analisis dinamik model pertumbuhan tumor-sistem

ANALISIS DINAMIK MODEL PERTUMBUHAN TUMOR-SISTEM
IMUN DENGAN KEMOTERAPI
Fadilla Syukriah
Jurusan Matematika, F.MIPA, Universitas Brawijaya
Email:[email protected]
Abstrak. Pada artikel ini dibahas model pertumbuhan sel tumor yang dikendalikan oleh sistem imun dan kemoterapi.
Komponen imun yang dimaksud dalam artikel ini yaitu sel CTL aktif dan sel T-helper. Pertumbuhan sel tumor dimodelkan
sebagai sistem autonomous empat dimensi. Perilaku solusi sistem autonomous tersebut dianalisa melalui eksistensi titik
kesetimbangan dan kestabilan lokal melalui proses linearisasi. Sebelum dilakukan analisis pada sistem dengan kemoterapi,
dilakukan terlebih dahulu analisis pada sistem tanpa kemoterapi. Kedua sistem mempunyai enam titik kesetimbangan. Sistem
tanpa kemoterapi mempunyai tiga titik kesetimbangan stabil jika memenuhi syarat tertentu, sedangkan sistem dengan
kemoterapi semua titik kesetimbangan stabil jika memenuhi syarat tertentu. Hasil analisis diuji dan diilustrasikan melalui
simulasi numerik. Hasil simulasi menunjukkan bahwa kemoterapi dapat membantu sel imun untuk menghancurkan sel tumor
dengan tetap mempertahankan keberadaan sel imun.
Kata kunci: tumor, sistem imun, kemoterapi, sistem autonomous, kestabilan titik kesetimbangan.
1. PENDAHULUAN
Pemodelan matematika tentang dinamika tumor-imun telah banyak dikaji oleh para peneliti.
Salah satunya adalah Kuznetsov dan Knott (2001) yang mengembangkan suatu model deterministik
untuk menggambarkan pengaruh timbal balik antara sel kanker dan salah satu sel imun yaitu sel
pembunuh cytotoxic. Selain itu, De Pillis dan Radunskaya (2001) mengkaji suatu model matematika
yang menunjukkan persaingan antara sel normal dan sel tumor dengan mempertimbangkan peranan
kemoterapi, dan masih banyak penelitian lain yang mengkaji tentang dinamika tumor-imun. Berbeda
dari Kutznetsov dan Knott (2001), serta De Pillis (2001) dan Radunskaya (2001), dalam penelitian
yang dilakukan oleh Sharma dan Samanta (2013) dibahas model interaksi antara sel tumor dan dua sel
imun, yaitu sel CTL aktif dan sel T-helper dengan mempertimbangkan peranan kemoterapi dan
kontrol optimal. Dalam model matematika yang dikembangkan oleh Sharma dan Samanta (2013) tidak
diperlihatkan adanya persaingan antara sel tumor dan sel normal.
Pada artikel ini dibahas analisis dinamik model matematika yang telah dideskripsikan oleh
Sharma dan Samanta (2013). Berbeda dari Sharma dan Samanta (2013) yang lebih memfokuskan
pembahasan pada pengaruh kontrol optimal kemoterapi terhadap pertumbuhan sel tumor dan sel imun,
pada artikel ini dibahas lebih mendalam tentang analisis dinamik model pertumbuhan sel tumor yang
dikendalikan oleh sistem imun dan kemoterapi serta tanpa kemoterapi. Berdasarkan hasil analisis
dapat diketahui pengaruh kemoterapi terhadap perilaku solusi sistem yang dianalisis melalui eksistensi
dan kestabilan lokal titik kesetimbangan sistem.
2. MODEL MATEMATIKA
Model matematika untuk pertumbuhan tumor yang dikendalikan oleh sistem imun saja, maupun
yang dikendalikan oleh sistem imun dan kemoterapi yang dibahas dalam artikel ini adalah
(
)
(1)
(
)
dan
(
)
(
)
(2)
362
Model matematika yang dikembangkan oleh Sharma dan Samanta (2013) tersebut menjelaskan adanya
interaksi antara sel tumor ( ), sel CTL aktif ( ), sel T-helper ( ) dan kemoterapi ( ). Parameter
pada kedua model matematika tersebut yaitu dan menyatakan laju pertumbuhan sel tumor dan sel
T-helper perkapita, dan
menyatakan carrying capacity yang berbanding terbalik untuk sel tumor
dan sel T-helper,
dan
menyatakan laju hilangnya sel tumor akibat bertemu dengan sel CTL
aktif dan laju hilangnya sel CTL aktif akibat bertemu dengan sel tumor, menyatakan laju perubahan
sel T-helper menjadi sel CTL aktif, menyatakan laju kerusakan sel CTL aktif secara alami per
kapita,
menyatakan dosis obat kemoterapi yang diberikan,
menyatakan laju kerusakan obat
kemoterapi per kapita, serta , , dan
menyatakan koefesien respon terhadap kemoterapi untuk
sel tumor, sel CTL aktif, dan sel T-helper.
