hukum gauss - SI-35-02

Hand Out Fisika II
HUKUM GAUSS
Fluks Listrik
Permukaan tertutup
Hukum Gauss
Konduktor dan Isolator
1 March 2007
1
Hand Out Fisika II
Garis gaya oleh muatan titik
+
1 March 2007
-
2
Hand Out Fisika II
Garis gaya akibat dipol
+
1 March 2007
-
3
Hand Out Fisika II
Fluks Listrik
„
„
Definisi: banyaknya garis gaya listrik yang menembus suatu
permukaan
Untuk permukaan dA yang tegak lurus dengan arah medan,
jumlah garis gaya yang menembus permukaan itu adalah
dΦ = EdA
„
Total garis gaya yang
menembus permukaan A
dA
Φ = ∫ dΦ = ∫ EdA
A
A
= E ∫ dA = EA
A
E
A
1 March 2007
4
Hand Out Fisika II
Fluks untuk sembarang permukaan
„
Untuk sembarang permukaan dA dengan arah
tidak tegak lurus medan
r r
dΦ = E • dA
dA
Fluks total untuk
permukaan S
E
S
Φ = ∫ dΦ
S
r r
= ∫ E • dA
S
1 March 2007
5
Hand Out Fisika II
Contoh soal
„
Sebuah medan listrik dinyatakan dalam persamaan .
r
E = 2iˆ + 4 ˆj Tentukan fluks yang menembus permukaan
r
r
a. S = 10kˆ
b. S = −10kˆ
r
r
c. S = 10 ˆj
d. S = −10 ˆj
r
r
e. S = 10iˆ
f. S = −10iˆ
„
Solusi
Karena medan homogen di seluruh permukaan yang
ditinjau, maka fluks dapat dituliskan dalam bentuk
∫
r
r
r r
E • dA → E • S
S
1 March 2007
6
Hand Out Fisika II
Solusi contoh soal
r r
Φ = E • A = (2iˆ + 4 ˆj ) • 10kˆ = 0
a.
r r
b. Φ = E • A = (2iˆ + 4 ˆj ) • −10kˆ = 0
r r
c. Φ = E • A = (2iˆ + 4 ˆj ) •10 ˆj = 40
r r
d. Φ = E • A = (2iˆ + 4 ˆj ) • −10 ˆj = −40
r r
e. Φ = E • A = (2iˆ + 4 ˆj ) • 10iˆ = 20
r r
f. Φ = E • A = (2iˆ + 4 ˆj ) • −10iˆ = −20
1 March 2007
7
Hand Out Fisika II
Fluks, muatan Q, permukaan terbuka S
Fluks yang keluar dari
permukaan S
r
Φ = ∫ E • dSnˆ1
S
E
n̂1
dS
S
1 March 2007
8
Hand Out Fisika II
Permukaan tertutup, muatan Q diluar
n̂3
+
− n̂2
− n̂1
n̂1 dA
n̂2
− n̂3
1 March 2007
9
Hand Out Fisika II
Perhitungan fluks Q diluar permukaan
„
„
Perhatikan arah normal permukaan dan arah
medan listrik
Fluks total pada kubus mempunyai nilai:
r r
Φ = ∫ E • dA
S
r
r
= ∫ E • dAnˆ1 + ∫ E • dA(− nˆ1 ) +
S
S
r
r
∫ E • dAnˆ2 + ∫ E • dA(−nˆ2 ) +
S
S
S
S
r
r
∫ E • dAnˆ3 + ∫ E • dA(−nˆ3 )
= Φ1 − Φ 1 + 0 − 0 + 0 − 0
=0
1 March 2007
10
Hand Out Fisika II
Permukaan tertutup, Q di dalam
n̂3
− n̂2
− n̂1
n̂1 dA
n̂2
− n̂3
1 March 2007
11
Hand Out Fisika II
Perhitungan fluks Q di dalam
„
„
Perhatikan arah normal permukaan dan arah medan
listrik
Fluks total pada kubusr mempunyai nilai:
r
Φ = ∫ E • dA
S
r
r
= ∫ E • dAnˆ1 + ∫ E • dA(− nˆ1 ) +
S
S
r
r
∫ E • dAnˆ2 + ∫ E • dA(−nˆ2 ) +
S
S
S
S
r
r
∫ E • dAnˆ3 + ∫ E • dA(−nˆ3 )
= Φ1 + Φ1 + Φ 2 + Φ 2 + Φ 3 + Φ 3
≠0
1 March 2007
12
Hand Out Fisika II
Hukum Gauss
„
Besar fluks atau garis gaya listrik yang keluar dari
suatu permukaan tertutup sebanding muatan yang
dilingkupi oleh luasan tertutup tersebut
r
r
q
∫ E • dS =
ε0
„
Prinsip untuk menggunakan teorema Gauss dengan
mudah
‰
‰
‰
Pilih permukaan yang medan listrik di permukaan tersebut
homogen
Tentukan muatan yang dilingkupi permukaan tersebut
Tentukan arah medan terhadap arah normal permukaan.
