MA2082 BIOSTATISTIKA - FMIPA Personal Blogs

Catatan Kuliah
MA2082 BIOSTATISTIKA
“Orang Biologi Tidak Anti Statistika”
disusun oleh
Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA
Institut Teknologi Bandung
2011
Tentang MA2082 Biostatistika
A. Bentuk perkuliahan:
1. Tatap muka di kelas
2. Praktikum di Lab. Statistika dan Komputasi
B. Jadwal kuliah:
1. Tatap muka di kelas:
• Senin; 11.45-13.00; R.9021
• Rabu; 9-10.15; R.9301
Catatan: Jadwal khusus untuk Minggu-1, Minggu-2 dan Ujian
2. Praktikum: dimulai Minggu-5
C. Silabus:
• Statistika deskriptif (1 minggu)
• Peluang (1 minggu)
• Peubah acak dan distribusi (diskrit dan kontinu) (2 minggu)
• Penaksiran (2 minggu)
• Uji hipotesis (1 sampel) untuk mean dan proporsi (2 minggu)
• Uji hipotesis 2 sampel (1 minggu)
• Analisis variansi (1 minggu)
• Analisis data kategorikal (1 minggu)
• Analisis regresi (1 minggu)
D. Buku teks:
Bernard Rosner, 2006, Fundamentals of Biostatistics, 6th ed.
E. Penilaian:
1. Ujian 1,2,3 (80%) :
24 Agustus 2011 (20%),
12 Oktober 2011 (30%),
30 November 2011 (30%).
2. PR, Kuis (10%)
3. Praktikum (15%)
MA2082 BioStat.
i
K. Syuhada, PhD.
Matriks kegiatan perkuliahan
Table 1: Materi kuliah MA2082 Biostatistika.
Minggu1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
MA2082 BioStat.
Materi
Keterangan
Statistika deskriptif
Penjelasan kuliah
Peluang
Ujian 1
24 Agustus 2011
Distribusi Diskrit
Tabel statistik
Distribusi Kontinu
Penaksiran
Penaksiran
Ujian 2
12 Oktober 2011
Uji Hipotesis (1 sampel)
Uji Hipotesis (1 sampel)
Uji Hipotesis (2 sampel)
Analisis Variansi
Analisis Data Kategorikal
Analisis Regresi
Ujian 3
30 November 2011
ii
K. Syuhada, PhD.
Daftar Isi
1 Statistika Deskriptif
1.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Data, Jenis Data, Memahami Data . .
1.3 Ukuran Pusat/Lokasi dan Penyebaran
1.4 Mengamati Observasi Luar . . . . . . . .
1.5 Data Kelompok . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Memahami Grafik . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
1
1
2
3
5
6
7
2 Peluang
2.1 Ilustrasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Konsep Peluang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Peluang Bersyarat dan Teorema Bayes . . . . . . . . . .
1
1
2
3
3 Peubah Acak dan Distribusi
3.1 Ilustrasi . . . . . . . . . . . . .
3.2 Peubah Acak Diskrit . . . . .
3.3 Distribusi Diskrit . . . . . . .
3.4 Peubah Acak dan Distribusi
.
.
.
.
1
1
2
4
5
4 Penaksiran
4.1 Distribusi Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Penaksiran Titik dan Selang . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Penaksiran untuk Distribusi Binomial . . . . . . . . . .
1
1
4
7
5 Uji
5.1
5.2
5.3
5.4
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
Kontinu .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Hipotesis
.
.
.
.
1
1
3
8
10
6 Analisis Variansi
6.1 Konsep Anava (1 Arah) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Langkah-langkah UH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Contoh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
2
Konsep Uji Hipotesis . . . . . .
Uji Hipotesis Untuk Mean . .
Uji Hipotesis Untuk Proporsi
Selang Kepercayaan . . . . . .
iii
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7 Analisis Data Kategorik
7.1 Ilustrasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Uji Chi-Kuadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Uji Homogenitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
4
8 Analisis Regresi
8.1 Konsep “Relation” . . . . . . . . .
8.2 Model Regresi Linier Sederhana
8.3 Penaksir Kuadrat Terkecil . . . .
8.4 Uji Hipotesis . . . . . . . . . . . . .
8.5 Korelasi . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
3
4
5
MA2082 BioStat.
iv
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
K. Syuhada, PhD.
BAB 1
Statistika Deskriptif
Silabus: Jenis data, ukuran pusat/lokasi, ukuran penyebaran, koefisien variasi,
observasi luar, data kelompok, grafik
Tujuan:
1. Membedakan jenis data dan memahami data
2. Menghitung dan memaknai ukuran lokasi/pusat
3. Membedakan variansi dan koefisien variasi
4. Mengamati observasi luar
5. Memahami data kelompok
6. Membuat dan menafsirkan grafik
1.1
Pendahuluan
• Statistika dan Biostatistika: apa, untuk apa?
• Statistik versus Statistika
• Manfaat BioStatistika
Statistika adalah ilmu yang digunakan untuk mengumpulkan, mengorganisasi,
melakukan inferensi dan menafsirkan data. Secara singkat, statistika adalah
ilmu/pekerjaan untuk meyimpulkan tentang suatu fenomena pada populasi
menggunakan sampel.
1
1.2
Data, Jenis Data, Memahami Data
Data adalah hasil observasi tunggal (datum) yang didapat baik secara langsung
(observasi/survey, praktikum) ataupun tidak langsung (buku, koran, internet)
Jenis data:
• Nominal (jenis kelamin, golongan darah)
• Ordinal (tingkat kecemasan, tingkat nyeri)
• Rasio/interval (denyut nadi, tekanan darah)
Contoh/ilustrasi dan interpretasi:
1. Berat badan bayi:
Table 1.1: Data sampel berat badan bayi (di AS) baru lahir.
Bayi1
2
3
4
5
BB
3265
3260
3245
3484
4146
Bayi6
7
8
9
10
BB
3323
3649
3200
3031
2069
Bayi11
12
13
14
15
BB
2581
2841
3609
2838
3541
Bayi16
17
18
19
20
BB
2759
3248
3314
3101
2834
2. Jumlah darah putih (×1000) pasien-pasien di RS:
0 357889
1 02
2
3 5
3. Dapatkah anda mencari dan menafsirkan data berbentuk grafik?
4. Dapatkah anda mencari data yang bersifat kategorikal?
MA2082 BioStat.
2
K. Syuhada, PhD.
1.3
Ukuran Pusat/Lokasi dan Penyebaran
• Ukuran lokasi: Mean (aritmetik), Median, Modus
• Ukuran Penyebaran: Jangkauan, Variansi, Kuartil
• Variansi versus Koefisien Variasi
Misalkan data sampel adalah
x1 , x2 , . . . , xn ,
dimana xi menyatakan titik sampel ke-i. Sampel diatas diperoleh dari populasi dan kita ingin melakukan inferensi untuk populasi dengan memanfaatkan
sampel. Langkah pertama adalah meringkas data untuk kemudian menghitung MEAN, MEDIAN dan MODUS (selanjutnya disebut ukuran lokasi atau
pusat).
Mean (aritmetik) didefinisikan sebagai
∑n
xi
x̄ = i=1
n
Sifat-sifat mean
(a) Untuk suatu konstanta k,
n
∑
k xi = · · ·
i=1
(b) Jika yi = xi + k maka ȳ = x̄ + k. Buktikan!
(c) Jika yi = k xi maka ȳ = · · · .
Median atau median sampel seringkali dikatakan sebagai nilai tengah. Dengan demikian, menghitung median haruslah dilakukan pada data yang sudah
diurutkan. Definisi median adalah
(a) Observasi ke-((n + 1)/2), (n ganjil), atau
(b) Nilai tengah dari observasi ke-(n/2) dan ke-((n/2) + 1), (n genap)
