8. FUNGSI TRANSENDEN

8. FUNGSI
TRANSENDEN
MA1114 KALKULU I
1
8.1 Invers Fungsi
Misalkan f : D f → R f dengan
x ! y = f (x)
Definisi 8.1 Fungsi y = f(x) disebut satu-satu jika f(u) = f(v) maka u = v
atau jika u ≠ v maka f (u ) ≠ f (v)
y=x
y = x2
y = −x
u
fungsi y=x satu-satu
fungsi y=-x satu-satu
MA1114 KALKULUS I
v
fungsi y = x 2 tidak satu-satu
2
Secara geometri grafik fungsi satu-satu dan garis yang sejajar dengan
sumbu x berpotongan di satu titik.
Teorema : Jika fungsi f satu-satu maka f mempunyai invers
notasi f −1
f −1 : R f → D f
y ! x = f −1 ( y )
R
Df
R
f
x
x = f −1 ( y )
f
Berlaku hubungan
Rf
f −1 ( f ( x)) = x
y=f(x)
f ( f −1 ( y)) = y
−1
D f −1 = R f ,
MA1114 KALKULUS I
R f −1 = D f
3
Teorema : jika f monoton murni(selalu naik/selalu turun) maka
f mempunyai invers
f(x)=x
f ' ( x) = 1 > 0, ∀x ∈ R
f selalu naik
f(x)=-x
f ' ( x) = −1 < 0, ∀x ∈ R
f selalu turun
⎧> 0, x > 0
f ' ( x) = 2 x = ⎨
⎩< 0, x < 0
f naik untuk x>0
turun untuk x <0
f ( x) = x
f ( x) = x 2
f ( x) = − x
v
u
f
−1
ada
f
−1
ada
MA1114 KALKULUS I
f
−1
tidak ada
4
x −1
Contoh : Diketahui f ( x ) =
x+2
a.  Periksa apakah f mempunyai invers
b. Jika ada, tentukan inversnya
Jawab
3
1.( x + 2) − 1.( x − 1)
a. f ' ( x) =
=
> 0, ∀x ∈ Df
2
2
( x + 2)
( x + 2)
Karena f selalu naik(monoton murni) maka f mempunyai invers
b.
Misal y = x − 1
x+2
xy + 2 y = x − 1
− 2y −1
f ( y) =
y −1
−1
− 2y −1
x y − x = −2 y − 1 ⇒ x =
y −1
− 2x − 1
⇒ f ( x) =
x −1
−1
MA1114 KALKULUS I
5
Suatu fungsi yang tidak mempunyai invers pada daerah asalnya
dapat dibuat mempunyai invers dengan cara membatasi daerah
asalnya.
f ( x) = x 2
f ( x) = x 2
−1
ada
Untuk x<0 f
−1
ada
v
u
Untuk x ∈ R f
Untuk x>0 f
−1
tidak ada
f ( x) = x 2
MA1114 KALKULUS I
6
Grafik fungsi invers
Titik (x,y) terletak
pada grafik f
Titik (y,x) terletak
pada grafik f −1
Titik (x,y) dan (y,x) simetri terhadap garis y=x
f
Grafik f dan f
f
−1
semetri terhadap garis y=x
−1
MA1114 KALKULUS I
7
Turunan fungsi invers
Teorema Misalkan fungsi f monoton murni dan mempunyai turunan
pada selang I. Jika f ' ( x) ≠ 0, x ∈ I maka f −1 dapat diturunkan di y=f(x)
dan
( f −1 )' ( y ) =
1
f ' ( x)
Bentuk diatas dapat juga dituliskan sebagai
dx
1
=
dy dy / dx
Contoh Diketahui f ( x) = x 5 + 2 x + 1 tentukan ( f −1 )' (4)
Jawab :
f ' ( x) = 5x 4 + 2 ,y=4 jika hanya jika x=1
( f −1 )' (4) =
1
1
=
f ' (1) 7
MA1114 KALKULUS I
8
Soal Latihan
Tentukan fungsi invers ( bila ada ) dari
1.
