2.1. garis lurus melalui titik asal (0,0) 2.2. bentuk

Bab II : Fungsi Linear |
13
Dalil : Grafik dari fungsi-fungsi linear (linear artinya pangkat satu atau straight) adalah suatu garis lurus.
2.1. GARIS LURUS MELALUI TITIK ASAL (0,0)
Tarik Garis dari titik O ke titik P dimana OP terletak
Sb. Y
pada garis g.
Titik Q juga terletak pada garis g.
g
Buktikan bahwa persamaan garis lurus melalui titik
Q(x,y)
O (0,0)  y = mx
y
P(a,b)
b
Bukti : Perhatikan segitiga OPP’ dan segitiga OQQ’
Sb. X
a
Q’
P’
QQ’ : PP’ = Q’O : P’O
x
y:b=x:a
ay = bx
y=
b
b
x ; jika  m
a
a
y = mx
(terbukti)
2.2. BENTUK UMUM PERSAMAAN GARIS LURUS
Sb. Y
Garis 1 memotong sumbu X di titik A (-a,0) dan titik B(0,b)
Titik P terletak pada garis 1, sehingga PP’//BO
l
Buktikan bahwa persamaan umum garis lurus adalah
P(x,y)
y=
y
B(0,b)
b
x +b
a
Sb. X
A(-a,0)
x
Bukti
BO : PP’ = AO : AP’
b : y = -a : (-a + x)
-ay = b (-a + x)
-ay = -ab : bx
y= 
b
x +b (terbukti)
a
atau y = mx + b, persamaan garis lurus yang memotong sumbu y (0,b)
By : Turmudi
E-mail : [email protected]
blog: www.toermoedy.wordpress.com
14 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
2.3. SYARAT 3 BUAH TITIK TERLETAK PADA SEBUAH GARIS LURUS
Sesuai dengan dalil bahwa grafik dari setiap fungsi linear adalah sebuah garis lurus.
Misalkan fungsi linear itu y = ax + b
Sb. Y
Titik A, B dan C terletak pada grafik y =ax+b
A (x1, y1) terletak pada grafik  y1 = ax1 + b
B (x2, y2) terletak pada grafik  y2 = ax2 + b -
B(x2,y2)
C(x3,y3)
x1
y3

y2
A(x1,y1)

y1
Sb. X
0
y1 - y2 = a(x1 –x2) .... (i)
A (x1, y1) terletak pada grafik  y1 = ax1 + b
B (x2, y2) terletak pada grafik  y3 = ax3 + b -
x2
x3
i  
ii 
y1  y 2 a   x1  x2 

y1  y3 a   x1  x3 
y1 – y3 = a(x1 –x3) ..... (ii)
Syarat Bahwa (x1,y1), (x2,y2) dan (x3,y3)
terletak pada sebuah garis lurus
y1  y 2 x1  x 2

y1  y3 x1  x3
BB' CC '

AB' AC '
tg
 = tg 
 =   titik A, B, C terletak pada satu garis lurus.
Sehingga pengertian dari (2.1.) sampai dengan (2.3.) dapatlah disimpulkan sebagai berikut ;
1.
Persamaan garis lurus melalui pusat y = mx dimana m = tg  dengan m merupakan koefisien arah /
gradien / bilangan arah / kemiringan / kecendrungan garis.
2.
Persamaan umum garis dalam bentuk eksplisit y = mx + b dengan m = tg
(0,b). tg
3.
 adalah sudut perpotongan garis lurus dengan sumbu X positif.
Persamaan umum garis lurus dapat juga dinyatakan dalam bentuk implisit
ax + by + c = 0
y
 ax  c
b
a
a
a
y   x  c , Sehingga m = 
 tg  = 
b
b
b
 dan garis ini melalui titik
Bab II : Fungsi Linear |
15
Persamaan garis lurus dapat juga dinyatakan oleh : Jarak antara titik O dengan salah satu titik pada garis itu
dan sudut yang dibentuk oleh jarak itu dengan sumbu X positif
Perhatikan segitiga OBP
r
b

o
sin    
sin   90

Sb. Y

r
b

cos  sin    
P(x,y)
r

(  + 90o)
y
Sb. X

A
Q
0
x
b cos 
sin    
B
Q
persamaan garis kutub atau
persamaan garis polar
2.4. PERSAMAAN GARIS MELAUI TITIK P(x1,y1), DENGAN GRADIEN m
Kita sudah tahu bahwa persamaan garis umum y = mx + n
Titik P(x1,y1) dilalui oleh garis y = mx + n ........ (i)
 y1 = mx1 + n .......(ii)
y = mx + n
y1 = mx1 + n
y – y1 = m(x – x1)
Persamaan garis lurus melalui titik P(x1,y1) dengan gradien m
2.5. PERSAMAAN GARIS MELALUI DUA TITIK
Persamaan melalui titik A(x1,y1) dan B(x2,y2)
Persamaan garis lurus  y = mx + n
Persamaan garis melalui A(x1,y1)  y – y1 = m(x – x1) ...........................(i)
Titik B(x2,y2) terletak pada garis y – y1 = m(x – x1)
 y2 – y1 = m(x2 – x1) ...............................(ii)
By : Turmudi
E-mail : [email protected]
blog: www.toermoedy.wordpress.com
16 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
y  y1
m x  x1 

