SI217-032049-672-6 766KB Sep 13 2011 09:01

BAB III
FUNGSI
Definisi
Fungsi didefinisikan sebagai aturan yang menetapkan bahwa
setiap satu anggota himpunan D berpasangan dengan tepat satu
anggota himpunan K (lihat Gambar 3.1)
K
D
K
D


(a)
(b)
Gambar 3.1
Anggota-anggota himpunan D yang mempunyai tepat satu
pasangan pada himpunan K disebut daerah definisi atau daerah
asal (domain).
Anggota-anggota pada himpunan K yang merupakan pasangan
anggota-anggota himpunan D disebut daerah nilai (range).
Sedangkan semua anggota himpunan K baik yang merupakan
pasangan dari anggota himpunan D maupun yang bukan disebut
kodomain.
Kesimpulan
Jadi fungsi sama seperti sebuah proses yang menghasilkan tepat
satu keluaran untuk setiap masukan tertentu.
Jika terdapat suatu hubungan yang tidak memenuhi definisi
Seperti tersebut diatas maka hubungan tersebut bukan suatu
fungsi tetapi disebut relasi (lihat Gambar 3.2).
Sedangkan relasi dapat dimisalkan seperti sebuah proses
yang menghasilkan dua keluaran untuk setiap masukan tertentu.
K
D

Gambar 3.2
3.2. Jenis-jenis fungsi
Secara garis besar fungsi dapat dikelompokkan menjadi
dua bagian utama, yaitu fungsi ril dan fungsi kompleks.
Pembahasan mengenai fungsi pada materi kuliah ini hanya
mencakup fungsi ril saja.
3.2.1 Menurut jumlah peubah bebas
3.2.1.1 Fungsi peubah bebas tunggal
Fungsi peubah bebas tunggal adalah fungsi
yang hanya mempunyai satu peubah bebas.
Contoh 3.1
a) y = 2x + 3
b) y = x2
c) y = sin x
d) x2 + y2 =r2
3.2.1.2 Fungsi peubah bebas banyak
Fungsi peubah bebas banyak adalah fungsi yang
mempunyai lebih dari satu peubah bebas.
Contoh 3.2
a) w = xy
b) u = sin (x+y)
c) v = cos xy
d) t = xy+ z
3.2.2 Menurut cara penyajiannya
3.2.2.1 Fungsi eksplisit
Fungsi eksplisit adalah fungsi dimana peubah
bebasnya ditulis atau disajikan pada ruas tersendiri;
terpisah dari peubah tak bebasnya.
Contoh 3.3
a) y = x – 5
b) y =x2–1
c) y = sin x
d) y = (x-1)2
Secara umum fungsi ekplisit ditulis dalam bentuk
y = f(x)
3.2.2.2 Fungsi implisit
Fungsi implisit adalah fungsi dimana peubah bebas dan
tak bebasnya ditulis pada ruas yang sama.
Contoh 3.4
a) x + y = 0
b) x2 + y2 = r2
Secara umum fungsi implisit ditulis dalam bentuk
F(x,y) = 0
3.2.2.3 Fungsi parameter
Bentuk umum dari fungsi parameter adalah:
x = f(t) ; y = g(t) ; t adalah parameter.
Contoh 3.5
x = t2 – 1
y=t+2
Jika kita tinjau dari operasi yang dilakukan terhadap peubah
bebasnya, maka fungsi ril dapat dibagi seperti yang ditunjukkan
pada Gambar 3.3 berikut.
FUNGSI RIL
Fungsi
Aljabar
Rasional
Transenden
Irrasional
Pecah
Bulat
Logaritma
Eksponen
Trigonometri
Invers
Trigonometri
Hiperbolik
Invers
Hiperbolik
3.2.3 Fungsi aljabar
Fungsi aljabar adalah fungsi yang mengandung sejumlah
operasi aljabar yaitu operasi penjumlahan, pengurangan,
perkalian, pembagian dan operasi pangkar rasional. Fungsi
aljabar dapat dibagi menjadi fungsi rasional dan irrasional.
Selanjutnya fungsi rasional dapat dibagi menjadi fungsi
bulat dan fungsi pecah.
