persamaan differensial

PERSAMAAN DIFFERENSIAL
(DIFFERENTIAL EQUATION)
Suatu persamaan dimana terdapat hubungan antara variabel bebas, variabel tak
bebas dan turunan-turunannya dinamakan persamaan differensial.
Contoh :
dy d 2 y
f (x, y,
,
, ………….. ) = 0
dx dx 2
∂ z ∂ 2z
,
, ……… ) = 0
g (x, y, z,
∂ x ∂x∂y
Ada 2 jenis persamaan differensial :
- Persamaan differensial biasa → x
d2y
dy
+ xy
+ y=0
2
dx
dx
- Persamaan differensial partial →
∂ 2z
∂ 2z
+
+ x2 + y2 = 0
∂ x 2 ∂ x∂ y
Pembahasan hanya dibatasi pada persamaan differensial biasa.
PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA.
Definisi :
- Turunan tertinggi di dalam suatu persamaan differensial (PD) disebut orde dari
persamaan differensial tersebut
x
d2y
d 3 y dy
+
y
+
+ y=0
dx 2
dx 3 dx
⇒ persamaan differensial orde 3
- Pangkat tertinggi dari turunan tertinggi persamaan differensial disebut pangkat
dari persamaan differensial tersebut.
3
2
 d2y 
 d 3 y   dy 
x 2  + y  3  +   + y = 0 ⇒ persamaan diff . orde 3 pangkat 2
 dx 
 dx   dx 
6
PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 PANGKAT 1
I. Persamaan differensial dengan variabel yang dapat dipisahkan
dy
= f ( x , y) → dipisahkan menjadi M(x) dx + N(y) dy=0
dx
Bentuk Pers. Diff.
Dengan demikian variabel x dipisahkan dengan variabel y
Contoh :
dy x 2
+
=o
dx
y
1.
ydy + x2dx = 0
∫
y dy +
1
2
2.
∫
x 2 dx = c
y 2 + 13 x 3 = C ( Jawab umum)
y
dy = 0
x
ex 1 − y 2 dx +
� 𝑥𝑥𝑒𝑒 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 + �
1
𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑
�1 − 𝑦𝑦 2
� 𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑒𝑒 𝑥𝑥 ) − 2 �
= 𝐶𝐶
𝑑𝑑(1 − 𝑦𝑦 2 )
�1 − 𝑦𝑦 2
1
= 𝐶𝐶
𝑥𝑥𝑒𝑒 𝑥𝑥 − � 𝑒𝑒 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 2 2 �1 − 𝑦𝑦 2 = 𝐶𝐶
𝑒𝑒 𝑥𝑥 (𝑥𝑥 − 1) − �1 − 𝑦𝑦 2 = 𝐶𝐶\
3.
𝑥𝑥 2 (𝑦𝑦 2 + 1)𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑦𝑦√𝑥𝑥 3 + 1 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0
�
𝑑𝑑(𝑥𝑥 3
1
�
3
3
𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑑𝑑
√𝑥𝑥 3 + 1
+ 1)
√𝑥𝑥 + 1
2
3
𝑥𝑥 2 (𝑦𝑦 2 + 1)𝑑𝑑𝑑𝑑 = −𝑦𝑦√𝑥𝑥 3 + 1 𝑑𝑑𝑑𝑑
+
+�
𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦
=0
𝑦𝑦 2 + 1
𝑑𝑑(𝑦𝑦 2 + 1)
1
� 2
2
𝑦𝑦 + 1
= 𝐶𝐶
√𝑥𝑥 3 + 1 + 12𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑦𝑦 2 + 1) = 𝐶𝐶
Soal-soal :
Carilah jawaban umum persamaan differensial berikut :
1.
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
2. x 2
=
sin 2 𝑥𝑥
sin 𝑦𝑦
dy
dy
− y2 = x2 y
dx
dx
3.
dy
dy
= ln y
+ tan x sec 2 x
dx
dx
4.
1
arcsin x dx = (e y − 1)dy
y
II. Persamaan Differensial Homogen (PDH)
Definisi :
Suatu f(x, y) dikatakan homogen, bila mempunyai sifat f(λx, λy) = λn f(x, y)
Dimana λ = konstanta dan n = suatu bilangan
Contoh :
a) f(x, y) =
x 4 + y 4 → f (λx, λy ) = λ4 ( x 4 + y 4 )
= λ2
x 4 + y4
= λ2 f(x, y) → orde 2
x 2 + y2
→ f (λx , λy )
b) f(x, y) =
xy
λ2 ( x 2 + y 2 )
=
λ2 ( xy)
 x 2 + y2
= λo 
 xy
Persamaan differensial

 = λo f ( x , y) orde nol

M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0, disebut Persamaan
Diferensial homogen bila berlaku M(x, y) dan N(x, y) adalah fungsi homogen
dengan orde yang sama.
Contoh :
a) (x2 + y2) dx + x3 dy = 0 → bukan PDH karena orde N(x, y) ≠ M(x, y)
b) (x2 + xy) dx + x2 dy = 0 → PDH dimana M(x, y) dan N(x, y) adalah
fungsi homogen orde 2
Bentuk persamaan differensial
dy P( x , y)
=
juga disebut persamaan diferensial
dx Q( x , y)
homogen bila terpenuhi fungsi homogen f(x, y) =
P ( x , y)
mempunyai orde nol.
Q( x , y )
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL HOMOGEN
Untuk penyelesaian persamaan differensial homogen maka dapat digunakan:
- permisalan y = ux dimana u = u(x) , sehingga didapat dy = x du + u dx
- permisalan x = vy dimana v = v(y) , sehingga didapat dx = y dv + v dy
Contoh :
Pecahkan persamaan differensial berikut :
1)
(x2 + xy) dx + x2 dy = 0
Jawab :
M(x,y) = x2 + xy adalah fugsi homogen orde dua
N(x,y) = x2
adalah fungsi homogen orde dua juga, dengan demikian
persamaan differensial diatas adalah pers. diff. Homogen
Misal : y = ux → dy = x du + u dx
Sehingga : (x2 + ux2) dx + x2 (x du + u dx) = 0
(x2 + ux2 + ux2) dx + x3 du = 0
x2 (1 + 2u) dx + x3 du = 0
∫
x2
x3
dx + ∫ 1+du2u = C1
ln x +
1
ln (1 + 2u ) = C1
2
ln x (1 + 2u)1/2 = ln C
x (1 + 2u)1/2 = C
y
x 1 + 2  = C
x
(jawab umum)
2)
3𝑦𝑦 3 −𝑥𝑥 3
𝑑𝑑𝑑𝑑
Carilah jawab umum dari : 𝑑𝑑𝑑𝑑 =
3𝑥𝑥𝑥𝑥 2
Jawab:
f(x,y) =
3𝑦𝑦 3 −𝑥𝑥 3
adalah fungsi homogen orde nol, sehingga pers. diff.
3𝑥𝑥𝑥𝑥 2
diatas adalah pers diff homogen
misal :
du
dy
=u+x
dx
dx
y = ux →
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑢𝑢 + 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 =
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑢𝑢 + 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 =
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 =
�
𝑥𝑥
3𝑢𝑢 3 𝑥𝑥 3 −𝑥𝑥 3
3𝑢𝑢 2 𝑥𝑥 3
3𝑢𝑢 3 −1
3𝑢𝑢 2
3𝑢𝑢 3 −1−3𝑢𝑢 3
𝑑𝑑𝑢𝑢 −1
=
𝑑𝑑𝑑𝑑 3𝑢𝑢2
𝑑𝑑𝑑𝑑
+ � 3𝑢𝑢2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0
𝑥𝑥
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 + 𝑢𝑢3 = 𝐶𝐶
𝑦𝑦 3
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 + � � = 𝐶𝐶
𝑥𝑥
𝑦𝑦
3
𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥 + 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑒𝑒 �𝑥𝑥 � = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑦𝑦 3
𝑥𝑥𝑒𝑒 �𝑥𝑥 � = 𝐶𝐶
Pecahkan soal-soal berikut:
y
 y  dy
1. x cos 
= y cos − x
x
 x  dx
2. ( x + y )
dy
= x− y
dx
dy y − x 2 − y 2
=
3.
dx
x
4.
dy y
y
= +
dx x x ln y
x
3𝑢𝑢 2
Rumus-rumus Differensial yang dapat dipergunakan untuk pemecahan persamaan
differensial
1.
d(xy) = xdy + y dx
 y  x dy − y dx
2. d   =
x2
x
 x  x dy − y dx
3. d  −  =
y2
 y

 y   x dy − y dx
4. d  tan −1    = 2
x + y2
 x 

1
x + y  x dy − y dx
=
5. d  ln
x − y 
x2 − y2
2
 y 2  2 xy dy − y 2 dx
6. d   =
x2
 x 
x dx + y dx
1
2
2 
7. d  ln ( x + y )  =
x2 + y2
2

Contoh soal :
1. xdy + ydx = 2 x2 y dx
x dy + y dx
= 2 x dx
xy
∫ d {ln (xy)} =∫ 2x dx dengan demikian : ln (xy) = x2 + C
2. x2 (xdx + y dy) + y (x dy – y dx) = 0
Jawab :
x dx + y dy =
1
d ( x 2 + y 2 ) dan x dy – y dx = x2 d (y/x)
2
Persamaan menjadi :
x2 .
1
d(x2 + y2) + yx2 d(y/x) = 0
2
Substitusi : x2 + y2 = r2 , y/x = tan θ, x = r cos θ , y = r sin θ
Sehingga didapat :
dθ
1 2
r Cos 2 θ dr 2 + r3 Sin θ Cos2 θ .
=0
Cos 2 θ
2
r3 Cos2 ϴ dr + r3 Sin θ dθ = 0
∫
dr +
∫
Sin θ
dθ = C
Cos 2 θ
r+
1
=C
Cos θ
r+
1
r
=C ⇒ r(1+
)=C
x
x
1 + x 
x2 + y2 
=C
 x 
(x2 + y2) (1 + x)2 = Cx2
Carilah Jawab dari Persamaan Differensial berikut :
1. (x + e-x Sin y) dx – (y + e-x cos y) dy = 0
2. x dy – y dx = 2 x3 dx
III. PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER
Bentuk umum :
dy
+ P(x) y = Q(x) ………. ( 1 ) pers. Bernoulli
dx
Cara pemecahan :
Misalkan : y = uv ………….............................. ( 2 )
dimana : u = u (x) dan v = v (x)
dengan demikian didapat:
dy
du
dv
=v
+u
dx
dx
dx
…………................. ( 3 )
Dari (1), (2) dan (3) diperoleh :
u
u
dv
du
+ v
+ P( x) uv = Q ( x)
dx
dx
dv
 du