1
f (x ) = x +
, x>0
x
2.
f (x ) = 3 2x − 1
3. f ( x ) = 5 4x + 2
4. f (x ) =
5
x2 + 1
, x≥0
5. f ( x ) = x + 1
x −1
6.
f ( x) =
2x − 3
x+2
MA1114 KALKULUS I
9
8.2 Fungsi Logaritma Asli
n 
Fungsi Logaritma asli ( ln ) didefinisikan sebagai :
x1
ln x = ∫
1
n 
t
dt , x > 0
Dengan Teorema Dasar Kalkulus II, diperoleh :
⎛ x 1 ⎞ 1
Dx [ln x] = Dx ⎜⎜ ∫ dt ⎟⎟ =
⎝ 1 t ⎠ x
.
n 
Secara umum, jika u = u(x) maka
⎛ u ( x ) 1 ⎞ 1 du
Dx [lnu ] = Dx ⎜ ∫ dt ⎟ =
⎜
⎟ u dx
t
⎝ 1
⎠
MA1114 KALKULUS I
10
f ( x) = ln(sin(4 x + 2))
1
f
'
(
x
)
=
Dx (sin(4 x + 2)) = 4 cot( 4 x + 2)
maka
sin( 4 x + 2)
Contoh : Diberikan
Jika
y = ln | x | , x ≠ 0
1
y = ln x → y ' =
x
⎧ ln x , x > 0
= ⎨
⎩ln(− x) , x < 0
Jadi,
d
1
(ln | x |) =
, x ≠ 0.
dx
x
Dari sini diperoleh :
Sifat-sifat Ln :
y = ln(− x) → y ' =
−1 1
=
−x x
1
∫ x dx = ln | x | + C
1. ln 1 = 0
2. ln(ab) = ln a + ln b
3. ln(a/b)=ln(a) – ln(b)
4. ln a r = r ln a
MA1114 KALKULUS I
11
4
Contoh: Hitung
∫
0
x2
dx
3
x +2
jawab
Misal
u = x 3 + 2 → du = 3x 2 dx
x2
x 2 du
∫ x 3 + 2 dx = ∫ u 3x 2
1 1
1
= ∫ du = ln | u | +c
3 u
3
1
= ln | x 3 + 2 | +c
3
sehingga
4
4
x2
1
3
∫0 x 3 + 2dx = 3 ln | x + 2 | 0
]
1
1
= (ln 66 − ln 2) = ln 33.
3
3
MA1114 KALKULUS I
12
Grafik fungsi logaritma asli
Diketahui
x
a. f ( x) = ln x =
b. f ' ( x) =
f(x)=lnx
1
> 0 ∀x ∈ D f
x
f selalu monoton naik pada Df
c. f ' ' ( x) = −
1
dt
∫1 t , x > 0
1
< 0 ∀x ∈ D f
2
x
Grafik selalu cekung kebawah
d. f(1) = 0
MA1114 KALKULUS I
13
8.3 Fungsi Eksponen Asli
n  Karena Dx [ln x ] =
1
> 0 untuk x > 0, maka fungsi logaritma asli
x
monoton murni, sehingga mempunyai invers. Invers dari fungsi
logaritma asli disebut fungsi eksponen asli, notasi exp. Jadi
berlaku hubungan
y = exp( x) ⇔ x = ln y
n 
n 
Dari sini didapat : y = exp(ln y) dan x =ln(exp(x))
Definisi 8.2 Bilangan e adalah bilangan Real positif yang
bersifat ln e = 1.
Dari sifat (iv) fungsi logaritma diperoleh
e r = exp(ln e r ) = exp r ln e = exp r
MA1114 KALKULUS I
exp ( x) = e x
14
Turunan dan integral fungsi eksponen asli
Dengan menggunakan turunan fungsi invers
Dari hubungan
y = ex
⇔
x = ln y
dy
1
=
= y = ex
dx dx / dy
dx 1
=
dy y
Jadi, Dx (e x ) = e x
Secara umum
Dx (e u ( x ) ) = e u .u '
Sehingga
x
x
e
dx
=
e
+C
∫
MA1114 KALKULUS I
15
Grafik fungsi eksponen asli
Karena fungsi ekponen asli merupakan invers dari fungsi logaritma asli
maka grafik fungsi eksponen asli diperoleh dengan cara mencerminkan
grafik fungsi logaritma asli terhadap garis y=x
y=exp (x)
y=ln x
1
1
Contoh
D x (e 3 x ln x ) = e 3 x ln x .D x (3x ln x) = e 3 x ln x (3 ln x + 3).
