Integral Fungsi Trigonometri

Matematika Dasar
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
Bentuk integral yang dicakup disini adalah bentuk integral dari ∫ f ( x ) dx dengan
f(x) merupakan fungsi :
m
n
• sin x cos x
m
n
m
n
• tan x sec x , cot x csc x
m
n
• tan x cot x
• sin (mx) cos (nx), sin (mx) sin(nx), cos (mx) cos (nx)
Integral bentuk ∫ cosn x dx & ∫ sinn x dx dengan n ∈ B .
+
n
n
n-1
Misal n bilangan ganjil. Maka sin x dan cos x difaktorkan menjadi sin x sin x
n-1
dan cos x cos x dengan (n-1) merupakan bilangan genap. Untuk mencari solusi
digunakan identitas sin2 x + cos2 x = 1 dan dengan substitusi integrasi.
Contoh
∫ sin3 x dx = ∫ sin2 x sin x dx = − ∫ (1 − cos2 x ) d (cos x ) = cos x − 3 cos3 x + C
1
n
n
Sedang untuk n bilangan genap , maka sin x dan cos x diuraikan sehingga
menjadi
jumlah
suku-suku
dalam
cosinus,
yaitu
digunakan
identitas
cos 2x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x .
Contoh.
2
∫ cos x dx = ∫ 2 (1 + cos 2 x) dx = 2 x + 4 sin 2x + C
1
1
1
Bentuk integral ∫ sinn x dx dan ∫ cosn x dx dapat juga dihitung dengan rumus
reduksi, yaitu integral di atas dinyatakan dalam suku-suku dari integral yang sejenis
namun untuk pangkat yang lebih rendah. Disini akan diberikan rumus reduksi untuk
n
∫ cos x dx sebagai berikut :
Misal
cosn x = cosn −1 x cos x ,
u = cosn −1 x & dv = cos x dx .
du = −( n − 1) cosn −2 x sin x dx & v = sin x
Dengan mengunakan metode integral bagian didapatkan :
n
n −1
∫ cos x dx = ∫ cos x cos x dx = ∫ u dv = uv − ∫ v du
= cos n −1 x sin x + ( n − 1) ∫ sin2 x cosn − 2 x dx
(
)
= cos n −1 x sin x + ( n − 1) ∫ 1 − cos2 x cosn − 2 x dx
= cos n−1 x sinx + ( n − 1) ∫ cosn − 2 x dx − ( n − 1) ∫ cosn x dx
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Maka
Matematika Dasar
Bila suku paling kanan dipindahkan ke ruas kiri maka didapatkan:
n∫ cos n x dx = cosn −1 x sinx + ( n − 1) ∫ cosn − 2 x dx
atau
n x dx = 1 cosn −1 x sin x + n − 1 cosn − 2 x dx
∫
∫ cos
n
n
Dengan cara serupa diperoleh rumus reduksi untuk ∫ sinn x dx , yaitu :
n −1
n
n−1
n− 2
∫ sin x dx = − n sin x cos x + n ∫ sin x dx
1
Contoh
1
2
1
2
3
2
2
∫ cos x dx = 3 cos x sin x + 3 ∫ cos x dx = 3 cos x sinx + 3 sin x + C
Integral bentuk ∫ sinm x cosn x dx dengan m,n ∈ B .
+
Bila m atau n merupakan bilangan ganjil maka untuk suku yang berpangkat
ganjil difaktorkan dengan sin x atau cos x sebagai salah satu faktornya dan digunakan
identitas sin2 x + cos2 x = 1 . Namun bila m dan n keduanya merupakan bilangan genap
( m = n )
maka digunakan identitas sin 2x = 2 sin x cos x dan
cos 2x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x . Sedang untuk m dan dan n bilangan genap tetapi m
≠ n dapat diselesaikan menngunakan metode yang kita bahas pada bagian selanjutnya
dengan identitas dan cara yang digunakan tetap sama seperti bilamana m = n di atas.
Contoh.
(
)
a. ∫ sin3 x cos2 x dx = ∫ sin2 x cos 2 x sin x dx = −∫ 1 − cos2 x cos2 x d (cos x )
1
1
= cos5 x − cos3 x + C
5
3
1 − cos 2 x 1 + cos 2x
b. ∫ sin2 x cos2 x dx = ∫
dx
2
2
1
1
1
sin 4x
= ∫ 1 − cos 2 2 x dx = ∫ (1 − cos 4x ) dx = x −
+C
4
8
8
32
(
)
Integral bentuk ∫ tanm x sec n x dx & ∫ cot m x csc n x dx dengan n ∈ B .
+
Untuk m = 1 dan n = 0 kita lakukan integrasi sebagai berikut :
sin x
1
(i) ∫ tan x dx = ∫
dx = ∫ −
d (sin x) = − ln(cos x ) + C
cos x
cos x
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
(ii) ∫ cot x dx =
cos x
∫ sin x
dx = ln(sin x) + C
Sedang untuk m = 0 dan n = 1 kita lakukan manipulasi integrasi sebagai berikut:
 sec x + tan x 
sec 2 x + sec x tan x
(i) ∫ sec x dx = ∫ sec x 
 dx = ∫
dx
sec x + tan x
 sec x + tan x 
∫
=
d (sec x + tan x )
= ln(sec x + tan x ) + C
sec x + tan x
(ii) ∫ csc x dx = − ln(csc x + cot x ) + C
Untuk atau n = 0 atau m = 0 dapat digunakan rumus reduksi, dengan
menggunakan identitas tan2 x = sec 2 x − 1 & cot 2 x = csc 2 x − 1 didapatkan:
(
)
(i) ∫ tanm x dx = ∫ tan m− 2 x tan2 x dx = ∫ tanm− 2 x sec2 x − 1 dx
= ∫ tan
m− 2
x d (tan x) − ∫ tan
m− 2
cot m−1 x
(ii) ∫ cot x dx = −
− ∫ cot m− 2 x dx
m− 1
tan m−1 x
x dx =
− ∫ tanm− 2 x dx
m−1
m
(iii) ∫ sec n x dx = ∫ secn − 2 x sec2 x dx = ∫ secn −2 x d (tan x )
sec n − 2 x tan x n − 2
n −2
=
+
x dx
∫ sec
n −1
n −1
(iv) ∫ cscn x dx = −
csc n − 2 x cot x n − 2
+
csc n − 2 x dx
∫
n −1
n −1
Untuk m ganjil, maka integral akan mudah diselesaikan bila digunakan bentuk
d ( sec x ) = sec x tan x dx atau d ( csc x ) = - csc x cot x dx dan identitas:
tan2 x = sec 2 x − 1 & cot 2 x = csc2 x − 1 . Sedang untuk m genap
diselesaikan bila kita reduksi ke dalam suku-suku dari sec x atau csc x.
Contoh.
a. ∫ tan3 x sec 3 x dx
Misal u = sec x. Maka du = sec x tan x dx
3
3
2
2
∫ tan x sec x dx = ∫ tan x sec x (tan x sec x ) dx
(
)
(
)
2
2
2
2
∫ sec x − 1 sec x(tan x sec x ) dx = ∫ u − 1 u du
1
1
1
1
= u5 − u3 + C = sec5 x − sec 3 x + C
5
3
5
3
(
)
b. ∫ tan2 x sec x dx = ∫ sec 2 x − 1 sec x dx = ∫ sec3 x dx − ∫ sec x dx
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
akan
mudah
Matematika Dasar
Dengan rumus reduksi didapatkan: ∫ sec3 x dx =
Jadi : ∫ tan2 x sec x dx =
sec x tan x 1
+ ∫ sec x dx
2
2
sec x tan x 1
− ln(sec x + tan x ) + C
2
2
c. ∫ tan2 x sec 4 x dx
2
Misal u = tan x . Maka du = sec x dx
(
)
2
4
2
2
2
2 2
∫ tan x sec x dx = ∫ tan x sec x sec x dx = ∫ u u + 1 du
1
1
1
1
= u5 + u3 + C = tan5 x + tan 3 x + C
5
3
5
3
Integral bentuk : ∫ sin( mx ) cos( nx ) dx , ∫ sin( mx ) sin( nx ) dx , ∫ cos( mx ) cos( nx ) dx
Bentuk di atas diselesaikan dengan mengubah integran ke dalam bentuk
penjumlahan atau pengurangan , sebagai berikut:
1
sin( mx ) cos( nx ) = [ sin( m + n) x + sin( m − n) x ]
2
1
sin( mx ) sin( nx ) = − [cos( m + n) x − cos( m − n) x ]
2
1
cos( mx ) cos( nx ) = [cos( m + n) x + cos( m − n) x ]
2
Contoh.
a. ∫ sin( 2 x) cos( 3x) dx =
1
−1
1
sin( 5x) − sinx dx =
cos( 5x ) + cos x + C
∫
2
10
2
[
]
b.
1 
1 
 3 
5 
1
5 
1
3 
∫ sin x sin( 2x ) dx = − ∫  cos x x − cos x  dx = − sin x + sin x + C
2
2
2
2
5
2
3
2