+ v  + P( x) .u  = Q( x) ………… ( 4 )
dx
 dx

Selanjutnya pilihlah u sedemikian rupa sehingga :
du
+ P ( x) u = 0 ……………...................................... ( 5 )
dx
∫
du
= − ∫ P ( x) dx
u
ln u = − ∫ P( x) dx + C1
ambil C1 = 0, sehingga : u =𝑒𝑒 − ∫ 𝑃𝑃(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 .......................................( 6 )
dari (4) dan (5) didapat :
u
dv
= Q( x )
dx
…………….. ( 7 )
− P ( x ) dx dv
subsitusi pers (6) ke pers (7) didapat e ∫
= Q( x)
dx
P ( x ) dx 

dv = Q( x ) e ∫
 dx

v =

∫ Q(x ) e
∫ P ( x ) dx  dx

Dengan demikian y = uv dapat diselesaikan.
Contoh soal :
Selesaikan persamaan differensial berkut :
1.
dy
2y
−
= ( x + 1) 5 / 2
dx x + 1
Jawab :
dy
2
−
y = ( x + 1) 5 / 2
dx x + 1
dimana : P( x) = −
2
dan Q( x) = ( x +1) 5 / 2
x +1
Misal : y = uv
dy
dv
du
+v
=u
dx
dx
dx
v
 dv
du
2v 
5/ 2
+u −
 = ( x + 1)
dx
dx
x
+
1


Pilihlah v sedemikian rupa sehingga :
dv
2v
−
=0
dx x +1
∫
dv
dx
= 2∫
v
x +1
ln v = 2 ln x + 1 + C1 → ambil C1 = 0
∴ v = (x + 1)2
v
( x + 1) 2
du
= ( x + 1) 5 / 2
dx
du
= ( x +1) 5 / 2
dx
du = (x + 1)1/2 dx
u=
2
( x +1) 3 / 2 + C
3
Maka : y = u v
[
]
y = 23 ( x +1)3 / 2 + C ( x + 1)2
2. Tentukan jawab dari :
2
dy
= e−x − 2 x y
dx
Jawab:
2
dy
= e − x − 2 x y disederhakan menjadi
dx
dy
du
dv
=v
+u
dx
dx
dx
Misal : y = uv →
u
2
dv
 du

+v 
+ 2 ux  = e − x
dx
 dx

Pilihlah u sedemikian rupa sehingga :
du
+ 2u x = 0
dx
2
dy
+ 2 xy = e − x
dx
du
= − 2 x dx
u
ln u = - x2 + C1 → ambil C1=0
u = e− x
u
2
2
2 dv
2
dv
= e − x maka e − x
= e−x
dx
dx
dv = dx
v = x+C
y = uv jadi jawab umumnya y = ( x + c) e − x
2
Soal-soal :
Pecahkan Persamaan Differensial berikut :
dy x 2 + 2 y
1.
=
dx
x
2.
IV.
3. ( x 2 + 1)
dy
= cos 3 x − y cos x
dx
4.
dy
+ 2 xy = x 2
dx
dy
y −1
= 2
dx x + 1
PERSAMAAN DIFFERENSIAL NON LINIER YANG
DAPAT
DIJADIKAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER
dy
+ P( x) y = Q( x) y n ………………………………….………. ( 1 )
dx
Disebut persamaan differensial non linier.
Pemecahan dilakukan dengan memisalkan : Z = y-n+1 ………..… ( 2 )
dy dy dz
dz dz dy
dz
=
⇒
=
= (−n + 1) y − n , maka
.
.
karena
dx dz dx
dx dy dx
dy
didapat :
dz
dy
= (− n + 1) y − n
dx
dx
dy
1
dz
=
yn
…………………………. ( 3 )
dx − n + 1
dx
Dari (1), (2) dan (3) maka diperoleh :
1
dz
yn
+ P( x) y = Q( x) y n , kalikan dengan y − n sehingga didapat
dx
− n +1
1 dz
+ P ( x) y − n +1 = Q( x) kalikan dengan (-n + 1 ) sehingga didapat
− n + 1 dx
dz
+ (−n + 1) P( x) y − n +1 = (−n + 1) Q( x)
dx
dz
+ (− n + 1) P( x ) . Z = (− n + 1) Q( x )
dx
dz
+ H ( x) . z =W ( x) ⇒ persamaan differensial inier.
dx
Dengan memisalkan z = uv maka persamaan differensial dapat diselesaikan.
Contoh soal :
1.
dy
dy
+ y = xy 3 →
+P
( x) y = x y 3 ⇒ persamaan differensial non linier

dx
dx
Q( x)
1
Misalkan z = y-n+1 sehingga z= y-3+1 atau z= y-2 , dengan demikian maka
dz
− 2 y −2 = − 2 x
dx
dz
− 2z = − 2x
dx
Mis :
z = uv ⇒ u
dv
du
+v
− 2 uv = − 2 x
dx
dx
u
dv  du

+ v  − 2u  = − 2 x
dx  dx

Pilihlah u sedemikian rupa sehingga :
du
− 2u = 0 ⇒
dx
∫ duu = ∫ 2 dx
ln u = 2 x + C1 , ambil C1= 0 sehingga didapat
u = e2x
u
dv
dv
= − 2 x ⇒ e2x
= − 2x
dx
dx
dv = -2x e-2x dx
v=
∫
x d e-2x
v = x e-2x +
1 -2x
e +C
2
= e-2x (x + ½) + C
∴ Z = e2x [e-2x (x + ½) + C]
y-2 = x +
1
+ C e2x
2
1 dy
1
+ 5 = x2
6
y dx xy
2.
dy  1 
dy y
+ = x2 y6 ⇒
+   y = ( x 2 ) y 6 → pers. differensial non linier
dx x
dx  x 
Dengan memisalkan : z = y-5 maka didapat :
dz
z
− 5 = − 5 x 2 → persamaan differensial linier
dx
x
Persamaan differensial diselesaikan dengan mengambil z = uv
Soal-soal :
1.
dy y y 2
− +
=0
dx x x 2
2. x
dy
+ y = y 2 ln x
dx
3.
x y2
dy
xy
−
=
dx 1 − x 2 1 − x 2
V. PERSAMAAN DIFFERENSIAL EXACT
Suatu persamaan differensial : N(x, y) dx + M (x, y) dy = 0, disebut persamaan
differensial exact bila mempunyai sifat bahwa :
∂N ∂M
=
∂y
∂x
Misalkan F (x, y) = C merupakan jawaban persamaan differensial tersebut. maka
dF =
∂F
∂F
dx +
dy ≡ 0
∂x
∂y
bila
∂F
= N ( x, y )
∂x
⇒ N (x, y) dx + M(x, y) dy = 0
∂F
= M ( x, y )
∂y
∂N
∂2F
=
∂y ∂ y ∂x
∴
∂N ∂M
=
∂y
∂x
∂M
∂2F
=
∂x
∂ x ∂y
Dari
∂F
= N (x, y) didapat : F(x, y) =
∂x
∫
∂
∂F
= M ( x, y ) sehingga M(x, y) =
∂y
∂y
N(x, y) dx + g(y), sedangkan
[∫ N ( x, y) dx + g ( y)]
∴ g(y) = …………. ? (dapat dicari)
Contoh soal :
1. (x2 + xy) dx + (y2 +
1 2
x ) dy = 0
2
x 2 + xy = N ( x, y ) ⇒
∂N
=x
∂y
∂N ∂M
=
, jadi merupakan PD Exact
∂y
∂x
y2 +
1 2
∂M
=x
x = M ( x, y ) ⇒
2
∂x
misal : F(x,y)=C adalah jawab persamaan differensial Exact tersebut
∂F
= N ( x, y ) maka F (x, y) = ∫ N (x, y) dx
∂x
=
sehingga F (x, y) =
∫
(x2 + xy) dx
1 3 1 2
x +
x y+ g(y)
2
3
∂F
1
1
= M ( x, y ) ⇒ x 2 + g ' ( y ) = y 2 + x 2
∂y
2
2
jadi : g , ( y ) = y 2 sehingga g ( y ) =
Dengan demikian didapat : F(x, y) =
sehingga:
1 3
y + C1
3
x3
x2 y y3
+
+
+ C1 = C 2
3
2
3
1 3 1 2
1
x + x y + y 3 = C merupakan jawab PDE tersebut
3
2
3
2. (2xey + ex) dx + (x2 + 1) ey dy = 0
Karena N (x, y) = 2 x ey + ex →
M ( x, y ) = ( x 2 + 1) e y →
∂N
= 2 xe y
∂y
dan
∂M
∂N ∂M
= 2 xe y jadi :
=
∂x
∂y
∂x

