kalkulus 1 - Staffsite STIMATA

KALKULUS 1
Oleh :
SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI
08125218506 / 082334051234
E-mail : [email protected]
Bahan Bacaan / Refferensi :
1. Frank Ayres J. R., Calculus, Shcaum’s Outline Series, Mc Graw-Hill Book
Company.
2. Yusuf Yahya, D. Suryadi H. S. Dan Agus S, Matematika untuk Perguruan
Tinggi, Gahlia Indonesia.
3. Edwin J. Purcell dan Dale Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis, Penerbit
Erlangga
KALKULUS 1
BY: SRI ESTI
1 FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI
1. Pengertian Fungsi
Fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap objek x
dalam satu himpunanan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai unik
f(x) dari himpunan kedua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian
disebut daerah hasil fungsi tersebut.
Pandang himpunan A dan B. R adalah suatu cara yang menghubungkan
elemen A dengan elemen B. Dikatakan terdapat suatu relasi R antara A dan
B. Misalkan f suatu relasi antara A dan B dengan sifat f menghubungkan
setiap elemen A, dengan satu dan hanya satu elemen B; f disebut fungsi dari
A ke B, ditulis f : A → B
Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang
memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota
himpunan B
Contoh :
a) Misalkan A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3}
Definisikan suatu fungsi f : A → B sebagai berikut : a → 1, b → 3,c → 2,
d → 3 atau f(a) = 1, f(b) = 3, f(c) = 2, f(d) = 3
Gambarnya :
Dikatakan bahwa peta dari a adalah
a
1
b
2
c
3
1 atau a merupakan prapeta dari 1.
Fungsi dapat ditulis :
F = {(a, 1), (b, 3), (c, 2), (d, 3)}
d
A
KALKULUS 1
B
BY: SRI ESTI
b) Yang berikut ini bukan fungsi (merupakan relasi biasa)
a
1
a
1
b
2
b
2
c
3
c
3
d
A
d
B
A
B
Tidak semua elemen dari A
Ada elemen A yang
dihubungkan dengan elemen B
dihubungkan dengan lebih
dari satu elemen B
c) Misalkan f menghubungkan setiap bilangan riil dengan kuadratnya.
Jelaskan f : R → R suatu fungsi himpunan bilangan riil R ke himpunan
bilangan riil R antara lain : f(o) = 0, f(1) = 1, f(1 1/2) = 21/4, f(√2) = 2, f(-1) =
1, dll. Untuk menyatkan fungsi riil kita dapat mencari rumus umumnya.
Jadi secara singkat f dapat ditulis : f(x) = x2 atau y = x2 atau dapat ditulis
f = { (x, y), y = x2, x riil)
Latihan soal :
1. Dari relasi berikut, manakah yang merupakan fungsi :
a) {(1, 2), (2, 3), (3, 4)}
b) {(1, 2), (1, 3), (2, 4)}
c) {(x, y)│y = 2x +4}
d) {(x, y)│x + y2 = 1}
e) {(x, y)│y + x2 = 1}
f) {(x, y)│(x – 2)2 – y2 = 4}
g) {(x, y)│x + 1/y = 7}
h) {(x, y)│x =│y│}
2. Diketahui A = {0, 1, 2, 3} merupakan daerah definisi dari fungsi-fungsi
dengan rumus berikut. Tuliskan fungsi tersebut dalam bentuk himpunan
pasangan terurut.
a) f(x) = x2
KALKULUS 1
BY: SRI ESTI
b) g(x) = 2x
c) h(x) = 2x
d) j(x) = 1
3. Dari relasi dibawah ini mana yang merupakan fungsi :
a) {(1, 1)}
b) {(1, 1), (1, 2)
c) {(-2, 2), (2, 2), (3, -2), (-2, 3)}
d) {(a, b), (1, b), (2, 2), (b, 1)}
2. Daerah Definisi dan Daerah Nilai
Pandang suatu fungsi f : A → B.
Himpunan A disebut daerah definisi
(domain) dari f, ditulis A = Df. Himpunan B disebut codomain dari f.