3.2.3.1 Fungsi rasional
Fungsi rasional adalah fungsi yang mempunyai
bentuk P(x)/Q(x) dengan R(x) dan Q(x) adalah
polinomial-polinomial dan Q(x)  0. Selanjutnya
jika Q(x)  konstan maka fungsi rasional disebut
juga fungsi pecah. Sedangkan jika Q(x) = konstan
maka fungsi rasional disebut fungsi bulat.
A. Fungsi bulat
Fungsi bulat adalah suatu fungsi rasional dengan
Q(x) = konstan. Sehingga fungsi bulat dapat disebut fungsi
polinomial karena bentuknya sama seperti bentuk polinomial.
Suatu fungsi yang mempunyai bentuk
f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + … + a1x + a0
(3.1)
disebut fungsi polinomial derajad n. Koeffisien-koeffisien
an, an-1, an-2,…,, a1, a0 adalah bilangan-bilangan ril, sedangkan
masing-masing sukunya disebut monomial. Pangkat n pada
fungsi polionomial adalah bilangan bulat tak negatif.
Fungsi polinomial dapat dikelompokkan menurut jumlah suku
dan menurut derajat nya.
Berikut diberikan beberapa contoh fungsi-fungsi polinomial.
Polinomial
x2 – x – 6
Berdasarkan
Jumlah suku
Trinomial
Derajad
2 (fungsi kuadrat)
Fungsi polinomial dapat dikelompokkan menurut jumlah suku
dan menurut derajat nya.
Berikut diberikan beberapa contoh fungsi-fungsi polinomial.
Polinomial
x2 – x – 6
x3+ 2x2 - x + 5
Berdasarkan
Jumlah suku
Trinomial
Polinomial
Derajad
2 (fungsi kuadrat)
3 (fungsi kubik)
Fungsi polinomial dapat dikelompokkan menurut jumlah suku
dan menurut derajat nya.
Berikut diberikan beberapa contoh fungsi-fungsi polinomial.
Polinomial
x2 – x – 6
x3+ 2x2 - x + 5
x5
Berdasarkan
Jumlah suku
Trinomial
Polinomial
Monomial
Derajad
2 (fungsi kuadrat)
3 (fungsi kubik)
5
Fungsi polinomial dapat dikelompokkan menurut jumlah suku
dan menurut derajat nya.
Berikut diberikan beberapa contoh fungsi-fungsi polinomial.
Polinomial
x2 – x – 6
x3+ 2x2 - x + 5
x5
–5
Berdasarkan
Jumlah suku
Trinomial
Polinomial
Monomial
Monomial
Derajad
2 (fungsi kuadrat)
3 (fungsi kubik)
5
0 (fungsi konstan)
Fungsi polinomial dapat dikelompokkan menurut jumlah suku
dan menurut derajat nya.
Berikut diberikan beberapa contoh fungsi-fungsi polinomial.
Polinomial
x2 – x – 6
x3+ 2x2 - x + 5
x5
–5
x+2
Berdasarkan
Jumlah suku
Trinomial
Polinomial
Monomial
Monomial
Binomial
Derajad
2 (fungsi kuadrat)
3 (fungsi kubik)
5
0 (fungsi konstan)
1 (fungsi linier)
Fungsi polinomial dapat dikelompokkan menurut jumlah suku
dan menurut derajat nya.
Berikut diberikan beberapa contoh fungsi-fungsi polinomial.
Polinomial
Berdasarkan
Jumlah suku
x2 – x – 6
Trinomial
x3+ 2x2 - x + 5
Polinomial
x5
Monomial
–5
Monomial
x+2
Binomial
x6 –4x3 – 7x + 5 Polinomial
Derajad
2 (fungsi kuadrat)
3 (fungsi kubik)
5
0 (fungsi konstan)
1 (fungsi linier)
6
a. Penjumlahan dan pengurangan fungsi polinomial
Untuk melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan dari
fungsi polinomial langkah-langkah yang harus kita lakukan
adalah mengelompokkan suku-suku yang mempunyai faktor/
faktor-faktor peubah yang sama.
Sebagai contoh suku-suku 3xy dan -2xy adalah dua faktor
yang sama sehingga pada kedua suku tersebut dapat
dilakukan operasi penjumlahan dan/atau pengurangan.