P. D. E .
Karena
∂F
= N ( x, y ) maka F(x, y) =
∂x
∫ N(x, y) dx + g( y)
= ∫ (2 x e y + e x ) dx + g ( y)
= x2 ey + ex + g(y)
sedangkan
∂F
= M ( x, y ) ⇒ x 2 e y + g 1 ( y ) = ( x 2 + 1) e y
∂y
g1 (y) = ey
g(y) = ey + C1
Jadi : F(x, y) = x2 ey + ex + ey + C1 = C2
Dengan demikian maka : ex + (x2 + 1) ey = C jawab umumnya
Soal-soal :
1. (y2 + 2 xy + 1) dx + (2x y + x2) dy = 0
2.
dy 2 x + y sin x
=
dx
Cos x
3. ( x + y 2 + 1 ) dx – (y -
xy
y2 + 1
) dy = 0
4. (ex + ln y +

x
y
) dx +  + ln x + sin y  dy = 0
x

y

 y2
5. 
− 2 y  dx + (2 y tan −1 x − 2 x + sinh y ) dy = 0
2

 1+ x
6. dy +
y − sin x
dx = 0
x
APLIKASI PERSAMAAN DIFFERENSIAL PADA RANGKAIAN LISTRIK
1.
1
R1
S
2
E
pada t < 0, saklar s di 1
R2
Pada t > 0, saklar s di 2
L
Tentukan i(t) pada t>0
Penyelesaian
Pada t > 0, rangkaian menjadi :
R1
R2
i(t)
(R1 + R2) i(t) + L
L
L
di (t )
=0
dt
di (t )
= − ( R1 + R2 ) i (t )
dt
R +R2
di( t )
=− 1
dt
i( t )
L
Jadi :
∫
R +R2
di
=− 1
i
L
∫ dt
 R + R2 
ln i = −  1
t +k
 L 
i (t ) = ke
−
( R1 + R2 ) t
L
Dari rangkaian diatas untuk t = 0 maka didapat i(0) =
E
R1
sedangkan dari perhitungan untuk t=0 maka didapat i(0) = k
dengan demikian
E
R1
= k sehingga didapat i (t ) =
E
R1
e
−
( R1 + R2 ) t
L
Sehingga dapat digambarkan sebagai berikut :
i(t)
E
R1
t
2.
Selesaikan rangkaian berikut :
R1
1
2
Pada t < 0, saklar di 1
R2
E
Pada t > 0, saklar di 2
C
Tentukan i(t) pada t > 0
Penyelesaian :
Pada t > 0, rangkaian menjadi :
R1
R2
i(t)
(R1 + R2) i(t) +
(R1 + R2)
C
sehingga :
∫
1
i dt = 0
C ∫
di i( t )
+
=0
dt
C
di
i( t )
=−
dt
(R 1 + R 2 ) C
di (t )
1
=−
dt
i (t )
( R1 + R2 )C ∫
ln i = −
t
+k
( R1 + R2 )C
i (t ) = k e
− (R
t
1+ R2)C
Dari persamaan diatas didapat, pada t = 0 maka 𝑖𝑖(0) = 𝑘𝑘 , sedangkan dari
𝐸𝐸
rangkaian pada t=0 didapat 𝑖𝑖(0) = 𝑅𝑅 1 +𝑅𝑅
, sehingga
2
𝐸𝐸
demikian akan diperoleh 𝑖𝑖(𝑡𝑡) = 𝑅𝑅 1 +𝑅𝑅
2
𝑡𝑡
−
𝑒𝑒 (𝑅𝑅 1 +𝑅𝑅 2 )𝐶𝐶
𝐸𝐸
𝑘𝑘 = 𝑅𝑅 1 +𝑅𝑅
2
jadi dengan
3.
S
Pada t < 0, saklar s dibuka
R2
Pada t > 0, saklar s ditutup
R1
E
Jawab :
Tentukan i(t) pada t > 0
L
R2
Pada t > 0, rangkaian seperti terlihat disebelah :
E
i(t)
L
sehingga didapat R2 i(t) + L
dengan demikian didapat :
Misalkan : i = pq →
di
dp
dq
=q
+ p
dt
dt
dt
q
dp
dq R2
E
+ p
+
pq =
dt
dt
L
L
q
dp
 dq R  E
+ p  + 2 q =
dt
L  L
 dt
Pilih q sedemikian rupa sehingga :
dq
R
+ 2 q =0
dt
L
R
R
dq
= − 2 dt ⇒ ln q = − 2 t + k
q
L
L
q=e
q
dp E
sehingga e
=
dt
L
−
− R2
t
L
R2
t
L
dp E
=
dt
L
R
E L2 t
dp
=
e dt
∫
L∫
R
p=
E L L2 t
.
e + k2
L R2
di
=E
dt
di (t ) R2
E
+
i (t ) =
dt
L
L
R
p=
E L2 t
e + k2
R2
Dengan demikian didapat : i (t ) = e
−
R2
t
L
 E RL2 t

e + k2 

 R2

R
− 2t
E
i (t ) =
+ k2 e L
R2
Untuk t = 0 ⇒ i (0) =
Jadi :
E
R1 + R2
E
E
=
+ k2
R1 + R2 R2
 1
1 
k 2 = E 
− 
 R1 + R2 R2 
 R − R1 − R2 

= E  2
 R2 ( R1 + R2 ) 
jadi : k 2 = −
maka i (t ) =
E R1
( R1 + R2 ) R2
E
R2
R
− 2t 

R1
L 
1 −
e

 R +R
1
2


TUGAS 1 (dikumpulkan minggu depan)
Carilah penyelesaian rangkaian berikut ini:
1.
S
R2
pada t < 0, s ditutup
R1
E
L
pada t > 0, s dibuka
Tentukan i( t ) pada t > 0
R1
2.
1S
pada t < 0, s di 1
2
E
R2
C
pada t > 0, s di 2
Tentukan i( t ) pada t > 0
Perhatikan
gambar
berikut,
bagaimanakah
persamaan
diffrensial
penyelesaiannya ?
-ky
X
F
m
VI. PERSAMAAN DIFFERENSIAL DENGAN ORDE LEBIH DARI SATU
I. Bentuk :
dny
= f ( x) ≡ x( x)
dx n
Penyelesaian dengan menurunkan ordenya.
Ambil :
dy
d 2 y dp
=p⇒
=
dx
dx 2 dx
d3y d2 p
=
dx 3
dx 2
d n y d n−1 p
=
dx n
dx n−1
Bila :
q=
dp
dq d 2 p
⇒
=
dx
dx dx 2
∴
d n −1q d n − 2 p
......... dst.
=
dx n −1
dx n − 2
Contoh :
Selesaikan persamaan differensial :
Jawab :
misal : p =
dy
dp d 2 y
⇒
=
dx
dx dx 2
d2p d3y
=
dx 2
dx 3
d3y
= x ex
3
dx
d3y
d2p
x
=
→
= x ex
x
e
dx 3
dx 2
ambil : q =
dp
dq d 2 p
→
=
dx
dx
dx 2
∴
dq
= x ex
dx
dq = x ex dx
q = x ex – ex + C1
Dengan demikian maka :
dp
= x e x − e x + C1
dx
dp = (x ex – ex + C1) dx
p = x ex – ex – ex + C1 x + C2
y = ∫ pdx sehingga y = ∫ {( x − 2) e x + C1 x + C 2 )} dx
= ( x − 3) e x + C1 x 2 + C 2 x + C3
II. Bentuk :
dny
= f ( y) ≡ g ( y)
dx n
Misalkan :
p=
dy
dp dp dy
dp
maka
=
.
= p
dx
dx dy dx
dy
d2y
dp
=p
2
dy
dx
d3y  d
=
dx 3  dy
 dp  dy
 p

 dy  dx
2
 dp 
d2p
= p   + p 2
dy 2
 dy 
demikian seterusnya
Contoh :
1. Selesaikan PD berikut :
d2y
d2y
2
+
=
0
⇒
= − a2 y
a
y
2
2
dx
dx
Penyelesaian :
Misalkan :
p=
dy
dx
dp dp dy
dp d 2 y
=
.
=p
=
dx dy dx
dy dx 2
∴p
dp
= −a2y
dy
p dp + a2y dy = 0
1 2 1 2 2
p + a y = C1
2
2
p2 + a2y2 = C2 → ambil C2 = c2
p2 = c2 – a2 y2
c2 − a2 y2
p=+
dy
=±
dx
dy
dx =
x
=
c 2 − a 2 y 2 → ambil +
c2 − a2 y2
∫
dy
c −a y
2
2
2
=
ay
1
arc sin
+ C3
a
c
 ay 
∴ ax = arc sin   + C3
 c 
ay
= sin (ax + c4 )
c
= sin ax cos c4 + cos ax sin c4
y = P cos ax + Q sin ax
Soal-soal:
d3y
= x e−x
3
dx
d2y
2.
− a2 y = 0
2
dx
Selesaikan persamaan differensial : 1.
PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER ORDE N

dy d 2 y
dn y 
=0
Persamaan umum : F  x , y,
,
,
.....
,
dx dx 2
dx n 

Bila variabel bebas dan turunan-turunannya mempunyai pangkat tertinggi sama
dengan 1, maka persamaan differensial ini disebut persamaan differensial linier.
Bentuk umum persamaan differensial linier orde-n :
dny
d n −1 y
dy
an ( x) n + an −1 ( x) n −1 + ..... + a1 ( x)
+ a0 y = g ( x)................. (*)
dx
dx
dx
bila : g(x) = 0 ⇒ disebut persamaan differensial homogen
g(x) ≠ 0 ⇒ disebut persamaan differensial in-homogen
Sifat Persamaan Differensial Homogen
1. Jika y1 merupakan jawaban persamaan * dan y2 juga merupakan jawaban
persamaan *, maka y1+y2 juga merupakan jawaban persamaan *.
Bukti :
an
d n ( y1 + y 2 )
d n −1 ( y1 + y 2 )
d ( y1 + y 2 )
+
+ ..... + a1
+ ao ( y1 + y 2 )
a
n −1
n
n −1
dx
dx
dx
 d n y1
  dn y2

d n −1 y1
d n −1 y 2
a
a
.....
a
y
a
a
+
+
+
+
+
+ ..... + a o y 2 
 n
n −1
o 1  n
n −1
n
n −1
n
n −1
dx
dx
 dx
  dx