MA1114 KALKULUS I
16
Contoh Hitung
e3 / x
∫ x 2 dx
Jawab :
Misalkan u =
3
−3
1
1
→ du = 2 dx → 2 dx = − du
x
3
x
x
Sehingga
e3 / x
1 u
1 u
1 3/ x
∫ x 2 dx = ∫ − 3 e du = − 3 e + c = − 3 e + c.
MA1114 KALKULUS I
17
Penggunaan fungsi logaritma dan eksponen asli
Menghitung turunan fungsi berpangkat fungsi
Diketahui f ( x) = ( g ( x))
h( x)
, f ' ( x) = ?
ln( f ( x)) = h( x) ln( g ( x))
Dx (ln( f ( x))) = Dx (h( x) ln( g ( x)))
f ' ( x)
h( x )
= h' ( x) ln( g ( x)) +
g ' ( x)
f ( x)
g ( x)
⎛
⎞
h( x )
f ' ( x) = ⎜⎜ h' ( x) ln( g ( x)) +
g ' ( x) ⎟⎟ f ( x)
g ( x)
⎝
⎠
MA1114 KALKULUS I
18
Contoh
Tentukan turunan fungsi f ( x) = (sin x) 4 x
Jawab
Ubah bentuk fungsi pangkat fungsi menjadi perkalian fungsi dengan
menggunakan fungsi logaritma asli
ln f ( x) = ln(sin x) 4 x = 4 x ln(sin( x))
Turunkan kedua ruas
Dx (ln f ( x)) = Dx (4 x ln(sin( x)))
f ' ( x)
4x
= 4 ln(sin( x)) +
cos x = 4 ln(sin( x)) + 4 x cot x
f ( x)
sin x
f ' ( x) = (4 ln(sin( x)) + 4 x cot x)(sin x) 4 x
MA1114 KALKULUS I
19
B. Selesaikan integral tak tentu berikut
1. ∫
4
dx
2x + 1
2
ln
3x
2.
∫ x dx
6.
∫
4x + 2
2
x +x+5
dx
x 2 + 6x
11.
7.
∫ (x + 3) e
3. ∫
dx
2
x +1
8.
−x
2
−x
∫ e sec 2 − e dx
tan(ln x)
dx
4. ∫
x
9.
sin x
(cos
x
)
e
dx
∫
10.
2 ln x
e
dx
∫
x3
5. ∫
2
x (ln x)
dx
2
dx
(
MA1114 KALKULUS I
)
2 2 x3
∫x e
dx
e2x
dx
12. ∫ x
e +3
13.
e3x
∫ (1 − 2e 3 x ) 2 dx
20
C. Selesaikan integral tentu berikut
ln 2
4 3
−3 x
dx
1. ∫
6. ∫ e dx
1 − 2x
1
0
4
1
2. ∫ x (1 + x ) dx
1
ln 3
3.
4.
∫
e
x
7.
x
− ln 3 e + 4
ln 5
x
2
dx
(
8.
1
2x+ 3
e
dx
5. ∫
∫ xe
4− x 2
dx
0
)
x
∫ e 3 − 4e dx
0
3
2 e x
∫ 2 dx
1 x
e2
9.
dx
∫e x(ln x) 2
0
MA1114 KALKULUS I
21
D. Hitung limit berikut :
1.
lim x
1
1− x
5.
x →1
2. lim(1 + sin 2 x )
x →0
2 ⎤
⎡
lim
cos
3.
⎢
x ⎥⎦
x→∞ ⎣
4.