Rf ={ y│y = f(x), x ϵ A}. Suatu himpunan bagian dari B merupakan himpunan
semua peta dari f. Himpunan Rf disebut daerah nilai (range) dari fungsi t.
Pada diagram panah berikut :
Himpunan A = {1 , 2 , 3 } dinamakan Domain / daerah asal
Himpunan B = { a , b , c } dinamakan Kodomain / daerah kawan
Himpunan { a , b } dinamakan Range / daerah hasil
Pemasangan yang terjadi oleh fungsi f adalah :
Fungsi f memetakan semua anggota himpunan A dengan tepat satu anggota
himpunan B,yaitu :
f:1→b
f:2→a
f:3→b
KALKULUS 1
BY: SRI ESTI
Notasi dan Rumus Fungsi
Jika suatu fungsi f memetakan setiap x anggota himpunan A ke y anggota
himpunan B, maka dapat ditulis dengan notasi fungsi yaitu: f : x → y
Fungsi f seperti dalam notasi tersebut di atas dapat juga dituliskan rumus
fungsinya, yaitu: f(x) = y
Contoh :
Diketahui himpunan A = { 1, 2, 3 } dan B = { 4, 5, 6,7,8 }.
Fungsi f memetakan setiap x anggota A ke x + 4 anggota B.
a. Nyatakan fungsi tersebut dengan diagram panah
b. Nyatakan notasi fungsi tersebut
c. Nyatakan rumus fungsi tersebut
d. Nyatakan daerah asal
e. Nyatakan daerah kawan
f. Nyatakan daerah hasil
Jawaban :
Fungsi f memetakan setiap x anggota A ke x + 4 anggota B.
a. diagram panah
4
1
2
3
5
6
7
8
A
B
b. notasi fungsi adalah f : x → x + 4
c. rumus fungsi adalah f (x) = x + 4
d. daerah asal adalah { 1, 2, 3 }
e. daerah kawan adalah { 4, 5, 6, 7, 8 }
f. daerah hasil adalah { 5, 6, 7 }
KALKULUS 1
BY: SRI ESTI
P = Himpunan bilangan bulat positif = {1, 2, 3, …}
N = Himpunan bilangan asli = {1, 2, …}
Z = Himpunan bilangan bulat = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}
Q = Himpunan bilangan rasioanal (bilangan dalam bentuk a/b, dengan a dan
b anggota bilangan bulat dan b ≠ 0)
R = Himpunan bilangan riil (bilangan yang merupakan gabungan dari
bilangan rasioanal dan bilangan irrasioanal sendiri). Bilangan irrasional
adalah bilangan-bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan,
atau
bilangan
yang
bukan
bilangan
rasional.
Contohnya : √2, √3, √5
C = Himpunan bilangan kompleks (bilangan yang berbentuk a + bi)
Contoh :
a) f : R →R dimana x → x2. Maka Df = R, sedangkan Rf = {y│y ≥ 0} =
himpunan bilangan nonnegatif.
b) Diketahui suatu fungsi riil dengan rumus f(x) = y = √1-x2
Maka Df = { x│1-x2 ≥ 0} atau interval -1 ≤ x ≤ 1
Rf = { y│0 ≤ y ≤ 1}, karena harga dibawah tanda akar harus ≥ 0.
Grafik f merupakan setengah lingkaran diatas sumbu x, pusat (0, 0), jarijari 1
Latihan Soal :
1. Carilah Df dan Rf dari fungsi berikut :
a) {(1, 1)}
b) {(a, b), (1, b), (2, 2), (b, 1)}
c) {(1, 2), (2, 3), (3, 4)}
d) {(1, 2),(2, 4), (3, 3), (4, 4)}
2. Carilah Df dari
a) f(x) = √
b) f(x) =
c)
KALKULUS 1
√
√| |
√
BY: SRI ESTI
3. Jika diketahui
a. f(0)
, tentukan:
b. f(-1) c. f(2a) d. f(1/x) e. f(x+h)
4. Jika f(x) = 24, tunjukkan bahwa:
a. f(x+3) – f(x-1) =
b.
5. Tentukan domain dari fungsi-fungsi:
a.
√
b.
√
c.
d.
e.
6. Untuk f(x) = 3x3 + x, hitunglah masing-masing nilai.
a. F(-6)
d. F(1/2)
b. F(3,2)
e. F(√ )
c. F( )
f. F(1/x)
3. Grafik Fungsi
Suatu fungsi dapat digambar grafiknya dengan cara menggambar pasanganpasangan terurut dari fungsi tersebut.
Contoh :
a)
B
c)

