• Nilai Eigen dan Vektor Eigen • Diagonalisasi • Diagonalisasi

7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN
•
•
•
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Diagonalisasi
Diagonalisasi Ortogonal
Nilai Eigen, Vektor Eigen
Diketahui A matriks nxn dan x adalah suatu vektor
pada Rn, maka biasanya tdk ada hubungan antara vektor x
dengan vektor Ax.
Ax
x
Namun , dapat terjadi vektor x tertentu sedemikian
sehingga x dan Ax merupakan penggandaan satu sama lain
Ax
x
Nilai Eigen, Vektor Eigen
Apabila diberikan transformasi linier A : Rn  Rn, maka kita
perlu menentukan skalar
 sehingga Ax = x mempunyai
solusi tak nol.
Jika A adalah matriks nxn,
• Vektor-vektor tidak nol pada Rn disebut vektor eigen
dari A jika Ax adalah suatu penggandaan skalar dari x,
yaitu:
Ax = x
•
•
Untuk semua skalar .
Skalar  disebut eigenvalue A, dan x disebut juga
eigenvector A bersepadanan dengan .
Nilai Eigen, Vektor Eigen
Jika diketahui vektor
adalah suatu vektor eigen
maka tentukan nilai eigen dari vektor tersebut.
Ax = x
λ =3
Menghitung λ
Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran nxn,
maka:
A nn
 Ax = x
 Ax = Ix  (I – A)x = 0.
 
det (I – A) = 0
Persamaan karakteristik dari A,
dimana skalar yang memenuhi
persamaan ini adalah nilai eigen
dari A.
det (I – A) merupakan persamaan polinomial p dalam
 dan disebut polinomial karakteristik dari A.
Menghitung λ
det (I – A) = 0
Nilai Eigen, Vektor Eigen
0 1 0 


Tentukan nilai eigen dari A  0 0 1 
 4 17 8 
• Polinomial karakteristik A didapat melalui:
0 
  1
det( I  A)  det  0 
1    3  8 2  17  4
 4 17   8
• Nilai eigen value diperoleh melalui
3 – 82 + 17 – 4 =0
(-4)(2-4 +1) = 0
3 – 82 + 17 – 4 =0
Nilai Eigen, Vektor Eigen
Tentukan nilai eigen dari
1

0
0
2



2
A   1
0 
3


1
 5 8  

4 
det (I – A) = 0
• Nilai eigen value  = ½ , = 2/3, dan  = -1/4
Jika A adalah matriks segitiga nn triangular matrix ( segitiga atas,
segitiga bawah atau diagonal) maka nilai eigen dari A adalah anggota
diagonal A.
Teorema Eigen
Jika Ann dan  adalah bilangan real maka pernyataan
berikut adalah ekuivalen:
•
•
•
•
 adalah nilai eigen dari A.
Sistem persamaan (I – A)x = 0 memiliki solusi
tak-trivial.
Ada suatu vektor tak-nol x pada Rn sedemikian
sehingga Ax = x.
 merupakan suatu penyelesaian dari persamaan
karakteristik det(I – A) = 0.
Basis Ruang Eigen
• Eigenvectors A bersepadanan dengan eigenvalue  adalah
vektor tak-nol x yang memenuhi Ax = x.
• Eigenvectors yang bersepadanan dengan  adalah vektor
tak-nol dalam ruang penyelesaian (I – A)x = 0 
ruang eigen A yang berhubungan dengan .
Mencari nilai eigen 
det (I – A) = 0
Mencari vektor eigen
(I – A)x = 0
Basis Ruang Eigen
Cara menentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks A
ukuran nxn :
1. Tentukan polinomial karakteristik det(I – A)=0 dari
matriks A.
2. Tentukan nilai eigen A dengan menyelesaikan persamaan
karakteristik
det (I – A) = 0 untuk .
3. Untuk tiap nilai eigen tentukan ruang null dari matriks
A-I. Vektor tak nol yang berhubungan dengan itu
merupakan vektor eigen A.
4. Tentukan basis untuk ruang eigen tersebut.
Contoh Basis Ruang Eigen
Cari basis-basis untuk ruang eigen dari
•
Mencari nilai eigen 
det (I – A) = 0
3 – 52 + 8 – 4 = 0
( – 1)( – 2)2 = 0
•
0 0 2 
A  1 2 1 
1 0 3 
 = 1 and  = 2
Mencari vektor eigen
(I – A)x = 0
0
2   x1  0 

