bilangan kompleks

BILANGAN
KOMPLEKS
1
Setelah mempelajari bab ini mahasiswa
mampu dan kompeten, mengenai :
 Bilangan kompleks
 Operasi bilangan kompleks
 Aplikasi bilangan kompleks dalam
rangkaian elektronika
 Tegangan, arus dan impedansi
dengan menggunakan bilangan
kompleks dan diagram fasor
2
BILANGAN KOMPLEKS
Bilangan kompleks dituliskan sebagai berikut :
Z = a + jb
Dan
“Lawan” dari Z dinamakan konyugasi kompleks
(Complex Conyugate),
Dituliskan :
Z = Z∗ = a – jb
Dan berlaku sebaliknya
Keterangan :
a= bagian riel (Re)
b= bagian imajiner(Imj)
3
BILANGAN KOMPLEKS
j = −1=(−1)
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
j2 = (−1) (−1) =−1
1
2
j3 = (−1) (−1) (−1) =−j
j4 = (−1) (−1) (−1)
1
2
1
2
(−1)
1
2
j (−j)= −(−1) (−1) = 1
4
1
2
=1
OPERASI BILANGAN KOMPLEKS
Bilangan kompleks Z dapat juga dioperasikan
secara matematika
BAGAIMANA
1 ?!
JIKA
Z  Z1  Z2
Z
Z  Z1  Z2
Z  Z1 Z2
Z1
Z
Z2
Z  Z12  Z1Z1
Hitunglah jika :
Z1  3 j  4
Z2  j  1
5
OPERASI BILANGAN KOMPLEKS
Bilangan kompleks Z dapat juga dioperasikan
secara matematika
Z  Z1*  Z 2*
Z  Z1  Z 2
Z  Z1 Z1*
Z1
Z *
Z1
Z  Z1*2  Z1* Z1*
Hitunglah jika :
Z1  3 j  4
Z2  j  1
6
BILANGAN KOMPLEKS
Bilangan komplex dapat digambarkan dalam sumbu
tegak lurus dimana sumbu vertikal sebagai sumbu
Imajiner dan sumbu horisontal sebagai sumbu Riel
Dari gambar diperoleh :
modulus
a  Z cos
b  Z sin 
argumen
Sehingga Z dapat
dituliskan:
Z  a  jb
 Z cos   j sin 
7
BILANGAN KOMPLEKS
Bilangan kompleks Z dapat dituliskan juga :
Z  a  jb
 Z cos   j sin 
Z  Z e j
Dimana :
e
j
 cos  j sin 
8
BILANGAN KOMPLEKS
Bilangan konyugasi kompleks Z :
Z  a  jb
 Z cos   j sin 
Z  Z e j
Dimana :
e
 j
 cos  j sin 
9
BILANGAN KOMPLEKS
BAGAIMANA
JIKA Y  1 ?!
Z
BAGAIMANA
1
GAMBAR Y  ?!
Z
10
2/25/2015
BILANGAN KOMPLEKS
Kegunaan Bilangan kompleks atau diperluas dalam ruang
kompleks, kita dapat bekerja “salah satunya” mendapatkan
output besaran/norm Riel dari bilangan kompleks tersebut.
Contoh :
Diketahui : Z  4  3 j
Besar/Norm Z
dapat diperoleh dari
rumusan
Z  ZZ*
Tentukan Z
Jawab
Diperoleh Z*  4  3 j
Sehingga :
4  3 j4  3 j
Z
4
Z
Z
11
2

 12 j 12 j  32  j j
25  5
BILANGAN KOMPLEKS
Resistor, induktor dan kapasitor dalam
bilangan kompleks dan bilangan Euler.
Resistor
Z  a  bj
Misalkan : R  40 
Maka :
R  4000 
ZR  40  j0 
 40 
Karena
b0
ZR  40e
Sehingga :
ZR  a
12
j00
BILANGAN KOMPLEKS
Resistor, induktor dan kapasitor dalam
bilangan kompleks dan bilangan Euler.
Induktor
ZL  a  bj
Misalkan :  L  70 
Karena
0


70

90

L
Maka :
a0
ZL  0  j70 
 j70 
Sehingga :
ZL  bj
Z L  ZL e

j
2
Z L  70e
13
j

2
BILANGAN KOMPLEKS
Resistor, induktor dan kapasitor dalam
bilangan kompleks dan bilangan Euler.
Kapasitor
ZC  a  bj
Misalkan : C  40 
 C  40  900 
Maka :
Karena
a0
ZC  0  j40 
  j40 
Sehingga :
ZC  bj
ZC  ZC e
j