3
2
1



a
b
c
d
A
f = {(a, 1), (b, 3), (c, 2), (d, 3)}
KALKULUS 1
y
-1
1
x
Y = x2
BY: SRI ESTI

Grafik hanya pada interval tertentu
Contoh :
a) Grafik y = x2 pada -1 ≤ x ≤ 2
y
4
x
b) Grafik y ={
y
Untuk x ˂ o grafik berbentuk
garis lurus sedangkan untuk x
≥ o grafik berbentuk parabola
4
0

x
2
Grafik yang mengandung harga mutlak
Untuk menggambarnya kita ingat definisi harga mutlak sebagai berikut:
| |
{
Contoh :
a) Grafik y = | |
{
y
x
0
b) Grafik
|
|
{
KALKULUS 1
BY: SRI ESTI
y
4
o
|
c)
|
2
|
4
x
|
|
Misalkan y = y1 + y2 di mana
|,
|
|
{
{
–
Daerah terdefinisi terbagi 3 interval yaitu :
x < -1, -1 ≤ x < 1, x ≥ 1
Untuk
x < -1
: y = (-x – 1) + (-x + 1) = -2x
-1 ≤ x < 1
: y = (x + 1) + (-x + 1) = 2
x≥1
: y = (x + 1) + (x - 1) = 2x
y
2
-1
0
1
x
Latihan Soal :
a. Gambarlah grafiknya :
1) y = {
2)
KALKULUS 1
{
BY: SRI ESTI
3)
{
4)
{
5)
{
6)
|
7)
|
8)
|
9)
|
10)
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
b. Gambarlah grafik-grafik dari fungsi-fungsi berikut, dan tentukan domain
dan rangenya:
1) f(x) = -x2 + 1
2)
{
3)
4)
5)
√
4. Bentuk Fungsi
a) Fungsi Eksplisit
Kalau rumus suatu fungsi ditulis dengan y dinyatakan secara langsung
oleh x : y = f(x), dimana variabel y dan x terpisah pada ruas kiri dan
kanan, maka fungsi disebut berbentuk eksplisit.
Contoh :
y = x2 + 3x -2
y = -3x3 + cos x
y = x ex, dll.
b) Fungsi Implisit
Adalah suatu fungsi dimana variabel y dan x terdapat dalam satu ruas.
KALKULUS 1
BY: SRI ESTI
Contoh :
yx2 + 3x = 4
sin (x + y) = e-2x2y + xy, dll.
Suatu fungsi implisit kadang-kadang sukar (bahkan tidak bisa) diubah
ke bentuk eksplisit. Untuk mempermudah kita sebut saja fungsi
berharga banyak.
Contoh :
3x – 2y2 + 4 = 0
Y2 = 11/2x + 2
Bentuk ini bukan fungsi, hanya relasi biasa, karena misalnya
untuk x = 4 → y = ±√8. Bentuk ini kita sebut fungsi berharga
dua.
Contoh lainnya fungsi berharga dua :
x2 + y2 = 9
y2 - 4x2 =16
y2 = 4
c) Fungsi Parameter
y = f(x) dinyatakan dalam parameter t sebagai :
{
, yang mana pelenyapan t menghasilkan y = f(x)
Contoh :

{
→ x2 + y2 = 9 sin2 t + 9 cos2 t
= 9 (sin2 t + cos2 t)
x2 + y2 = 9, pusatnya (0, 0), jari-jarinya 3

{
Dari persamaan pertama t = 1/2x yang disubstitusikan ke persamaan
kedua
y = 4(1/2x)2 – 3 (1/2x)
KALKULUS 1
BY: SRI ESTI
y = x2 - 11/2x ; suatu parabola
Fungsi kadang-kadang lebih mudah dinyatakan dalam bentuk
parameter. Beberapa contoh fungsi dalam bentuk parameter :
 Sikloida
Kalau suatu lingkaran berjari-jari sama dengan a dijalankan
diatas sumbu x; suatu titik pada roda akan menjalani lintasan
berupa sikloida.
Persamaannya adalah :
{
y
2a
0
x = πa
t=π
x = 2πa
t = 2π
x
 Hiposikloida
Kalau sebuah lingkaran dijalankan pada tepi dalam lingkaran
lain yang lebih besar (jari-jat=ri a), terjadi sutu hiposikloida.
Bila a = 4b, persamaaan berbentuk :
{
KALKULUS 1
atau disebut Astroida
BY: SRI ESTI
Latihan Soal :
1. Jika f(x) = x2 -4x + 6, tentukan :
a) f(0)
b) f(3)
c) f(-2)
Tunjukkan bahwa f(1/2) = f(7/2) dan f(2-h) = f(2 +h)
2. Jika
, tentukan
a) f(0)
b) f(1)
c) f(-2)
Tunjukkan bahwa f(1/x) = -f(x) dan -f(1/x) =
3. Ubah ke bentuk biasa persamaan-persamaan berikut :
a) {
b) {
c) {
d) {
5. Jenis Fungsi
Beberapa jenis fungsi riil :
a) Fungsi Linier
Fungsi linier adalah fungsi berderajat satu
y = f(x) = ax + b
Contoh :
y = 6x + 5
y = 10x
y = 2x – 9
b) Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat adalah fungsi berderajat dua
KALKULUS 1
BY: SRI ESTI
y = f(x) = ax2 + bx +c
Contoh :
y = 3x2 + 2x + 1
y = x2 - 7x - 8
y = 2x2 + x – 5
c) Fungsi Polinom
Fungsi polinom adalah fungsi berderajat n
y = f(x) = a0xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an
Dimana : a1 = bilangan riil
a0 ≠ 0
n = bilangan bulat positif
Contoh :
f(x) = 5x3 – 6x2 +2x – 8 adalah polinom berderajat 3
g(x) = 7x5 – 8x + 12 adalah polinom berderajat 5
h(x) = x4 + 3x3 – 2x + 9 adalah polinom berderajat 4
d) Fungsi Rasional
Bentuk umum fungsi rasional adalah f x=
dengan p(x) dan q(x)
merupakan fungsi polinom. Fungsi rasional f(x) tidak terdefinisi pada
nilai x yang menyebabkan penyebut sama dengan nol atau q(x) = 0.
Sedangkan pembuat nol dari pembilang atau p(x) tetapi bukan
pembuat nol penyebut merupakan pembuat nol dari fungsi rasional
f(x).
e) Fungsi Aljabar
Fungsi aljabar adalah fungsi f(x) yang memenuhi persamaan
berbentuk :
p0(x)yn +p1(x)yn-1+ ... + pn-1(x)y + pn(x) = 0
Dimana : pi(x) suatu polinom dalam x
KALKULUS 1
BY: SRI ESTI
Contoh :
Tunjukkan bahwa f(x) = x + √
adalah fungsi aljabar
Penyelesaian :
F(x) = y = x + √
y–x=√
y2 -2xy + x2 = x –x2
y2 -2xy + (2x2 – x) = 0 → merupakan bentuk diatas, jadi benar
fungsi aljabar
f) Fungsi Transenden
Merupakan fungsi yang bukan fungsi alajbar :
1. Fungsi Eksponensial
f(x) = ax , a ≠ 0, 1
2. Fungsi Logaritma
F(x) = alog x, a ≠ 0, 1
Jika a = e = 2,71828
Kita tulis f(x) = elog x = ln x disebut logaritma natural dari x
Bila y = ln x maka ey = x
3. Fungsi Trigonometri
Sin x, cos x, tg x =
,
,
,
Variabel x biasanya dinyatakan dalam radian (π radian = 180o)
Beberapa sifat dari fungsi trigonometri :
KALKULUS 1