MA2082 BioStat.
3
K. Syuhada, PhD.
Diskusi: Bagaimana (perbandingan) nilai mean dan median untuk data yang
(i) simetrik, (ii) menceng ke kanan, (iii) menceng ke kiri?
Modus atau Mode adalah ukuran pusat yang menyatakan nilai observasi yang
paling sering muncul. Menentukan modus dapat dilakukan pada data tanpa
diurutkan (meskipun lebih mudah apabila diurutkan lebih dahulu).
LATIHAN:
Tentukan ukuran lokasi/pusat dari contoh data diatas.
Ukuran penyebaran menyatakan seberapa jauh data menyebar dari mean. Misalkan kita memiliki dua data sampel. Kedua sampel memiliki mean yang sama,
namun memiliki penyebaran data yang berbeda. Beberapa ukuran penyebaran
antara lain:
1. Jangkaun (Range):
R = xmaks − xmin
2. Variansi atau variansi sampel:
∑n
2
2
i=1 (xi − x̄)
s =
n−1
Catatan:
Deviasi standar atau simpangan baku adalah akar kuadrat dari variansi.
3. Kuantil atau persentil:
Sifat-sifat variansi:
Diketahui data sampel x1 , . . . , xn memiliki variansi s2x . Jika data sampel
(a) yi = xi + k,
(b) yi = k xi ,
untuk suatu konstanta k, maka
s2y = . . .
LATIHAN:
Tentukan ukuran penyebaran dari contoh data diatas.
MA2082 BioStat.
4
K. Syuhada, PhD.
Variansi versus Koefisien Variasi
Kita dapat menghitung suatu ukuran yang mengaitkan ukuran penyebaran
(deviasi standar) dengan ukuran lokasi (mean), yaitu koefisien variasi (coefficient of variation - CV):
CV = 100% × (s/x̄)
yang tidak dipengaruhi unit ukuran yang dipakai. CV bermanfaat untuk membandingkan variabilitas beberapa sampel yang berbeda relatif terhadap nilai
mean-nya. Dapat pula kita membanding CV dari beberapa variabel.
LATIHAN:
Table 1.2: Faktor risiko kardiovaskular pada anak.
n Mean
s
CV(%)
Tinggi (cm)
364 142.6 0.31
Berat (kg)
365 39.5 0.77
Tekanan darah (mm Hg) 337 104 4.97
Kolesterol (mg/dL)
395 160.4 3.44
1.4
Mengamati Observasi Luar
Observasi luar atau outlier adalah nilai/observasi yang “menyimpang” dari
nilai-nilai/observasi yang lain. Observasi luar dapat ditentukan/dihitung dengan melihat apakah ada nilai/observasi yang LEBIH BESAR dari
K3 + 1.5 (K3 − K1 )
atau LEBIH KECIL dari
K1 − 1.5 (K3 − K1 ).
Dalam praktiknya, observasi luar dapat menyatakan sesuatu yang baik/jelek.
Misalnya, seseorang dengan tingkat kecerdasan (IQ) yang sangat tinggi (jauh
diatas rata-rata alias observasi luar) adalah baik. Seringkali observasi luar
diabaikan dalam analisis data meskipun sesungguhnya cara ini tidaklah tepat.
Mendeteksi observasi luar adalah sesuatu yang sangat menantang dalam statistika.
MA2082 BioStat.
5
K. Syuhada, PhD.
LATIHAN:
Adakah observasi luar pada contoh data diatas?
1.5
Data Kelompok
Pandang data sampel dengan 275 observasi. Ukuran sampel tersebut terlalu
besar sehingga menampilkan data apa adanya menjadi tidak efisien. Dengan
demikian, data sampel dapat dikelompokkan. Pengelompokan ini dapat pula
terjadi (harus dilakukan) karena tingkat keakuratan data yang diambil tidak
dapat diperoleh dengan baik.
Pengelompokan data memberikan masalah: Berapa banyak kelompok atau
interval kelas (class intervals) yang ingin kita buat? Berapa lebar interval
(interval width)? Salah satu formula yang bisa kita pakai adalah Formula
Sturges, dimana banyaknya interval kelas adalah
k = 1 + (3.322 × log10 n),
dimana n adalah besar sampel. Lebar intervalnya:
w = R/k,
dengan R adalah jangkauan.
Untuk contoh data sampel dengan 275 observasi, kita peroleh:
k ≈ 8,
w = (63 − 18)/8 = 5.625
Dengan demikian, lebar kelas interval adalah 5 atau 10. Diketahui obervasi
terkecil dan terbesar, berturut-turut, adalah 18 dan 63. Jadi, kelas interval
yang bisa dibuat adalah:
10-19
20-29
30-39
40-49
50-59
60-69
MA2082 BioStat.
6
K. Syuhada, PhD.
1.6
Memahami Grafik
Beberapa tampilan visual (baca: grafik) untuk data adalah diagram bar/batang
(bar chart), diagram batang dan daun (stem-and-leaf plot), histogram, box-plot.
Contoh, kita pandang data jumlah darah putih pasien-pasien di RS:
MA2082 BioStat.
7
K. Syuhada, PhD.
Figure 1.1: Box-plot - Jumlah darah putih pasien.
MA2082 BioStat.
8
K. Syuhada, PhD.
Figure 1.2: Histogram - Jumlah darah putih pasien.
MA2082 BioStat.
9
K. Syuhada, PhD.
BAB 2
Peluang
Silabus: Ruang sampel dan kejadian, konsep peluang, peluang bersyarat, Teorema Bayes.
Tujuan:
1. Mendefinisikan ruang sampel dan kejadian
2. Menghitung peluang suatu kejadian
3. Menghitung peluang bersyarat suatu kejadian
4. Memanfaatkan Teorema Bayes untuk menghitung peluang suatu kejadian
2.1
Ilustrasi
Ilustrasi-1. Tanti baru saja mengikuti tes mata. Ia masih teringat beberapa
huruf yang muncul: A-E-M-R-S. Kini, Tanti mencoba menyusun kata-kata
yang mungkin dari huruf-huruf tersebut.
Ilustrasi-2. Hanin bermaksud menyumbangkan darahnya di suatu tempat
donor. Hanin terlebih dahulu harus dicek golongan darahnya.
• Golongan darah yang mungkin untuk Hanin adalah...
• Rupanya Hanin tidak sendirian. Ada Hana dan Hanan disana yang
memiliki maksud yang sama dengan Hanin. Jika seorang diantara mereka
dipilih secara acak menjadi pendonor, berapa peluang orang yang terpilih adalah Hana?
1
• Jika, diantara mereka bertiga, Hanan terpilih menjadi pendonor, berapa
peluang golongan darah Hanan adalah B?
Ilustrasi-3. Untuk keperluan praktikum di Lab, B dan G haruslah mendapatkan hewan (burung) percobaan. B dan G memutuskan untuk mendapatkan itu dengan cara menembak. Pada waktu yang disepakati, B dan G
secara bersamaan menembak sasaran tertentu. Peluang tembakan B mengenai sasaran adalah 0.7 sedangkan peluang tembakan G (bebas dari tembakan
B) mengenai sasaran adalah 0.4.
• Berapa peluang sebuah tembakan mengenai sasaran?
• Berapa peluang sasaran tertembak?
Ilustrasi-4. “Ayahku meninggal waktu usiaku tiga tahun. Lalu Ibu kawin lagi.
Dengan ayah tiriku, Ibu mendapat dua orang anak tiri dan melahirkan tiga
orang anak. Ketika usiaku lima belas tahun, Ibu pun meninggal. Ayah tiriku
kawin lagi dengan seorang janda yang sudah beranak dua. Ia melahirkan dua
orang anak pula dengan ayah tiriku”
2.2
Konsep Peluang
Definisi:
Ruang sampel, S, adalah himpunan semua hasil mungkin dari suatu percobaan. Kejadian, E, adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Peluang
suatu kejadian, P (E), adalah rasio dari banyaknya titik kejadian dan ruang
sampel, atau
P (E) =
n(E)
,
n(S)
dimana n(E) dan n(S), berturut-turut, adalah banyaknya titik kejadian dan
ruang sampel.
Sifat-sifat peluang:
1. 0 ≤ P (E) ≤ 1
2. P ({}) = 0
3. P (S) = 1
MA2082 BioStat.
2
K. Syuhada, PhD.
4. Untuk kejadian A dan B,