2
ZC  40e
14
j

2
BILANGAN KOMPLEKS
Informasi yang lengkap Sumber tegangan dan
sumber arus dinyatakan dalam bilangan Euler.
Misalkan sumber tegangan :
jt  0 
j0 jt
V  Vm e
 Vm e e
 II
I
V  Vm e jt 0 


  Vm cost  0   jVm sin t  0 
 

bagian riel
bagian imajiner


Vm cost  0  bagian riel dari Vm e jt 0 
15
BILANGAN KOMPLEKS
Informasi yang lengkap Sumber tegangan dan
sumber arus dinyatakan dalam bilangan Euler.
Misalkan sumber tegangan :
jt  0 
j0 jt
V  Vm e
 Vm e e
 II
I
Suku I merupakan simpangan dengan sudut 0
dan besar amplitudo Vm dan suku II merupakan
fungsi waktu dapat dinyatakan secara implisit.
Sehingga penulisan:
V  Vme
j0
e
jt
Dapat diringkas menjadi :
V  Vm0
16
BILANGAN KOMPLEKS
Jika Sumber tegangan atau sumber arus fungsi
cosinus dapat dituliskan bagian Riel (Re) dari
bilangan Euler .
Misalkan sumber tegangan :
 
V  Vm cost  0   Vm Re e jt 0 

Jika Sumber tegangan atau sumber arus fungsi
sinus dapat dituliskan bagian Imajiner (Imj) dari
bilangan Euler .
Misalkan sumber arus :
 
