KETIDAKSAMAAN A. Pengertian Ketidaksamaan adalah kalimat

KETIDAKSAMAAN
A. Pengertian
Ketidaksamaan adalah kalimat matematika yang sudah jelas kepastiannya, baik pasti benar
maupun pasti salah.
Perbatasan
Suatu bilangan a disebut lebih besar dripada suatu bilangan b, jika a – b > 0.
Dan disebut lebih kecil daripada b ,jika a – b < 0.
Hubungan-hubungan a > b dan a < b dinamakan ketidaksamaan ; a dan b dinamai ruas-ruas
ketidaksamaan.
Sifat 1 Ruas-ruas ketidaksamaan boleh ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang
sama.
Bukti :
a < b artinya a – b < 0 .Oleh sebab itu ,maka ( a + p ) – ( b + p ) < 0 → a + p < b + p
Sifat 2 Dalam sebuah ketidaksamaan suatu suku dari ruas yang satu boleh dipindahkan
ke ruas lain , jika tanda suku itu diganti.
Ditentukan a + b < c akan dibuktikan a < c – b
Bukti:
a+b<c→a+b–b<c–b→a<c–b
Sifat 3 Ruas-ruas suatu ketidaksamaan boleh diperbanyakkan dan dibagi dengan
bilangan positif yang sama.
Ditentukan a < b ; p > 0
Akan dibuktikan ap < bp
http://efoelmath89.wordpress.com/ketidaksamaan
Page 1
Bukti:
a - b < 0 → p ( a – b ) < 0 → pa – pb < 0 →pa < pb
contoh: dari 2 < 3 didapat 8 < 12 ( diperbanyakkan dengan empat ) ; dari – 3 < 6
didapat – 1 < 2 ( dibagi dengan tiga ).
Sifat 4 Jika ruas-ruas ketidaksamaan diperbanyakkan atau dibagi dengan bilangan
negatif yang sama, maka tanda ketidaksamaan itu harus dibalikkan .
ditentukan a < b ; - p < 0
akan dibuktikan –pa > - pb
Bukti:
a – b < 0 → -p (a – b ) > 0 → - pa + pb > 0 → -pa > -pb
umpama dari 4 > 2 didapat -2 < -1 karena dibagi dengan -2 ,dari -3 < 1 didapat 6 > -2
karena diperbanyakkan dengan -2.
Sifat 5 Jika a dan b bilangan positif dan a < b ,maka 𝑎2 < 𝑏2 .
Bukti:
Menurut yang ditentukan , maka a + b > 0 dan a – b < 0, sehingga ( a – b ) ( a + b ) <
0 → 𝑎2 - 𝑏2 < 0 → 𝑎2 < 𝑏2 .
Catatan: sifat ini hanya berlaku ,jika a dan b keduanya positif , misalnya tidak pada –
5 < 3.
Pemakaian: adakah 1- √3 < 2 - √7 ?
Jawab : Tidak boleh mempangkatduakan sebab kedua ruas itu addalah negatif,
ketidaksamaan itu menjadi demikian : √7 < 1 + √3 seharga dengan (√7)2 < (1 +
√3)2 , sehingga 7 < 4 + 2√3 atau 3 < 2√3 .
http://efoelmath89.wordpress.com/ketidaksamaan
Page 2
Ketidaksamaan Linier
Harga bentuk x – 4 bergantung pada x , x dinamai bilangan yang berubah.
Jika ruas-ruas suatu ketidaksamaan adalah bentuk-bentuk bulat yang berderajat satu dalam
bilangan berubah ,maka ketidaksamaan itu dinamai ketidaksamaan linier .
Cara menyelesaikan ketidaksamaan itu serupa dengan cara menyelesaikan persamaan linier.
Ada tiga bagian bentuk ketidaksamaan :
a. ketidaksamaan biasa , berlaku untuk daerah terbatas dari bilangan berubah .
misalnya x + 4 < 2x + 7
b. ketidaksamaan identik , berlaku untuk setiap harga bilangan berubah .
misalnya x + 4 < x + 7
c. ketidaksamaan palsu,tak berlaku untuk harga yang manapun dari bilangan berubah.
Misalnya x + 4 > x + 7
Ketidaksamaan nonLinier
Untuk menyelesaikan ketidaksamaan ini, gunakanlah aturan-aturan sebagai berikut :
-
Jadikanlah ruas kanan nol dan buatlah koefisien pangkat tertinggi dari x positif.
Uraikan sedapat mungkin bentuk-bentuk itu atas faktor-faktor linier ,dan tentukanlah
harga-harga nolnya.
Perhatikan contoh berikut:
Selesaikanlah x < 𝑥 2
Jawab: x - 𝑥 2 < 0 → 𝑥 2 - x > 0 → x ( x- 1 ) > 0
Harga-harga nolnya adalah 0 dan 1 . bentuk itu adalah positif untuk x < 0 dan juga untuk x >
1
positif
negatif
0
positif
1
http://efoelmath89.wordpress.com/ketidaksamaan
Page 3
Perbatasan
Yang dimaksud dengan │a│ ialah bilangan a ,jika a positif dan – a jika a negatif.
Jika a = 0 ,maka │a│ = 0 .
│a│ < 1 seharga dengan 𝑎2 < 1 atau – 1 < a < 1
│a│ > 1 seharga dengan 𝑎2 > 1 ,sehingga a < - 1 atau a > 1.
Selesaikanlah │𝑥 2 - 3 │ < 1 !
Penyelesaian:
Ketidaksamaan │𝑥 2 - 3 │< 1 adalah seharga dengan (𝑥 2 − 3)2 < 1.
Oleh sebab itu diperoleh : (𝑥 2 − 3)2 - 1 < 0 → ( 𝑥 2 – 3 + 1 )( 𝑥 2 - 3 – 1 ) < 0
↔ ( 𝑥2 - 2 ) ( 𝑥2 – 4 ) < 0
↔ ( x + √2 ) ( x - √2 ) ( x – 2 ) ( x + 2 ) < 0
Harga-harga nolnya adalah :
-2 < x < -√2 dan juga √2 < x < 2
positif
negatif
-2
positif
-√2
negatif
√2
http://efoelmath89.wordpress.com/ketidaksamaan
positif
2
Page 4