(
lim+ e
x →0
2x
1
x
)
−1
x →∞
6.
lim(ln x )
7.
(
x2
1
ln x
(
lim 1 + x
1
2 ln x
x →∞
x
)
1
x
lim 3 + 5
x →∞
1
x x
)
⎛ x + 1 ⎞
8. lim ⎜⎝ x + 2 ⎟⎠
x→∞
MA1114 KALKULUS I
x
22
8.5 Fungsi Eksponen Umum
Fungsi
f ( x) = a x, a > 0 disebut fungsi eksponen umum
Untuk a > 0 dan x ∈ R, definisikan
x
a =e
x ln a
Turunan dan integral
Dx (a x ) = Dx (e x ln a ) = e x ln a ln a = a x ln a
Jika u = u(x), maka
Dx (a u ) = Dx (eu ln a ) = eu ln a ln a.u ' = a u u ' ln a
Dari sini diperoleh :
:
1 x
∫ a dx = ln a a + C
x
MA1114 KALKULUS I
23
Sifat–sifat fungsi eksponen umum
Untuk a > 0, b > 0, x, y bilangan riil berlaku
1.
a x a y = a x+ y
2.
ax
x− y
=
a
ay
3.
(a x ) y = a xy
4.
(ab) x = a x b x
5.
ax
⎛ a ⎞
⎜ ⎟ = x
b
⎝ b ⎠
x
MA1114 KALKULUS I
24
Contoh
1. Hitung turunan pertama dari
f ( x) = 32 x +1 + 2sin 2 x
Jawab :
f ' ( x) = 2.32 x +1 ln 3 + 2.2sin 2 x cos 2 x ln 2
2. Hitung
∫4
x2
.xdx
Jawab :
Misal
u = x 2 → du = 2 xdx → dx =
2
x
4
∫ .xdx =
u
4
∫
u
1
2x
du
x2
du 1 4
4
=
+C =
+C
2 2 ln 4
2 ln 4
MA1114 KALKULUS I
25
Grafik fungsi eksponen umum
Diketahui
a.
f ( x) = a x , a > 1
f ( x) = a x , a > 0
Df = (−∞, ∞)
⎧a x ln a < 0 , 0 < a < 1
b. f ' ( x) = a ln a = ⎨ x
⎩ a ln a > 0 , a > 1
f monoton naik jika a > 1
monoton turun jika 0 < a < 1
x
c.
f ( x) = a x ,0 < a < 1
f ' ' ( x) = a x (ln a) 2 > 0 ∀ x ∈ D f
Grafik f selalu cekung keatas
d. f(0) = 1
MA1114 KALKULUS I
26
8.6 Fungsi Logaritma Umum
Karena fungsi eksponen umum monoton murni maka ada Inversnya. Invers
dari fungsi eksponen umum disebut fungsi Logaritma Umum
( logaritma dengan bilangan pokok a ), notasi a log x , sehingga berlaku :
y
⇔
x
=
a
y = log x
a
Dari hubungan ini, didapat
ln x
ln x = ln a = y ln a ⇒ y =
ln a
y
Sehingga
ln x
⇒ log x =
ln a
a
ln x
1
)=
ln a
x ln a
ln u
u'
a
Dx ( log u ) = Dx (
)=
ln a
u ln a
Dx ( a log x) = Dx (
Jika u=u(x), maka
MA1114 KALKULUS I
27
Contoh Tentukan turunan pertama dari
1. f ( x)= 3 log( x 2 + 1)
x +1
2. f ( x)= log(
)
x −1
4
Jawab :
1.