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
5. Jika kejadian A dan B saling asing maka P (A ∩ B) = 0
6. Kejadian A dan kejadian B dikatakan saling bebas jika
P (A ∩ B) = P (A) P (B)
LATIHAN:
Kerjakan ilustrasi-ilustrasi diatas.
SOLUSI:
1. Ilustrasi-1:
SERAM, M ERAS, SEM AR, RAM ES, ....
2. Ilustrasi-3:
Misalkan B kejadian B menembak sasaran
Misalkan G kejadian G menembak sasaran
Misalkan T kejadian sebuah tembakan mengenai sasaran
Misalkan S kejadian sasaran tertembak
P (T ) = P (G ∩ B c ) + P (B ∩ Gc )
= (0.4)(0.3) + (0.7)(0.6)
P (S) = 1 − P (Gc ∩ B c )
= 1 − (0.6)(0.3)
2.3
Peluang Bersyarat dan Teorema Bayes
Ilustrasi-1. Pandang Ilustrasi-3 diatas.
• Jika sebuah tembakan mengenai sasaran, berapa peluang bahwa itu tembakan G?
MA2082 BioStat.
3
K. Syuhada, PhD.
• Berapa peluang bahwa, jika sasaran tertembak, kedua tembakan mengenai sasaran?
• Berapa peluang bahwa, jika sasaran tertembak, tembakan G mengenai
sasaran?
Ilustrasi-2. Seorang praktikan, Ega, tahu bahwa sebuah lembar kerja praktikum akan berada di salah satu dari tiga buah kotak surat lab yang ada.
Misalkan pi adalah peluang bahwa Ega akan menemukan lembar kerja praktikum setelah mengecek kotak surat lab i dengan cepat jika ternyata surat
tersebut berada di kotak surat lab i, i = 1, 2, 3.
• Misalkan Ega mengecek kotak surat 1 tidak menemukan surat. Berapa
peluang hal itu akan terjadi?
• Jika diketahui Ega mengecek kotak surat 1 tidak menemukan surat, berapa peluang bahwa surat itu ada di kotak surat 1?
Definisi:
Peluang kejadian A, apabila kejadian B telah terjadi, adalah peluang bersyarat
P (A|B) yaitu:
P (A|B) =
P (A ∩ B
,
P (B)
asalkan P (B) > 0. Jelas bahwa jika kejadian A dan B saling bebas maka
P (A|B) = P (A).
Peluang total:
P (B) = P (B|A)P (A) + P (B|Ac )P (Ac )
TEOREMA BAYES:
Misalkan {B1 , B2 , . . . , Bn } adalah partisi dari ruang sampel dan misalkan A
adalah kejadian yang terobservasi. Peluang kejadian Bj diberikan A adalah
P (A Bj )
P (A)
P (A|Bj ) P (Bj )
= ∑n
i=1 P (A|Bi ) P (Bi )
P (Bj |A) =
MA2082 BioStat.
4
K. Syuhada, PhD.
LATIHAN:
1. Kerjakan ilustrasi-ilustrasi diatas
2. Tes darah di suatu laboratorium akan 95% efektif dalam mendeteksi
suatu penyakit tertentu jika penyakit itu ada. Namun demikian, tes
tersebut juga memberikan ’hasil positif yang salah’ pada 1% orang sehat
yang dites. Jika 0.5% dari populasi mengidap penyakit tertentu tersebut,
tentukan peluang bahwa seseorang menderita penyakit itu jika hasil tes
positif?
SOLUSI:
1. Ilustrasi-1:
Misalkan B kejadian B menembak sasaran
Misalkan G kejadian G menembak sasaran
Misalkan T kejadian sebuah tembakan mengenai sasaran
Misalkan S kejadian sasaran tertembak
P (G ∩ T )
P (T )
P (G ∩ B c )
=
P (G ∩ B c ) + P (B ∩ Gc )
(0.4)(0.3)
=
(0.4)(0.3) + (0.7)(0.6)
P (G|T ) =
P (G ∩ S) P (B ∩ S)
P (S)
P (G)P (B)
=
1 − P (Gc ∩ B c )
(0.4)(0.7)
=
1 − (0.6)(0.3)
P (G ∩ B|S) =
P (G ∩ S)
P (S)
P (G ∩ S)
=
1 − P (Gc ∩ B c )
0.4
=
1 − (0.6)(0.3)
P (G|S) =
MA2082 BioStat.
5
K. Syuhada, PhD.
2. Ilustrasi-2:
Misalkan Ki , i = 1, 2, 3 adalah kejadian lembar kerja praktikum berada
di kotak surat lab i. Misalkan T kejadian mengecek kotak surat lab 1
tidak mendapatkan lembar kerja praktikum. Peluang hal itu akan terjadi
adalah
P (T ) = P (T |K1 )P (K1 ) + P (T |K2 )P (K2 ) + P (T |K3 )P (K3 )
= (1 − p1 )(1/3) + 1/3 + 1/3
Jika diketahui Ega mengecek kotak surat lab 1 dan tidak menemukan
surat, maka peluang bahwa lembar kerja praktikum itu ada di kotak
surat lab 1 adalah
P (T |K1 )P (K1 )
P (T |K1 )P (K1 ) + P (T |K2 )P (K2 ) + P (T |K3 )P (K3 )
(1 − p1 )(1/3)
=
(1 − p1 )(1/3) + 1/3 + 1/3
P (K1 |T ) =
MA2082 BioStat.
6
K. Syuhada, PhD.
BAB 3
Peubah Acak dan Distribusi
Silabus: Konsep peubah acak, fungsi peluang (probability density function),
fungsi distribusi (cumulative distribution function), mean dan variansi, distribusi diskrit (binomial, Poisson, geometrik), distribusi kontinu (normal, seragam/uniform, eksponensial).
Tujuan:
1. Memahami definisi dan menentukan peubah acak (p.a)
2. Menghitung fungsi peluang (f.p) dan fungsi distribusi (f.d); f.p ke f.d; f.d
ke f.p
3. Menghitung mean dan variansi
4. Mempelajari distribusi diskrit (binomial, Poisson) dan kontinu (normal,
eksponensial)
5. Menghitung peluang suatu p.a dari distribusi diskrit atau kontinu
3.1
Ilustrasi
(Ilustrasi-1) Manajemen suatu klinik kesehatan mengetahui bahwa lima persen
penelepon yang mendaftar untuk periksa dokter tidak akan datang ke klinik.
Dengan alasan ini, manajemen tidak ragu untuk menerima pendaftaran sebanyak 52 orang, walaupun kapasitas klinik sebenarnya hanya untuk 50 orang.
Berapa peluang setiap penelepon/pendaftar yang datang akan dilayani dokter?
(Ilustrasi-2) Lama waktu (dalam menit) mahasiswa mengikuti praktikum di
Lab adalah peubah acak dengan fungsi peluang tertentu. Tentukan peluang
seorang mahasiswa mengikuti praktikum lebih dari 15 menit? antara 20 dan
35 menit?
1
0.050
0.025
10
20
30
40
Figure 3.1: Fungsi peluang lama waktu mahasiswa di Lab.
3.2
Peubah Acak Diskrit
Peubah Acak
• Peubah acak tidaklah “acak” dan bukanlah “peubah”
• Peubah acak adalah “fungsi” yang memetakan anggota S ke bilangan
real R
P.A. Diskrit
Peubah acak X dikatakan diskrit jika terdapat barisan terhitung dari bilangan
{ai , i = 1, 2, . . . } sedemikian hingga
(∪
) ∑
P
{X = ai } =
P (X = ai ) = 1
i
i
Catatan:
Sebuah peubah acak diskrit tidak selalu berasal ruang sampel diskrit.
FX disebut fungsi distribusi (diskrit) dari X jika terdapat barisan terhitung
{ai , i = 1, 2, . . . } dari bilangan real dan barisan {pi , i = 1, 2, . . . } dari bilangan
positif yang bersesuaian sedemikian hingga
∑
pi = 1
i
dan
FX (x) =
∑
pi
ai ≤x
MA2082 BioStat.
2
K. Syuhada, PhD.
Jika diberikan himpunan
∑ terhitung {ai , i = 1, 2, . . . } dan bilangan positif
{pi , i = 1, 2, . . . } sdh i pi = 1, fungsi peluang pX (x) adalah
pX (x) = pi = P (X = ai ),
dengan x = ai
Fungsi distribusi (kumulatif):
F (x) = P (X ≤ x)
Sifat-sifat:
(a) F fungsi tidak turun
(b) limx→∞ F (x) = 1
(c) limx→−∞ F (x) = 0
(d) F fungsi kontinu kanan Catatan:
• P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a)
• P (X ≤ b) ̸= P (X < b)
•
{
1 })
X ≤b−
n→∞
n
(
1)
= lim P X ≤ b −
n→∞
n
(
1)
= lim F b −
n→∞
n
P (X < b) = P
(
lim
Contoh/Latihan:
1. Diketahui S = {00, 01, 10, 11}. Misalkan X peubah acak yang menyatakan banyaknya “0”. Nilai yang mungkin dari X adalah..., dengan
fungsi peluang dan fungsi distribusi...
2. Tentukan
 fungsi
0,