1 March 2007
13
Hand Out Fisika II
Permukaan Gauss Berbentuk Bola
„
Untuk muatan titik dan bola
E dA
1 March 2007
14
Hand Out Fisika II
Permukaan Gauss Berbentuk Silinder
„
„
Kawat dan silinder panjang tak berhingga
dA E
dA E
Medan homogen di seluruh permukaan selimut silnder.
Arah medan radial searah dengan normal permukaaan
selimut silinder untuk muatan positip dan berlawanan
untuk muatan negatip
1 March 2007
15
Hand Out Fisika II
Permukaan Gauss Berbentuk Balok
„
Plat tipis luas tak berhingga
E
Medan homogen
pada tutup balok,
arah sama dengan
normal tutup balok
E
1 March 2007
16
Hand Out Fisika II
Medan akibat sebuah muatan titik
E
dA
r r q
∫ E • dA =
ε0
q
∫ EdA = ε
E ∫ dA =
E 4πr =
2
0
q
ε0
q
ε0
q
E=
4πr 2ε 0
1 March 2007
17
Hand Out Fisika II
Konduktor dan Isolator
„
„
Di dalam konduktor, muatan bebas bergerak
Jika diberi muatan tambahan dari luar → muncul
medan listrik → muatan bergerak menghasilkan
arus internal → terjadi distribusi ulang muatan
tambahan dari luar hingga tercapai keseimbangan
elektrostatis → medan listrik di dalam konduktor
menjadi nol → menurut hukum Gauss berarti
muatan di dalam konduktor nol,muatan tambahan
dari luar tersebar di permukaan konduktor
1 March 2007
18
Hand Out Fisika II
„
„
„
„
Waktu yang diperlukan untuk mencapai
keseimbangan elektrostatis pada koduktor sangat
cepat
Medan listrik di dalam konduktor boleh dianggap
selalu nol dan muatan dari luar selalu ada di
permukaan konduktor
Di dalam isolator muatan tidak bebas bergerak
Muatan tambahan dari luar akan terdistribusi
merata dalam isolator
1 March 2007
19
Hand Out Fisika II
Bola konduktor pejal positip
„
Tinjau suatu bola konduktor pejal dengan jari-jari
R dan muatan Q
E
dA
•Muatan hanya tersebar
di permukaan bola saja
•Medan listrik di dalam
bola (r<R) nol
1 March 2007
20
Hand Out Fisika II
Medan listrik di luar bola konduktor
„
„
Untuk r>R, total muatan yang dilingkupi
permukaan Gauss adalah Q
Hukum Gauss untuk kasus bola konduktor
pejal:
r r q
Q
∫ E • dS = → E ∫ dS =
ε0
E 4πr =
2
„
Q
ε0
→E=
ε0
Q
4πε 0 r
2
Dengan r>R
1 March 2007
21
Hand Out Fisika II
Bola isolator pejal
„
„
Isolator: muatan tersebar merata di seluruh
volum isolator
Di dalam bola
r r q
∫ E • dS =
ε0
r
r
r3
E ∫ dS =
Q
3
ε0R
R
E 4πr =
r3
2
q=
1 March 2007
3
4
π
r
3
3
4
π
R
3
Q=
r3
R
3
Q
E=
ε0R
r
4πε 0 R
3
3
Q
Q
22
Hand Out Fisika II
Bola isolator pejal (2)
„
Medan di luar
r r Q
∫ E • dS =
ε0
E ∫ dS =
r
R
Q
ε0
E 4πr =
2
q=Q
1 March 2007
E=
Q
ε0
Q
4πε 0 r 2
23
Hand Out Fisika II
Medan listrik pada bola isolator berongga
πr 3 − 43 πR13
q=
Q
3
3
4
πR 2 − 3 πR1
4
3
4
3
r
r
q
∫ E • dS =
ε0
R2
R1
r
πr 3 − 43 πR13
1
E ∫ dS =
Q
3
3
4
πR 2 − 3 πR1 ε 0
4
3
4
3
r 3 − R13
Q
E= 3
R 2 − R13 4πε 0 r 2
1 March 2007
24
Hand Out Fisika II
Bola bermuatan negatip
„
Pada prinsipnya sama dengan bola bermuatan positip
hanya arah medan listriknya masuk menuju pusat bola
dA
E
r r −Q
∫ E • dS =
ε0
∫ EdS cos180 =
E 4πr =
2
E=
1 March 2007
−Q
ε0
Q
ε0
Q
4πε 0 r 2
25
Hand Out Fisika II
Dua bola, jenis muatan beda
„
Sebuah bola tipis jari-jari a bermuatan 2Q. Di
dalam bola tipis diletakkan bola pejal konduktor
berjari-jari b dan bermuatan –3Q.