Contoh lain dapat dilihat pada tabel berikut :
Jenis suku
ax3 dan bx3
ax2 dan bx2y
a dan b
Keterangan
Mempunyai faktor peubah yang sama
Mempunyai faktor peubah yang tidak sama
Sebetulnya mempunyai faktor peubah yang
sama, karena masing-masing suku dapat
ditulis dalam bentuk : ax0+ bx0
Contoh 3.6
Tentukan jumlah dan selisih dari fungsi-fungsi,
–2x2+ 5x + 7xy dan –3x3 – 4x2 + x – 3x2 y + 3xy – 2
Penyelesaian
Penjumlahan
(–2x2+ 5x + 7xy ) + (–3x3 – 4x2 + x – 3x2 y + 3xy – 2) =
–2x2+ 5x + 7xy – 3x3 – 4x2 + x – 3x2 y + 3xy – 2 =
– 3x3 –2x2 – 4x2– 3x2 y + 5x + x + 7xy +3xy – 2 =
– 3x3 –6x2 + 6x – 3x2 y + 10xy – 2
Pengurangan
(–2x2+ 5x + 7xy ) – (–3x3 – 4x2 + x – 3x2 y + 3xy – 2) =
–2x2+ 5x + 7xy + 3x3 + 4x2 – x + 3x2 y – 3xy + 2 =
3x3 –2x2 + 4x2 + 3x2 y + 5x – x + 7xy – 3xy + 2 =
3x3 +2x2 + 4x + 3x2 y + 4xy + 2
b. Perkalian monomial
Untuk melakukan operasi perkalian fungsi monomial
berikut diberikan beberapa hukum yang berlaku yaitu :
Hukum I : am . an = am+n
( 3.2 )
Contoh 3.7
Selesaikan perkalian : 52.53 ; xa .xb ; xy2 .x3y
Penyelesaian :
52.53 = 52+3 = 55 = 3125
xa.xb = xa+b
xy2 .x3y = x.x3.y2 .y = x4 .y3
Hukum II : [am]n= amn
Contoh 3.8
Selesaikan : [42]3 dan [x3]4
Penyelesaian :
[42 ]3 = 46 =4096
[x3 ]4 = x12
( 3.3 )
Hukum III : [ambn]k= amk.bnk
( 3.4 )
Contoh 3.9
Selesaikan : [{7}{52}]3 dan [x3y2]2
Penyelesaian :
[{7}{52}]3 = 73 5 6 = 5359375
[x3y2]2 = x6 y4
c. Perkalian fungsi polinomial
Proses perkalian dua fungsi polinomial dapat dilakukan
dengan mengalikan masing-masing monomialnya dengan
bantuan hukum distributif.
Contoh 3.10
Selesaikan perkalian : 2x(x2 -5x+6)
Penyelesaian :
2x(x2 -5x+6) = 2x3 -10x2 +12x
Contoh 3.11
Selesaikan perkalian : (3x+2)(x2 -3x+2)
Penyelesaian
(3x+2)(x2 –3x+2) = 3x3 – 9x2 +6x+2x2 – 6x+4=3x3 –7x2 +4
d. Perkalian istimewa polinomial
Dua buah polinomial disebut binomial-binomial konjugat jika
salah satu dari binomial tersebut merupakan penjumlahan,
sedangkan yang lainnya merupakan pengurangan dari dua buah
monomial. Sebagai contoh (axm+byn) dan (axm–byn) adalah
binomial-binomial konjugat
(axm+byn)(axm – byn) = (axm)2 – (by)2
Contoh 3.12
Selesaikan perkalian (5x2+6) (5x2-6)
Penyelesaian :
(5x2+6) (5x2–6) = (5x2)2 –(6)2 = 25x4 –36
(3.5)
e. Pemfaktoran polinomial
Memfaktorkan polinomial berarti menulis polinomial menjadi
bentuk perkalian antara dua polinomial atau lebih. Langkahlangkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut,
Tentukan faktor yang sama dari masing-masing monomial dan
selanjutnya keluarkan dari kelompoknya.
Sebagai contoh dapat dilihat pada tabel berikut.