 1   2 1   x   0

 2  
 1
0
  3  x3  0
(3)
Contoh Basis Ruang Eigen
• Menentukan ruang solusi dan basis untuk  = 2
 2 0 2   x1  0 
 1 0 1  x   0 

 2  
 1 0 1  x3  0 
x1 = -s, x2 = t, x3 = s
Vektor eigen dari A yang bersepadanan dengan  =
2 adalah vektor tak nol berbentuk:
  s    s  0
 1 0 
x   t    0    t   s  0   t 1 
 s   s  0 
 1  0
Cek : apakah
bebas linier.
Jika iya, maka vektor-vektor tersebut membentuk suatu basis
untuk ruang eigen yang berpadanan dengan  = 2
Contoh Basis Ruang Eigen
• Dengan cara yang sama, ditentukan ruang solusi dan basis untuk
=1
Vektor eigen dari A yang bersepadanan dengan  = 1 adalah
vektor tak nol berbentuk:
basis untuk ruang eigen
yang berpadanan dengan
=2
Nilai Eigen Dari Pangkat Suatu Matriks
Jika k : bilangan bulat positif,
 : eigenvalue matriks A,
x : eigenvector
k adalah eigenvalue
dari Ak dan x is a
corresponding
eigenvector.
A2x= A (Ax) –A (x) =  (Ax) -  (x) = 2x
Teorema:
Jika k adalah suatu bilangan bulat positif,  adalah suatu nilai eigen
dari suatu matriks A, dan x adalah suatu vektor eigen yang
berpadanan, maka k adalah suatu nilai eigen dari Ak dan x adalah
suatu vektor eigen yang berpadanan.
Nilai Eigen Dari Pangkat Suatu Matriks
Contoh:
Nilai Eigen dari
0 0 2 
A  1 2 1 
1 0 3 
Nilai eigen untuk A7 : = 27 = 128
adalah
 = 1 and  = 2
dan  = 17 = 1
Vektor eigen dari A untuk nilai  = 2 adalah
Vekor eigen untuk A7 yang bersepadanan dengan = 27 = 128
Vektor eigen dari A untuk nilai  = 1 adalah
Vekor eigen untuk A7 yang bersepadanan dengan = 17 = 1
Matriks Balikan pada Nilai Eigen
Suatu matriks bujursangkar A dapat dibalik jika dan hanya
jika  = 0 bukanlah suatu nilai eigen dari A.
Ringkasan
Jika A mn matrix, dan jika TA : Rn  Rn adalah perkalian dengan A;
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
A dapat di-invers.
Ax = 0 hanya memiliki persamaan trivial.
Bentuk baris tereduksi dari A adalah In.
A dapat dinyatakan sebagai hasil kali matriks-matriks dasar.
Ax = b konsisten untuk setiap matriks b, n1.
Ax = b tepat mempunyai satu solusi untuk setiap matriks b, n1.
det(A)≠0.
Range (daerah hasil) TA adalah Rn.
TA satu satu.
Vektor kolom A bebas linier.
Vektor baris A bebas linier.
Vektor kolom A merentang Rn.
Vektor baris A merentang Rm.
Vektor kolom dari A membentuk suatu basis untuk Rn.
Vektor baris dari A membentuk suatu basis untuk Rn.
A berpangkat n.
A mempunyai kekosongan 0.
Komplemen orthogonal dari ruang kosong A adalah Rn.
Komplemen orthogonal dari ruang baris A adalah {0}.
ATA bisa dibalik
= 0 bukanlah suatu nilai eigen dari A
DIAGONALISASI
Diagonalisasi Matriks
Suatu matriks bujursangkar A dikatakan diagonalizable
• Jika ada matriks P yang dapat diinvers sehingga P-1AP =D
adalah matriks diagonal
• Matriks P dikatakan mendiagonalkan ( diagonalize) A.
Jika A nn maka:
• A dapat didiagonalkan.
• A mempunyai n vektor eigen yang bebas secara linier.
Prosedur Diagonalisasi Matriks
Suatu matriks Anxn dengan n vektor eigen yang bebas linier dapat
didiagonalkan dengan langkah sbb: .
• Step 1. Cari n vektor eigen yang bebas secara linier dari A,
yaitu p1, p2, …, pn.
• Step 2. Bentuk matriks P yang mempunyai p1, p2, …, pn
sebagai vektor-vektor kolomnya.
• Step 3. Matriks P-1AP akan menjadi matriks diagonal
dengan 1, 2, …, n sebagai anggota diagonalnya dimana i
adalah nilai eigen yang berpadanan dengan pi, untuk i = 1,
2, …, n.
Contoh Diagonalisasi Matriks
0 0 2 