2. Jika y1 merupakan jawaban persamaan *, maka cy1, juga merupakan jawaban
persamaan *.
Bukti :
an
d n (cy1 )
d n −1 (cy1 )
dcy1
a
+
+ ..... + a 1
+ a o cy1 =
n −1
n
n −1
dx
dx
dx
 d n y1

d n −1 y1
dy1
C a n
a
+
+ ..... + a 1
+ a o y1  = 0
n −1
n
n −1
dx
dx
 dx

3. Jika y1 dan y2 adalah jawaban persamaan *, maka y=c1y1+c2y2 juga
merupakan jawaban persamaan *.
Bukti :
dari sifat 1 dan 2 dapat disimpulkan bahwa y=c1y1+ c2y2
merupakan juga persamaan *.
4. Suatu persamaan differensial orde n akan mempunyai n jawaban yang bebas
linier dan n jawaban yang linier. Bila y1, y2, y3, y4, ....., yn merupakan jawaban
persamaan * maka y = c1 y1 + c2 y2 + c3 y3 + ..... + cn yn juga merupakan
jawaban.
VII.
PEMECAHAN
PERSAMAAN
DIFFERENSIAL
DENGAN MENGGUNAKAN OPERATOR D
Didefinisikan :
Sehingga :
D =
d
dx
D2 =
d2
dx 2
D3 =
d3
dx 3
dn
D =
dx n
n
Contoh :
D2 x2 = D . Dx2
D sin x = cos x
Dx2
= 2x
D3 cos x = - D2 sin x
= - D cos x
= D.2x= 2
(Dx2) sin x
2
x D sin x
= sin x
Hitung : θ2 sin x bila θ sin x = x cos x
Jawab :
θ2 sin x = θ . θ sin x
= θ . x cos x
= x
d
( x cos x)
dx
= x (cos x - x sin x)
= x cos x – x2 sin x
= 2 x sin x
= x2 cos x
∴ Dx2 ≠ x2 D
HOMOGEN
Dengan menggunakan operator D persamaan diferensial homogen dapat ditulils :
an
dny
d n −1 y
dy
+
a
+ ..... + a1
+ ao y = 0
n −1
n
n −1
dx
dx
dx
an Dny + an-1 Dn-1 y + ..... + a1 Dy + ao y = 0
atau
(an Dn + an-1 Dn-1 + ..... + a1 D + ao) y = 0
Dapat ditulis pula sebagai:
Φ (D) y = 0
Sehingga persamaan differensial ln-homogen dapat ditulis : Φ (D) y = g(x)
SIFAT-SIFAT OPERATOR D
I.
(Dr + Ds) u = (Ds + Dr) u
⇒ Hk. Komutatif
II.
{Dr + (Ds + Dt)} u = {(Dr + Ds) + Dt} u
⇒ Hk. Asosiatip
III.
(Dr . Ds) u = (Ds . Dr) u
⇒ Hk. Komutatif Perkalian
IV.
Dr (Ds . Dt) u = (Dr Ds) . Dt u
⇒ Hk. Asosiatip
V.
Dr (Ds + Dt) u = (Dr Ds + Dr Dt) u
⇒ Hk. Distributip
VI.
(Dr Ds) u= Dr+s u
⇒ Rumus Pangkat
VII.
Dr (cu) = c Dr u
⇒ Sifat Turunan
r, s, t = konstanta
SIFAT-SIFAT DARI φ (D)
I. φ (D) emx = φ (m) emx
Bukti : D emx = m emx
D2 emx = m2 emx
D3 emx = m3 emx
Dn emx = mn emx
(m = konst)
Sedangkan :
φ(D) emx = (an Dn + an-1 Dn-1 + ..... + a1 D + ao) emx
= (an mn + an-1 mn-1 + ..... + a1 m + ao) emx
= φ (m) emx
(q e d)
Contoh :
a). (D2 – 2.D + 3) e2x = (22 – 2.2 + 3) e2x
= 3 e2x
b). (D3 – D2 – D + 6) e3x
= (33 – 32 – 3 + 6) e3x
= (27 – 9 – 3 + 6) e3x
= 21 e3x
II. φ(D) (u.emx) = emx φ(D + m) u dimana u = f(x)
Bukti :
Du emx
= emx Du + mu emx
= emx (D + m) u
D2 (emxu) = D[D (emx.u)]
= D[emx (D + m) u] misalkan (D+m)u = v
= D(emx v)
= emx (D + m)v
= emx (D + m) (D + m) u
= emx (D + m)2 u
Jadi :
φ(D) (u. emx) = (an Dn + an-1 Dn-1 + ..... + a1.D + ao) (u emx)
= emx [an (D+m) n + an-1 (D+m)n-1 + ..... + a1 (D+m) + ao ]u
= emx φ (D + m) u
(q . e . d)
Contoh :
1. (D2 – D + 6) e2x . x2
= e2x {(D + 2)2 – (D + 2) + 6} x2
= e2x (D2 + 3 D + 8) x2
= e2x (2 + 6 x + 8 x2)
2. (D2 + 2 D-3) (tan x -
2
2
2
2
) = D2 (tan x - ) +2D(tan x - ) – 3 (tan x - )
x
x
x
x
2
2
6
= D (sec2 x + 2 ) + 2 (sec2 x + 2 ) – 3 tan x +
x
x
x
4
4
6
= 2 tan x sec2 x - 3 + 2 sec2 x + 2 - 3 tan x +
x
x
x
1
= 2 sec2 x + 2 sec2 x tan x - 3 tan x + 3 (4 x + 6 x2 - 4)
x
Kerjakan Soal berikut :
1) (D2 + 2 D – 3) (e2x sin x + ex cos x+ e-3x x2)
2) (D2 – 3 D +2) ex (x2 – 3 sin x)
3) (3 D2 + D + 2) e2x (ln 2 x -
1
)
x2
PERSAMAAN KARAKTERISTIK
Telah diketahui bahwa bila φ(D)y=0 disebut persamaan differensial homogen
sedangkan bila φ(D) y = g(x) disebut persamaan differensial in homogen
Bila
φ(D) = (D - m1) (D - m2) ..... (D - mn) = 0
Maka φ(m) = (m – m1) (m – m2) .... (m – mn) = 0,
sehingga :
m = m1, m = m2 ....., m = mn
Jadi bila φ(D) y = A (D – m1) (D – m2) ..... (D – mn) y = 0
sedang A = konstanta ≠ 0, maka akan berlaku :
(D – m1) (D – m2) ..... (D – mn) y = 0 ........... ( 1 )
Misalkan: (D – m1) y1 = 0 memenuhi persamaan ini, maka
dy1
dy
− m1 y1 = 0 → 1 = m1 y1
dx
dx
dy1
= m1 dx → ln y1 = m1 x
y1
y1 = c1 em1x
Jelaskan bahwa y1 memenuhi φ(D)y = 0
Demikian pula jika (D – m2) y2 = 0 memenuhi persamaan (1)
Maka y2 = c2 em2x akan memenuhi φ(D) y = 0
Sehingga : Didapat jawaban umum dari φ(D) y = 0 adalah :
y = C1 em1x + C2 em2x + C3 em3x + ..... + Cn emnx
Contoh soal:
Tentukan jawaban umum dari :
1. (D – 1) (D + 2) (D – 3) (D + 1) y = 0
Jawab :
y = c1 ex + c2 e-2x + c3 e3x + c4 e-x
2.
d2y
dy
+5
+ 6y = 0
2
dx
dx
Jawab :
(D2 + 5D + 6) y = 0
(D + 3) (D + 2) y = 0
∴ y = c1 e-3x + c2 e-2x atau
3.
y = Ae-2x + Be-3x
d2y
dy
+4
+ 4 y = 0 ⇒ ( D 2 + 4 D + 4) y = 0
2
dx
dx
(D + 2)2 y = 0
maka y = ce-2x bukan jawaban lengkapnya karena akar harus ada dua
jadi misalkan jawaban umumnya y = u(x) e-2x
Substitusi ke (D + 2)2 y = 0 didapat (D + 2)2 u(x) e-2x = 0
Dengan menggunakan sifat : φ(D) u emx = emx φ (D + m) u
Didapat : e-2x [D – 2 + 2]2 u(x) = 0 ⇒ e-2x D2u= 0
D2u = 0
Du = A
u = Ax + B
∴ y = (Ax + B) e-2x atau y = (c1x + c2) e-2x merupakan jawaban umumnya.
Secara umum dapat diperoleh :
Bila ∅(D) y = A (D – m1) (D – m2) ..... (D – ms)s ..... (D – mn) y = 0
Maka jawaban dari (D – ms)s ys = 0 adalah ys = u emsx
∴ (D – ms)s u emsx = emsx (D + ms – ms)s = 0
emsx Ds u = 0 ⇒ Dsu = 0
u = co + c1 x + c2 x2 + ..... + cs-1 xs-1
∴ Jawaban umumnya :
ys = (co + c1 x + c2 x2 + ..... + cs-1 xs-1) ems x
Contoh :
1. (D – 1) (D + 2)3 (D – 3) (D + 1) y = 0
Jawab umumnya: y = c1e x + (c2 + c3 x + c4 x 2 )e −2 x + c5 e 3 x + c6 e − x