2.
ln( x 2 + 1)
f ( x)= log( x + 1) =
ln 3
3
2
x +1
ln(
x
+
1
4
x −1 )
f ( x)= log(
)=
x −1
ln 4
f ' ( x) =
2x
1
x 2 + 1 ln 3
f ' ( x) =
1 1
x +1
Dx
(
)
x +1
ln 4 ( x −1 )
x −1
1 x − 1 x − 1 − ( x + 1)
ln 4 x + 1 ( x − 1) 2
1
−2
=
ln 4 ( x + 1)( x − 1)
=
MA1114 KALKULUS I
28
Grafik fungsi logaritma umum
Grafik fungsi logaritma umum diperoleh dengan mencerminkan grafik
fungsi eksponen umum terhadap garis y=x
Untuk a > 1
Untuk 0 < a < 1
f ( x) = a x
f ( x) = a x
f ( x)=a log x
f ( x)=a log x
MA1114 KALKULUS I
29
Soal Latihan
A. Tentukan
y ' dari
2x 4 − 4x
1. y = 3
(
2. y = 10 log x 2 + 9
3.
)
x 3 log( xy ) + y = 2
B. Hitung
1.
5x −1
10
dx
∫
2.
x
2
∫ x 2 dx
MA1114 KALKULUS I
30
8.7 Fungsi Invers Trigonometri
Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu,
jika daerah asalnya dibatasi, fungsi trigonometri bisa dibuat menjadi satusatu sehingga mempunyai invers.
a. Invers fungsi sinus
Diketahui f(x) = sinx , −2π ≤ x ≤
−π
2
π
2
π
2
Karena pada −π ≤ x ≤ π f(x)=sinx
2
2
monoton murni maka inversnya ada.
Invers dari fungsi sinus disebut arcus
sinus, notasi arcsin(x),atau sin −1 ( x)
Sehingga berlaku
y = sin −1 x ⇔ x = sin y
MA1114 KALKULUS I
31
Turunan
Dari hubungan y = sin −1 x ⇔ x = sin y − 1 ≤ x ≤ 1, −2π ≤ y ≤ π2
dan rumus turunan fungsi invers diperoleh
dy
1
1
1
1
=
=
, | x |< 1
=
=
2
2
1 − sin y
1− x
dx dx / dy cos y
atau Dx (sin −1 x) =
1
1− x2
Jika u=u(x) Dx (sin −1 u ) =
u'
1− u2
Dari rumus turunan diperoleh
∫
dx
1− x2
= sin −1 x + C
MA1114 KALKULUS I
32
b. Invers fungsi cosinus
Fungsi f(x) = cosx ,0 ≤ x ≤ π
monoton murni(selalu monoton turun),
sehingga mempunyai invers
Definisi : Invers fungsi cosx disebut
arcuscosx, notasi arc cosx atau cos −1 ( x)
f ( x) = cos x
Berlaku hubungan
π
y = cos−1 x ⇔ x = cos y
Turunan
Dari
y = cos−1 x ⇔ x = cos y ,−1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ π diperoleh
dy
1
−1
=
=
dx dx / dy sin y
=
−1
2
1 − cos y
MA1114 KALKULUS I
=
−1
1− x
2
, | x |< 1
33
atau
Dx (cos −1 x) =
Jika u= u(x)
−1
1− x2
− u'
Dx (cos −1 u ) =
1− u2
Dari rumus turunan diatas diperoleh
∫
dx
1− x2
= − cos −1 x + C
Contoh
−1
2
D x (sin ( x )) =
D x (cos −1 (tan x)) =
1
1 − (x 2 )2
Dx ( x 2 ) =
−1
1 − (tan x)
2
2x
1− x4
D x (tan x) =
MA1114 KALKULUS I
− sec 2 x
1 − tan 2 x
34
Contoh Hitung
∫
Gunakan rumus
1
4− x
2
∫
dx
1
1− u2
du = sin −1 (u ) + C
Jawab :
∫
1
4 − x2
dx = ∫
Misal u =
∫
1
2
4(1 −
x
)
4
dx
=
1
2∫
1
x
(1 − ( ) 2
2
dx
x
→ du = 12 dx → dx = 2du
2
1
2
−1
dx = 1
du
=
sin
u+C
2
∫
2
4− x
2
(1 − u
MA1114 KALKULUS I
= sin −1 ( 2x ) + C
35
c. Invers fungsi tangen
Fungsi f(x) = tanx,
−π
2
≤x≤
π
2
Monoton murni (selalu naik)
sehingga mempunyai invers.
