Aljabar Linear Elementer

Aljabar Linear Elementer
MA1223
3 SKS
Silabus :
Bab
Bab
Bab
Bab
Bab
Bab
Bab
Bab
I
Matriks dan Operasinya
II Determinan Matriks
III Sistem Persamaan Linear
IV Vektor di Bidang dan di Ruang
V Ruang Vektor
VI Ruang Hasil Kali Dalam
VII Transformasi Linear
VIII Ruang Eigen
13/02/2014 9:17
1
Determinan Matriks
Sub Pokok Bahasan
– Permutasi dan Determinan Matriks
– Determinan dengan OBE
– Determinan dengan Ekspansi Kofaktor
Beberapa Aplikasi Determinan
 Solusi SPL
 Optimasi
 Model Ekonomi
 dan lain-lain.
13/02/2014 9:17
2
Permutasi dan Definisi Determinan Matriks
Permutasi  susunan yang mungkin dibuat dengan
memperhatikan urutan
Contoh :
Permutasi dari {1, 2, 3} adalah
(1,2,3), (1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)
Invers dalam Permutasi
Jika bilangan yang lebih besar mendahului bilangan
yang lebih kecil dalam urutan permutasi
13/02/2014 9:17
3
Permutasi Genap  Jumlah invers adalah bil. genap
Permutasi Ganjil  Jumlah invers adalah bil. ganjil
Contoh :
Jumlah invers pada permutasi dari {1, 2, 3}
(1,2,3)  0 + 0 = 0  genap
(1,3,2)  0 + 1 = 1  ganjil
(2,1,3)  1 + 0 = 1  ganjil
(2,3,1)  1 + 1 = 2  genap
(3,1,2)  2 + 0 = 2  genap
(3,2,1)  2 + 1 = 3  ganjil
Bilangan yang lebih dari 3: 2 dan 12, yang lebih dari 2: 11
13/02/2014 9:17
4
Definisi Determinan Matriks
 a11

 a11
A


a
 n1
a11
a11

an1
 a1n 

 a2 n 
  

 ann 
Hasil kali elementer A  hasilkali n buah unsur A tanpa
ada pengambilan unsur dari baris/kolom yang sama.
Contoh :
 a11 a12

A   a21 a22
a
 31 a32
a13 

a23 
a33 
Ada 6 (3!) hasil kali elementer dari matriks A, yaitu:
a11 a22 a33, a11 a23 a32 , a12 a21 a33 ,
a12 a23 a31 , a13 a21 a32 , a13 a22 a31
Perhatikan angka kedua saja, misal: a12 a23 a31  (2,3,1)
13/02/2014 9:17
5
Hasil kali elementer bertanda
a11 a22 a33
Perhatikan…
– a11 a23 a32
Tanda (+/-) muncul sesuai hasil
– a12 a21 a33
klasifikasi permutasi indeks kolom,
a12 a23 a31
yaitu : jika genap  + (positif)
jika ganjil  - (negatif)
a13 a21 a32
– a13 a22 a31
Jadi, Misalkan Anxn maka determinan dari matriks A
didefinisikan sebagai jumlah dari semua hasil kali
elementer bertanda matriks tersebut.
Notasi : Det(A) atau |A|
13/02/2014 9:17
6
Contoh :
Tentukan Determinan matriks
 a11 a12

A   a21 a22
a
 31 a32
a13 

a23 
a33 
Jawab :
Menurut definisi :
Det(A3x3) = a11 a22 a33 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 +
a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31
atau
a11 a12 a13 a11 a12
A  a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a23
13/02/2014 9:17
MA-1223 Aljabar Linear
7
Contoh :
Tentukan determinan matriks
2  1
 3


B 1
1
0
 2  2 1 


Jawab :
2
3
2 1 3
det B   1
1
0
1
1
2 2 1 2 2
 (3)(1)(1)  (2)(0)(2)  (1)(1)(2)  (1)(1)(2)  (3)(0)(2)  (2)(1)(1)
 3 0 2 20 2
1
13/02/2014 9:17
8
Menghitung Determinan dengan OBE
Perhatikan :
a.
1 2
  3
det
 0 3
b.
c.
1 2 3
0 4 5  24
0 0 6
 1 0 0


det 4 5 0   45
7 8 9


13/02/2014 9:17
Dengan mudah…
Karena hasil kali elementer bertanda
selain unsur diagonal adalah nol
Det(A) =
Hasilkali unsur diagonal?
Hitung Det.
Matriks Bukan
Segitiga???
9
Perlu OBE untuk menentukan determinan
suatu matriks yang bukan segitiga.
Caranya :
Matriks bujur sangkar ~ OBE ~ matriks segitiga
Berikut ini adalah pengaruh OBE pada nilai determinan
suatu matriks, yaitu :
1. Jika matriks B berasal dari matriks A dengan satu kali
pertukaran baris maka Det (B) = - Det (A)
Contoh :  2 1
A 3

A  
1
maka
13/02/2014 9:17
1
  1 1

B  
 2 1
1
B
2
1
 3   A
1
10
2.
Jika matriks B berasal dari matriks A dengan
mengalikan satu baris dengan konstanta k, maka
Det (B) = kDet (A)
Contoh :  2 1
A 3

A  
dan
1
1
 2
B  
 2
1

2
maka
2
2 1
B
 2
2 2
1
13/02/2014 9:17
1
2A 6
1
11
3.
Jika matriks B berasal dari matriks A dengan
perkalian sebuah baris dengan konstanta
tak nol k lalu dijumlahkan pada baris lain
maka Det (B) = Det (A)
Contoh 3 :
1 3 