3. ANALISIS DINAMIK MODEL
Titik kesetimbangan sistem persamaan (1) diperoleh dengan menyelesaikan persamaan
Kestabilan titik kesetimbangan ditentukan berdasarkan nilai eigen matriks Jacobi sistem persamaan (1)
yaitu
[
]
),
Terdapat enam titik kesetimbangan yang diperoleh dari sistem persamaan (1) yaitu ̅ (
̌
̅ (
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅
(
). Titik kesetimbangan
),
(
),
(
),
(
), dan
̅ (
̌̅
), dengan ̌̅
̅
(
)
i.
ii. (
iii. (
iv.
(
(
)
(
, ̅
)
(
))
(
, dan ̅
)
̅
̅ ) dengan
, eksis jika
,
)
(
. Titik kesetimbangan ̅ ( ̅
, eksis ketika
,
))
,
.
Matriks Jacobi sistem persamaan (1) pada titik ̅ yaitu ( ̅ ) memiliki nilai eigen
,
, dan
, sehingga titik ̅ tidak stabil karena
dan
positif. Matriks Jacobi
( ̅ ) memiliki nilai eigen
,
⁄
, dan
, sehingga titik ̅ tidak
stabil karena
positif. Matriks Jacobi ( ̅ ) memiliki nilai eigen
,
,
, sehingga titik ̅ stabil jika
dan
,
, dan
. Matriks Jacobi ( ̅ ) memiliki
, sehingga titik ̅ tidak stabil.
Matriks Jacobi ( ̅ ) memiliki persamaan karakteristik (
̌̅ )
̌̅
. Nilai eigen persamaan karakteristik
√(
̌̅ )
. Titik ̅
( ̅ ) adalah
(
̌̅ )) (
̌̅
̌̅
dan
. Matriks Jacobi ( ̅ ) memiliki
̅
̅
persamaan karakteristik
dengan
,
̅ ̅
̅
̅ ) ̅ , dan
(
(
) ̅ ̅ ̅ . Berdasarkan
kriteria Routh-Hurwitz, persamaan karakteristik ( ̅ ) mempunyai akar riil negatif jika
,
, dan
. Jadi titik kesetimbangan ̅ eksis dan stabil asimtotik lokal jika syarat
eksistensi titik tersebut besar dari nol dan
Titik kesetimbangan sistem persamaan (2) diperoleh dengan menyelesaikan sistem persamaan
stabil jika
Matriks Jacobi untuk sistem persamaan (2) adalah
363
[
(̅
]
(
Pada sistem persamaan (2) juga diperoleh enam titik kesetimbangan yaitu
̂
̃
̌
̌
), ( ̂
), (
) dengan
), (
), dan (
(̅
Titik kesetimbangan
(̂
̂ ̂ ) dengan ̂
̌ ̌
̃
(
kesetimbangan
(
) dengan nilai
dan ̂
(
)
(
)
)
(
)
)
)
(
(
)
(
.
)
)
,
)
(
(
(
)
)
(
)
, dan
)
)
)
(
(
.
)
)
)
(
. Matriks Jacobi (
memiliki nilai eigen
. Titik
(̂
memiliki nilai eigen
sehingga titik
stabil jika
̌ ,
̌
,
(
(
)
(
persamaan
(
yaitu ( ) memiliki nilai eigen
, sehingga titik
stabil jika
stabil jika
̂
(
)
(
(
)
,
(
))
)
̃,
Nilai eigen persamaan karakteristik (
√(
̌ )
̌ ̌
Titik
. Matriks Jacobi (
̃
. Matriks Jacobi (
̂
)
. Matriks Jacobi (
)
, dan
.
) memiliki persamaan karakteristik (
))
(
,
̃
dan
Matriks Jacobi sistem (
̌ )
.
) memiliki nilai eigen
) stabil jika
̃
,
)
, sehingga titik
̂
̂
̂
,
)
(
Matriks Jacobi sistem persamaan (2) pada titik
,
, dan
dan
solusi
(
, eksis jika
,
(
(
dan
)(
. Titik kesetimbangan
dan ̌
(
) eksis jika
i.
ii.
iii.
iv.