Definisi Invers dari tan x disebut fungsi arcus tanx,
−1
notasi arc tanx atau tan ( x)
Berlaku hubungan
−π
2
f(x)=tanx
y = tan −1 x ⇔ x = tan y
π
2
Turunan
Dari y = tan −1 x ⇔ x = tan y
, −2π < y < π2
dan turunan fungsi invers diperoleh
1
1
dy
1
1
=
=
=
=
2
2
dx dx / dy sec y 1 + tan y 1 + x 2
MA1114 KALKULUS I
36
atau Dx (tan −1 x) =
Jika u=u(x)
dx
−1
=
tan
x+C
∫ 1+ x2
1
1+ x2
Dx (tan −1 u ) =
u'
1+ u2
d. Invers fungsi cotangen
Fungsi f(x)= cot x ,0 < x < π selalu monoton turun(monoton murni)
sehingga mempunyai invers
Definisi Invers dari fungsi cot x disebut
−1
Arcus cotx, notasi arc cotx atau cot x
f(x)=cotx
Berlaku hubungan
π
y = cot −1 x ⇔ x = cot y
Turunan
−1
−1
dy
1
1
=
=
=
=− 2
2
1 + cot y 1 + x 2
dx dx / dy
csc y
MA1114 KALKULUS I
37
atau
Dx (cot −1 x) =
Jika u=u(x)
dx
−1
=
−
cot
x+C
∫ 1+ x2
−1
1+ x2
Dx (cot −1 u ) =
− u'
1+ u2
Contoh
2x
D x (tan ( x + 1) =
Dx( x + 1) =
2
2
1 + ( x 2 + 1) 2
1 + ( x + 1)
−1
2
D x (cot −1 (sin x) =
1
2
−1
− cos x
Dx
(sin
x
)
=
1 + (sin x) 2
1 + sin 2 x
Contoh Hitung
a.
dx
∫ 4 + x2
b.
dx
∫ x 2 + 2x + 4
MA1114 KALKULUS I
38
Jawab
a.
1
∫ 4 + x 2 dx = ∫
u=
1
x2
4(1 + )
4
dx =
1
1
dx
∫
4 1 + ( x )2
2
x
→ du = 12 dx → dx = 2du
2
1
1
2
1
−1
dx
=
du
=
tan
u +C
2
∫ 4 + x2
∫
4 1+ u
2
Gunakan rumus
=
1
x
tan −1 ( ) + C
2
2
1
−1
∫ 1 + u 2 du = tan (u) + C
MA1114 KALKULUS I
39
b.
dx
1
=
∫ x 2 + 2 x + 4 ∫ ( x + 1) 2 + 3 dx = ∫
1
= ∫
3
Misal
u=
1
⎛ ( x + 1) ⎞
1 + ⎜⎜
⎟⎟
⎝ 3 ⎠
x +1
Gunakan rumus
1
−1
∫ 1 + u 2 du = tan (u) + C
3
→ du =
1
dx
2
( x + 1)
3(1 +
)
3
dx
2
1
3
dx → dx = 3du
dx
1
3
1
−1
=
du
=
tan
u+C
∫ x 2 + 2x + 4 3 ∫ 1 + u 2
3
=
MA1114 KALKULUS I
1
⎛ x + 1 ⎞
tan −1 ⎜⎜
⎟⎟ + C
3
⎝ 3 ⎠
40
e. Invers fungsi secan
Diberikan f(x) = sec x ,0 ≤ x ≤ π , x ≠ π2
f ' ( x) = sec x tan x > 0,0 ≤ x ≤ π , x ≠
π
2
f(x) = sec x monoton murni
Ada inversnya
Definisi Invers dari fungsi sec x disebut arcus secx, notasi arc secx
atau sec −1 x
Sehingga
y = sec−1 x ⇔ x = sec y
MA1114 KALKULUS I
41
Turunan
Dari
y = sec−1 x ⇔ x = sec y
sec −1 x = cos −1 ( 1x )
1
cos y =
x
y = cos −1 ( 1x )
Sehingga
D x (sec −1 x) = D x (cos −1 ( 1x ) =
Jika u = u(x)
∫x
Dx (sec −1 u ) =
1
x2 −1
−1
1 − ( 1x ) 2
−1
| x|
1
=
=
2
x2
x2 x2 −1 | x | x −1
u'
| u | u 2 −1
dx = sec −1 | x | +c