Polinomial
ax2+ay2
Langkah I
(tentukan faktor
yang sama)
a
Langkah II
(keluarkan faktor
yang sama)
a(x2+y2)
e. Pemfaktoran polinomial
Memfaktorkan polinomial berarti menulis polinomial menjadi
bentuk perkalian antara dua polinomial atau lebih. Langkahlangkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut,
Tentukan faktor yang sama dari masing-masing monomial dan
selanjutnya keluarkan dari kelompoknya.
Sebagai contoh dapat dilihat pada tabel berikut.
Polinomial
ax2+ay2
3x3+2x+x
Langkah I
(tentukan faktor
yang sama)
a
x
Langkah II
(keluarkan faktor
yang sama)
a(x2+y2)
x(3x2+2x+1)
e. Pemfaktoran polinomial
Memfaktorkan polinomial berarti menulis polinomial menjadi
bentuk perkalian antara dua polinomial atau lebih. Langkahlangkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut,
Tentukan faktor yang sama dari masing-masing monomial dan
selanjutnya keluarkan dari kelompoknya.
Sebagai contoh dapat dilihat pada tabel berikut.
Polinomial
ax2+ay2
3x3+2x+x
3a2b+5ab-4b2
Langkah I
(tentukan faktor
yang sama)
a
x
b
Langkah II
(keluarkan faktor
yang sama)
a(x2+y2)
x(3x2+2x+1)
b(3a2+5a-4b)
f. Pembagian polinomial
Pembagian dua buah monomial dapat dilakukan dengan
mengikuti hukum-hukum berikut ini.
xm
Hukum IV n = xm x1–n =xm – n
x
x
y
(3.6)
xm
ym
(3.7)
Hukum VI ( Pangkat nol) a0=1 ; a / 0
(3.8)
1
Hukum VII am = a–m
(3.9)
Hukum V
=
Contoh 3.13
x3
Sederhanakan fungsi 2
y
Penyelesaian
x3
y2
–4
–4
x–12 = y8
= –8
x12
y
g. Fungsi konstan
Pada contoh terdahulu telah dijelaskan bahwa fungsi polinomial
yang mempunyai derajad nol disebut fungsi konstan dan dapat
ditulis dalam bentuk
y = f(x) = a0 atau y = konstan
( 3.10 )
Grafik fungsi konstan dapat dilihat pada Gambar 3.4 berikut.
y
y = a0 ; a0 > 0
x
O
y = a0 ; a0 < 0
Gambar 3.4
Grafik fungsi konstan
h. Fungsi linier
Fungsi linier adalah fungsi polinomial yang derajad satu. Fungsi
linier disebut juga persamaan garis dan ditulis dalam bentuk :
y = a1 x + a0 atau y = mx + n
(3.11)
Pers. 3.11 adalah pers. garis yang memotong sumbu x pada
saat y = 0 dan memotong sumbu y pada saat x = 0.
Perhatikan pers. 3.11. Jika x = 0 maka y = n dan jika y = 0
maka x = - n/m. Jadi dapat disimpulkan bahwa pers. 3.11
menunjukkan sebuah garis yang melalui titik-titik
(0,n) dan (-n/m,0).
Biasanya persamaan 3.11 disebut pers. “PerpotonganKemiringan sebuah Garis (Slope-Intercept
Equation of a Line)”.
Grafik persamaan 3.11 ditunjukkan pada Gambar 3.5 berikut
x
(0 , n)
(–n/m , 0)
O
Gambar 3.5
Grafik fungsi linier
y
Jika persamaan garis pada pers. 3.11 melalui titik (x1,y1) maka :
y1 = mx1 + n  n = y1 – mx1
( 3.12 )
Dengan mensubstitusi harga n pada pers. 3.12 ke pers. 3.11
didapat :
y – y1 = m(x – x1) atau y = m(x – x1) + y1
( 3.13 )
Biasanya persamaan 3.13 disebut persamaan “Kemiringan-Titik
sebuah Garis (Point-Slope Equation of a Line)”. Grafik persamaan
3.13 ditunjukkan pada Gambar 3.6.