Cari matriks P yang mendiagonalkan : A  1 2 1 
1 0 3 
•
Mencari nilai eigen 
det (I – A) = 0
3 – 52 + 8 – 4 = 0
( – 1)( – 2)2 = 0
•
 = 1 and  = 2
Mencari vektor eigen
(I – A)x = 0
0
2   x1  0 

 1   2 1   x   0

 2  
 1
0
  3  x3  0
(3)
Contoh Diagonalisasi Matriks
• Menentukan ruang solusi dan basis untuk  = 2
 2 0 2   x1  0 
 1 0 1  x   0 

 2  
 1 0 1  x3  0 
x1 = -s, x2 = t, x3 = s
Vektor eigen dari A yang bersepadanan dengan  =
2 adalah vektor tak nol berbentuk:
  s    s  0
 1 0 
x   t    0    t   s  0   t 1 
 s   s  0 
 1  0
Cek : apakah
bebas linier.
Jika iya, maka vektor-vektor tersebut membentuk suatu basis
untuk ruang eigen yang berpadanan dengan  = 2
Contoh Diagonalisasi Matriks
• Dengan cara yang sama, ditentukan ruang solusi dan basis untuk
=1
Vektor eigen dari A yang bersepadanan dengan  = 2 adalah
vektor tak nol berbentuk:
basis untuk ruang eigen
yang berpadanan dengan
=2
Contoh Diagonalisasi Matriks
Sehingga didapat basis untuk ruang eigen adalah sebagai berikut:
 1
0 
p1   0 , p 2  1
 = 2:
 1 
0
  1 0  2
P   0 1 1 
 2
 1 0 1 
1 
p

 = 1:
3
 
 1 
Cek apakah matriks A dapat didiagonalkan dan mendiagonalkan A:
 1 0 2  0 0  2    1 0  2   2 0 0 
P 1 AP   1 1 1  1 2 1   0 1 1   0 2 0  D
 1 0  1 1 0 3   1 0 1  0 0 1
Contoh Diagonalisasi Matriks
Cari matriks P yang mendiagonalkan
 1 0 0
A   1 2 0
 3 5 2
Polinominal karakteristik dari A dicari dengan :
 1
det (I – A) = 0
det( I  A)  1
3
0
0
 2
0
5
 2
 (  1)(  2) 2
Persamaan karakteristik:
Nilai eigen dan basis ruang eigen adalah:
Karena A matriks 3X3 dan P hanya terdiri dari 2 vektor basis,
maka A tidak dapat didiagonalkan.
Teorema Diagonalisasi Matriks
Jika v1, v2, …, vk, adalah vektor-vektor eigen dari A yang
berpadanan dengan nilai eigen yang berbeda-beda 1, 2, …,
k, maka {v1, v2, …, vk} adalah suatu himpunan yang bebas
secara linier.
Jika suatu matriks Ann mempunyai nilai-nilai eigen yang
berbeda-beda, maka A dapat didiagonalkan.
Diagonalisasi Matriks
Contoh :
Cari matriks P yang mendiagonalkan
0 1 0
A   0 0 1 
 4 17 8 
• Polinomial karakteristik A didapat melalui:
0 
  1
det( I  A)  det  0 
1    3  8 2  17  4
 4 17   8
3 – 82 + 17 – 4 =0
(-4)(2-4 +1) = 0
Matriks A3x3 mempunyai nilainilai eigen yang berbeda-beda,
maka A dapat didiagonalkan.
4