MA1114 KALKULUS I
42
e. Invers fungsi cosecan
Diberikan f(x) = csc x , −2π ≤ x ≤ π2 , x ≠ 0
f ' ( x) = − csc x cot x < 0, −2π ≤ x ≤ π2 , x ≠ 0
f(x) = sec x monoton murni
Ada inversnya
Definisi Invers dari fungsi csc x disebut arcus csc x, notasi arc cscx
atau csc −1 x
Sehingga
y = csc−1 x ⇔ x = csc y
MA1114 KALKULUS I
43
Turunan
Dari
y = csc−1 x ⇔ x = csc y
csc −1 x = sin −1 ( 1x )
1
sin y =
x
y = sin −1 ( 1x )
Sehingga
Dx (csc −1 x) = Dx (sin −1 ( 1x ) =
Dx (sec −1 u ) =
Jika u = u(x)
∫x
1
x2 −1
1
−1
−| x|
−1
=
=
2
1 2 x
1− ( x )
| x | x2 −1
x2 x2 −1
− u'
| u | u 2 −1
dx = − csc −1 | x | +c
MA1114 KALKULUS I
44
Contoh
A. Hitung turunan pertama dari
a.
f ( x) = sec −1 ( x 2 )
−1
b. f ( x) = sec (tan x)
Jawab
a.
b.
f ' ( x) =
1
| x2 | (x2 )2 −1
f'(x) =
2x
2
Dx( x ) =
1
| tanx | (tanx)2 − 1
x2 x4 −1
Dx(tanx) =
MA1114 KALKULUS I
=
2
x x4 −1
sec2 x
|tanx | tan2 x − 1
45
B. Hitung
∫x
1
2
x −4
dx
Jawab
∫x
1
2
x −4
Misal
∫x
dx = ∫
1
2
x 4(
x
− 1)
4
dx =
1
2∫
1
2
dx
⎛ x ⎞
x ⎜ ⎟ − 1
⎝ 2 ⎠
x
u = → du = 12 dx → dx = 2du
2
1
x2 − 4
dx =
1
1
1
1
2
du
=
du
∫
∫
2
2
2 2u u − 1
2 u u −1
1
1
−1
−1 x
= sec | u | +C = sec | | +C
2
2
2
MA1114 KALKULUS I
46
Soal Latihan
A. Tentukan turunan pertama fungsi berikut, sederhanakan jika mungkin
1.
y = (sin −1 x) 2
2.
y = tan −1 (e x )
3.
y = tan −1 x ln x
sec −1 t
4.
f (t ) = e
5.
y = x 2 cot −1 (3x)
6.
y = tan −1 ( x − 1 + x 2 )
MA1114 KALKULUS I
47
B. Hitung
dx
1. ∫ 2
9 x +16
2.
3.
∫ 4x
∫
1/ 2
4.
∫
0
ex
dx
5. ∫ 2 x
e +1
dx
2
x −16
dx
2 − 5x 2
sin −1 x
1− x
2
6.
∫
e2x
4x
dx
1− e
dx
7. ∫
x[4 + (ln x) 2 ]
dx
MA1114 KALKULUS I
48
8.8 Fungsi Hiperbolik
Definisi
a. Fungsi kosinus hiperbolik :
b. Fungsi sinus hiperbolik :
e x + e−x
f ( x) = cosh x =
2
e x − e−x
f ( x) = sinh x =
2
c. Fungsi tangen hiperbolik :
sinh x e x − e − x
f ( x) = tanh x =
= x −x
cosh x e + e
d. Fungsi cotangen hiperbolik :
cosh x e x + e − x
f ( x) = coth x =
= x −x
sinh x e − e
e. Fungsi secan hiperbolik :
f ( x) = sec h x =
f. Fungsi cosecan hiperbolik :
f ( x) = csc h x =
MA1114 KALKULUS I
1
2
= x −x
cosh x e − e
1
2
= x −x
sinh x e + e
49
Persamaan identitas pada fungsi hiperbolik
1.
cosh x + sinh x = e x
cosh x − sinh x = e − x
2
2
4. 1 − tanh x = sec h x
2.