Karena rangkap 3
2. (D – 1)2 (D + 1)3 (D – 2)2 Dy = 0
Akan mempunyai jawaban umum :
y = (c1 + c2 x) ex + (c3 + c4 x + c5 x2) e-x + (c6 + c7x) e2x + C8
3. (D – 3)2 (D + 1)3 D5 y = 0
Akan mempunyai jawaban umum :
y = (c1 + c2 x) e3x + (c3 + c4 x+ c5 x2) e-x + c6 + c7 x + c8 x2 + c9 x3 + c10 x4
Bila persamaan karakteristik mempunyai akar kompleks :
m1 = α + i β atau m2 = α - i β, maka jawaban umum :
y = c1 em1x + c2 em2x
= c1 e(α+iβ)x + c2 e(α-iβ)x
= c1 eαx eiβx + c2 eαx e-iβx
= eαx (c1 eiβx + c2 e-iβx)
= eαx (c1 cos βx + i c1 sin βx + c2 cos βx – i c2 sin βx)
= eαx [(c1 + c2) cos βx + i(c1 – c2) sin βx]
= eαx [A cos βx + B sin βx)]
dimana : A = c1 + c2
B = i(c1 – c2)
∴ y = eαx (A cos βx + B sin βx)
Jika α = 0 ⇒
y = A cos βx + B sin βx
Contoh :
1. (D2 – 4D + 13) y = 0 ⇒ {(D – 2)2 + 9} y = 0
{(D – 2) +i3} {(D – 2) –i3} y = 0
(D – 2 + 3i) (D – 2 – 3i) y = 0
∴ y = e2x (A cos 3x + B sin 3x)
2. (D6 + 4D4) y = 0
⇒
D4 (D2 + 4) y = 0
D4 (D + 2i) (D – 2i) y = 0
∴ y = (c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3) + (A cos 2x + B sin 2x)
DAPAT DISIMPULKAN :
Jika persamaan karakteristik φ(m) = 0 atau m2 + pm + q = 0, mempunyai akarakar sebagai berikut :
a. m1 dan m2 riel, maka : y = c1 em1x + c2 em2x
b. m1 = m2 = m (riel rangkap), maka : y = (c1 + c2 x) emx
c. m1 = α + iβ & m2 = α-iβ, maka : y = eαx (A cos βx + B sin βx)
dan bila α = 0 ⇒ y = A cos βx + B sin βx
Kerjakan Soal-soal berikut :
1. (D2 – 4 D + 4) y = 0
6. (D3 – 3 D2 – D + 3) y = 0
2. (D3 + 3D2 + 3D + 1) y = 0
7. (4D3 – 3D2 + D) y = 0
3. (D3 + 9D) y = 0
8. (D2 – 2D + 4) y = 0
4. (D4 – 2D3) y = 0
9. (D2 – 6 D + 10) y = 0
5. (D6 – 4D4+ 4D2) y = 0
10. (D3 – 1) y = 0
PERSAMAAN DIFFERENSIAL IN HOMOGEN
an
dny
d n −1 y
dy
+
+ ..... + a1
+ a0 y = g ( x) .......................... ( I )
a
n −1
n
n −1
dx
dx
dx
Sifat-sifat:
a. Bila yc = c1 y1 + c2 y2 + ..... + cn yn merupakan salah satu jawaban persamaan I
(yc = jawaban complementer) dan yp merupakan jawaban lain dari persamaan I
(jawaban partikelir / khusus), maka y = yc + yp merupakan jawaban umum dari
persamaan I.
yc didapat dengan mengambil g(x) = 0 , sedangkan yp tergantung dari g(x)
Bukti :
an
d n (y c + y p )
dx n
+ a n −1
d n −1 ( y c + y p )
dx n −1
+ ..... + a o ( y c + y p ) =
n
d n−1 y p
 d n yc
  d y p
d n−1 ( yc )

+ ..... + ao yc  + an
+ an−1
+ ..... + ao y p 
an  n + an−1
n −1
n
n −1
dx
dx
 dx

dx
 
O
g ( x)
dn y
d n −1 y
b. Dari persamaan an
+ a n −1 n −1 + ..... + a o y = g 1 ( x ) + g 2 ( x ) ............. ( II )
dx n
dx
Bila yp1 dan yp2 merupakan jawaban khusus dari persamaan II maka yp = yp1
+ yp2 merupakan jawaban khusus persamaan II.
Bukti :
an
d n ( yp1 + yp2 )
d n −1 ( yp1 + yp2 )
a
+
+ ..... + ao ( yp1 + yp2 ) =
n −1
dx n
dx n −1
n
n



d n −1 y p1
d n −1 y p 2
 d y p1
 
 d y p2

a
a
a
y
a
a
+
+
+
+
+ ..... + ao y p 2  = 0
 n
n −1
o
p  n
n −1
n
n −1
n
n −1
dx
dx
dx
dx




 


φ (D) y = g(x) ⇒ A (D – m1) (D – m2) ..... (D – mn) y = g(x)
Dapat diselesaikan dengan metode reduksi sebagai berikut :
A (D – m1) (D – m2) (D – m3) ..... (D – mm) y = g(x)
Mis : A (D – m2) (D – m3) ..... (D – mn) y = u(x)
Shg : (D – m1) u(x) = g(x), merupakan persamaan differensial linier.
Maka : u(x) dapat diperoleh.
Dengan cara yang sama dapat dimisalkan :
A (D – m3) D – m4) ..... (D – mn) y = v(x)
Shg:
(D – m2) v(x) = u(x) ⇒ v(x) diperoleh
Demikian seterusnya sehingga akhirnya diperoleh :
(D – mn) y = w(x) ⇒ y dapat dicari.
Contoh :
(D + 1) (D – 1) (D + 2) y = x
Dengan mengambil : ( D + 1)( D − 1)( D + 2) yc = 0
maka didapat : yc = c1e − x + c2 e x + c3e −2 x
untuk mencari yp ambil : ( D − 1)( D + 2) y = u ( x) sehingga didapat
( D + 1)u ( x) = x, maka
Misalkan :
du
+ u = x (persamaan differensial linier)
dx
u=p.q
p
dq
dp
+q
+ p.q = x
dx
dx
p
dq
 dp

+q
+ p = x
dx
 dx

Pilih q sedemikian rupa sehingga :
dp
+ p=0
dx
dp
= − dx
p
p = e-x
p
dq
dq
= x ⇒ e−x
=x
dx
dx
∫ dq = ∫ xe dx
sehingga q = xe x - ∫ e x dx
x
q = xe x - e x = e x (x - 1)
jadi u = ( x − 1) sehingga didapat
( D − 1)( D + 2) y = x − 1
sekarang misalkan ( D + 2) y = v( x) sehingga diperoleh ( D − 1)v( x) = x − 1
maka
Misalkan :
dv
− v = x − 1 (persamaan differensial linier)
dx
v=p.q
p
dq
dp
+q
− p.q = x − 1
dx
dx
p
dq
 dp

+q
− p  = x −1
dx
 dx

Pilih q sedemikian rupa sehingga :
dp
−p=0
dx
dp
= dx
p
p = ex
p
dq
dq
= x −1 ⇒ ex
= x −1
dx
dx
∫ dq = ∫ ( x − 1)e
−x
dx sehingga q = −( x − 1)e − x + ∫ e − x dx
q = −( x − 1)e − x − e − x = − xe − x
Jadi v = − x
dengan demikian : ( D + 2) y = − x
Misalkan :
y=p.q
p
dq
dp
+q
+ 2 p.q = − x
dx
dx
p
dq
 dp