sin2 x + cos2 x = 1

tg2 x + 1 = sec2 x

ctg2 x + 1 = cosec2 x

sin (x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y

cos (x ± y) = cos x cos y ± sin x sin y

tg (x ± y) =

sin (-x) = - sin x
BY: SRI ESTI

cos (-x) = - cos x

tg (- x) = - tg x

sin (
-x) = cos x

cos (
-x) = sin x

tg (

sin 2x = 2 sin x cos x

cos 2x = cos2x –sin2x = 2 cos2x - 1 = 1- 2 sin2 x
-x) = ctg x



Sin x + sin y =

cos x + cos y =

sin x sin y = -½ [cos (x + y) – cos (x – y)]

cos x cos y = ½ [cos (x + y) + cos (x – y)

sin x cos y = ½ [sin (x + y) + sin (x – y)]
(
)
(
)
(
(
)
)
Fungsi siklometri (fungsi invers trigonometri) :

y = arc sin x artinya x = sin y
sehingga bila x = 1/2 → y = arc sin 1/2 = π/6
(harga utama –π/2 ≤ y ≤ π/2)

y = arc cos x (harga utama 0 ≤ y ≤ π)

y = arc tg x (harga utama –π/2 < y < π/2)

y = arc ctg x = π/2 – arc tg x (harga utama 0 < y < π)

y = arc sec x = arc cos 1/x (harga utama 0 ≤ y ≤ π)

y = arc cosec x = arc sin 1/x (harga utama –π/2 ≤ y ≤ π/2)
Beberapa sifat :
KALKULUS 1

arc sin x + arc cos x =π/2

arc tg x + arc ctg x = π/2

arc sin x = arc cos √

arc tg x = arc ctg 1/x
BY: SRI ESTI
KETERANGAN : td artinya tidak terdefinisi atau tidak memiliki nilai
Contoh :
1. cos (arc sin √3/2) = cos 60 = ½
2. sin (arc tg -√3) = sin (120) = sin 120 = 1/2 √3
3. ctg (arc tg √3) = ctg 60 =
√
√
Latihan soal :
1. tg (
)
7. Tg (
2. sec π
8. Ctg (
3. sec
9. Tg ( -
4. cosec (
KALKULUS 1
)
)
)
10. Sec
5. ctg(
)
11. Cosec (
6. tg (-
)
12. Cos
BY: SRI ESTI
Buktikan !
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11. (1 – cos2 x) (1 + ctg2 x) = 1
12. Sin t (cosec t – sin t) = cos2 t
13.
14.
15.
16.
KALKULUS 1
= sec2t
= cosec2t
BY: SRI ESTI