3/5,
F (x) =

7/10,



1,
MA2082 BioStat.
peluang dari fungsi distribusi berikut:
x < −3.1
−3.1 ≤ x < 0
0≤x<1
1≤x
3
K. Syuhada, PhD.
3. Diketahui
 fungsi peluang sebagai berikut:
p,
x = −1.9





0.1, x = −0.1



0.3, x = 20p
f (x) =

p,
x=3





4p, x = 4



0,
yang lain
Hitung P (−1.9 ≤ |X| ≤ 3), F (2), F (F (3.1))
3.3
Distribusi Diskrit
(Ilustrasi-1) Pasien di IGD adalah orang-orang yang dianggap dekat dengan
kematian. Kesembuhan dari penyakit yang dideritanya bagi mereka adalah
seperti mimpi. Untuk bisa bertahan hidup dari hari ke hari sudahlah merupakan mukjizat. Asumsikan bahwa setiap orang memiliki peluang yang sama
untuk dapat bertahan hidup sampai hari esok sebesar α. Jika jumlah pasien
IGD pada suatu hari adalah 5 orang, berapa peluang besok hanya akan ada 2
orang saja yang masih hidup?
(Ilustrasi-2) Banyaknya kecelakaan yang terjadi di tol setiap hari berdistribusi
Poisson dengan parameter λ = 3. Berapa peluang tidak ada kecelakaan pada
hari ini?
(Ilustrasi-3) Tiga mahasiswi dokter yang sedang melakukan residensi bertugas di kamar mayat. Untuk menentukan siapa yang akan masuk ke “ruangan idaman” tersebut pertama kali, mereka sepakat untuk mengundi dengan
melantunkan koin. Seseorang dengan hasil lantunan yang berbeda dengan
yang lain akan menjadi orang pertama. Jika X menyatakan banyaknya lantunan koin yang harus dilakukan, tentukan P (X = 3).
Distribusi Binomial
Misalkan S = {sukses, gagal} adalah ruang sampel yang menotasikan ’sukses’
atau ’gagal’ dari suatu percobaan.
Definisikan X(sukses) = 1 dan X(gagal) = 0 dan
pX (1) = P (X = 1) = p
pX (0) = P (X = 0) = 1 − p
dimana 0 ≤ p ≤ 1 adalah peluang diperoleh sukses. X dikatakan peubah
acak Bernoulli dengan parameter p. Jika dilakukan n percobaan independen
MA2082 BioStat.
4
K. Syuhada, PhD.
dan jika X menyatakan banyaknya sukses yang diperoleh maka X dikatakan
sebagai peubah acak Binomial dengan parameter (n, p), dimana
pX (k) = B(k; n, p) = Ckn pk (1 − p)n−k
Distribusi Poisson
Misalkan X peubah acak dengan fungsi peluang
pX (i) = e−λ
λi
i!
untuk i = 0, 1, 2, . . . dan λ > 0. X disebut peubah acak Poisson dengan parameter λ.
Distribusi Geometrik
Misalkan percobaan-percobaan dilakukan hingga diperoleh sukses yang pertama. Percobaan-percobaan tersebut saling bebas dan memiliki peluang sukses p. Misalkan X menyatakan banyaknya percobaan yang dilakukan untuk
mendapatkan sukses pertama tersebut, maka X dikatakan peubah acak Geometrik dengan parameter p. Fungsi peluangnya adalah
p(n) = P (X = n) = (1 − p)n−1 p,
untuk n = 1, 2, . . . dan p > 0.
3.4
Peubah Acak dan Distribusi Kontinu
(Ilustrasi) Riset bidang psikologi melibatkan pengukuran perilaku. Hasil-hasil
pengukuran akan berbeda antara individu satu dengan yang lainnya. Namun
demikian, sesungguhnya hasil-hasil tersebut dapat diprediksi sebagai kelompok individu. Salah satu pola umum pada hasil pengukuran (tentunya berupa
angka) adalah bahwa kebanyakan pengukuran-pengukuran tersebut terkonsentrasi di sekitar mean dari distribusi tersebut. Ada sedikit hasil pengukuran
yang jauh dari mean. Apabila distribusi frekuensi digambarkan, akan tampak
kurva berbentuk bel (bell-shaped curve) yang disebut DISTRIBUSI NORMAL.
P.A. Kontinu
Misalkan X peubah acak dan fungsi distribusinya FX dapat diturunkan. Fungsi
peluang fX adalah turunan dari fungsi distribusi,
fX (x) =
d
FX (x)
dx
MA2082 BioStat.
5
K. Syuhada, PhD.
atau dengan kata lain
∫ x
FX (x) =
fX (t) dt
−∞
Definisi: Jika X adalah peubah acak sedemikian hingga fungsi peluangnya
ada (turunan dari fungsi distribusi) maka X dikatakan sebagai peubah acak
kontinu. Catatan:
∫ ∞
fX (t) dt
1 = FX (∞) =
−∞
∫
P (a ≤ X ≤ b) = FX (b) − FX (a) =
∫ a
fX (t) dt = 0
P (X = a) =
b
fX (t) dt
a
a
Distribusi Normal
Definisi: Peubah acak kontinu X adalah peubah acak Normal atau GAUSS
dengan parameter µ dan σ 2 jika fungsi peluang fX nya sbb:
fX (x) = √
1
exp(−(x − µ)2 / 2 σ 2 ), −∞ ≤ x ≤ ∞
2πσ
Contoh/Latihan:
Ukuran ideal jumlah mahasiswa di kelas BioStat adalah 60 orang. Namun
demikian, PS Biologi ITB mencatat bahwa biasanya hanya 30 persen mahasiswa saja dari total yang terdaftar yang benar-benar hadir dalam perkuliahan.
Jika PS Biologi ITB memutuskan menerima 180 mahasiswa untuk kelas BioStat, berapa peluang bahwa lebih dari 60 orang hadir di kelas?
Teorema Limit DeMoivre-Laplace
Jika Sn menyatakan ‘banyaknya sukses’ yang terjadi pada n percobaan independen, dengan peluang sukses adalah p, maka untuk setiap a < b,
)
(
Sn − np
≤ b → Φ(b) − Φ(a),
P a≤ √
np(1 − p)
untuk n → ∞. (pendekatan Normal untuk Binomial akan ‘baik’ jika np(1 − p)
besar, np(1 − p) ≥ 10)
MA2082 BioStat.
6
K. Syuhada, PhD.
0.050
0.025
10
20
30
40
Figure 3.2: Fungsi peluang lama waktu mahasiswa di Lab.
Distribusi Uniform
Definisi: Peubah acak kontinu X dikatakan berdistrbusi seragam pada selang
(a, b) jika fungsi peluang fX nya sbb:
fX (x) =
1
, a≤x≤b
b−a
Contoh/Latihan: Lama waktu (dalam menit) mahasiswa mengikuti praktikum
di Lab adalah peubah acak dengan fungsi peluang tertentu. Tentukan peluang
seorang mahasiswa mengikuti praktikum lebih dari 15 menit? antara 20 dan
35 menit?
Distribusi Gamma
Peubah acak Gamma: Misalkan percobaan Bernoulli diulang-ulang sebanyak n kali, maka banyaknya ‘sukses’ yang diperoleh adalah peubah acak
berdistribusi Binomial dengan parameter n dan p, dimana p adalah peluang
sukses. Jika kita memandang banyaknya percobaan Bernoulli yang dilakukan
sampai diperoleh (dan termasuk) sukses ke-r, maka kita dapatkan peubah acak
beristribusi Binomial negatif dengan parameter r dan p. Peubah acak Gamma
adalah analogi dalam bentuk kontinu untuk peubah acak Binomial negatif.
Dalam hal ini kita pandang peubah acak Binomial negatif ini sebagai waktu
yang diberikan untuk sukses ke-r.
MA2082 BioStat.
7
K. Syuhada, PhD.
Definisi: Peubah acak kontinu X adalah peubah acak Gamma jika memiliki
fungsi peluang
f (x) =
λα α−1 −λx
x
e , x>0
Γ(α)
dimana α dan λ adalah bilang real positif. Kita katakan X berdistribusi
Gamma dengan parameter α dan λ; x ∼ Gamma(α, λ).
Definisi Fungsi Gamma:
∫ ∞
Γ(t) =
xt−1 e−x dx
0
Catatan: Γ(t + 1) = t Γ(t), t > 0
Contoh/Latihan:
1. Tentukan
 fungsi peluang dari fungsi distribusi berikut:

0,
x<0



1
x


3 + 5, 0 ≤ x < 1
F (x) = 53 ,
1≤x<2


9

,
2≤x<3

10


1,
x≥3
2. Pelajari distribusi eksponensial.
MA2082 BioStat.
8
K. Syuhada, PhD.
BAB 4
Penaksiran
Silabus: Distribusi normal, penaksiran parameter, penaksiran titik dan penaksiran selang, selang kepercayaan untuk mean dan proporsi.
Tujuan:
1. Mempelajari distribusi normal dan menghitung peluang suatu p.a berdistribusi normal standar
2. Memahami konsep penaksiran titik dan penaksiran selang
3. Menghitung selang kepercayaan untuk mean dan proporsi
4.1
Distribusi Normal
Perhatikan fungsi peluang dari X, p.a yang menyatakan kandungan serum
trigliserida dalam tubuh. Distribusi peluangnya tidak simetri dan menceng ke
kanan (skew to the right atau positively skewed) sbb (Gb 4.1):
densitas
0
50
100
150
serum trigliserida (mg/dL)
Figure 4.1: Fungsi peluang serum trigliserida
1
0.03
A
densitas
0.02
B
C
0.01
0
50
80
90 100 110
DBP
Figure 4.2: Fungsi peluang tekanan darah diatolik
0.02
densitas
0.01
60
88
120
Berat Badan Lahir (BBL)
Figure 4.3: Fungsi peluang Berat Badan Lahir
Sedangkan fungsi peluang dari tekanan darah diatolik (DBP - diastolic blood
presure) pada laki-laki usia 35-44 tahun adalah seperti gambar berikut (Gb
4.2). Area A, B, C berturut-turut menyatakan peluang terjadinya hipertensi
ringan, sedang dan berat. Umumnya DBP terjadi disekitar 80 mm Hg, dimana
kemudian kemungkinannya berkurang seiring dengan berubahnya nilai DBP
yang jauh dari 80.
Fungsi peluang dari peubah acak yang menyatakan Berat Badan Lahir berikut
fungsi distribusinya saat BB-nya 88 atau P (X ≤ 88) (Gb 4.3). Area tersebut
memiliki arti khusus dalam kebidanan atau obstetrics dimana 88 adalah nilai
batas atau cutoff point yang digunakan untuk mengidentifikasi bayi BBLR.
MA2082 BioStat.
2
K. Syuhada, PhD.
0.04
f(x) 0.03
0.02
0.01
0.00
40
50
( - )
60
( + )
x
Figure 4.4: Fungsi peluang dari distribusi normal
Definisi Distribusi Normal
Misalkan X peubah acak berdistribusi normal dengan parameter µ dan σ 2 .
Fungsi peluangnya adalah
(
)
1
1
2
exp − 2 (x − µ) , −∞ < x < ∞,
fX (x) = √
2σ
2πσ
Notasi: X ∼ N (µ, σ 2 ), dengan mean µ = E(X) dan variansi σ 2 = V ar(X).
Contoh: fungsi peluang untuk distribusi normal dengan mean 50 dan variansi
100 (Gb 4.4).
Distribusi N (0, 1) adalah kasus khusus dari distribusi N (µ, σ 2 ) dengan mean
0 dan variansi 1. Distribusi ini disebut juga distribusi normal standar/baku
(Gb 4.5). Sifatnya adalah simetrik disekitar 0. Sifat empirik yang penting dari
distribusi normal baku adalah
P (−1 < X < 1) = 0.6827,
P (−1.96 < X < 1.96) = 0.95,
P (−2.576 < X < 2.576) = 0.99.
MA2082 BioStat.
3
K. Syuhada, PhD.
0.04
68% area
f(x) 0.03
95% area
0.02
99% area
0.01
0.00
-2.58 -1.96 -1
0
1 1.96 2.58
( )
x
Figure 4.5: Fungsi peluang dari distribusi normal standar
Contoh/Latihan:
1. Diketahui Z ∼ N (0, 1). Tentukan nilai c dari persamaan peluang berikut:
(a) P (Z > c) = 0
(b) P (|Z| ≤ c) = 0.25
(c) P (−c < Z < 2 c) = 0.68
(d) P (c ≤ Z < 0) = 0.324
2. Misalkan diameter pohon dari suatu spesies tertentu adalah peubah acak
berdistribusi normal dengan mean 8 (inchi) dab deviasi standar 2 (inchi).
Hitung peluang bahwa sebuah pohon memiliki diameter yang tak wajar
yaitu lebih dari 12.
4.2
Penaksiran Titik dan Selang
Misalkan suatu populasi memiliki mean µ. Misalkan X1 , X2 , . . . , Xn sampel acak dari populasi tersebut. Penaksir untuk µ (disebut penaksir sampel)
adalah
n
1 ∑
Xi ,
X̄ =
n i=1
dengan sifat
E(X̄) = µ,
V ar(X̄) = σ 2 /n,
√
dimana deviasi standarnya adalah σ/ n yang disebut standard error of mean
atau “sem” atau standard error. Standard error adalah ukuran kuantitatif dari
MA2082 BioStat.
4
K. Syuhada, PhD.
variablitas mean sampel yang diperoleh dari sampel acak (berulang) berukuran
n dari populasi yang sama.
Teorema Limit Pusat
Misalkan X1 , X2 , . . . , Xn sampel acak dari populasi dengan mean µ dan variansi σ 2 . Maka, untuk n besar,
X̄ ∼ N (µ, σ 2 /n),
meskipun distribusi populasinya tidak normal.
Contoh. Hitung peluang bahwa mean BBL dari sampel berukuran 10 akan
berada diantara 98 dan 126 (diketahui data populasi: mean 112 dan deviasi
standar 20.6).
Solusi:
(
)
(
)
126 − 112
98 − 112
√
√
P (98 < X̄ < 126) = Φ
−Φ
= ···
20.6/ 10
20.6/ 10
Perhatikan transformasi peubah acak:
Z=
X̄ − µ
√ ,
σ/ n
dimana Z berdistribusi normal standar. Akibatnya, 95% nilai Z akan berada
diantara -1.96 dan 1.96. Dengan kata lain, 95% mean sampel berada di selang
(
√
√ )
µ − 1.96 σ/ n , µ + 1.96 σ/ n
Catatan:
Dalam praktiknya, nilai σ tidak diketahui dan harus ditaksir oleh deviasi standar sampel s.
Distribusi t
Jika X1 , X2 , . . . , Xn sampel acak berdistribusi normal dengan mean µ dan
variansi σ 2 , maka
X̄ − µ
√ ∼ tn−1 ,
S/ n
berdistribusi t dengan derajat kebebasan (degrees of freedom) n − 1, dimana
P (td < td,u ) = u.
MA2082 BioStat.
5
K. Syuhada, PhD.
Selang Kepercayaan untuk Mean
100%(1−α) selang kepercayaan (SK) atau confidence interval (CI) untuk mean
dari distribusi normal dengan variansi tidak diketahui adalah
(
√
√ )
x̄ − tn−1,1−α/2 s/ n , x̄ + tn−1,1−α/2 s/ n
atau dituliskan
√
x̄ ± tn−1,1−α/2 s/ n
Contoh/Latihan
1. Tentukan persentil ke-5 (atas) atau persentil ke-95 dari distribusi t dengan derajat kebebasan 23.
2. Hitung 95% selang kepercayaan untuk mean BBL berdasarkan sampel
berukuran 10. Diketahui: x̄ = 116.9; s = 21.7.
Selang Kepercayaan untuk Mean - Sampel Besar
Nilai pendekatan 100%(1−α) selang kepercayaan (SK) atau confidence interval
(CI) untuk mean dari distribusi normal (sampel besar) dengan variansi tidak
diketahui adalah
(
√
√ )
x̄ − z1−α/2 s/ n , x̄ + z1−α/2 s/ n
dengan ukuran sampel n > 200.
Catatan:
Panjang SK dipengaruhi oleh nilai n, s, dan α. Jika:
n membesar, maka panjang SK...
s membesar, maka panjang SK...
α mengecil, maka panjang SK...
Contoh/Latihan
1. Hitung 95% dan 99% selang kepercayaan untuk mean temperatur berdasarkan
sampel berukuran 10 dan 100. Diketahui: x̄ = 97.2; s = 0.189.
2. Pandang soal no 1. Hitung 95% SK dengan s = 0.4.
MA2082 BioStat.
6
K. Syuhada, PhD.
4.3
Penaksiran untuk Distribusi Binomial
Misalkan Xi p.a Bernoulli dengan peluang “sukses” p. Kita dapat menghitung
E(Xi ) = p,
V ar(Xi ) = p(1 − p).
∑
Untuk sejumlah n p.a Bernoulli, X = ni=1 Xi , kita dapatkan p.a Binomial
dengan E(X) = · · · dan V ar(X) = · · · .
Pandang X p.a Binomial dengan parameter n dan p. Penaksir untuk p adalah
p̂ atau proporsi sampel, yaitu
n
1 ∑
p̂ =
Xi = X/n,
n i=1
dengan
E(p̂) = · · · ,
V ar(p̂) = · · ·
Untuk n besar, berdasarkan TLP, maka p̂ berdistribusi normal dengan mean
p dan variansi p(1 − p)/n. Dengan demikian, 100%(1 − α) selang kepercayaan
untuk p adalah
(
)
√
√
p̂ − z1−α/2 p̂(1 − p̂)/n , p̂ + z1−α/2 p̂(1 − p̂)/n
Contoh/Latihan:
1. Tentukan 95% SK untuk proporsi penderita kanker pada 10000 wanita
berusia 50-54 tahun, dimana diketahui 400 diantaranya menderita kanker.
2. Lakukan perhitungan diatas untuk α = 0.01 dan sampel berukuran n =
1000.
MA2082 BioStat.
7
K. Syuhada, PhD.
BAB 5
Uji Hipotesis