+q
+ 2 p = − x
dx
 dx

Pilih q sedemikian rupa sehingga :
dp
+ 2p = 0
dx
dp
= − 2dx
p
p = e-2x
p
dq
dq
= x − 1 ⇒ e −2 x
=− x
dx
dx
∫ dq = − ∫ xe
2x
dx sehingga q = − 12 ( xe 2 x − ∫ e 2 x dx )
q = − 12 xe 2 x + 14 e 2 x = (− 12 x + 14 )e 2 x
Jadi y p = − 12 x + 14
Dengan demikian jawab umumnya adalah :
y = yc + y p = c1e − x + c2 e x + c3e −2 x − 12 x + 14
MENCARI y p DENGAN KOEFISIEN TAK TENTU
Untuk mencari y p tergantung daripada bentuk persamaan diferensial inhomogen
yang ingin dicari {tergantung dari g(x)}.
I. a). ɸ(𝐷𝐷)𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑟𝑟 atau (𝑎𝑎𝑛𝑛 𝐷𝐷𝑛𝑛 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1 𝐷𝐷𝑛𝑛−1 +. . +𝑎𝑎𝑛𝑛−𝑚𝑚 𝐷𝐷𝑛𝑛 −𝑚𝑚 )𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑟𝑟
pada ruas kiri pangkat x yang tertinggi ditentukan oleh a0 y dengan a0 ≠ 0
r
yang berarti bahwa pangkat tertinggi dari polynom y p adalah x sehingga
y p dapat dimisalkan sebagai : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = (𝑏𝑏0 + 𝑏𝑏1 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏2 𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏3 𝑥𝑥 3 + ⋯ + 𝑏𝑏𝑟𝑟 𝑥𝑥 𝑟𝑟 )
Contoh:
Pecahkan persamaan diferensial: (𝐷𝐷2 − 5𝐷𝐷 + 6)𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 3 + 5𝑥𝑥 − 6
Penyelesaian:
ambil : (𝐷𝐷2 − 5𝐷𝐷 + 6)𝑦𝑦𝑐𝑐 =0 sehingga 𝑦𝑦𝑐𝑐 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 2𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑒𝑒 3𝑥𝑥
misal : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = (𝑐𝑐0 + 𝑐𝑐1 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐2 𝑥𝑥 2 + 𝑐𝑐3 𝑥𝑥 3 )
𝑦𝑦𝑝𝑝′ = (𝑐𝑐1 + 2𝑐𝑐2 𝑥𝑥 + 3𝑐𝑐3 𝑥𝑥 2 )
𝑦𝑦𝑝𝑝′′ = (2𝑐𝑐2 + 6𝑐𝑐3 𝑥𝑥 )
jadi: (𝐷𝐷2 − 5𝐷𝐷 + 6)𝑦𝑦𝑝𝑝 = 2𝑐𝑐2 + 6𝑐𝑐3 𝑥𝑥 − 5𝑐𝑐1 − 10𝑐𝑐2 𝑥𝑥 − 15𝑐𝑐3 𝑥𝑥 2 + 6𝑐𝑐0 +
6𝑐𝑐1 𝑥𝑥 + 6𝑐𝑐2 𝑥𝑥 2 + 6𝑐𝑐3 𝑥𝑥 3
= 6𝑐𝑐3 𝑥𝑥 3 − (15𝑐𝑐3 − 6𝑐𝑐2 )𝑥𝑥 2 + (6𝑐𝑐3 − 10𝑐𝑐2 + 6𝑐𝑐1 )𝑥𝑥
+(2c2 − 5c1 + 6c0 ) ≡ 2𝑥𝑥 3 + 5𝑥𝑥 − 6
1
dari koefisien 𝑥𝑥 3 didapat 6c3 =2 jadi c3 = 3
5
𝑥𝑥 2 didapat −15c3 + 6𝑐𝑐2 =0 jadi c2 = 6
𝑥𝑥1
𝑥𝑥
0
didapat 6c3 −10𝑐𝑐2 + 6c1 =5 jadi c1 =
17
9
8
didapat 2c2 −5𝑐𝑐1 + 6c0 = −6 jadi c0 = 27
dengan demikian didapat 𝑦𝑦𝑝𝑝 =278 + 179 𝑥𝑥 + 56𝑥𝑥 2 +13𝑥𝑥 3
jadi jawab umumnya adalah 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦𝑐𝑐 + 𝑦𝑦𝑝𝑝
1
8
17
5
=𝐴𝐴𝐴𝐴 2𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑒𝑒 3𝑥𝑥 + 27 + 9 𝑥𝑥 + 6𝑥𝑥 2 +3𝑥𝑥 3
b). Bila ∅(𝐷𝐷)𝑦𝑦 = ∅1 (𝐷𝐷)𝐷𝐷 𝑠𝑠 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑟𝑟
dimana ∅1 (𝐷𝐷) ≠ 0 yang berarti bahwa pangkat tertinggi polynom ∅ (𝐷𝐷)𝑦𝑦
ditentukan oleh orde turunan terendah 𝐷𝐷 𝑠𝑠 𝑦𝑦
∅1 (𝐷𝐷)𝐷𝐷 𝑠𝑠 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑟𝑟 maka 𝐷𝐷 𝑠𝑠 𝑦𝑦𝑝𝑝 = (𝑏𝑏0 + 𝑏𝑏1 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏2 𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏3 𝑥𝑥 3 + ⋯ + 𝑏𝑏𝑟𝑟 𝑥𝑥 𝑟𝑟 ) ,
dengan mengintegralkan 𝐷𝐷 𝑠𝑠 𝑦𝑦 sampai s kali maka didapat :
𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝑥𝑥 𝑠𝑠 (𝑐𝑐0 + 𝑐𝑐1 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐2 𝑥𝑥 2 + 𝑐𝑐3 𝑥𝑥 3 + ⋯ + 𝑐𝑐𝑟𝑟 𝑥𝑥 𝑟𝑟 )
Contoh :
1. Pecahkan persamaan diferensial: (𝐷𝐷 − 1)(𝐷𝐷 + 1)𝐷𝐷2 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2
Penyelesaian:
ambil : (𝐷𝐷 − 1)(𝐷𝐷 + 1)𝐷𝐷2 𝑦𝑦𝑐𝑐 =0 sehingga 𝑦𝑦𝑐𝑐 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑒𝑒 −𝑥𝑥 + (𝐶𝐶 + 𝐷𝐷𝐷𝐷)
misal : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝑥𝑥 2 (𝑔𝑔0 + 𝑔𝑔1 𝑥𝑥 + 𝑔𝑔2 𝑥𝑥 2 ) = 𝑔𝑔0 𝑥𝑥 2 + 𝑔𝑔1 𝑥𝑥 3 + 𝑔𝑔2 𝑥𝑥 4
𝑦𝑦𝑝𝑝′ = (2𝑔𝑔0 𝑥𝑥 + 3𝑔𝑔1 𝑥𝑥 2 + 4𝑔𝑔2 𝑥𝑥 3 )
𝑦𝑦𝑝𝑝′′ = (2𝑔𝑔0 + 6𝑔𝑔1 𝑥𝑥 + 12𝑔𝑔2 𝑥𝑥 2 )
𝑦𝑦𝑝𝑝′′′ = (6𝑔𝑔1 + 24𝑔𝑔2 𝑥𝑥)
𝑦𝑦𝑝𝑝′′′′ = 24𝑔𝑔2
jadi: (𝐷𝐷4 − 𝐷𝐷2 )𝑦𝑦𝑝𝑝 = 24𝑔𝑔2 − 2𝑔𝑔0 − 6𝑔𝑔1 𝑥𝑥 − 12𝑔𝑔2 𝑥𝑥 2 ≡ 𝑥𝑥 2
1
dari koefisien 𝑥𝑥 2 didapat −12𝑔𝑔2 =1 jadi 𝑔𝑔2 = − 12
𝑥𝑥 didapat −6𝑔𝑔1 =0 jadi 𝑔𝑔1 =0
𝑥𝑥 0 didapat 24𝑔𝑔2 − 2𝑔𝑔0 = 0 jadi 𝑔𝑔0 = − 1
dengan demikian didapat 𝑦𝑦𝑝𝑝 =−𝑥𝑥 2 − 121 𝑥𝑥 4
jadi jawab umumnya adalah 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦𝑐𝑐 + 𝑦𝑦𝑝𝑝
1
=𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑒𝑒 −𝑥𝑥 + (𝐶𝐶 + 𝐷𝐷𝐷𝐷) − 𝑥𝑥 2 − 12 𝑥𝑥 4
2. Pecahkan PD: (𝐷𝐷 + 1)(𝐷𝐷 + 3)(𝐷𝐷 − 2)𝐷𝐷2 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 3 + 5𝑥𝑥 2 + 6
𝑦𝑦𝑐𝑐 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 −𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑒𝑒 2𝑥𝑥 + 𝐶𝐶𝑒𝑒 −3𝑥𝑥 + (𝐷𝐷 + 𝐸𝐸𝐸𝐸)
𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝑥𝑥 2 (𝐹𝐹𝑥𝑥 3 + 𝐺𝐺𝑥𝑥 2 + 𝐻𝐻𝐻𝐻 + 𝐼𝐼)
II. a) Bentuk ɸ(𝐷𝐷)𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑟𝑟 𝑒𝑒 𝑞𝑞𝑞𝑞
karena ruas kanan mengandung e
y p = ue qx dimana
, maka permisalan yang diambil
u = u ( x) ini berarti bahwa:
sehingga 𝑒𝑒 𝑞𝑞𝑞𝑞 ∅(𝐷𝐷 + 𝑞𝑞)𝑢𝑢
∅(𝐷𝐷 + 𝑞𝑞)𝑢𝑢
misal ∅(𝐷𝐷 + 𝑞𝑞)𝑢𝑢
sehingga 𝐹𝐹(𝐷𝐷)𝑢𝑢
𝑢𝑢𝑝𝑝 = 𝑔𝑔0 + 𝑔𝑔1 𝑥𝑥 + 𝑔𝑔2 𝑥𝑥 2 + ⋯ + 𝑔𝑔𝑟𝑟 𝑥𝑥 𝑟𝑟 , sehingga
𝑦𝑦𝑝𝑝 = (𝑔𝑔0 + 𝑔𝑔1 𝑥𝑥 + 𝑔𝑔2 𝑥𝑥 2 + ⋯ + 𝑔𝑔𝑟𝑟 𝑥𝑥 𝑟𝑟 )𝑒𝑒 𝑞𝑞𝑞𝑞
∅(𝐷𝐷)𝑢𝑢𝑒𝑒
𝑞𝑞𝑞𝑞
qx
𝑟𝑟 𝑞𝑞𝑞𝑞
= 𝑥𝑥 𝑒𝑒
= 𝑥𝑥 𝑟𝑟 𝑒𝑒 𝑞𝑞𝑞𝑞
= 𝑥𝑥 𝑟𝑟
= 𝐹𝐹(𝐷𝐷)𝑢𝑢
= 𝑥𝑥 𝑟𝑟
b). Bila ∅1 (𝐷𝐷)𝐷𝐷 𝑠𝑠 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑟𝑟 𝑒𝑒 𝑞𝑞𝑞𝑞 dan D=0 maka ∅(𝑞𝑞) = 𝐹𝐹(0) = 0, mempunyai
𝑞𝑞 rangkap s kali, sehingga:
𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝑥𝑥 𝑠𝑠 (𝑏𝑏0 + 𝑏𝑏1 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏2 𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏3 𝑥𝑥 3 + ⋯ + 𝑏𝑏𝑟𝑟 𝑥𝑥 𝑟𝑟 )𝑒𝑒 𝑞𝑞𝑞𝑞
Contoh:
1.(𝐷𝐷 + 1)(𝐷𝐷 + 3)𝑦𝑦 = 2𝑒𝑒 2𝑥𝑥 ,karena 𝑦𝑦𝑐𝑐 tidak mengandung 𝑒𝑒 2𝑥𝑥 , maka
misalkan : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 2𝑥𝑥
2.(𝐷𝐷 + 1)(𝐷𝐷 + 2)𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 2 𝑒𝑒 2𝑥𝑥 ,karena 𝑦𝑦𝑐𝑐 tidak mengandung 𝑒𝑒 2𝑥𝑥 , maka
misalkan : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = (𝐴𝐴𝑥𝑥 2 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐶𝐶)𝑒𝑒 2𝑥𝑥
3.(𝐷𝐷 + 1)(𝐷𝐷 − 1)(𝐷𝐷 − 2)𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 2 𝑒𝑒 2𝑥𝑥 ,karena 𝑦𝑦𝑐𝑐 mengandung 𝑒𝑒 2𝑥𝑥 , maka
misalkan : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝑥𝑥(𝐴𝐴𝑥𝑥 2 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐶𝐶)𝑒𝑒 2𝑥𝑥
4.(𝐷𝐷 + 2)(𝐷𝐷 − 3)(𝐷𝐷 − 4)3 𝑦𝑦 = 4𝑒𝑒 4𝑥𝑥 ,karena 𝑦𝑦𝑐𝑐 mengandung 𝑒𝑒 4𝑥𝑥 , maka
misalkan : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 3 𝑒𝑒 4𝑥𝑥
5.(𝐷𝐷 − 1)(𝐷𝐷 + 1)3 𝐷𝐷2 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 ,karena 𝑦𝑦𝑐𝑐 mengandung 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 , maka
misalkan : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝑥𝑥 3 (𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐶𝐶𝑥𝑥 2 )𝑒𝑒 −𝑥𝑥
6.(𝐷𝐷 − 1)(𝐷𝐷 + 1)3 𝐷𝐷2 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 3 ,karena 𝑦𝑦𝑐𝑐 mengandung 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 , maka
misalkan : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝑥𝑥 3 (𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐶𝐶𝑥𝑥 2 )𝑒𝑒 −𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 (𝐷𝐷 + 𝐸𝐸𝐸𝐸 + 𝐹𝐹𝑥𝑥 2 + 𝐺𝐺𝑥𝑥 3 )
