokal dari ƒ, maka berlaku:
d2
f ( x(t ))]t =0 ≥ 0……………………………………………(2.12)
dt 2
d
dx
d
f ( x(t )) =
f ( x(t )) = ∇f ( x(t ))x' (t )
dx
dt
dt
d2
d
f ( x(t )) = [∇f ( x(t ))x' (t )]
2
dt
dt
=
d
[∇f (x(t ))]x' (t ) + ∇f (x(t )) d x' (t )
dt
dt
d
d

=  ∇f ( x(t )) x(t ) x' (t ) + ∇f ( x(t ))x" (t )
dt
 dx

Universitas Sumatera Utara
[
]
= ∇ 2 f ( x(t ))x' (t ) x' (t ) + ∇f ( x(t ))x" (t )
= x' (t ) ∇ 2 f ( x(t ))x(t ) + ∇f ( x(t ))x" (t )
T
sehingga:

d2
T
f ( x(t )) ≥ x' (0 ) ∇ 2 f ( x(0 ))x' (0 ) + ∇f ( x(0 ))x" (0 )
2
dt
 t =0
≥ x' (0 ) ∇ 2 f (x * )x' (0 ) + ∇f ( x(0 ))x" (0 ) ………………(2.13)
T

d2 T
λ h(x(t ))  ≥ 0 ,akan diperoleh dengan cara di atas, yaitu:
2
dt
 t =0
[
]

d2 T
T
λ h(x(t ))  ≥ x' (t ) λT ∇ 2 h(x(t ))x' (t ) + λT ∇h(x(t ))x(t )
2
dt
 t =0
[
]
maka diperoleh:

d2 T
λ h(x(t ))  ≥ x' (0 )T λT ∇ 2 h(x(0 ))x' (0) + λT ∇h(x(0))x(0)
2
dt
 t =0
[
]
≥ x' (0 ) λT ∇ 2 h(x * )x' (0 ) + λT ∇h(x * )x(0 ) ……………..(2.14)
T
( )
( )
x' (0 ) λT ∇ 2 h x * x' (0 ) + λT ∇h x * x' (0 ) ≥ 0
T
Dengan menambahkan persamaan (2.14) ke persamaan (2.13) maka diperoleh:
[ ( )
( )]
[ ( )
( )]
x' (0 ) ∇ 2 h x * x' (0 ) + λT ∇h x * x' (0 ) + ∇f x * + λT ∇h x * x' (0 ) ≥ 0
T
x' (0 ) L( x * ) x' (0 ) + 0 ≥ 0
T
atau
y T L( x * ) y ≥ 0 . ■
Universitas Sumatera Utara
Teorema berikut menjelaskan syarat cukup. Untuk selanjutnya diasumsi f
dan h adalah fungsi yang kontinu hingga turunannya yang kedua.
Teorema 2.4.3 (Luenberger, 1984)
Misalkan terdapat suatu titik x * yang memenuhi h( x ) = 0 dan λ ∈ R m sehingga:
( )
( )
∇f x * + λT ∇h x * = 0 ……………………………………………..(2.15)
( )
( )
( )
Misalkan juga bahwa matriks L x * = ∇ 2 f x * + λT ∇ 2 h x * adalah definit positif
{
( )
}
( )
pada M = y : ∇h x * y = 0 ∀y ∈ M ; y ≠ 0 sehingga memenuhi y T L x * y > 0 , dan
x * adalah minimum lokal dari y terhadap pembatas h( x ) = 0 .
Bukti:
Karena x(0 ) = x * adalah minimum lokal dari f dan x’ (0 ) = y dengan y ≠ 0 maka
berlaku:
d2
f ( x(t ))
dt 2
]t =0 > 0 …………………………………………..(2.16)
d2
d
dx
f ( x(t )) =
f ( x(t )) = ∇f ( x(t ))x' (t )
2
dx
dt
dt
d2
d
f ( x(t )) = [∇f ( x(t ))x' (t )]
2
dt
dt
=
d
[∇f (x(t ))]x(t ) + ∇f (x(t )) d x' (t )
dt
dt
d
d

=  ∇f ( x(t )) x(t ) x' (t ) + ∇f ( x(t ))x" (t )
dt
 dx

[
]
= ∇ 2 f ( x(t ))x' (t ) x' (t ) + ∇f ( x(t ))x" (t )
= x' (t ) ∇ 2 f ( x(t ))x' (t ) + ∇f ( x(t ))x" (t )
T
Universitas Sumatera Utara
sehingga diperoleh:

d2
T
f ( x(t )) > x' (0 ) ∇ 2 f ( x(0 ))x' (0 ) + ∇f ( x(0 ))x" (0 )
2
dt
 t =0
> x' (0 ) ∇ 2 f ( x")x' (0 ) + ∇f ( x(0 ))x" (0 )
T
Untuk
[
]
d2 T
λ h(x(t )) t =0 > 0 , akan diperoleh dengan cara di atas, yaitu:
dt 2

d2 T
λ h( x(t ))  > x' (t )T λT ∇ 2 h(x(t ))x' (t ) + λT ∇h( x(t ))x' (t )
2
dt
 t =0
[
]
Maka diperoleh:
> x' (0 ) λT ∇ 2 h(x * )x' (0 ) + λT ∇h(x * )x' (0 )
T
( )
( )
x' (0 ) λT ∇ 2 h x * x' (0 ) + λT ∇h x * x' (0 ) > 0
T
Dengan menambahkan persamaan (2.18) ke persamaan (2.17) maka diperoleh:
[
( )]
[ ( )
( )]
x' (0 ) ∇ 2 f ( x") + λT ∇ 2 h x * x' (0 ) + ∇f x * + λT ∇h x * x(0 ) ≥ 0
T
( )
( )
( )
( )
( )
Karena L x * = ∇ 2 f x * + λT ∇ 2 h x * dan dari (2.15) yaitu ∇f x * + λT ∇h x * = 0
Maka diperoleh:
( )
x' (0 ) L x * x' (0 ) + 0 > 0
T
Atau
( )
y T L x * y > 0 .■
Universitas Sumatera Utara
2.5 Metode Pengali Lagrange
Salah satu metode yang sering digunakan untuk menyelesaikan masalah
optimisasi berpembatas persamaan adalah metode pengali Lagrange. Untuk
menyelesaikan masalah optimisasi pada persamaan (2.4) didefenisikan suatu
fungsi Lagrange
sebagai berikut:
...........................................................(2.19)
dan vektor riil tak nol
pada persamaan (2.19) disebut pengali
Lagrange.
Jika
adalah titik ekstrim dari
, maka menurut teorema 2.1.2
diperoleh:
..................................................(2.20)
dan
....................................................................................(2.21)
Dengan memperhatikan persamaan (2.10) dan (2.21) maka dapat disimpulkan
bahwa masalah optimisasi pada persamaan (2.4) dapat diselesaikan melalui titik
ekstrim dari fungsi Lagrange
pada persamaan (2.19).
Dari persamaan (2.3) dimana
,
, dan karena
adalah suatu vektor maka i = 1 maka persamaan (2.19) dapat
juga ditulis dengan
atau
.
Universitas Sumatera Utara