1
1
1
c. ∫ cos( 4 x) cos( 2 x ) dx = ∫ [ cos( 6x ) + cos( 2 x) ] dx =
sin( 6 x) + sin( 2 x ) + C
2
12
4
2
 cos 2 x + 1  1 − cos 2 x 
d . ∫ cos2 x sin4 x dx = ∫ 

 dx =



2
2
(
)
1
1
cos 4 x − 1

cos 2 x + 1) 1 − 2 cos 2 x + cos2 2 x dx = ∫ (cos 2 x + 1) 1 − 2 cos 2 x +
(
 dx =
∫


8
8
2
1
1
cos 2 x + 1)(1 − 4 cos 2 x + cos 4 x ) dx = ∫ (− 1 − 3 cos 2 x − cos 4 x + cos 2 x cos 4 x ) dx =
(
∫
16
16
1
5
1
1

 − x − sin 2 x − sin 4 x +
sin 6x  + C

16 
4
4
12
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
Soal latihan
( Nomor 1 sd 20 ) Hitung integral berikut
1.
∫ sin4(5x) dx
π /2
2.
∫ sin5 t dt
0
π /2
3.
∫ cos 6 t dt
0
∫ sin7( 3x ) cos3( 3x) dx
5. ∫ sin4 ( 2x ) cos4 x dx
6. ∫ tan 6( 2x ) dx
7. ∫ cot 4 ( 2x) dx
8. ∫ tan− 3 x sec 2 x dx
9. ∫ tan5 x sec− 3/ 2 x dx
10. ∫ sec 4 x tan x dx
11. ∫ cot 3 x csc 3 x dx
12. ∫ cot 2 ( 3x ) csc( 3x) dx
13. ∫ sin( 5x ) cos( 3x) dx
14. ∫ sin( − 3x ) cos x dx
15. ∫ sin( 2x ) sin( 3x) dx
16. ∫ sin( 6 x ) sin( 5x) dx
17. ∫ cos( 6x ) cos( 2x ) dx
18. ∫ cos( 8x ) cos( 2 x ) dx
4.
19. ∫ cos 4 x sin2 x dx
20. ∫ cos 2 ( 2x ) sin4 x dx
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung