Tinjauan Matematis pada Model Makroskopik dan

5
d. Spasi dan Time headway
Spasi
didefinisikan
sebagai
jarak
antarkendaraan pada arus lalu-lintas, diukur
dalam satuan kaki atau meter. Sedangkan
Time headway adalah waktu antarkendaraan
ketika melewati suatu titik pada ruas jalan..
Time headway dapat lebih mudah diukur
dengan menggunakan stopwatch.
[Mathew, 2003]
III MODEL ARUS LALU-LINTAS
PADA JALAN SATU ARAH
Pembahasan mengenai model matematika
arus lalu-lintas tidak akan lengkap tanpa
mendiskusikan beberapa hal mengenai model
arus lalu-lintas.
Ada dua hal yang harus diperhatikan
dalam membangun model fenomena arus lalulintas, yaitu jalan dan kendaraan. Dalam hal
ini jalan yang dilalui kendaraan dikatakan
sebagai link (jalan lalu-lintas), yang dibedakan
dalam dua kelompok yaitu:
a. Single Link ( jalan searah), yaitu sebuah
bidang jalan di mana hanya memiliki satu
arah jalur dengan sebuah pintu untuk
kendaraan yang mengalir masuk dan
sebuah pintu keluar untuk kendaraan yang
mengalir keluar.
b. Double link (jalan dua arah), yaitu sebuah
bidang jalan dengan dua arah jalur yang
berlawanan, misalnya di antara titik A dan
B, satu berasal dari A ke B dan satu sisi
lain berasal dari B ke A.
Ada dua kelompok model yang
menjelaskan arus lalu-lintas, yaitu model
makroskopik dan model mikroskopik.
3.1 Model Makroskopik
Teori makroskopik lebih cenderung pada
struktur model arus lalu-lintas yang mencakup
pada sejumlah besar kendaraan. Pada Model
ini dapat dilihat sifat-sifat seperti kepadatan
lalu-lintas (kendaraan/satuan jarak), arus
(kendaraan/satuan waktu), dan kecepatan
(satuan jarak/satuan waktu) yang akan
dijelaskan pada sub-bagian ini.
3.1.1 Konservasi Kendaraan
Prinsip
ini
digunakan
untuk
mengkuantifikasi
perubahan
banyaknya
kendaraan pada suatu ruas jalan yang diukur
dari hasil pengurangan arus kendaraan yang
masuk terhadap arus kendaraan yang keluar
pada interval jalan tertentu.
Misalkan perhatikan suatu bagian ruas
jalan yang terletak di antara titik dan titik
∆ seperti yang ditunjukkan pada Gambar
1.
∆
Gambar 1. Konservasi kendaraan
Misalkan
perubahan
banyaknya
kendaraan pada interval jalan tertentu
dinotasikan dengan ∆
, , dengan
sebagai titik koordinat (posisi) kendaraan pada
suatu ruas jalan dan sebagai suatu peubah
waktu. Perubahan banyaknya kendaraan
∆
,
selama interval waktu ∆ sama
dengan arus yang mengalir sepanjang interval
jalan tersebut:
∆
,
,
(3.1)
,
lim
∆
dengan perubahan banyaknya kendaraan
∆
,
adalah selisih antara banyaknya
kendaraan yang masuk dan banyaknya
kendaraan yang keluar. Misalkan,
,
adalah banyaknya kendaraan yang masuk ke
titik pada waktu dan
∆ , adalah
banyaknya kendaraan yang keluar dari titik
∆ pada waktu
Maka banyaknya
kendaraan yang masih berjalan di antara dua
titik koordinat pada jalan tersebut adalah
∆
,
,
∆ , . (3.2)
Jika ∆ dinotasikan sebagai panjang
interval jalan yang dilalui oleh kendaraankendaraan selama waktu ∆ , konservasi
kendaraan juga dapat dinyatakan oleh
∆
∆
,
,
(3.3)
,
lim
∆
∆
dengan kecepatan adalah
∆
,
.
(3.4)
∆
Dengan mensubstitusikan persamaan (3.2) dan
(3.4) ke persamaan (3.3) maka diperoleh
,
lim∆
,
∆ ,
∆
,
(3.5)
6
Didefinisikan
perubahan
banyaknya
kendaraan per satuan panjang jalan adalah
kepadatan arus lalu-lintas.
Dengan demikian
,
∆ ,
∆
,
, .
.
(3.6)
v (3.7)
Persamaan di atas memberikan argumen
yang cukup sederhana yang diperoleh dengan
dua cara dalam mengkuantifikasi banyaknya
kendaraan sepanjang jarak jalan tertentu
selama interval waktu yang sangat kecil. Yang
pertama, banyaknya kendaraan ∆ selama
interval waktu ∆ adalah perkalian arus dan
interval waktu ∆ , yaitu ∆
∆ . Yang
kedua, dengan menggunakan asumsi bahwa
selama interval waktu yang sama kecilnya,
kendaraan bergerak dengan kecepatan , akan
menempuh jarak ∆ , sehingga ∆
∆ .
Banyaknya
kendaraan
yang
berjalan
sepanjang interval jarak itu diperoleh dari
hasil perkalian kepadatan dan jarak tempuh,
yaitu ∆
∆ . Dengan demikian dua
interpretasi di atas memberikan
∆
∆ .
(3.8)
Jika kecepatan dapat dihubungkan secara
langsung pada kepadatan yaitu
| , maka
diperoleh hubungan langsung antara arus dan
kepadatan, yaitu
| .