x
(x , y)
(x1 , y1)
O
Gambar 3.6
Grafik Persamaan 3.13
y
Jika persamaan garis 3.11 melalui titik (x2,y2), maka :
y – y2 = m(x – x2) atau y = m(x – x2) + y2
(3.14)
Jika persmaan 3.15 dikurang persamaan 3.13 maka didapat,
y1– y2
y2– y1
=
y1 – y2 = m (x1 – x2) atau
(3.15)
x1– x2
x2– x1
Dengan memasukkan harga m pada pers. 3.15 ke pers. 3.13 didapat :
y2– y1
y2– y1
(x – x1) + y1 (3.16)
(x– x1) atau y =
y – y1 =
x2– x1
x2– x1
Persamaan 3.16 adalah persamaan garis yang melalui titik (x1,y1)
dan (x2,y2) dan disebut persamaan “Dua titik dari suatu garis
(two point equation of a line)” seperti yang ditunjukkan pada
Gambar 3.7.
x
(x2 , y2)
(x1 , y1)
O
Gambar 3.7
Grafik Persamaan 3.16
y
Kesimpulan :
Dari uraian diatas padat disimpulkan bahwa :
• Jika kemiringan dan titik potong suatu garis dengan
sumbu x atau sumbu y diketahui maka gunakan adalah
persamaan 3.11.
• Jika kemiringan suatu garis diketahui dan garis tersebut
melalui titik tertentu, misal (x1,y1), maka gunakan pers. 3.13.
• Jika suatu garis melalui titik-titik (x1,y1) dan (x2,y2) maka
gunakan persaman 3.16.
Cara menggambar garis
Bentuk umum persamaan garis : y = mx + n
Buat tabel sebagai berikut :
Jika n  0
x
0
-n/m
y
n
0
Jika n = 0
x
0
a
y
0
m.a
a adalah sembarang bilangan ril
Contoh 3.14
Sebuah garis mempunyai kemiringan (koeffisien arah) -1/3
dan memotong sumbu x pada x = 1. Tentukan persamaan
garis tersebut!
Penyelesaian : (gunakan persamaan 3.11)
Persamaan garis y = mx + n
Karena m = -1/3, maka persamaan garis menjadi : y = -1/3 x + n
Titik potong dengan sumbu x pada x = 1, maka y = 0.
Dengan mensubstitusikan harga x dan y ke persamaan 2.11
maka didapat n=1/3. Dengan demikian persamaan garis
menjadi: y = -1/3 x+1/3
Cara menggambarkan garis lihat petunjuk.
x
0
1
y
1/3
0
Jadi titik-titik koordinat garis tersebut adalah (0,1/3) dan (1,0)
y
(0,1/3)
(1,0)
O
Gambar 3.8
x
Contoh 3.15
Sebuah garis mempunyai kemiringan (koeffisien arah) 2 dan
memotong sumbu y pada y = 3/2. Tentukan persamaan garis tsb!
Penyelesaian : (gunakan persamaan 3.11)
Persamaan garis y = mx + n
Karena m = 2, maka persamaan garis menjadi : y = 2x + n
Titik potong dengan sumbu y pada y = 3/2, maka x = 0.
Dengan mensubstitusikan harga x dan y ke persamaan 3.11,
didapat n=1. Dengan demikian persamaan garis menjadi:
y = 2x+3/2
Cara menggambarkan garis lihat petunjuk.
x
0
-3/4
y
3/2
0
Jadi titik-titik koordinat garis tsb adalah (0,3/2) dan (-3/4,0).
y
(0,3/2)
(1,0)
O
Gambar 3.9
x
Contoh 3.16
Sebuah garis mempunyai kemiringan (koeffisien arah) – 1 dan
melalui titik (–2,3). Tentukan persamaan garis tersebut!
Penyelesaian (gunakan persamaan 3.13)
y = m(x – x1) + y1  m = -1 ; x1 = –2 ; y1 = 3
Persamaan garis yang dimaksud adalah :y = -1(x+2)+3= -x + 1
x
0
1
y
1
0
Jadi titik-titik koordinat garis tersebut adalah (0,1) dan (1,0)
y
(0,1)
(1,0)
O
Gambar 3.10
x
Contoh 3.17
Sebuah garis melalui (-3,4) dan (5,2).
Tentukan persamaan garis tsb.!
Penyelesaian (gunakan persamaan 3.16):
y=
y2– y1
x2– x1
=–
1
4
(x – x1) + y1 =
(x –13)
2– 4
5 +3
(x + 3) + 4 = –
1
4
(x + 3) + 4
y
(0,13/4)
(13,0)
O
Gambar 3.11
x