b
1 March 2007
a
Medan listrik untuk daerah
r<a ditentukan dengan
cara yang sama dengan
contoh mencari medan
pada bola pejal
26
Hand Out Fisika II
Medan untuk r>a
•Dibuat permukaan Gauss berbentuk bola
dengan jari-jari r>a
•Total muatan yang dilingkupi permukaan Gauss:
q=2Q+(-3Q)=-Q
•Medan akibat muatan -Q
r r q
−Q
∫ E • dS = → ∫ EdS cos180 =
ε0
E 4πr =
2
1 March 2007
Q
ε0
→E=
ε0
Q
4πε 0 r 2
27
Hand Out Fisika II
Medan listrik akibat kawat lurus
„
„
„
Permukaan Gauss berbentuk silinder
Untuk muatan positip arah medan listrik radial keluar
dari pusat silinder
Untuk muatan negatip arah medan listrik radial masuk
menuju pusat silinder
E
dA
1 March 2007
28
Hand Out Fisika II
Medan akibat kawat tak berhingga
Fluks medan listrik yang menembus permukaan silinder
r r
r r
r r
r r
∫ E • dS = ∫ tutup E • dS + ∫ se lubung E • dS + ∫ tutup E • dS
= ∫ tutup EdS cos 90 + ∫ se lub ung EdS cos 0
+ ∫ tutup EdS cos 90
= E 2πrl
Jika panjang kawat L, muatan total Q, maka muatan yang
dilingkupi oleh silinder:
Q
q = l = λl
L
1 March 2007
29
Hand Out Fisika II
Hukum Gauss untuk kawat sangat panjang
„
Penentuan medan listrik
r r q
∫ E • dS =
ε0
Q
l
E 2πrl =
ε0L
E=
Q
2πε 0 rL
λ
=
2πε 0 r
1 March 2007
30
Hand Out Fisika II
Contoh soal untuk kawat panjang (1)
„
Tentukan medan listrik dan gambarkan arahnya pada
titik A dan B yang berjarak 20 cm dari kawat dengan
rapat muatan λ=10 mC/m seperti pada gambar.
•A
•B
„
Solusi :
λ
10.10 −3 0,1 0,025
N/C
E=
=
=
=
π
2πr 2π (0,2) 4π
1 March 2007
31
Hand Out Fisika II
Contoh soal untuk kawat panjang (2)
„
Tentukan medan listrik dan gambarkan arahnya pada
titik A dan B yang berjarak 20 cm dari kawat dengan
rapat muatan λ=-10 mC/m seperti pada gambar.
•A
•B
„
Solusi :
λ
10.10 −3 0,1 0,025 N/C
E=
=
=
=
π
2πr 2π (0,2) 4π
1 March 2007
32
Hand Out Fisika II
Medan listrik karena dua kawat sejajar
„
Dua buah kawat pajang tak berhingga diberi muatan
masing-masing dengan rapat muatan λ dan -2 λ. Jarak
kedua kawat a. Tentukan medan listrik pada titik P yang
berjarak b dari kawat -2Q.
λ
-2λ
r
r
r
Etotal = E −2 λ + E λ
E-2λ
a
1 March 2007
b
Eλ
P
Etotal = E − 2 λ − E λ
2λ
2λ
=
−
2πε 0 (b ) 2πε 0 ( a + b )
33
Hand Out Fisika II
Medan listrik akibat silinder
„
„
„
„
Misalkan silinder konduktor berjari-jari R ,
panjangnya L, dan bermuatan Q.
