trigonometri kd_1

MATA PELAJARAN
: MATEMATIKA KTSP 2006
KELAS / SEMESTER
: XI / GANJIL
PENGAJAR
: MAULANA SUHADA’
MODUL 1
: TRIGONOMETRI
KD_1.5
: MENERAPKAN RUMUS TRIGONOMETRI JUMLAH DAN
SELISIH DUA SUDUT
I.
Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
a. sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 . cos 𝛽 + cos 𝛼 . sin 𝛽
d. cos(𝛼 − 𝛽) = cos 𝛼 . cos 𝛽 + sin 𝛼 . sin 𝛽
b. sin(𝛼 − 𝛽) = sin 𝛼 . cos 𝛽 − cos 𝛼 . sin 𝛽
e. tan(𝛼 + 𝛽) = 1−tan 𝛼.tan 𝛽
c. cos(𝛼 + 𝛽) = cos 𝛼 . cos 𝛽 − sin 𝛼 . sin 𝛽
f. tan(𝛼 − 𝛽) =
tan 𝛼+tan 𝛽
tan 𝛼−tan 𝛽
1+tan 𝛼.tan 𝛽
Contoh :
1.
Tentukan nilai dari sudut berikut !
a.
sin 105
b. tan 15
Pembahasan
a.
sin 105 = sin (60 + 45) = sin 60. cos 45 + cos 60. sin 45
1
1
1 1
= 2 √3 . 2 √2 + 2 . 2 √2
1
1
= 4 √6 + 4 √2
1
= 4 (√6 + √2)
tan 45−tan 30
b. tan 15 = tan (45 - 30) =
1+tan 45.tan 30
1
=
1−3√3
1
1+1.3√3
1
=
=
1−3√3
1
1+3√3
x3 =
9−6√3+3
9−3
=
3−√3
3+√3
x
3−√3
3−√3
12−6√3
6
= 2 − √3
2.
3
12
Diketahui cos A = 5 dan sin B = 13 , A dan B sudut lancip. Hitunglah !
a.
sin (A+B)
b. cos (A-B)
Pembahasan
Pertama kita mencari sisi-sisi yang belum diketahui, untuk menentukan sin A dan cos B
3
𝑠𝑎
Untuk A sisi depan  cos A = 5 = 𝑚𝑖
Sisi depan = √(𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔)2 − (𝑠𝑎𝑚𝑝𝑖𝑛𝑔)2
= √52 − 32
= √25 − 9
5
= √16
x
=4
𝑑𝑒
A
4
Maka, sin A = 𝑚𝑖 = 5
3
12
𝑑𝑒
Untuk B sisi samping  sin B = 13 = 𝑚𝑖
Sisi samping = √(𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔)2 − (𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛)2
=
√132
13
12
122
−
= √169 − 144 = √25
B
=5
x
𝑠𝑎
5
Maka, cos B = 𝑚𝑖 = 13
a.
sin (A+B) = sin 𝐴 . cos 𝐵 + cos 𝐴 . sin 𝐵
4
5
3
12
= 5 . 13 + 5 . 13
20
36
= 65 + 65
56
= 65
b. cos (A-B) = cos 𝐴 . cos 𝐵 + sin 𝐴 . sin 𝐵
3
5
4
12
= 5 . 13 + 5 . 13
15
48
= 65 + 65
63
= 65
II.
Rumus Trigonometri Sudut Rangkap
Misalkan 𝛼 adalah sudut tunggal, maka dua kali sudut 𝛼 ditulis 2 𝛼 disebut sudut rangkap atau sudut
ganda.
a. sin 2 𝛼 = 2 sin 𝛼 . cos 𝛼
c. tan 2 𝛼 =
2 tan 𝛼
1−tan² 𝛼
b. cos 2 𝛼 = cos ²𝛼 − sin²𝛼
= 1 − 2 sin²𝛼
= 2 cos ²𝛼 − 1
Contoh
1.
