6. teorema integral - FMIPA Personal Blogs

6. TEOREMA INTEGRAL
6.1 Teorema Green di Bidang
Teorema Dasar Kalkulus mengatakan bahwa
Z
b
F 0 (x)dx = F (b) − F (a).
a
Di sini, terdapat hubungan antara integral di ruas kiri dan ”integral” dari batasnya.
Teorema Green di bidang memberi hubungan antara integral lipat dua dan
integral garis pada batasnya.
Teorema: Misal D daerah di bidang dan C lengkungan tertutup ‘sederhana’ (yang
tidak memotong dirinya sendiri) dan mulus bagian demi bagian di D. Misal P (x, y)
dan Q(x, y) dua fungsi yang didefinisikan pada D dan mempunyai turunan parsial
kontinu. Maka
Z Z
I
¡ ∂Q ∂P ´
−
dA =
P dx + Qdy,
∂y
R ∂x
C
dengan R menyatakan daerah tertutup yang dilingkupi oleh C.
Contoh 1. Misal P (x, y) = −y dan Q(x, y) = x, dan C adalah segitiga dengan titik
sudut (0, 0), (2, 0) dan (1, 1). Kita hitung
Z Z
(1 + 1) dA = 2 × luas segi tiga = 2.
R
Sekarang kita hitung integral garis pada C. Pada ruas garis yang menghubungkan
titik (0, 0) dan (2, 0), kita mempunyai
Z
Z
−ydx + xdy = 0dx = 0.
I
55
56
Hendra Gunawan
Selanjutnya, pada ruas garis yang menghubungkan titik (2, 0) dan (1, 1), yang terletak
pada garis y = −x + 2, kita mempunyai
Z
Z 1
Z
−ydx + xdy =
(x − 2)dx + x(−dx) = −2
II
2
1
dx = 2.
2
Sementara itu, pada ruas garis yang menghubungkan titik (1, 1) dan (0, 0), kita mempunyai
Z
Z
0
−ydx + xdy =
Jadi,
III
H
C
−xdx + xdx = 0.
1
−ydx + xdy = 0 + 2 + 0 = 2.
Contoh 2. Luas daerah R yang dibatasi oleh hiposikloid x2/3 + y 2/3 = a2/3 dapat
dihitung sebagai integral garis sebagai
Z Z
I
1
L=
dA =
(−y dx + x dy).
2
R
Dengan parametrisasi x = a cos3 θ dan y = a sin3 θ, kita peroleh (setelah disederhanakan)
Z 2π
3
3πa2
L = a2
.
sin2 θ cos2 θ dθ =
2
8
0
Bentuk Vektor untuk Teorema Green. Jika F = (M, N ) menyatakan medan
vektor, maka
³ ∂ ∂ ´
∂M
∂N
+
=
,
· (M, N ) =: ∇ · F.
∂x
∂y
∂x ∂y
Suku terakhir di ruas kanan, yakni ∇ · F, sering dinotasikan sebagai div F (baca:
divergensi dari F). Teorema Green menyatakan bahwa
Z Z
I
∂M
∂N
+
=
−N dx + M dy.
∂y
R ∂x
C
Integral di ruas kanan dapat dinyatakan sebagai integral terhadap panjang lengkungan
I
I
I
¡
dx
dy ¢
−N dx + M dy =
−N
+M
ds =
F · n ds,
ds
ds
C
C
C
¡
¢
dx
dengan n := dy
ds , − ds menyatakan vektor normal satuan pada lengkungan C. [Di
sini dx2 + dy 2 = ds2 .] Jadi, dalam bentuk vektor, Teorema Green berbunyi
Z Z
I
∇ · F dA =
F · n ds.
R
C
Kalkulus Peubah Banyak
Soal. Hitunglah integral
2
2
H
57
P dx + Qdy dengan menggunakan Teorema Green:
2
1. P = x + y ; Q = x + y; C adalah bujur sangkar dengan titik sudut (±1, ±1).
√
2. P = x2 − y 2 ; Q = xy; R adalah daerah tertutup yang dibatasi oleh y = x dan
y = x2 .
Daerah Terhubung dan Sifat Tak Tergantung pada Lintasan. Daerah D di
bidang dikatakan terhubung apabila setiap dua titik (x0 , y0 ) dan (x1 , y1 ) di D dapat
dihubungkan oleh suatu ruas garis yang sepenuhnya terletak di D.
R (x ,y )
Pertanyaan kita sekarang adalah: apakah (x01,y01) P (x, y) dx + Q(x, y) dy tergantung pada lintasan (yang menghubungkan (x0 , y0 ) dan (X1 , y1 ))?
Teorema. Misal F = (P, Q) medan vektor pada daerah terhubung D dan T vektor
singgung satuan. Maka, integral
Z (x1 ,y1 )
Z (x1 ,y1 )
F · T ds =
P dx + Q dy
(x0 ,y0 )
(x0 ,y0 )
tak tergantung pada lintasan jika dan hanya jika terdapat φ sehingga
∂Q
∂φ
= P dan
= Q.
∂x
∂y
Dalam hal ini, F merupakan medan konservatif dan φ disebut fungsi potensial.
Bukti (⇐). Jika terdapat φ demikian, maka
Z (x1 ,y1 )
Z t1 ³
∂φ dx ∂φ dy ´
+
dt
P dx + Q dy =
∂x dt
∂y dt
(x0 ,y0 )
t0
Z t1
dφ
=
t0 dt
= φ|t=t1 − φ|t=t0
= φ((x1 , y1 )) − φ((x0 , y0 )).
Contoh 3. Untuk P = y dan Q = x, maka
Z (5,6)
Z (5,6)
(5,6)
y dx + x dy =
d(xy) = xy|(1,2) = 30 − 2 = 28.
(1,2)
(1,2)
Teorema (Sifat Tak Tergantung pada Lintasan). Misal P dan Q mempunyai turunan
R (x ,y )
parsial kontinu di D dan (x01,y01) P dx + Q dy tidak tergantung pada lintasan. Maka,
∂Q
∂P
∂y = ∂y untuk setiap titik di D.
58
Hendra Gunawan
Bukti. Menurut Teorema Green dan teorema di atas, jika C adalah lengkungan
tertutup dan R adalah daerah yang dilingkupinya, maka
Z
Z Z ³
∂Q ∂P ´
P dx + Q dy =
−
= 0.
∂y
C
R ∂x
Akibatnya,
∂Q
∂x
=
∂P
∂y
pada R.
Catatan. Kebalikan dari teorema di atas tidak berlaku: dapat terjadi
R (x ,y )
D, namun (x01,y01) P dx + Q dy bergantung pada lintasan.
∂Q
∂x
=
∂P
∂y
di
x
Soal (untuk didiskusikan dalam kelompok). Misalkan P = x2−y
+y 2 dan Q = x2 +y 2 .
R
(1,1)
∂P
Tunjukkan bahwa ∂Q
∂x = ∂y , tetapi (−1,−1) P dx + Q dy tergantung pada lintasan.