Silabus: Konsep uji hipotesis, kesalahan tipe 1 dan 2, uji hipotesis untuk mean
(1 dan 2 sampel), uji hipotesis untuk proporsi (1 dan 2 sampel), uji hipotesis
2 sampel berpasangan.
Tujuan:
1. Mempelajari konsep uji hipotesis
2. Memahami dan menghitung kesalahan tipe 1 dan 2
3. Melakukan uji hipotesis untuk mean
4. Melakukan uji hipotesis untuk proporsi
5. Membedakan uji hipotesis 2 sampel independen dan berpasangan
5.1
Konsep Uji Hipotesis
Uji hipotesis (UH) adalah bagian dari statistika inferensi. UH bertujuan untuk mengambil kesimpulan secara statistik (signifikan) dari hipotesis-hipotesis
yang diberikan. Kesimpulan tersebut didasarkan pada tingkat signifikansi α
(yang sesungguhnya adalah tingkat kesalahan tipe I).
Tahap-tahap dalam pelaksanaan UH adalah
1. Membuat (menyatakan) hipotesis nol, H0 , dan hipotesis alternatif, Ha
atau H1 ,
2. Menentukan α,
1
3. Menentukan statistik uji (test statistic),
4. Menentukan daerah kritis (critical region) atau daerah penolakan/penerimaan,
5. Menghitung statistik uji dengan data sampel
6. Mengambil kesimpulan: “menolak atau gagal menolak H0 ”
Contoh:
1. Ini cerita tentang kematian karena kanker yang diduga dimulai dari
radiasi nuklir. Diketahui terjadi 13 kematian pada pekerja di suatu
proyek nuklir, dimana 5 kematian diantaranya disebabkan oleh kanker.
Berdasarkan data statistik, pihak otoritas kesehatan mengklaim bahwa
sekitar 20% kematian disebabkan oleh kanker. Benarkah klaim pihak
otoritas kesehatan?
2. Misalkan X p.a menyatakan tinggi tubuh suatu jenis binatang air. Diketahui X berdistribusi normal dengan mean µ. Akan diuji
H0 : µ = 3 vs H1 : µ > 3
dengan menggunakan data sampel 6 binatang air terpilih acak dengan
mean 3.763 dan deviasi standar 0.724. Apakah kesimpulan yang diambil
dari uji hipotesis tersebut?
Kesalahan Tipe-1 dan Tipe-2
Kesalahan-kesalahan dalam UH dibagi atas:
- kesalahan tipe-1 atau α, yaitu kesalahan “menolak H0 yang benar, atau
P (menolak H0 | H0 benar)
- kesalahan tipe-2 atau β, yaitu kesalahan “menerima H0 yang salah, atau
P (menerima H0 | H0 salah)
Catatan:
• Tidak ada hubungan antara α dan β
• 1 − β adalah kuasa atau power dari UH
MA2082 BioStat.
2
K. Syuhada, PhD.
Kaitan antara pengambilan kesimpulan dan kesalahan dapat dilihat dalam
tabel berikut:
Table 5.1: Pengambilan kesimpulan dan tipe kesalahan.
H0 gagal ditolak
H0 ditolak
H0 benar
keputusan benar
α
H0 salah
β
keputusan benar
Dua jenis uji hipotesis nol vs hipotesis alternatif:
1. Uji hipotesis 2-sisi atau two-sided:
H0 : µ = µ0 vs H1 : µ ̸= µ0
2. Uji hipotesis 1-sisi atau one-sided:
H0 : µ = µ0 vs H1 : µ > µ0
atau
H0 : µ = µ0 vs H1 : µ < µ0
5.2
Uji Hipotesis Untuk Mean
Uji hipotesis pada 1-sampel
Uji hipotesis untuk mean populasi dapat dilakukan pada kasus (i) pengambilan sampel berasal dari populasi yang berdistribusi normal dengan variansi
diketahui atau tidak diketahui, (ii) pengambilan sampel berasal dari populasi
yang tidak berdistribusi normal.
Seorang peneliti tertarik untuk menguji mean umur orang-orang dari suatu
populasi: apakah mean umur orang-orang dari populasi tersebut berbeda dari
30 tahun? (apakah mean umur orang-orang tersebut 30 tahun?). Untuk itu,
diambil sampel sebanyak 10 orang dan dihitung bahwa x̄ = 27. Asumsikan
data berasal dari distribusi normal dengan σ 2 = 20. Tahapan UH-nya adalah
1. Hipotesis:
H0 : µ = 30, Ha : µ ̸= 30
MA2082 BioStat.
3
K. Syuhada, PhD.
2. Tingkat signifikansi: α = 0.05
3. Statistik uji:
Z=
X̄ − µ0
√ ∼ N (0, 1)
σ/ n
4. Daerah kritis:
Tolak H0 jika z ≥ 1.96 atau z ≤ −1.96
5. Perhitungan:
27 − 30
z=√
= −2.12
20/10
6. Kesimpulan:
Tolak H0 , karena z ≤ −1.96. Dengan kata lain, mean umur suatu populasi bukanlah 30 tahun atau berbeda dari 30 tahun.
Pengambilan kesimpulan dapat pula dilakukan dengan menghitung p-value,
yaitu nilai α terkecil untuk menolak H0 . Dengan kata lain “tolak H0 jika
p-value lebih kecil dari α”. Pada contoh diatas, nilai p-value adalah
p − value = P (Z ≤ z) + P (Z ≥ z) = 2 × P (Z ≤ −2.12) = 0.034.
Jadi, karena 0.034 < 0.05 maka H0 ditolak.
Contoh/Latihan:
Lakukan UH untuk soal diatas. Pertanyaan yang diajukan adalah “apakah
mean umur populasi kurang dari 30 tahun?”. Gunakan tingkat signifikansi
α = 0.01. Bagaimana jika n = 20 dan x̄ = 27?
Bagaimana jika σ tidak diketahui?
Gunakan statistik uji:
T =
x̄ − µ0
√ ∼ tn−1 .
s/ n
Contoh: Castillo dan Lilioja meneliti suatu teknik untuk mengukur indeks
massa tubuh atau BMI. Mereka ingin menguji apakah mean BMI suatu populasi bukanlah 35. Dilakukan perhitungan pada 14 orang dewasa (laki-laki)
dan diperoleh x̄ = 30.5 dan s = 10.64. Tahapan UH-nya adalah
1. Hipotesis:
H0 : µ = 35, Ha : µ ̸= 35
MA2082 BioStat.
4
K. Syuhada, PhD.
2. Tingkat signifikansi: α = 0.05
3. Statistik uji:
T =
X̄ − µ0
√ ∼ tn−1
s/ n
4. Daerah kritis:
Tolak H0 jika t ≥ 2.16 atau t ≤ −2.16
5. Perhitungan:
t=
30.5 − 35
√ = −1.58
10.64/ 14
6. Kesimpulan:
H0 gagal ditolak (dengan kata lain, diterima), karena −2.16 ≤ t ≤ 2.16
atau bukan dalam daerah penolakan. Tidak ada alasan untuk mendukung klaim bahwa mean BMI bukanlah 35.
Contoh/Latihan: Lakukan pengambilan kesimpulan pada masalah BMI dengan menggunakan p-value. Bagaimana menurut anda? Manakah yang lebih
mudah dilakukan? (dibandingkan dengan menentukan z atau t pada tabel)
Bagaimana UH dilakukan pada mean populasi yang tidak berdistribusi normal?
Ambil sampel cukup besar!
Contoh: PR.
Uji hipotesis pada 2-sampel
Uji hipotesis untuk mean populasi dapat dilakukan dengan maksud untuk
menguji adanya perbedaan antara mean 2 populasi.
Seorang ahli pertanian meyakini bahwa butir jagung yang lebih besar dapat
diperoleh jika menggunakan Zat B, daripada Zat A, dalam memberantas tikus
perusak. Untuk itu, sang ahli memberikan Zat A dan B pada 80 bagian lahan pertanian (masing-masing Zat diberikan ke 40 bagian lahan). Hasil yang
diperoleh adalah:
Zat A:
109,98,103,97,101,102,91,106,
101,98,88,105,100,95,98,98,
97,94,108,102,105,100,113,101
MA2082 BioStat.
5
K. Syuhada, PhD.
89,99,102,104, 110,95,91,99,
100,104,106,101,96,109,95,96
Zat B:
105,113,106,110,104,122,102,107,
109,111,117,111,102,117,109,107,
110,111,99,103,111,101,103,111,
118,99,107,110,114,109,109,128,
109,112,119,108,114,109,106,109.
Benarkah klaim ahli pertanian tersebut?
Tahapan UH-nya adalah
1. Hipotesis:
H0 : µ1 = µ2 , Ha : µ1 < µ2
atau
H0 : µD = 0, Ha : µD < 0,
dimana µD = µ1 − µ2 .
2. Tingkat signifikansi: α = 0.05
3. Statistik uji:
T =
(X̄1 − X̄2 ) − 0
√
∼ tn1 +n2 −2 ,
sp 1/n1 + 1/n2
jika diasumsikan σ1 = σ2 , dimana
s2p =
(n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22
,
n1 + n2 − 2
atau
(X̄1 − X̄2 ) − 0
T =√ 2
,
s1 /n1 + s22 /n2
jika diasumsikan σ1 ̸= σ2
4. Daerah kritis:
Tolak H0 jika t < t78,0.05 = −1.662, atau
Tolak H0 jika t < t78,0.05 = −1.662
MA2082 BioStat.
6
K. Syuhada, PhD.
5. Perhitungan:
n1 = 40, x̄1 = 100.15, s1 = 5.73
n2 = 40, x̄2 = 109.53, s2 = 6.06
t = −7.11
6. Kesimpulan:
Tolak H0 , karena t = −7.11 < −1.662. Dengan kata lain, data mendukung klaim ahli pertanian tersebut.
Catatan:
• Uji mean untuk 2 sampel mengasumsikan bahwa data berasal dari distribusi normal
• Uji mean 2 sampel dengan asumsi σ1 = σ2 akan valid jika ukuran sampelnya besar
Uji hipotesis pada 2-sampel Berpasangan
Uji hipotesis untuk mean diatas dilakukan pada 2 mean yang saling bebas
atau independen. Uji untuk mean dapat pula dilakukan pada 2 sampel yang
berpasangan.
Sebuah studi dimaksudkan untuk melihat apakah merokok dapat menurunkan
kadar “platelet” dalam darah. Sebelas sampel darah diambil dari 11 orang SEBELUM dan SESUDAH orang-orang tersebut merokok. Data yang diperoleh
dalah prosentase maksimum platelet:
Apakah data sampel mendukung tujuan studi tersebut?
Tahapan UH-nya adalah
1. Hipotesis:
H0 : µD = µ1 − µ2 = 0, Ha : µD > 0
2. Tingkat signifikansi: α = 0.05
3. Statistik uji:
T =
D̄ − µD0
√ ∼ tn−1
sD / n
MA2082 BioStat.
7
K. Syuhada, PhD.
Table 5.2: Kadar platelet sebelum dan sesudah merokok.
Sebelum Sesudah
27
25
29
25
37
27
56
44
46
30
82
67
80
53
57
53
61
52
59
60
43
28
D=Beda=Seb-Ses
2
4
10
12
16
15
27
4
9
-1
15
4. Daerah kritis:
Tolak H0 jika t > t10,0.95 = 1.812, atau
5. Perhitungan:
nD = 11, D̄ = 10.27, sD = 7.98,
t = 4.27
6. Kesimpulan:
Tolak H0 , karena t > 1.812. Dengan kata lain, kadar platelet dalam
darah menurun akibat merokok.
5.3
Uji Hipotesis Untuk Proporsi
Pandang 2 proporsi populasi, p1 dan p2 . Kita ingin membandingkan, misalnya,
apakah proporsi p1 yang menyatakan proporsi wanita yang bekerja di bidang
ilmu hayati BERBEDA dengan proporsi p2 yaitu proporsi wanita yang bekerja
di bidang teknik.
Misalkan
• X1 banyaknya “sukses” dari sampel berukuran n1 dari populasi 1
• X2 banyaknya “sukses” dari sampel berukuran n2 dari populasi 2
MA2082 BioStat.
8
K. Syuhada, PhD.
• X1 ∼ B(n1 , p1 ) dan X2 ∼ B(n2 , p2 )
• Penaksir proporsinya adalah
p̂1 = X1 /n1 , p̂2 = X2 /n2
Bagaimana kita melakukan uji hipotesis untuk persoalan diatas?
Tahapan UH-nya adalah
1. Hipotesis:
H0 : δ = p1 − p2 = 0, Ha : δ ̸= 0
2. Tingkat signifikansi: α = 0.05
3. Statistik uji:
Z=
δ̂ − 0
s.e(δ̂)
dimana
δ̂ = p̂1 − p̂2 , dan
√
s.e(δ̂) =
∼ N (0, 1),
p̂1 (1 − p̂1 ) p̂2 (1 − p̂2 )
+
,
n1
n2
jika diasumsikan bahwa p1 ̸= p2 , ATAU
√
p̂(1 − p̂) p̂(1 − p̂)
s.e(δ̂) =
+
,
n1
n2
jika diasumsikan bahwa p1 = p2 , yaitu
p̂ =
X1 + X2
n1 + n2
4. Daerah kritis:
Tolak H0 jika z ≤ zα/2 , atau z ≥ z1−α/2
5. Perhitungan
6. Kesimpulan
MA2082 BioStat.
9
K. Syuhada, PhD.
Contoh/Latihan. Dalam sebuah studi, akan diuji keefektifan suatu perlakuan
terhadap “aphid infestation”. Sampel tumbuhan yang diambil acak berukuran
100 diambil dan diberikan perlakuan tersebut. Sampel lain berukuran 100
tidak diberi perlakuan. Ditemukan bahwa 35 tumbuhan yang diberi perlakuan
dan 85 tumbuhan yang tidak diberi perlakuan “infested with aphids”. Apakah
data mendukung klaim bahwa perlakuan efektif? Gunakan α = 0.001.
Solusi:
1. Hipotesis:
H0 : δ = p1 − p2 = 0, Ha : δ < 0
2. Tingkat signifikansi: α = 0.001
3. Statistik uji:
Z=
δ̂ − 0
s.e(δ̂)
dimana
δ̂ = p̂1 − p̂2 , dan
√
s.e(δ̂) =
∼ N (0, 1),
p̂1 (1 − p̂1 ) p̂2 (1 − p̂2 )
+
,
n1
n2
4. Daerah kritis:
Tolak H0 jika z ≤ zα = −3.09
5. Perhitungan:
p̂1 = 35/100, p̂2 = 80/100, δ̂ = −0.45,
s.e(δ̂) = 0.06225,
z = −7.23
6. Kesimpulan:
Tolak H0 karena z = −7.23 < −3.09. Dengan kata lain, data mendukung
klaim bahwa perlakuan efektif untuk mengendalikan “aphids”.
5.4
Selang Kepercayaan
PELAJARI selang kepercayaan dalam kaitannya dengan Uji Hipotesis!
MA2082 BioStat.
10
K. Syuhada, PhD.
BAB 6
Analisis Variansi
Silabus: Konsep uji hipotesis untuk mean lebih dari 2 sampel, asumsi dalam
analisis variansi, distribusi F.
Tujuan:
1. Memahami dan menggunakan uji mean lebih dari 2 sampel
2. Mempelajari asumsi dalam analisis variansi
3. Menggunakan distribusi F
6.1
Konsep Anava (1 Arah)
Uji hipotesis (UH) untuk mean pada 2 sampel/grup dapat dilanjutkan (extended) ke lebih dari 2 sampel, sebut k sampel dengan ukuran sampel ni , i =
1, 2, . . . , k. Teknik atau metode untuk melakukan UH tersebut adalah “ANALISIS VARIANSI” (1 arah). Perhatikan bahwa ukuran sampel tidak harus
sama.
Catatan:
Jika k = 2 maka dapat kita lakukan uji t dua sisi dan menggunakan deviasi
standar “pooled”
Asumsi yang digunakan adalah:
• Data saling bebas (independen)
• Data berasal dari distribusi normal
• Deviasi standar σ sama untuk setiap sampel/grup
1
6.2
Langkah-langkah UH
Langkah-langkah dalam analisis variansi:
1. Hipotesis:
H0 : µ1 = µ2 = · · · = µk
H1 :
2. Tingkat signifikansi: α
3. Statistik uji:
F =
BSS/(k − 1)
∼ Fk−1,n−k ,
W SS/(n − k)
dimana
∑
BSS =
T SS =
∑
ni (ȳi − ȳ)2 ,
(yi − ȳ)2 ,
W SS = T SS − BSS
4. Daerah kritis:
Tolak H0 jika Fhit ≥ Fk−1,n−k (1 − α)
atau
Tolak H0 jika Fhit ≥ Fk−1,n−k (α)
5. Perhitungan.
6. Kesimpulan.
6.3
Contoh
Sebuah percobaan dilakukan untuk membandingkan 3 perlakuan Diet. Variabel responnya adalah “weight gain” pada suatu periode. Hasil percobaannya
adalah sbb:
• Diet 1: 8,16,9
• Diet 2: 9,16,21,18,11
MA2082 BioStat.
2
K. Syuhada, PhD.
• Diet 3: 15,10,17,6
Ujilah pada tingkat α = 0.05 bahwa “expected weight gain” untuk 3 perlakuan
tersebut tidak sama.
Solusi:
1. Hipotesis:
H0 : µ1 = µ2 = µ3 ,
H1 : H0 salah
2. α = 0.05
3. Statistik uji:
Fhit ∼ F2,9,0.95
atau
Fhit ∼ F2,9,0.05
4. Daerah kritis:
Tolak H0 jika Fhit ≥ 4.26
5. Perhitungan:
ȳ = 13, BSS = 36, W SS = 210
Fhit = 0.7714
6. Kesimpulan:
H0 gagal ditolak karena...
MA2082 BioStat.
3
K. Syuhada, PhD.
Contoh/Latihan:
1. Data berikut menyatakan waktu kesembuhan (jam) yang diakibatkan
tiga merek obat sakit kepala yang berlainan yang diberikan pada 25
penderita demam.
Obat A: 5,4,8,6,3,3,5,2
Obat B: 9,7,8,6,9,3,7,4,1
Obat C: 7,6,9,4,7,2,3,4
Apakah data mendukung klaim bahwa obat A lebih efektif menyembuhkan sakit kepala dibandingkan obat B? Gunakan α = 0.10.
2. Seorang mahasiswa melakukan studi tentang ketertarikan orang terhadap
perkuliahan ’Pengantar Lingkungan’, ’Mikrobiologi’ atau ’Bistatistika’
dan memberikan penilaian seberapa tertarik terhadap perkuliahan tsb
(skala 1-10). Didapat data sbb:
Peng. Lingk.
7
6
8
4
6
MikroBio
9
10
6
7
7
BioStat
3
5
2
7
3
Apakah ada perbedaan rata-rata penilaian ketiga perkuliahan tsb (Gunakan α = 0.05)? Jawablah dengan uji hipotesis dan lengkapi tabel
ANOVA berikut:
Sumber variasi JK
Perlakuan
Galat
Total
d.k
RK
F
14
Catatan:
F0.01 (2, 12) = 6.93, F0.01 (12, 2) = 99.42,
F0.05 (2, 12) = 3.89, F0.05 (12, 2) = 19.41.
MA2082 BioStat.
4
K. Syuhada, PhD.
BAB 7
Analisis Data Kategorik
Silabus: Data kategorik, konsep association dan relation, uji kebebasan, uji
homogenitas, distribusi χ2 .
Tujuan:
1. Menggunakan data kategorik dalam analisis statistik
2. Memahami konsep “hubungan”
3. Mempelajari dan menggunakan uji kebebasan
4. Mempelajari dan menggunakan uji homogenitas
5. Menggunakan distribusi χ2
7.1
Ilustrasi
(Ilustrasi-1) The chronic heart condition angina pectoris menyebabkan nyeri
pada dada secara periodik. Suatu studi ingin melihat ke-efektif-an Timolol
dalam mencegah angina attack. Untuk keperluan itu, sejumlah pasien diberi