3
Diketahui 𝛼 adalah sudut lancip dan sin 𝛼 = 5 . Hitunglah nilai dari :
a.
sin 2 𝛼
b. cos 2 𝛼
c. tan 2 𝛼
Pembahasan
Pertama kita cari nilai sisi-sisi yang belum diketahui, agar kita bisa menentukan cos 𝛼 dan tan 𝛼
Diketahui
3
𝑑𝑒
sin 𝛼 = 5 = 𝑚𝑖 , maka sisi samping = x
x = √52 − 32
= √25 − 9 = √16
= 4  sisi samping
𝑠𝑎
4
𝑑𝑒
3
cos 𝛼 = 𝑚𝑖 = 5
tan 𝛼 = 𝑠𝑎 = 4
a.
sin 2 𝛼 = 2 sin 𝛼 . cos 𝛼
3 4
=2.5.5
24
= 25
b. cos 2 𝛼 = cos ²𝛼 − sin²𝛼
4 2
= 1 − 2 sin²𝛼
3 2
3 2
= ( 5) − ( 5)
16
= 2 cos ²𝛼 − 1
4 2
= 1 − 2 ( 5)
9
= 2 . ( 5) − 1
9
= 25 − 25
16
= 1 − 2 . 25
7
18
25
= 2 . 25 − 1
18
32
= 1 − 25 = 25 − 25
= 25
7
tan 2 𝛼 =
25
7
= 25
c.
32
= 25 − 1 = 25 − 25
= 25
2 tan 𝛼
1−tan² 𝛼
3
=
=
2 .4
3 2
1− (4)
3
2
3
=2x
=
III.
9
1−16
=
16
16
3
2
9
− 16
=
3
2
7
16
16
7
24
7
Rumus Perkalian Sinus dan Cosinus
a.
1
2 sin 𝛼 . cos 𝛽 = sin(𝛼 + 𝛽) + sin(𝛼 − 𝛽) atau sin 𝛼 . cos 𝛽 = 2 {sin(𝛼 + 𝛽) + sin(𝛼 − 𝛽)}
1
b. 2 cos 𝛼 . sin 𝛽 = sin(𝛼 + 𝛽) − sin(𝛼 − 𝛽) atau cos 𝛼 . sin 𝛽 = 2 {sin(𝛼 + 𝛽) − sin(𝛼 − 𝛽)}
c.
1
2 cos 𝛼 . cos 𝛽 = cos(𝛼 + 𝛽) + cos(𝛼 − 𝛽) atau cos 𝛼 . cos 𝛽 = 2 {cos(𝛼 + 𝛽) + cos(𝛼 − 𝛽)}
1
d. -2 sin 𝛼 . sin 𝛽 = cos(𝛼 + 𝛽) − cos(𝛼 − 𝛽) atau sin 𝛼 . sin 𝛽 = − 2 {cos(𝛼 + 𝛽) − cos(𝛼 − 𝛽)}
Contoh :
1.
Hitunglah nilai trigonometri berikut !
a.
2 sin 105 cos 75
b. 2 cos 135 cos 45
Pembahasan
a.
2 sin 105 cos 75 = sin (105+75) + sin (105-75)
= sin 180 + sin 30
1
=0+2
1
=2
b. 2 cos 135 cos 45 = cos (135+45) + cos (135 - 45)
= cos 180 + cos 90
= (-1) + 0 = -1
IV.
Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Cosinus
1
1
1
1
1
1
sin 𝐴 + sin 𝐵
= 2 sin 2 (𝐴 + 𝐵) cos 2 (𝐴 − 𝐵)
b. sin 𝐴 − sin 𝐵
= 2 cos 2 (𝐴 + 𝐵) sin 2 (𝐴 − 𝐵)
a.
c.
cos 𝐴 + cos 𝐵 = 2 cos 2 (𝐴 + 𝐵) cos 2 (𝐴 − 𝐵)
1
1
d. cos 𝐴 − cos 𝐵 = −2 sin 2 (𝐴 + 𝐵) sin 2 (𝐴 − 𝐵)
Contoh :
1.
Nyatakan hasilnya dalam bentuk sederhana !
a. sin 75 + sin 15
b. cos 48 - cos 24
c. sin 5x + sin x
Pembahasan
1
1
a. sin 75 + sin 15 = 2 sin 2 (75 + 15) cos 2 (75 − 15)
1
1
= 2 sin 2 90 cos 2 60
= 2 sin 45 cos 30
1
1
= 2 . √2 . √3
2
2
1
= 2 √6
1
1
b. cos 48 - cos 24 = −2 sin 2 (48 + 24) sin 2 (48 − 24)
1
1
2
2
= −2 sin 72 sin 24
= -2 sin 36 sin 12
c. sin 5x - sin x
1
1
= 2 cos 2 (5𝑥 + 𝑥 ) sin 2 (5𝑥 − 𝑥 )
1
1
= 2 cos 2 6𝑥 sin 2 4𝑥
= 2 cos 3x sin 2x