I  I m sin t  0   I m I mj e
17
jt 0 

DIAGRAM FASOR
1. Gambarkan :
1. Gambarkan :
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Y=sin (x)
Y=2 sin (x)
Y= sin (2x)
Y= sin (4x)
Y=2 sin (4x)
18
V=sin (t)
V=2 sin (t)
V= sin (2t)
V= sin (4t)
V=2 sin (4t)
DIAGRAM FASOR
2. Gambarkan :
2. Gambarkan :
a) Y=sin (x-450)
b) Y= sin (x+900)
c) Y= sin (x-1800)
a) I=sin (t -450)
b) I= sin (t +900)
c) I= sin (t -1800)
19
DIAGRAM FASOR
3. Gambarkan :
3. Gambarkan :
a) Y=3 cos (x-450)
b) Y= 4 cos (x+900)
c) Y= 5 cos (x-1800)
a) V=3 cos (t -450)
b) V= 4 cos (t +900)
c) V= 5 cos (t -1800)
20
Contoh-1
Gambarkan :
a) sin(ωt); sin(ωt + 450); sin(ωt-300);
sin(ωt + 900); -sin(ωt)
a) sin(2ωt); sin(3ωt)
Penyelesaian-1
Penyelesaian-1
Gambar sin(ωt+450)
Penyelesaian-1
Gambar sin(ωt-300)
Penyelesaian-1
Gambar sin(ωt+900)
Penyelesaian-1
Gambar -sin(ωt)
Penyelesaian-1
Gambar sin(2ωt)
Penyelesaian-1
Gambar sin(3ωt)
Bagaimana ....???
Gambar sin(ωt)+cos(ωt)
Gambar sin(ωt)-cos(ωt)
Penyelesaian-1
Gambar sin(ωt)+cos(ωt)
Penyelesaian-1
Gambar sin(ωt)-cos(ωt)
DIAGRAM FASOR
Diagram fasor
adalah diagram yang menggambarkan fungsi-fungsi
yang mempunyai sifat vektor dan fase sudut, dimana
digambarkan dalam besar amplitudo dan fase sudutnya
saja, sedangkan sifat vektor (ruang, waktu)
terkandung (included) didalamnya.
Fungsi- fungsi tersebut biasanya fungsi sinus dan/atau
cosinus.
Atau fungsi dalam bilangan kompleks
31
DIAGRAM FASOR
Misalkan sumber tegangan AC, sebagai berikut
Atau
VS t   Vm cos t 
VS t   Vm sin t 
Gambar diagram fasornya :
Penulisan yang lebih
sederhana
VS  Vm 00
Diagram fasornya
sama meskipun
sinus atau cosinus
32
DIAGRAM FASOR
Misalkan sumber tegangan AC, sebagai berikut
Atau
VS t   Vm cos t  0 
VS t   Vm sin  t  0 
Gambar diagram fasornya :
Penulisan yang lebih
sederhana
VS  Vm0
Diagram fasornya
sama meskipun
sinus atau cosinus
33
DIAGRAM FASOR
Misalkan sumber tegangan AC, sebagai berikut
Atau
VS t   Vm cos t  0 
VS t   Vm sin  t  0 
Gambar diagram fasornya :
Penulisan yang lebih
sederhana
VS  Vm  0
Diagram fasornya
sama meskipun
sinus atau cosinus
34
DIAGRAM FASOR
Diagram fasor dan cara penulisan fasor berlaku
juga untuk arus dan impedansi
Arus
I  I m
Impedansi
Z  Zm
Bagaimana,
Diagram fasor dan cara penulisan fasor
Resistor, Induktor dan Kapasitor ??!!
35
2/25/2015
DIAGRAM FASOR
Resistor
Pada resistor, arus dan tegangan sefasa
sehingga diagram fasornya berada pada sumbu
mendatar 0=00
Misalkan
R  40
Ditulis lengkapnya
R  4000 
36
DIAGRAM FASOR
induktor
Pada induktor, beda fasa arus dan tegangan
sebesar +900, artinya jika diberikan arus maka
oleh induktor fasa tegangannya diubah
sebesar +900
Misalkan
 L  70
Ditulis lengkapnya
L  70  900 
37
DIAGRAM FASOR
Kapasitor
Misalkan
Pada kapasitor, beda fasa arus dan tegangan
sebesar -900, artinya jika diberikan arus maka
oleh kapasitor fasa tegangannya diubah
sebesar -900
C  40
ADA ORANG
DISINI ?!
Ditulis lengkapnya
 C  40  90 0 
38
2/25/2015
DIAGRAM FASOR
Soal dan pembahasan :
Rangkaian seri RLC dengan sumber tegangan
Vs(t), seperti gambar dibawah ini :
Tentukan :
a) Impedansi rangkaian
b) Arus pada rangkaian
c) Diagram fasor
impedansi
39
2/25/2015
Soal dan pembahasan :
Untuk menyelesaikan persoalan diatas, dijelaskan operasi
matematik penulisan fasor
PERKALIAN
Diketahui :
Arus
I  I m
Impedansi
Z  Zm
Maka Tegangannya
VI Z
40
Tegangannya
V  I Z  I mZm
V  I m Zm  
GA NYAMBUNG
?!
V  Vm  
Pada perkalian bilangan fasor
bilangan skalar dioperasikan perkalian matematik
seperti biasa,
Sudut fase perkalian menjadi jumlah sudut fase
41
Soal dan pembahasan :
Untuk menyelesaikan persoalan diatas,
dijelaskan operasi matematik penulisan fasor
PEMBAGIAN
Diketahui :
Tegangan
I  Vm
Impedansi
Z  Zm
Maka Arusnya
adalah
V
I
Z
42
Arusnya adalah
NYAMBUNG
NGGA ?!
V Vm
I 
Z Zm
I  I m  
Pada pembagian bilangan fasor
bilangan skalar dioperasikan pembagian
matematik seperti biasa,
Sudut fase pembagian menjadi pengurangan
sudut fase
43
Soal dan pembahasan :
a) Impedansinya :
Z  R 2   L  C 
2
Z  402  70  40  50 
2
Sudut
  arctan
 L  C   arctan 3  37 0
R
4
Dituliskan lengkapnya
Z  50370 
44
DIAGRAM FASOR
b) Arus pada rangkaian
I
V 5 cost 

Z
5037 0
500
0
I

0
,
1


37
A
0
5037
Dituliskan dengan fungsi waktu


It   0,1cos t  370 A
45
DIAGRAM FASOR
c) Diagram fasor impedansi :
46
2/25/2015
DIAGRAM FASOR
Soal dan pembahasan :
Sesuai dengan nomor soal
diatas, tentukan :
a) VR, VL dan VC
b) Gambarkan diagram
fasor tegangan
47
2/25/2015
Tegangan pada resistor VR



VR  I R  0,1  370 4000  4  370 V
0
Atau VR  4 cos t  37 V


Tegangan pada Induktor VL
VL  I L  0,1  370 70  900  7  530 V
0
Atau VL  7 cos t  53 V





Tegangan pada Kapasitor VC
VC  I  C  0,1  37 0 40  900   4  127 0 V
0
Atau VC  4 cost  127 V
48
DIAGRAM FASOR TEGANGAN
49
BILANGAN KOMPLEKS
Perhatikan rangkaian berikut ini
a)
b)
c)
d)
e)
Tentukan Impedansi total rangkaian
Tentukan Arus pada tiap komponen
Tentukan Vab dan Vbe
Gambarkan diagram fasor impedansi
Gambarkan diagram fasor arus
50
2/25/2015