Timolol atau Placebo.
Timolol
Placebo
Angina-free Not angina-free
44
116
19
128
Apakah sama efek dari penggunaan Timolol dan Placebo?
1
(Ilustrasi-2) Yayasan Kanker Indonesia memberikan klaim “Merokok menyebabkan sakit jantung”. Setujukah anda dengan klaim itu? Bagaimana anda
melakukan analisis statistik untuk menjawab klaim YKI?
Data Kategorik
Jelaskan pengertian data kategorik?
Bagaimana kita melakukan analisis data kategorik?
7.2
Uji Chi-Kuadrat
Uji χ2
Notasi:
Baris 1
Baris 2
Kolom 1
O11
O21
Kolom 2
O12
O22
dimana Oij menyatakan banyak observasi di baris ke-i dan kolom ke-j.
Langkah-langkah UH:
1. Hipotesis:
H0 : Tidak ada perbedaan dalam perlakuan ... dan ...
2. Tingkat signifikansi: α
3. Statistik uji:
χ2 =
∑ (O − E)2
∼ χ2(b−1)(k−1) ,
E
dimana
Eij =
(Total baris ke-i) × (Total kolom ke-j)
Total
4. Daerah kritis:
Tolak H0 jika χ2hit ≥ χ21 (α)
MA2082 BioStat.
2
K. Syuhada, PhD.
5. Perhitungan:
Oij , Eij , χ2hit
6. Kesimpulan.
Untuk persoalan perlakuan Timolol dan Placebo diatas, maka langkah-langkah
UH-nya adalah
1. Hipotesis:
H0 : Tidak ada perbedaan dalam perlakuan Timolol dan Placebo
2. Tingkat signifikansi: α = 0.05
3. Statistik uji:
χ2 =
∑ (O − E)2
∼ χ2(2−1)(2−1) ,
E
dimana
Eij =
(Total baris ke-i) × (Total kolom ke-j)
, i, j = 1, 2
Total
4. Daerah kritis:
Tolak H0 jika χ2hit ≥ χ21 (0.05) = 3.84
5. Perhitungan:
Baris 1
Baris 2
Kolom 1
44(32.83)
19(30.17)
63
Kolom 2
116(127.17)
128(116.83)
244
160
147
307
χ2hit = 9.978
6. Kesimpulan:
Tolak H0 karena χ21 = 9.978 ≥ 3.84.
MA2082 BioStat.
3
K. Syuhada, PhD.
Nilai χ2 :
• Tidak akan bernilai negatif
• Bernilai (dekat) ke NOL jika “O” dekat dengan “E”
• Bernilai POSITIF (besar) jika “O” jauh dari “E”
Uji kebebasan?
H0 : Perlakuan “Timolol dan Placebo” SALING BEBAS dengan Angina Attack.
Contoh/Latihan:
Dalam suatu percobaan klinik, 99 pasien TB diberi perlakuan “PAS, Streptomycin, dan Kombinasi”. Setelah waktu tertentu, sampel “sputum” dianalisis
menggunakan “smear test” dan “culture test”.
PAS
Streptomycin
Komb
7.3
+ Smear
56
46
37
-Smear, +Culture
30
18
18
-Smear, -Culture
13
20
35
Uji Homogenitas
Uji homogenitas?
MA2082 BioStat.
4
K. Syuhada, PhD.
BAB 8
Analisis Regresi
Silabus: Peubah bebas dan terikat, konsep relation, model regresi linier, penaksir kuadrat terkecil, uji koefisien, koefisien determinasi, korelasi.
Tujuan:
1. Mempelajari peubah bebas dan terikat serta konsep relation
2. Memodelkan peubah bebas dan terikat yang linier terhadap parameter
3. Menurunkan rumus penaksir kuadrat terkecil
4. Melakukan uji hipotesis untuk koefisien regresi
5. Menghitung dan menafsirkan koefisien determinasi dan korelasi
8.1
Konsep “Relation”
Hubungan antara peubah-peubah dapat berupa hubungan yang memiliki sebab dan akibat (kausalitas). Peubah yang menjadi sebab adalah “peubah bebas” atau prediktor. Sedangkan peubah yang menjadi akibat adalah “peubah
terikat” atau respon.
Contoh:
• Hubungan antara umur dan tekanan darah
• Hubungan antara tingkat kebisingan dan stres pada bayi yang dirawat
• Hubungan antara hasil TPA dan keberhasilan mahasiswa keperawatan
dalam kuliah
1
Diskusi:
• Dapatkah anda menenetukan peubah bebas dan terikat dari persoalan
diatas?
• Apakah hubungan diatas berlaku satu arah? dua arah?
• Adakah syarat utama untuk jenis data pada hubungan diatas?
8.2
Model Regresi Linier Sederhana
Hubungan dua peubah, prediktor dan respon, dapat dianalisis dengan terlebih dahulu menggambarkan garis lurus atau linier. Selanjutnya, plot dari
data/observasi pada garis lurus tadi dapat membawa kita mencari model yang
tepat. Kita ketahui bahwa persamaan garis lurus dapat dibangun dan dapat
memiliki “slope” bernilai positif atau negatif.
Model regresi linier sederhana:
Y = α + β X + ε,
dimana
• Y peubah terikat atau respon
• X peubah bebas atau prediktor
• ε adalah galat yang diasumsikan berdistribusi normal dengan mean nol
dan variansi σ 2
• α intercept
• β slope
Catatan:
- Nilai (sebenarnya) dari α, β, σ 2 umumnya tidak diketahui
- Data atau observasi: (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) digunakan untuk menaksir parameter tersebut
Hubungan dua peubah yang dibangun dalam model regresi akan berhubungan POSITIF jika memiliki slope bernilai positif. Dengan kata lain, “jika X
MA2082 BioStat.
2
K. Syuhada, PhD.
membesar maka nilai Y akan membesar”. Atau, sebagai contoh, “jika tingkat
kebisingan makin tinggi maka stres bayi di ruang rawat akan meningkat”.
Diskusi:
Dapatkah anda menggambarkan hubungan NEGATIF pada model regresi?
Berikan contoh.
8.3
Penaksir Kuadrat Terkecil
Parameter regresi (α, β, σ 2 ) dapat ditaksir dengan metode KUADRAT TERKECIL atau Least Square dari observasi sebagai berikut:
β̂ =
Sxy
, α̂ = ȳ − β̂ x̄,
Sxx
dimana
Sxy =
∑
x y − n x̄ ȳ dan Sxx =
∑
x2 − n x̄2
Dengan demikian, penaksir model regresi atau garis regresi atau persamaan
regresinya adalah
ŷ = α̂ + β̂ x,
yang meminimumkan jumlah kuadrat galat (galat = jarak antara nilai yi dengan garis regresi)
Ilustrasi: Tingkat kebisingan ruang rawat (termasuk alat-alat dan personal)
menyebabkan tingginya tingkat stres bayi yang dirawat. Data yang diperoleh
sbb:
Observasi ke- Tgkt Bising (X)
1
1
2
3
3
8
4
2
5
7
6
8
7
4
MA2082 BioStat.
3
Tgkt Stres (Y )
5
6
10
4
8
9
5
K. Syuhada, PhD.
Persamaan garis regresinya adalah:
ŷ = 3.28 + 0.728 x
Dari persamaan diatas, kita ketahui bahwa β̂ > 0. Artinya garis regresi memiliki slope positif, yaitu y akan membesar apabila x membesar.
Sebagian orang berpendapat bahwa persamaan garis regresi dapat digunakan
untuk PREDIKSI nilai y, jika diberikan nilai x tertentu. Hal ini tidak benar
karena persamaan regresi hanya dapat memberikan nilai y jika diberikan nilai
x pada domainnya saja, bukan untuk PREDIKSI ke depan.
8.4
Uji Hipotesis
Setelah persamaan regresi diperoleh, kita akan menguji apakah koefisen regresi,
yaitu α dan β, sama dengan NOL atau tidak. Apabila β = 0 maka kita dapat
mengatakan bahwa “X tidak mempengaruhi Y ”. Sebab, berapapun nilai x,
akan diperoleh nilai y yang sama.
Untuk keperluan uji hipotesis diatas, langkah-langkahnya sbb:
1. Hipotesis:
H0 : β = 0, H1 : β > 0, atau
H0 : β = 0, H1 : β < 0, atau
H0 : β = 0, H1 : β ̸= 0
2. Tingkat signifikansi α
3. Statistik uji:
T =
β̂ − β0
s.e(β̂)
∼ tn−2
4. Daerah kritis:
Tolak H0 jika t > tn−2 (1 − α), atau...
5. Perhitungan.
6. Kesimpulan.
MA2082 BioStat.
4
K. Syuhada, PhD.
Contoh/Latihan:
Lakukan uji hipotesis untuk β pada ilustrasi kebisingan pada tingkat stres.
Koefisien Determinasi
Kita dapat menghitung koefisien determinasi, r2 , pada analisis regresi,
r2 =
2
Sxy
Sxx Syy
yang menyatakan prosentase banyaknya variasi dalam nilai y yang dijelaskan
oleh nilai x. Nilai r2 yang diharapkan adalah nilai yang tinggi, kira-kira lebih
dari 80%.
Catatan:
• 0 ≤ r2 ≤ 1
• Jika r2 = 1 maka seluruh titik sampel berada di garis lurus (untuk slope
positif atau negatif)
• Jika r2 = 0 maka tidak ada hubungan linier antara X dan Y
8.5
Korelasi
Jelaskan tentang korelasi.
MA2082 BioStat.
5
K. Syuhada, PhD.