Permukaan Gauss berbentuk silinder dengan
jari-jari r dan panjang L seperti kawat panjang
tak berhingga
Untuk muatan positip, medan listrik berarah
radial meninggalkan sumbu pusat silinder
Untuk muatan negatip, medan listrik berarah
radial menuju sumbu pusat silinder
1 March 2007
34
Hand Out Fisika II
Permukaan Gauss pada silinder
„
Muatan positip
r r q
∫ E • dA =
ε0
q
∫ EdA cos 0 = ε
dA
1 March 2007
E
E ∫ dA =
0
q
ε0
35
Hand Out Fisika II
Permukaan Gauss pada silinder
„
Muatan negatif
r r q
∫ E • dA =
ε0
−q
∫ EdA cos 0 = ε
dA
1 March 2007
E
E ∫ dA =
0
q
ε0
36
Hand Out Fisika II
Medan listrik pada silinder konduktor pejal
„
Di dalam konduktor
‰
Muatan yang dilingkupi permukaan Gauss =0 karena
pada konduktor muatan hanya tersebar di permukaan
konduktor saja. Dengan demikian, medan listrik di
dalam konduktor E=0
1 March 2007
37
Hand Out Fisika II
Medan listrik akibat silinder konduktor pejal
„
Di luar konduktor
‰
Muatan yang dilingkupi permukaan Gauss
q=Q
1 March 2007
38
Hand Out Fisika II
Medan akibat silinder konduktor
„
Medan listrik di luar silinder konduktor
r r q
∫ E • dA =
ε0
E ∫ dA =
E 2πrL =
E=
1 March 2007
Q
ε0
Q
ε0
Q
2πε 0 Lr
39
Hand Out Fisika II
Medan listrik pada silinder isolator pejal
„
Di dalam isolator
‰
Muatan yang dilingkupi permukaan Gauss
r2
πr 2 L
q= 2 Q= 2Q
R
πR L
1 March 2007
40
Hand Out Fisika II
Silinder isolator pejal
„
Medan listrik di dalam isolator (r<R)
r r q
∫ E • dA =
ε0
r2
E ∫ dA =
Q
2
ε0R
r2
Q
E 2πrL =
2
ε0R
r
Q
E=
2
2πε 0 R L
1 March 2007
41
Hand Out Fisika II
Silinder isolator pejal (2)
„
Medan di luar silinder (r>R)
r r q
∫ E • dA =
ε0
E ∫ dA =
E 2πrL =
E=
1 March 2007
Q
ε0
Q
ε0
Q
2πε 0 Lr
42
Hand Out Fisika II
Silinder Isolator Berongga
„
Jari-jari dalam silinder a, jari-jari luar b, muatan Q,
dan panjang silinder L
„
Untuk r<a, E=0, karena q=0
1 March 2007
43
Hand Out Fisika II
Silinder isolator berongga (2)
„
Untuk r>b, semua muatan terlingkupi oleh permukaan
Gauss ( q=Q), sehingga medan di luar silinder adalah:
E=
„
Q
2πε 0 Lr
Untuk a<r<b, dibuat permukaan Gauss berbentuk
silinder dengan jari-jari a<r<b dan panjang L
‰
Muatan yang dilingkupi
q = ρ silinderVGauss
1 March 2007
2
2
(
−
)
Q
r
a
2
2
= 2
πr L − πa L = 2 2 Q
2
(b − a )
πb L − πa L
44
Hand Out Fisika II
Bola isolator berongga
Medan listrik untuk a<r<b
r r q
∫ E • dA =
ε0
(r 2 − a 2 )Q
E ∫ dA =
ε 0 (b 2 − a 2 )
(r 2 − a 2 )Q
E 2πrL =
ε 0 (b 2 − a 2 )
(r 2 − a 2 )Q
E=
2πε 0 (b 2 − a 2 ) Lr
1 March 2007
45
Hand Out Fisika II
Dua silinder dengan muatan berbeda
„
„
Silinder pejal isolator berjari-jari a, panjang c, dan
bermuatan 3Q berada dalam suatu silinder berongga
yang jari-jari dalamnya b, jari-jari luarnya d,
panjangnya c, dan bermuatan –Q.
