trigonometri - Mas`ud Effendi

TRIGONOMETRI
Matematika
FTP – UB
Matematika
Pokok Bahasan
•
•
•
•
Sudut
Identitas Trigonometrik
Rumus Trigonometrik
Fungsi Trigonometrik
Matematika
Pokok Bahasan
•
•
•
•
Sudut
Identitas Trigonometrik
Rumus Trigonometrik
Fungsi Trigonometrik
Matematika
Sudut
• Rotasi
– Apabila suatu garis lurus dirotasi terhadap
suatu titik, garis tersebut menyapu suatu
sudut yang dapat diukur dalam derajat atau
radian
– Suatu garis lurus yang berotasi satu sudut
penuh dan kembali ke posisi awal dikatakan
telah dirotasi melalui 360 derajat – 360o
– Setiap derajat=60 menit dan setiap menit=60
detik
Matematika
Sudut
• Radian
– Jika garis lurus yang
panjangnya r berotasi pada
salah satu ujungnya sehingga
ujung lain membentuk busur
yang panjangnya r, garis
tersebut dikatakan telah dirotasi
melalui 1 radian – 1 rad
Matematika
Sudut
• Segitiga
– Semua segitiga memiliki
bangun dan ukuran
– Bangun segitiga
ditentukan oleh ketiga
sudutnya dan ukuran
oleh panjang ketiga
sisinya
AB
AC
BC


AB AC  BC 
Matematika
Sudut
• Rasio Trigonometrik
AB
AC
BC


AB AC  BC 
so that:
AB AB
AB AB
AC AC 

and

and

AC AC 
BC BC 
BC BC 
Matematika
Sudut
• Rasio Trigonometrik
sine of angle  
AC
- denoted by sin
AB
cosine of angle  
BC
- denoted by cos
AB
tangent of angle  
BC
- denoted by tan
AB
Matematika
Sudut
• Rasio kebalikan
1
cosecant of angle  
- denoted by cos ec
sin 
secant of angle  
1
- denoted by sec
cos
1
cotangent of angle  
- denoted by cot
tan 
Matematika
Sudut
• Teorema Pythagoras
– Kuadrat hipotenusa suatu
segitiga siku-siku sama
dengan penjumlahan dari
kuadrat kedua sisi lainnya
a 2  b2  c 2
Matematika
Sudut
• Segitiga khusus
– Segitiga siku-siku sama kaki
Angles measured in degrees:
sin 45  cos 45 
1
and tan 45  1
2
Angles measured in radians:
sin  / 4  cos  / 4 
1
and tan  / 4  1
2
Matematika
Sudut
• Segitiga khusus
– Segitiga setengah sama sisi
Angles measured in degrees:
1
sin 30  cos 60 
2
3
sin 60  cos30 
2
1
tan 60 
 3
tan 30
Matematika
Sudut
• Segitiga khusus
– Segitiga setengah sama sisi
Angles measured in radians:
1
sin  / 6  cos  / 3 
2
3
sin  / 3  cos  / 6 
2
1
tan  / 3 
 3
tan  / 6
Matematika
Pokok Bahasan
•
•
•
•
Sudut
Identitas Trigonometrik
Rumus Trigonometrik
Fungsi Trigonometrik
Matematika
Identitas Trigonometrik
• Identitas dasar
– Identitas trigonometrik dasar diturunkan dari
teorema Pythagoras
a b c
2
2
2
so
a 2 b2
 1
c2 c2
that is:
cos 2   sin 2   1
Matematika
Identitas Trigonometrik
• Dua identitas lain
– Membagi identitas dasar dengan cos2
cos   sin   1
2
2
so that
cos 2  sin 2 
1


cos 2  cos 2  cos 2 
that is:
1  tan 2   sec 2 
Matematika
Identitas Trigonometrik
• Dua identitas lain
– Membagi identitas dasar dengan sin2
cos   sin   1
2
2
so that
cos 2  sin 2 
1