(3.9)
|
Hubungan ini akan dibahas pada bagian 3.1.3
3.1.2 Hubungan Kecepatan dan Kepadatan
Kecepatan dan
kepadatan lalu-lintas
bertalian satu sama lain. Pengemudi akan
menaikan kecepatan saat kepadatan lalu-lintas
agak menurun dan sebaliknya mengurangi
kecepatan saat kepadatan mulai meningkat.
Kecepatan dan kepadatan dapat dihubungkan
dengan persamaan
| yang menyatakan
bahwa kecepatan adalah fungsi dari
kepadatan. Adapun persyaratan matematika
untuk fungsi | adalah
|
,
0,
0.
|
Pengemudi akan mengendarai dengan
ketika kepadatan
kecepatan maksimum,
hampir mendekati nilai terkecil,
0.
Pengemudi akan menurunkan kecepatan
ketika kepadatan meningkat. Jika
0, hal
ini menyatakan kepadatan mencapai nilai
maksimum atau dikatakan kepadatan yang
.
menyebabkan
kemacetan
yaitu
Kecepatan ,
lim∆
umax
| xx
Kepadatan Gambar 2. Kurva hubungan kecepatan dan
kepadatan lalu-lintas.
3.1.3 Hubungan Arus dan Kepadatan
Hubungan arus dan kepadatan merupakan
bentuk perluasan dari hubungan kecepatan
dan kepadatan. Perhatikan kembali persamaan
(3.9) pada bagian 3.1.1. Persamaan ini
menyatakan bahwa arus hanya bergantung
pada kepadatan. Pada kondisi arus normal,
kendaraan bergerak dengan kecepatan
, ketika kepadatan bernilai
tertinggi
sangat kecil (
0 . Hal ini berarti arus
0. Sedangkan
bernilai nol yaitu
|
kecepatan kendaraan pada lalu-lintas menurun
saat kepadatan lalu-lintas maksimum,
0. Sehingga arus lalu-lintas yang
|
mengalir adalah nol.
|
0,
|
dengan 0
.
Hubungan ini membentuk sebuah kurva
parabola seperti pada Gambar 3 yang disebut
sebagai “diagram arus lalu-lintas”.
q
Arus
,
Hubungan ini digambarkan oleh sebuah kurva
pada Gambar 2.
Kepadatan
Gambar 3. Diagram arus lalu-lintas.
Dari diagram di atas dapat dilihat bahwa
kurva berslope positif sampai arus maksimum
dicapai. Selanjutnya
atau kapasitasnya,
7
slope adalah negatif ketika peningkatan yang
terus-menerus pada kepadatan sehingga
menyebabkan arus bernilai nol, dengan kata
lain terjadi kemacetan lalu-lintas.
3.2 Model Mikroskopik
Model mikroskopik menggambarkan
interaksi kendaraan pada suatu jalan lalulintas, yang menjelaskan perilaku pengemudi
kendaraan dalam menanggapi berbagai
rangsangan (stimuli) dari perilaku pengemudi
kendaraan lain yang tepat ada di depannya.
Dengan memodelkan percepatan kendaraan
pengikut sebagai fungsi dari berbagai stimuli
yang
diterimanya,
seperti
jarak
antarkendaraan, kecepatan relatif kedua
kendaraan maupun waktu reaksi pengemudi
kendaraan pengikut. Model mikroskopik
digambarkan oleh sebuah model yang disebut
sebagai model mobil pengikut (car-following
model).
3.2.1 Model Mobil Pengikut
Perhatikan Gambar 4. Misalkan pada
suatu ruas jalan lalu-lintas terdapat sejumlah
kendaraan, setiap kendaraan diidentifikasi
dengan posisi
pada suatu peubah waktu ,
sehingga posisi kendaraan ke- pada waktu
.
diberikan oleh
Bemper belakang
Bemper depan
t)
Teori mobil pengikut mengasumsikan
bahwa setiap kendaraan yang bergerak
mengikuti kendaraan di depannya adalah
berdasarkan pada hubungan “rangsangantanggapan”, yaitu tanggapan pengemudi
kendaraan ke
pada waktu
sama
dengan koefisien sensitifitas
dikalikan
dengan rangsangan (stimuli) dari kendaraan
ke1 pada waktu . Tanggapan ini
dimodelkan dengan percepatan kendaraan ke, yang bergerak
(kendaraan pengikut)
di belakang kendaraan ke1 (kendaraan
pemimpin). Sedangkan stimuli dimodelkan
yang
sebagai posisi kendaraan pengikut
bergantung pada posisi
kendaraan di
(kendaraan pemimpin).
depannya,
Formula matematika model ini diberikan oleh
,
dengan
adalah parameter sensitif yang
memiliki dimensi per satuan waktu.
Pengemudi
kendaraan
pengikut
memerlukan waktu reaksi
dalam
memberikan tanggapan tehadap berbagai
stimuli sehingga
.
Dengan menggunakan asumsi bahwa
adalah konstan, maka persamaan di atas
adalah sebuah persamaan diferensial biasa
linear dengan koefisien konstan yang dapat
diintegralkan sekali sehingga diperoleh
,
dengan
Gambar 4. Ilustrasi model mobil pengikut
Dengan,
total panjang jalan.
panjang kendaraan ke1 .
panjang kendaraan ke- .
jarak
antara
bemper
depan
kendaraan kedan bemper
belakang kendaraan ke1
pada waktu .
kecepatan kendaraan ke1
pada waktu .
percepatan kendaraan ke- pada
waktu .
adalah konstanta.
Amati kembali Gambar 4. Misalkan semua
kendaraan memiliki panjang yang sama yaitu
sehingga
,
yang dapat
maka banyaknya kendaraan
dapat diperoleh
memenuhi sepanjang jalan
dengan
.
Dengan demikian kepadatan kendaraan di
sepanjang jalan juga dapat diketahui, yaitu
.