III. a) Bentuk ɸ(𝐷𝐷)𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑟𝑟 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑞𝑞𝑞𝑞
karena cos qx = 12 (e
1
iqx
+ e −iqx ) ,maka berarti bahwa:
1
∅(𝐷𝐷)𝑦𝑦 = 2 𝑥𝑥 𝑟𝑟 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 + 2 𝑥𝑥 𝑟𝑟 𝑒𝑒 −𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 atau ∅(𝐷𝐷)𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑟𝑟 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝑥𝑥 𝑟𝑟 𝑒𝑒 −𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
Jadi 𝑦𝑦𝑝𝑝 = (𝑎𝑎0 + 𝑎𝑎1 𝑥𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑟𝑟 𝑥𝑥 𝑟𝑟 )𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 + (𝑏𝑏0 + 𝑏𝑏1 𝑥𝑥 + ⋯ + 𝑏𝑏𝑟𝑟 𝑥𝑥 𝑟𝑟 )𝑒𝑒 −𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
sehingga : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = (𝑎𝑎0 + 𝑎𝑎1 𝑥𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑟𝑟 𝑥𝑥 𝑟𝑟 )(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑞𝑞𝑞𝑞) +
(𝑏𝑏0 + 𝑏𝑏1 𝑥𝑥 + ⋯ + 𝑏𝑏𝑟𝑟 𝑥𝑥 𝑟𝑟 )(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑞𝑞𝑞𝑞 − 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑞𝑞𝑞𝑞)
dengan demikian : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = (𝑐𝑐0 + 𝑐𝑐1 𝑥𝑥 + ⋯ + 𝑐𝑐𝑟𝑟 𝑥𝑥 𝑟𝑟 )(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑞𝑞𝑞𝑞) +
(𝑑𝑑0 + 𝑑𝑑1 𝑥𝑥 + ⋯ + 𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑥𝑥 𝑟𝑟 )(𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑞𝑞𝑞𝑞)
maka : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = (𝑔𝑔0 + 𝑔𝑔1 𝑥𝑥 + ⋯ + 𝑔𝑔𝑟𝑟 𝑥𝑥 𝑟𝑟 )(𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑞𝑞𝑞𝑞)
b). Bila ∅1 (𝐷𝐷)𝐷𝐷 𝑠𝑠 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑟𝑟 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑞𝑞𝑞𝑞
maka : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝑥𝑥 𝑠𝑠 (𝑔𝑔0 + 𝑔𝑔1 𝑥𝑥 + ⋯ + 𝑔𝑔𝑟𝑟 𝑥𝑥 𝑟𝑟 )(𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑞𝑞𝑞𝑞)
Contoh:
1.(𝐷𝐷 + 1)(𝐷𝐷 − 1)𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝑥𝑥, karena 𝑦𝑦𝑐𝑐 tidak mengandung 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝑥𝑥 , maka
misalkan : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝐴𝐴𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 2𝑥𝑥
2.(𝐷𝐷 + 1)(𝐷𝐷 + 2)𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝑥𝑥,karena 𝑦𝑦𝑐𝑐 tidak mengandung 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝑥𝑥 ,
maka misalkan : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = (𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵)(𝐶𝐶𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝑥𝑥 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 2𝑥𝑥)
3.(𝐷𝐷 + 1)(𝐷𝐷 − 1)2 (𝐷𝐷 + 2)𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 3 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝑥𝑥,
karena 𝑦𝑦𝑐𝑐 tidak mengandung 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝑥𝑥 , maka
misalkan : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = (𝐴𝐴𝑥𝑥 3 + 𝐵𝐵𝑥𝑥 2 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐷𝐷)(𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝑥𝑥 + 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄 2𝑥𝑥)
4.(𝐷𝐷 − 1)(𝐷𝐷 − 2𝑖𝑖)2 (𝐷𝐷 + 2𝑖𝑖)2 (𝐷𝐷 + 4)𝐷𝐷2 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 3 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝑥𝑥,
karena 𝑦𝑦𝑐𝑐 mengandung 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 2𝑥𝑥 , maka misalkan :
𝑦𝑦𝑝𝑝 = (𝐴𝐴𝑥𝑥 2 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐶𝐶)(𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥 + 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑥𝑥) +
𝑥𝑥 2 (𝐹𝐹𝑥𝑥 3 + 𝐺𝐺𝑥𝑥 2 + 𝐻𝐻𝐻𝐻 + 𝐼𝐼)(𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝑥𝑥 + 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄 2𝑥𝑥)
Soal-soal yang diselesaikan
1. (𝐷𝐷2 − 1)𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 maka (𝐷𝐷 + 1)(𝐷𝐷 − 1)𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2
𝑦𝑦𝑐𝑐 = (𝐴𝐴𝑒𝑒 −𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑒𝑒 𝑥𝑥 )
misalkan : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = (𝐶𝐶𝑥𝑥 2 + 𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐸𝐸)
maka didapat : 𝑦𝑦 = 𝐴𝐴𝑒𝑒 −𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑒𝑒 𝑥𝑥 − (𝑥𝑥 2 + 2)
2. (𝐷𝐷4 + 𝐷𝐷2 )𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 maka 𝐷𝐷2 (𝐷𝐷2 + 1)𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 , sehingga dapat ditulis
sebagai (𝐷𝐷 + 𝑖𝑖)(𝐷𝐷 − 𝑖𝑖)𝐷𝐷2 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥
𝑦𝑦𝑐𝑐 = (𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵) + (𝐶𝐶 cos 𝑥𝑥 + 𝐷𝐷 sin 𝑥𝑥)
misalkan : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝑥𝑥 2 (𝐸𝐸𝐸𝐸 + 𝐹𝐹)
1
maka didapat : 𝑦𝑦 = (𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵) + (𝐶𝐶 cos 𝑥𝑥 + 𝐷𝐷 sin 𝑥𝑥) + 𝑥𝑥 2
3
3. (𝐷𝐷2 − 3𝐷𝐷 + 2)𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑥𝑥 2𝑥𝑥 maka (𝐷𝐷 − 2)(𝐷𝐷 − 1)𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑥𝑥 2𝑥𝑥
𝑦𝑦𝑐𝑐 = (𝐴𝐴𝑒𝑒 2𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑒𝑒 𝑥𝑥 )
misalkan : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝑥𝑥(𝐶𝐶 + 𝐷𝐷𝐷𝐷)𝑒𝑒 2𝑥𝑥
1
maka didapat : 𝑦𝑦 = ( 2 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 𝐴𝐴)𝑒𝑒 2𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑒𝑒 𝑥𝑥
4. (𝐷𝐷2 − 1)𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 2𝑒𝑒 𝑥𝑥 maka
(𝐷𝐷 + 1)(𝐷𝐷 − 1)𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 2𝑒𝑒 𝑥𝑥 , sehingga didapat
𝑦𝑦𝑐𝑐 = (𝐴𝐴𝑒𝑒 −𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑒𝑒 𝑥𝑥 )
misalkan : 𝑦𝑦𝑝𝑝 = (𝐶𝐶 + 𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐸𝐸𝑥𝑥 2 ) + 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑒𝑒 𝑥𝑥
maka didapat : 𝑦𝑦 = 𝐴𝐴𝑒𝑒 −𝑥𝑥 + (𝑥𝑥 + 𝐵𝐵)𝑒𝑒 𝑥𝑥 − (3𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 6)
Kerjakan dirumah :
IX.
1. (𝐷𝐷2 − 5𝐷𝐷 + 6)𝑦𝑦 = 12𝑥𝑥 2 − 20𝑥𝑥 + 4 + 𝑒𝑒 2𝑥𝑥
2. (𝐷𝐷2 + 1)𝑦𝑦 = 2 cos 𝑥𝑥 − 3 cos 2𝑥𝑥
3. (𝐷𝐷2 + 5𝐷𝐷 + 5)𝑦𝑦 = 3 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 sin 𝑥𝑥 − 10
4. (𝐷𝐷4 − 2𝐷𝐷3 + 𝐷𝐷2 )𝑦𝑦 = 6𝑒𝑒 𝑥𝑥 − 2
5. (𝐷𝐷3 − 4𝐷𝐷)𝑦𝑦 = 24𝑥𝑥 2 + 12 + 8 sin 2𝑥𝑥
6. (2𝐷𝐷2 − 3𝐷𝐷 − 2)𝑦𝑦 = (15𝑥𝑥 2 + 12𝑥𝑥 − 5)𝑒𝑒 2𝑥𝑥 − 18𝑒𝑒 𝑥𝑥
7. (𝐷𝐷4 + 𝐷𝐷2 )𝑦𝑦 = 18𝑥𝑥 − 4 sin 𝑥𝑥
PERSAMAAN DIFFERENSIAL EULER
Persamaan Differensial Euler adalah suatu persamaan differensial dengan
bentuk umum: (an XnDn + an-1Xn-1Dn-1+… + a1XD + ao)y = g(x), atau dapat
pula ditulis sebagai
φ ( XD) y = g ( x)
d3y 2 d2y
dy
+ 6x + 7 y = x2
contoh : 3x 3 + x
2
dx
dx
dx
3
Untuk memecahkan Persamaan Differensial Euler dapat dilakukan dengan
x = ez sehingga ln x = z, Jadi : dz = 1
, sedangkan
dx x
memisalkan :
diketahui pula bahwa :
jadi : x
d d
=
dx dz
bila diambil
Dari
d
d dz
d 1 d
=
, sehingga didapat
=
,
dx dz dx
dx x dz
d
d
= Dz dan
= D , maka diperoleh : XD = Dz
dz
dx
d 1 d
d2
d 1 d 
=
= 
maka dapat dicari :