sin 2  sin 2  sin 2 
that is:
cot 2   1  cosec 2 
Matematika
Pokok Bahasan
•
•
•
•
Sudut
Identitas Trigonometrik
Rumus Trigonometrik
Fungsi Trigonometrik
Matematika
Rumus Trigonometrik
• Jumlah dan selisih
sudut
cos(   )  cos  cos   sin  sin 
cos(   )  cos cos   sin  sin 
sin(   )  sin  cos   cos sin 
sin(   )  sin  cos   cos  sin 
tan   tan 
tan(   ) 
1  tan  tan 
tan   tan 
tan(   ) 
1  tan  tan 
Matematika
Rumus Trigonometrik
• Sudut ganda
cos 2  cos 2   sin 2 
cos 2  1  2sin 2 
cos 2  2cos 2   1
sin 2  2sin  cos 
2 tan 
tan 2 
1  tan 2 
Matematika
Rumus Trigonometrik
• Jumlah dan selisih
rasio
sin   sin   2sin
 
cos
 
2
2
   
sin   sin   2cos
sin
2
2
cos  cos   2cos
 
cos
 
2
2
   
cos  cos   2sin
sin
2
2
Matematika
Rumus Trigonometrik
• Hasilkali rasio
2sin  cos   sin(   )  sin(   )
2cos cos   cos(   )  cos(   )
2sin  sin   cos(   )  cos(   )
Matematika
Pokok Bahasan
•
•
•
•
Sudut
Identitas Trigonometrik
Rumus Trigonometrik
Fungsi Trigonometrik
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Rotasi
– Untuk sudut lebih
besar dari nol dan
kurang dari /2 radian,
rasio trigonometrik
didefinisikan dengan
baik dan dapat
diperluas ke fungsi
trigonometrik yang
berlaku untuk
sembarang sudut
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Fungsi sinus
• Fungsi cosinus
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Tangen
sin 
– Rasio sinus terhadap kosinus tan 
cos
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Periode
– Sembarang fungsi yang outputnya berulang
dalam selang teratur inputnya disebut fungsi
periodik, selang teratur input tersebut disebut
periode fungsi tersebut
– Fungsi sinus dan kosinus berulang bentuk
pada setiap 2
– Fungsi tangen berulang dengan periode 
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Amplitudo
• Setiap fungsi periodik memiliki satuan
amplitudo yang diberikan sebagai selisih
antara nilai maksimum dan nilai rata-rata
output yang diperoleh dalam periode tunggal
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Beda fase
– Beda fase fungsi periodik adalah selang input yang
dengan itu output mendahului atau terlambat
terhadap fungsi acuan
y  sin( x  /4) leads y  sin x by  /4 radians
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Fungsi trigonometrik invers
– Jika grafik y = sin x
dicerminkan pada bidang y =
x, akan dihasilkan grafik
invers fungsi sinus
– Fungsi ini bukanlah suatu
fungsi karena terdapat lebih
dari satu nilai y yang
bersesuaian dengan nilai x
yang diketahui
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Fungsi trigonometrik invers
– Pemotongan bagian atas dan bawah grafik
akan menghasilkan fungsi bernilai tunggal
yang disebut fungsi sinus invers
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Fungsi trigonometrik invers
– Dengan cara yang sama dapat diperoleh
fungsi cosinus invers dan fungsi tangen invers
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Persamaan trigonometrik
– Persamaan trigonometrik sederhana
merupakan persamaan yang melibatkan
hanya rumusan trigonometrik tunggal
sin3x  0
with solution 3x  n
so x  n /3, n  0, 1,  2,
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Persamaan trigonometrik
– Contoh lain
sin3x 
1
2

3
with solution 3x   2n and 3x   2n , n  0, 1,  2,
4
4
so x 
  2n and x    2n , n  0, 1,  2,
12
4
Matematika
Fungsi Trigonometrik
• Persamaan berbentuk a cos x + b sin x = c
– Persamaan berbentuk a cos x + b sin x = c
dapat ditulis ulang
R sin( x  )  R{sin cos x  sin x cos }  a cos x  b sin x  c
so that R sin  a and R cos  b
c
a
giving R  a 2 b 2 and x  sin 1    where   tan 1  
R
b
– Solusi dapat dicari dengan grafik
Matematika
Hasil Pembelajaran
• Mengkonversi sudut-sudut yang diukur
dalam derajat, menit dan detik ke derajat
desimal
• Mengkonversi derajat ke radian dan
sebaliknya
• Membuktikan identitas trigonometrik
• Mengembangkan fungsi trigonometrik dari
rasio trigonometrik
Matematika
Referensi
• Stroud, KA & DJ Booth. 2003. Matematika
Teknik. Erlangga. Jakarta
Matematika