P 1 AP   0
0

0
2 3
0


0 
2  3 
0
Diagonalisasi Matriks Segitiga
Ingat: Jika A adalah matriks segitiga nn triangular matrix ( segitiga atas, segitiga
bawah atau diagonal) maka nilai eigen dari A adalah anggota diagonal A.
Matriks A berikut adalah
didiagonalkan.
 1
0
A
0

0
sebuah matriks yang bisa
0
3 1 7 
0 5 8

0 0 2 
2 4
DIAGONALISASI
ORTOGONAL
Masalah Diagonalisasi Ortogonal (Bentuk Matriks)
Diketahui suatu matriks A, nxn, dan suatu matriks
ortogonal P sedemikian sehingga :
P-1AP = PTAP=D
maka A disebut dapat didiagonalkan secara ortogonal
dan P disebut mendiagonalkan A secara ortogonal.
Masalah Diagonalisasi Ortogonal (Bentuk Matriks)
Setiap matriks simetris dapat didiagonalkan secara ortogonal.
Jika A adalah matriks nn maka pernyataan berikut ekuivalen:
• A dapat didiagonalkan secara ortogonal.
• A mempunyai suatu himpunan n vektor eigen yang
ortonormal.
• A simetris.
AT = (PDPT)T=PDTPT = PDPT = A
Jika A adalah suatu matriks simetris, maka:
– Nilai eigen dari A semuanya bilangan real.
– Vektor-vektor eigen dari ruang eigen yang berbeda
ortogonal.
Diagonalisasi Matriks Simetris
Prosedur mendiagonalkan secara ortogonal suatu matriks
simetris:
• Step 1. Cari basis untuk setiap ruang eigen dari A.
• Step 2. Terapkan proses Gramm Schmidt pada setiap
basis-basis ini untuk mendapatkan suatu basis ortonormal
untuk setiap ruang eigen.
• Step 3. Bentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah
vektor-vektor basis yang disusun pada step-2, matriks ini
mendiagonalkan A secara ortogonal
Masalah Diagonalisasi Ortogonal (Bentuk Matriks)
4 2 2


• Cari suatu matriks ortogonal P yang mendiagonalkan A   2 4 2 
 2 2 4 
• Solusi:
– Persamaan karakteristik A adalah:
2 
  4 2
det( I  A)  det  2   4 2   (  2) 2 (  8)  0
 2
2   4 
– Basis ruang eigien yang bersepadanan dengan  = 2 adalah
 1
 1
u1   1  and u 2   0 
 0 
 1 
– :
Masalah Diagonalisasi Ortogonal (Bentuk Matriks)
Terapkan proses Gram Schmidt pada {u1, u2untuk menghasilkan
vektor eigen yang ortonormal berikut:
 1/ 2 
 1/ 6 




v1   1/ 2  and v 2   1/ 6 
 0 


2
/
6




1
Ruang eigen yang bersepadanan dengan  = 8 adalah u3  1
1/ 3  1


Terapkan proses Gram Schmidt pada {u3} didapat: v 3  1/ 3 


1/
3


 1 / 2  1 / 6 1 / 3 


sehingga
P  v1 v 2 v 3    1 / 2  1 / 6 1 / 3 
 0

2
/
6
1
/
3


P mendiagonalkan A secara ortogonal. Cek bahwa PTAP=D