A  
 2  6
A  12
Perhatikan
1 3
1
3

0  12
2 6
OBE yang dilakukan pada matriks
tersebut adalah –2b1 + b2
 -12
13/02/2014 9:17
12
Contoh 3 :
Tentukan determinan matriks berikut :
2 1 0


A1 2 1 
0 1 2


Jawab :
2 1 0
A 1 2 1
0 1 2
1 2 1
 2 1 0
0 1 2
13/02/2014 9:17
pertukaran baris ke - 1 dan ke - 2
13
1 2 1
A   0 -3 -2
0 1 2

1 2 1
0 1 2
0 -3 -2
1
 0
0
= 4
13/02/2014 9:17
2 1
1 2
0 4
 2b1  b2
Pertukaran baris ke - 2 dan ke - 3
3b2  b3
(hasil perkalian semua unsur diagonalnya)
14
Determinan dengan ekspansi kofaktor
Misalkan
 a11 a12 ... a1n 


 a 21 a 22 ... a 2 n 
A
:
:
: 


 a a ... a 
nn 
 n1 n 2
Beberapa definisi yang perlu diketahui :
•
Mij disebut Minor- ij yaitu determinan matriks A
dengan menghilangkan baris ke_i dan kolom ke-j
matriks A.
Contoh :
2 1 0


A1 2 1 
0 1 2


13/02/2014 9:17
1
2
maka M 13 
1
0
1
15
•
Cij Matrik dinamakan kofaktor - ij yaitu (-1)i+j Mij
Contoh :
2 1 0


A1 2 1 
0 1 2


maka
C12   1
2 1
1
1
0
2
= (– 1)3 .2
=–2
13/02/2014 9:17
MA-1223 Aljabar Linear
16
Secara umum, cara menghitung determinan dengan
ekspansi kofaktor :
• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang
baris ke-i
det (A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + . . . + ain Cin
• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang
kolom ke-j
det (A) = a1j C1j + a2j C2j + . . . + anj Cjn
Contoh 6 :
Hitunglah Det(A) dengan ekspansi kofaktor :
2 1 0 


A1 2 1 
0 1 2 


13/02/2014 9:17
17
Jawab :
Misalkan, kita akan menghitung det (A) dengan
ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-3
2 1 0
A 1 2 1
0 1 2
3
det( A) 
 a3 j c3 j
j 1
= a31 C31 + a32 C32 + . . . + a3n C3n
 0  1 (1)3 2
2
1
0
2
33
 2 (1)
1
1
1
2
=0–2+6
=4
13/02/2014 9:17
18
Menghitung det (A) dengan ekspansi kopaktor
sepanjang kolom ke-3
2 1 0
A 1 2 1
0 1 2
3
det( A)   ai 3ci 3
i 1
= a13 C13 + a23 C23 + . . . + an3 Cn3
 0  1 (1) 23
2
0
1
2
 2 (1)33
1
1
1
2
=0–2+6
=4
13/02/2014 9:17
19
Misalkan An x n dan Cij adalah kofaktor aij,
maka
 C11 C12

C22
C
C   21



C
 n 2 Cn 2
 C1n 

 C1n 
  

 Cnn 
dinamakan matriks kofaktor A.
Transpos dari matriks ini dinamakan adjoin A,
notasi adj(A).
adj ( A)  C T 
13/02/2014 9:17
 C11 C21

 C12 C22
 


C
 1n C2 n
 Cn1 

 Cn1 
  

 Cnn 
20
Misalkan A punya invers
maka
A1 
1
adj ( A)
det( A)
A mempunyai invers jika dan hanya jika det (A)  0.
Beberapa sifat determinan matriks adalah :
1. Jika A adalah sembarang matriks kuadrat, maka
det (A) = det (At)
2. Jika A dan B merupakan matriks kuadrat berukuran
sama, maka :
det (A) det (B) = det (AB)
3. Jika A mempunyai invers maka :
1
det( A ) 
det( A)
1
13/02/2014 9:17
21
Contoh :
Diketahui
1 0 1


A   1 -1 0 
 0 2 1


Tentukan matriks adjoin A
Jawab :
Perhatikan bahwa
c11  (1)
11
1 0
 1
2 1
c12  (1)
1 2
1
1 0
1 3 1
c

(

1
)
2
 1 13
0 2
0 1
c21  2, c22  1, c23  2, c31  1, c32  1, dan c33  1.
13/02/2014 9:17
22
Sehingga matriks kofaktor dari A :
 -1

C  2
 1

-1
1
1
2 

- 2
- 1 
Maka matriks Adjoin dari A adalah :
 -1

T
adj ( A)  C   - 1
 2

13/02/2014 9:17
2
1
-2
1

1
- 1 
23
Latihan Bab 2
1. Tentukan determinan matriks dengan
OBE dan ekspansi kofaktor
2 1 1


P   1 2 1  dan
1 1 2


 3  2 0


Q   0 1 0
  4 4 1


2. Diketahui :
 2 1 0


A   3 4 0
 0 0 2


dan
 1 1 3


B  7 1 2
5 0 1


Tunjukan bahwa : det (A) det (B) = det (AB)
13/02/2014 9:17
24
3. Diketahui :
 1 5 k


D   1 0 1 
 3 k 4


Tentukan k jika det (D) = 29
4. Diketahui matriks
1 0

A  2 1
3 4

0

0
5 
Jika B = A-1 dan At merupakan transpos dari A.
Tentukan nilai
x
13/02/2014 9:17
 
det A t B 
det 2 A2  det 5B 
25