,
. Titik
) dengan
(
(
(
dan
eksis jika
(
(
Titik
. Titik kesetimbangan
, eksis jika
) dengan ̃
) dengan ̌
Titik kesetimbangan
, eksis jika
),
.
stabil jika
̌
(
) adalah
̌
) memiliki nilai eigen
̌ )) (
̌
̌ , sehingga
–
dan
)
,
dengan
(
) , dan
(
)
Berdasarkan
kriteria Routh-Hurwitz, persamaan karakteristik ( ) memiliki akar riil negatif jika
,
,
. Jadi titik kesetimbangan
eksis dan stabil asimtotik lokal jika syarat eksistensi titik
tersebut besar dari nol dan
4. SIMULASI NUMERIK
Pengaruh kemoterapi yang diharapkan terjadi yaitu kemoterapi dapat menghancurkan sel tumor
dengan tetap mempertahankan sel imun. Oleh karena itu, dipilih nilai parameter sehingga
̅ ) stabil yang menggambarkan bahwa sel tumor ( ), sel CTL aktif
mengakibatkan titik ̅ ( ̅ ̅
( ), dan sel T-helper masih ada. Kemudian dipilih parameter kemoterapi sedemikian sehingga
̅ ) stabil, mengakibatkan titik ( ̌ ̌
gabungannya dengan parameter saat titik ̅ ( ̅ ̅
)
364
stabil yang menggambarkan bahwa sel tumor ( ) habis, sedangkan sel CTL aktif, sel T-helper dan
̅ ) stabil
kemoterapi masih ada. Nilai parameter yang dipilih untuk memperlihatkan titik ̅ ( ̅ ̅
diberikan dalam kotak putih pada Tabel 1, sedangkan gabungan semua parameter pada Tabel 1
digunakan untuk memperlihatkan titik ( ̌ ̌
) stabil.
Tabel 1 Nilai parameter untuk memperlihatkan titik ̅ dan
Parameter
Gambar 1 Potret fase yang memperlihatkan titik
̅ stabil sebelum kemoterapi diberikan
stabil
Gambar 2 Potret fase yang memperlihatkan titik
stabil setelah kemoterapi diberikan
Potret fase pada Gambar 1 dan 2 memperlihatkan bahwa titik ̅ dan
sama-sama bersifat stabil
asimtotik lokal. Perubahan arah kestabilan dari titik ̅ stabil sebelum kemoterapi diberikan menjadi
titik
stabil setelah kemoterapi diberikan menggambarkan bahwa kemoterapi dapat membantu
menghancurkan sel tumor sekaligus dapat mempertahankan eksistensi sel CTL aktif dan sel T-helper.
5. KESIMPULAN
Sistem persamaan tanpa kemoterapi memiliki tiga titik kesetimbangan stabil jika memenuhi
syarat eksistensi dan kestabilan tertentu, sedangkan pada sistem persamaan dengan kemoterapi semua
titik kesetimbangan stabil jika memenuhi syarat eksistensi dan kestabilan tertentu. Perubahan syarat
eksistensi dan kestabilan titik kesetimbangan setelah kemoterapi diberikan pada sistem persamaan
tanpa kemoterapi, menggambarkan bahwa pemberian kemoterapi dapat mengubah perilaku solusi
sistem. Perbandingan hasil simulasi memperlihatkan bahwa kemoterapi dapat membantu sel imun
untuk menghancurkan sel tumor tetapi masih dapat mempertahankan eksistensi sel imun tersebut.
6. UCAPAN TERIMAKASIH
Terima kasih kepada W. M. Kusumawinahyu, A. Suryanto, Trisilowati, dan teman-teman
Matematika 2010 atas bimbingan, saran, dan motivasi yang diberikan selama penulisan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
Sharma, S. dan Samanta, G. P., (2013), Dynamical Behaviour of a Tumor-Immune System with
Chemotherapy and Optimal Control, Journal of Nonlinear Dynamics, 2013, hal. 1-13.
Kuznetsov, V. A. dan Knott, G. D., (2001), Modeling Tumor Regrowth and Immunotherapy,
Mathematical and Computer Modelling, 33(12-13), hal. 1275-1287.
De Pillis, L. G. dan Radunskaya, A., (2001), A Mathematical Tumor Model with Immune Resistence
and Drug Therapy: an Optimal Control Approach, Journal of Theoretical Medicine, 3(2), hal.
79-100.
365