5.
3.
cosh 2 x − sinh 2 x = 1
coth 2 x − 1 = csc h 2 x
Turunan
⎛ e x + e − x ⎞ e x − e − x
⎟⎟ =
Dx (cosh x) = Dx ⎜⎜
= sinh x
2
⎝ 2 ⎠
∫ sinhx dx = coshx + C
⎛ e x − e − x ⎞ e x + e − x
⎟⎟ =
Dx (sinh x) = Dx ⎜⎜
= cosh x
2
⎝ 2 ⎠
∫ cosh xdx = sinhx + C
MA1114 KALKULUS I
50
2
2
sinh x
cosh
x
−
sinh
x
1
2
Dx (tanh x) = Dx (
) =
=
=
sec
h
x
2
2
cosh x
cosh x
cosh x
2
2
2
2
cosh x
sinh
x
−
cosh
x
−
(cosh
x
−
sinh
x)
Dx (coth x) = Dx (
) =
=
sinh x
sinh 2 x
sinh 2 x
−1
2
=
=
−
csc
h
x
2
sinh x
1
− sinh x
Dx (sec hx ) = Dx (
) =
= − sec hx tanh x
2
cosh x
cosh x
Dx (csc hx ) = Dx (
1
− cosh x
) =
= − csc hx coth x
2
sinh x
sinh x
MA1114 KALKULUS I
51
Grafik f(x) = coshx
Diketahui
(i)
e x + e− x
f ( x) = cosh x =
, x∈R
2
x
−x
(ii) f ' ( x) = e − e = ⎧⎨ f ' ( x) < 0 , x < 0
2
⎩ f ' ( x) > 0 , x > 0
f monoton naik pada x > 0
monoton turun pada x < 0
1
(iii)
e x + e−x
f ' ' ( x) =
> 0 , ∀x ∈ R
2
Grafik f selalu cekung keatas
(iv) f(0)=1
MA1114 KALKULUS I
52
Grafik f(x) = sinhx
Diketahui
(i)
e x − e− x
f ( x) = sinh x =
, x∈R
2
e x + e− x
(ii) f ' ( x) =
>0
2
f selalu monoton naik
(iii)
e x − e − x ⎧> 0, x > 0
f ' ' ( x) =
= ⎨
2
⎩< 0, x < 0
Grafik f cekung keatas pada x>0
cekung kebawah pada x<0
(iv) f(0)= 0
MA1114 KALKULUS I
53
Contoh
Tentukan y ' dari
2
1. y = tanh( x + 1)
2. x 2 sinh x + y 2 = 8
Jawab
1.
y ' = sec h 2 ( x 2 + 1) Dx( x 2 + 1) = 2 x sec h 2 ( x 2 + 1)
2.
Dx( x 2 sinh x + y 2 ) = Dx(8)
2 x sinh x + x 2 cosh x + 2 y y ' = 0
2 x sinh x + x 2 cosh x
y' = −
2y
MA1114 KALKULUS I
54
Soal Latihan
A. Tentukan turunan pertama dari
1.
f ( x) = tanh 4 x
2.
g ( x) = sinh 2 x
1 − cosh x
3. g ( x) =
1 + cosh x
4.
h(t ) = coth 1 + t 2
5.
g (t ) = ln(sinh t ))
6.
f ( x) = x cosh x 2
MA1114 KALKULUS I
55
B. Hitung integral berikut
1.
2.
∫ Sinh(1 + 4x)dx
2
sinh
x
cosh
x dx
∫
3.
∫ tanh x dx
4.
sec h 2 x
∫ 2 + tanh x dx
MA1114 KALKULUS I
56