Di dalam isolator (r<a)
r2
πr 2 c
q = 2 3Q = 2 3Q
a
πa c
r ( r 2 / a 2 )3Q
r
3Qr 2
3Qr
→ E 2πrc =
→E=
2
∫ E • dS = ε 0
ε 0a
2πa 2 cε 0
1 March 2007
46
Hand Out Fisika II
Di antara isolator dan konduktor (a<r<b)
r r 3Q
3Q
∫ E • dS = → E 2πrc = → E =
ε0
ε0
3Q
2πrcε 0
Di dalam konduktor (b<r<d): E=0
Di luar kondukto (r>d)
r r 2Q
2Q
∫ E • dS = → E 2πrc = → E =
ε0
1 March 2007
ε0
2Q
2πrcε 0
47
Hand Out Fisika II
Medan listrik Akibat Plat Tipis Positip
„
Misal: Luas Plat A dan rapat muatan per satuan luas σ
E
A
Q
q = S = σS
A
S
E
1 March 2007
48
Hand Out Fisika II
Perhitungan medan listrik akibat plat tipis (1)
r
r
r
r
r
r
r
r
∫ E • dS = ∫ tutup E • dS + ∫ se lub ung E • dS + ∫ tutup E • dS
= ES + 0 + ES
= 2 ES
r r q
∫ E • dA =
ε0
σS
E 2S =
ε0
σ
E=
2ε 0
1 March 2007
49
Hand Out Fisika II
Medan listrik Akibat Plat Tipis Negatip
„
Misal: Luas Plat A dan rapat muatan per satuan luas -σ
E
A
−Q
q=
S = −σS
A
S
E
1 March 2007
50
Hand Out Fisika II
Perhitungan medan listrik akibat plat tipis(2)
r r
r r
r r
r r
∫ E • dS = ∫ tutup E • dS + ∫ se lubung E • dS + ∫ tutup E • dS
= − ES + 0 − ES
= −2 ES
r r q
∫ E • dA =
ε0
− σS
E (−2 S ) =
ε0
σ
E=
2ε 0
1 March 2007
51
Hand Out Fisika II
Medan listrik akibat dua plat tipis
„
Dua plat tipis luas tak berhingga masing-masing
mempunyai rapat muatan σ dan - σ. Medan listrik di
sekitar plat tersebut dapat dianalisis seperti gambar di
bawah ini
σ
-σ
E1
Eσ = E −σ =
σ
2ε 0
E2
E3
r
E1 = Eσ ( − iˆ) + E −σ (i ) = 0
r
σ
ˆ
E 2 = Eσ (i ) + E −σ (i ) =
ε0
r
E 3 = Eσ (iˆ) + E −σ ( − i ) = 0
1 March 2007
52
Hand Out Fisika II
Medan akibat 3 plat tipis
„
Tiga buah plat tipis masing-masing bermuatan σ, -σ,
dan 2σ. Medan di sekitar plat bisa dicari dengan cara
berikut
-σ
2σ
σ
x=2
x=4
x=7
r
r
r
r
Etotal = Eσ + E−σ + E2σ
1 March 2007
53
Hand Out Fisika II
Medan listrik akibat 3 plat tipis (2)
r
E ( x < 2) = Eσ (−iˆ) + E−σ (iˆ) + E2σ (iˆ)
σ ˆ σ ˆ 2σ ˆ
=−
i+
i+
i
2ε 0
2ε 0
2ε 0
σ ˆ
=
i
2ε 0
r
E (4 < x < 7) = Eσ (iˆ) + E−σ (−iˆ) + E2σ (iˆ)
σ ˆ σ ˆ 2σ ˆ
=
i−
i−
i
2ε 0
2ε 0
2ε 0
2σ ˆ
=−
i
2ε 0
1 March 2007
r
E (2 < x < 4) = Eσ (iˆ) + E−σ (iˆ) + E2σ (iˆ)
=
σ ˆ σ ˆ 2σ ˆ
i+
i+
i
2ε 0
2ε 0
2ε 0
4σ ˆ
=
i
2ε 0
r
E ( x > 7) = Eσ (iˆ) + E−σ (−iˆ) + E2σ (iˆ)
=
σ ˆ σ ˆ 2σ ˆ
i−
i+
i
2ε 0
2ε 0
2ε 0
2σ ˆ
=
i
2ε 0
54
Hand Out Fisika II
Muatan induksi
„
Muatan muncul akibat pengaruh medan listrik
eksternal
-σ´
σ´
σ
+
E
+
E’
+
+
+
-
E
logam netral
„
Di dalam tipis logam: E+E´=0
1 March 2007
σ
σ'
i
−i
=0
2ε 0
ε0
σ '=
σ
2
55
Hand Out Fisika II
Logam ditanahkan
„
Ditanahkan artinya dihubungkan dengan sumber
muatan yang sangat besar. Bagian yang terhubung
ditanahkan akan bermuatan netral.
σ’
σ
E’
E
-
E’
E
1
1 March 2007
2
3
4
56
Hand Out Fisika II
„
„
Di dalam logam (daerah 3) medan listrik total nol
Karena ditanahkan, daerah 4 medan listriknya juga nol
r
r r´
E3 = E + E = 0
σ ' = −σ
1 March 2007
57