zz yy xx r - + - + - = rrrr

Gradient fungsi Harmonic
Diberikan partikel A dengan berat massa M, terletak pada posisi
P0(x0,y0,z0) dan partikel bebas B dengan berat massa m, terletak
pada posisi P(x,y,z) pada suatu ruang yang sama.
Partikel B akan mengalami gaya tarik dari partikel A, menurut
hukum Newton tentang gravitasi, arah gaya p adalah dari P menuju
Po, dan besarnya sebanding dengan 12 , antara P dengan Po.
r
Sehingga,
p 
c
r2
ANALISIS VEKTOR
r 
c = G.M.m
G = 6,67
Silahkan KLIK KIRI
x  x 0 2  y  y0 2  z  z0 2
Hal 1 dari 10
r≥0
Dalam hal ini, p merupakan suatu vektor dalam ruang.
Jika vektor jarak dari P ke Po adalah r,
r = (x – xo)i + (y – yo)j + (z – zo)k
vektor satuan arah dari p = 
|r| =r
r
r

r
r
(tanda minus menyatakan arah dari Po ke P)
ANALISIS VEKTOR
Hal 2 dari 10
Hal 1 dari 5
maka
r
r c
c
p   p   2   3r
r
rr
r
c
  3 x  x 0 i  y  y 0  j  z  z0 k 
r
xx
yy
zz
 c 3 0 i  c 3 0 j  c 3 0 k
r
r
r
merupakan fungsi vektor yang menyatakan gaya tarik menarik
antara dua partikel.
ANALISIS VEKTOR
Hal 3 dari 10
Selanjutnya dibuktikan :
2  1 
1
3 x  x 0 




x 2  r 
r3
r5
2
2  1 
1
3 y  y 0 




y 2  r 
r3
r5
2
2  1 
1
3 z  z0 
 3 
2  
z  r 
r
r5
2
sehingga diperoleh :
ANALISIS VEKTOR
Hal 4 dari 10
Hal 2 dari 5
2  1 
2  1 
2  1 
1
3 x  x 0 
1
3 y  y 0 


 3 
 3 




2
2
2  
5
x  r  y  r  z  r 
r
r
r
r5
2
2
1
3 z  z0 

3
r
r5
2

x  x 0   y  y 0   z  z0 
3
3
3
r
r5
3
r2
 3 3 5  0
r
r
2
2
2

Mengingat f (x , y , z) 
c
, sehingga diperoleh :
r
2 f
2 f
2 f


 0
x 2
y 2
z2
atau
2 f  0
ANALISIS VEKTOR
Hal 5 dari 10
Jadi medan gaya yang dihasilkan oleh sebaran massa partikel akan
merupakan fungsi vektor (p) yang merupakan gradien dari fungsi skalar f
(potensial dari medan gravitasi) dan f memenuhi sifat .
CONTOH :
Jika potensial antara dua silinder konsentris adalah
V(x,y) = 110 + 30 ln(x2 + y2) volt. Tentukan gaya listrik
di titik P (2,5).
ANALISIS VEKTOR
Hal 6 dari 10
Hal 3 dari 5
Vektor gaya elektrostatik p = Grad-V
p  30
2x
2y
60
2 i  5 j
i  30 2
j

2
2
29
x y
x  y ( 2 , 5)
2
Arah gayanya searah dengan arah vektor p
ANALISIS VEKTOR
Hal 7 dari 10
Aliran listrik statis
Dalam bidang elektrostatis, gaya tarik menarik antara dua partikel
bermuatan Q1 dan Q2 adalah
p 
k
r
r3
(Hukum Couloumb)
dengan:
k 
Q1 Q2
4 
ε = konstanta elektrik
Dalam hal ini p adalah gradien dari fungsi potensial
dengan
2 f  0
ANALISIS VEKTOR
f 
k
r
Hal 8 dari 10
Hal 4 dari 5
CONTOH:
Jika potensial antara dua silinder konsentris adalah
V(x,y) = 110 + 30 ln(x2 + y2) volt.
Tentukan gaya listrik di titik P (2,5).
Vektor gaya elektrostatik p = grad V
p  Grad V

V
V
i
j
x
y
ANALISIS VEKTOR
p
Hal 9 dari 10

V
V
i
j
x
y

 110  30 ln( x 2  y 2
 110  30 ln( x 2  y 2
i
j
x
x

 30




2x
2y
i  30 2
j
2
x  y
x  y 2 (2,5)
2
60
2 i  5 j
29
Jadi arah gayanya searah dengan arah vektor p
ANALISIS VEKTOR
Hal 10 dari 10
Hal 5 dari 5