2
dx x dz
dx
dx  x dz 
1 d 1 d d 
=− 2
+
 
x dz x dx  dz 
1 d
1 d2
=− 2
+ 2 2
x dz x dz
Dengan demikian maka : D 2 =
(
)
1 2
Dz − Dz atau X 2 D 2 = (Dz2 − Dz )
2
x
Selanjutnya dapat dicari :
(
)
(
2
1
d3
= − 3 Dz2 − Dz + 3 Dz3 − Dz2
3
dx
x
x
)
atau : X 3 D 3 = − 2(Dz2 − Dz )+ (Dz3 − Dz2 )
=
(D
3
z
− 3Dz2 + 2 Dz
)
= Dz (Dz − 1)(Dz − 2 )
Dengan cara yang sama akan didapat :
X 4 D 4 = Dz (Dz − 1)(Dz − 2 )(Dz − 3)
X 5 D 5 = Dz (Dz − 1)(Dz − 2 )(Dz − 3)(Dz − 4 )
..
..
X n D n = Dz (Dz − 1)(Dz − 2 )(Dz − 3).......(Dz − (n − 1) )
Contoh :
1. Selesaikan Persamaan Diferensial : (X3D3 + X2D2 – 4XD) y = 0
Jawab :
Misal : ez = x maka z= lnx
XD
= Dz
X2D2 = Dz (Dz – 1)
X3D3 = Dz (Dz – 1) (Dz – 2)
Dengan demikian : {Dz (Dz – 1) (Dz – 2) +Dz (Dz – 1) – 4 Dz} y = 0
Dz [D2z– 3Dz + 2 + Dz – 1 – 4] y = 0
Dz (D2z– 2Dz – 3) y = 0
Dz (Dz – 3) (Dz + 1) y = 0
Sehingga jawabannya : y = c1 + c2 e3z + c3 e-z
y = c1 + c2 x3 + c3 x-1
2. Carilah Jawab Umum PD : (X2D2 – XD + 5) y = x + 1
Jawab:
Misalkan: x = ez ⇒ z = ln x, dengan demikian (X2D2 – XD + 5) y = x + 1
menjadi: [Dz (Dz-1) – Dz + 5] y = x + 1
(D2z – 2 Dz + 5) y = x + 1
Sekarang ambil : (D2z – 2 Dz + 5)yc = 0
p.k :
m2 – 2 m + 5 = 0
2 ± 4 − 4.5
m1,2 =
2
1
− 16 = 1 + 2 i
=1+
2
Jadi : yc = ez [A cos 2 z + B sin 2 z]
= x [A cos 2 (ln x) + B sin 2 (ln x)]
misal :
yp = cez +E
y'p = cez
y''p = cez
Jadi : (D2z - 2Dz + 5)yp
= ez + 1
z
z
z
ce – 2 ce + 5 ce +5E = ez + 1
4 cez +5E = ez + 1
dari koefisien ez didapat 4 c = 1 → c = ¼ dan E=1/5
∴ yp = ¼ ez +1/5
1
Sehingga : y = x [A cos 2 (ln x) + B sin 2 (ln x)] + x +1/5
4
Kerjakan soal-soal berikut ini dirumah:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(X2D2 + 2XD - 2) y = 0
(X3D3–3X2D2 +7 XD - 8) y = 0
(X2D2 – 3XD + 5) y = 0
(X2D2 – XD + 3) y = 4x
(X2D2 – XD + 1) y = 6x + 2x3
(X2D2 + 2XD – 5) y = 4 + x2
X. PERSAMAAN DIFFERENTIAL SIMULTAN
Untuk mencari persamaan diferensial simultan :
φ1 (D) y + φ3 (D) z = f1 (x)
,
φ2 (D) y + φ4 (D)z = f 2 (x)
maka dilakukan hal sebagai berikut
φ1 (D) φ2 (D) y + φ3 (D) φ2 (D) z = φ2 (D) f1 (x)
φ1 (D) φ2 (D) y + φ4 (D) φ1 (D) z = φ1 (D) f 2 (x)
−
[{φ3 (D) φ2 (D) − φ4 (D) φ1 (D)} z = φ2 (D) f1 (x) - φ1 (D) f 2 (x)]
melalui eliminasi y akan diperoleh nilai z, dengan demikian nilai y dapat
pula dicari.
Contoh soal :
1.
Selesaikan Persamaan Diferensial (D – 1) y – (2D + 1)z = (1 – x)
Dy + (D + 4)z = 1 + 4x
Penyelesaian:
(D – 1) y – (2 D + 1) z = (1 – x)
kalikan D
Dy + (D + 4) z = 1 + 4x
kalikan D – 1, sehingga didapat:
D(D −1) y −
D (2 D + 1)z = D . (1 − x )
D (D − 1) y + (D + 4)(D − 1)z = (D − 1)(1 + 4 x )
(− )
[D(2 D + 1) + (D − 1)(D + 4)]z = (D − 1)(1 + 4 x ) − D(1 − x )
(3D2 + 4D – 4) z
= 4 –1 – 4x + 1
(3D – 2) (D + 2) z = 4 – 4x
(3D – 2) (D + 2) zc = 0 → zc = c1 e2/3 x + c2 e-2x
Misal :
zp
= Ax + B
z'p
=A
z''p
= 0
sehingga didapat : (3D2 + 4D – 4) zp = 4 – 4x
4A – 4Ax – 4B
pada komponen x didapat
= 4 – 4x
-4A= -4 → A= 1
pada komponen x0 didapat 4 – 4B= 4 → B= 0
jadi zp= x
Maka jawab umum adalah : z = c1 e 2/3 x + c2 e-2x + x
Untuk mencari y maka subsitusi z ke salah satu persamaan sehingga
didapat:
Dy + (D + 4) z = 1 +4 x
Dy = 1 + 4 x – (D + 4) (c1 e2/3 x + c2 e-2x + x)
2
x
 14

dengan demikian y = ∫  − c1 e 3 − 2 c2 e −2 x dx
 3

= - 7 c1 e
2
x
3
+ c2 e −2 x + c
Dw = y+ z
2. Selesaikan Persamaan Diferensial berikut:
Dy = w + z
Dz = w + y
Jawab:
dari Dw = y + z didapat D 2 w = Dy + Dz
= (w + z) + (w + y)
= 2w + ( z + y )
= Dw + 2 w
2
jadi : D w − Dw − 2 w = 0
( D − 2)( D + 1) w = 0
sehingga: w = c1e 2 x + c2 e − x
dari Dy = w + z didapat D 2 y = Dw + Dz
= ( y + z ) + ( y + w)
= 2 y + (w + z)
= Dy + 2 y
2
jadi : D y − Dy − 2 y = 0
( D − 2)( D + 1) y = 0
sehingga: y = d1e 2 x + d 2 e − x
dari Dz = x + y didapat D 2 z = Dx + Dy
= ( y + z) + ( x + z)
= 2 z + ( x + y)
= Dz + 2 z
2
jadi : D z − Dz − 2 z = 0
( D − 2)( D + 1) z = 0
sehingga: z = a1e 2 x + a2 e − x
3. Selesaikan Persamaan Diferensial berikut:
D (D − 1) y + z = 1
( D − 1) y + Dz = 4 e − x
Penyelesaian:
D (D − 1) y + z = 1
 D (D − 1) 1 
dapat ditulis sebagai 
D 
( D − 1) y + Dz = 4 e
D −1
Dengan cara crammer didapat :
D(D − 1) 1
1
1
y=
……………….. ( 1 ) , dan
−x
D −1
D
4e
D
−x
D(D − 1) 1
D(D − 1)
1
z=
...……………… ( 2 )
D −1
D
D −1
4 e −x
 y  1 
  =  − x 
 z  4e 
Dari (1) didapat:
{D2 (D-1) – (D-1) } y = 0 – 4 e-x
(D3 – D2 – D+1) y = - 4 e-x
(D2 – 1) (D – 1) y = - 4 e –x
(D + 1) (D-1)2 y = - 4 e-x
Ambil : (D+1)(D-1)2 yc = 0
∴ yc = A e-x + (Bx + C) ex
Missal : yp
y'p
y''p
y'''p
= Px e-x
= P e-x – Px e-x
= -Pe-x - Pe-x + Pxe-x = -2 Pe-x + Pxe-x
= 2Pe-x + Pe-x – Pxe-x = 3Pe-x – Pxe-x
(D3-D2–D+1)yp =-4e-x jadi 3Pe-x–Pxe-x+2Pe-x–Pxe-x–Pe-x+Pxe-x+Pxe-x = -4e-x
maka 4Pe-x = -4e-x , sehingga didapat P = -1 , jadi : yp = -xe-x
Jawab umum PD adalah: y = yc + yp
= Ae-x + (Bx + C) ex – xe-x
= (A-x) e-x + (B x+ C) ex
Dari persamaan 2 maka z dapat dicari (cari sendiri dirumah)
Soal : Selesaikan Persamaan Diferensial dibawah ini
1.
2.
3.
4.
5.
(D+1) y +
Dz = ex sin x
(D+3) y + (D+2) z = ex cos x
Dy = z
Dz = w
Dw = y
Dy + 3 Z = 4 X
D2y + (2 D + 1) Z = 3
2y + DZ = e3x
(2D-3) y + D2 z = 2e2x – 6
(3D 2 + 3D + 2) y + ( D 2 + 2 D + 3) z = e x
(2 D 2 − D − 2) y + ( D 2 + D + 1) z = 8