y 2  y1 m x 2  x1 
i  
ii 
y  y1
x  x1

y 2  y1 x 2  x1
persamaan garis melalui dua titik
(y – y1) (x2 – x1) = (y2 – y1) (x – x1)
y  y1 
y 2  y1
x  x1 
x 2  x1
y  y1  m x  x1 
m
y  y1
x  x1
2.6. PERSAMAAN GARIS MELALUI P(a,0) DAN Q(0,b)
Persamaan garis melalui titik P(a,0) dan Q(0,b)
Sb. Y
y  y1
x  x1

y 2  y1 x 2  x1
Q(0,b)
y0 xa

b0 0a
y xa

b
a
P(a,0)
Sb. X
y
x
  1
b
a
0
)
x y
 1
a b
bx + ay = ab
persamaan garis
melalui P(a,0) dan
Q(0,b)
2.7. Persamaan Garis Hesse (Persamaan Garis Normal)
Tarik garis melalui titik O  garis g  OP
B(0,b)
Karena OP  g, disebut persamaan garis normal, Kita
misalkan n dan sudut yang dibentuk dengan sumbu X positif
b
P
n

=
A(a,0)
0
a

Perhatikan segitiga OPB, siku-siku di P
Bab II : Fungsi Linear |
Maka sin  
n
n
b
...................................(i)
b
sin 
Perhatikan OPA, siku-siku di P
cos  
n
n
a
...........................................(ii)
a
cos 
Karena garis g memotong ABX di titik A(a,0) dan B(o,b),
maka persamaan garis g adalah
x y
  1 ...................(iii)
a b
(i) dan (ii) substitusikan ke (iii)
x
n

cos 
y
n
1
sin 
x cos y sin 

1
n
n
x cos
x cos
xn
 + y sin  = n (n positif)
 + y sin  - n = 0
Catatan :
1.
Karena n positif (jarak titik O (0,0) ke garis g) maka suku ke-3 selalu negatif
2.
Koefisien x = cos 
cos2  + sin2  = 1
Koefisien y = sin 
 mengingat kedua syarat di atas, maka setiap persamaan Ax + By + C = 0 dapat dirubah ke
persamaan normal Hesse
Contoh 5:
Rubahlah persamaan -3x – 4y + 10 = 0 ke dalam persamaan normal Hesse
Penyelesaian :
-3x – 4y + 10 = 0
3x + 4y - 10 = 0
x (-1)
: 32  4 2 = 5
3
4
x y20
5
5
By : Turmudi
E-mail : [email protected]
blog: www.toermoedy.wordpress.com
17
18 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
3
Cos  
5
4
5
Sin
 =
Sin
 = 0,8
 = Sin 49,4o
Cos
  0,6
Sin
Cos
 = Cos 36,87o
 = 49,4o
 = 36,87o
 x cos 36,87o + y sin 49,4o
2.8. HUBUNGAN ANTAR GARIS (SIKAP 2 GARIS LURUS)
1.
Garis yang Berpotongan
Garis l1  a1x + b1y + c1 = 0
( dikalikan dengan b2)
Garis l2  a2x + b2y + c2 = 0
(dikalikan dengan b1)
a1b2x + b1b2y + b2c1 = 0
a2 b1x + b1b2y + b1c2 = 0
-
(a1b2 - a2 b1)x + (b2c1 - b1c2) = 0
x=
b1c2  b2 c1
a1b2  a2 b1
Garis l1  a1x + b1y + c1 = 0
(dikalikan dengan a2)
Garis l2  a2x + b2y + c2 = 0
(dikalikan dengan a1)
a1a2x + a2b1y + a2c1 = 0
a1a2x + a1b2y + a1c2 = 0 (a2b1 - a1b2)y + (a2c1 - a1c2) = 0
y
a2 c1  a1c2
a2b1  a1b2
Kemungkinan-kemungkinan :
a.
Jika a1b2 - a2 b1  0, berarti harga x, setiap ada harga x pasti ada harga y.
(x,y) disebut titik perpotongan l1 dan l2.
 Syarat : a1b2 - a2 b1  0
a1b2  a2 b1
a1 b1

a 2 b2
Syarat 2 garis bepotongan
Bab II : Fungsi Linear |
b.
Jika a1b2 - a2 b1 = 0, berarti  a1  b1
a 2 b2
Tapi b2c1 - b1c2  0  b1  c1 sehingga a1  b1  c1
b2 c 2
a 2 b2 c 2
Maka 0  x  0 , ini berarti tidak ada harga (x,y) yang memenuhi
2.
Garis yang Sejajar
Jika l1 dan l2 tidak berpotongan atau sejajar, berarti tidak ada titik potongnya
Syarat : a1b2 - a2 b1 = 0
b2c1 - b1c2  0
a
b
c
b1 c1
 1  1  1

b2 c 2
a 2 b2 c 2
3.
Syarat garis sejajar
Garis Berhimpit
Syarat : a1b2 - a2 b1 = 0
a1 b1

a 2 b2
b2c1 - b1c2 = 0
b1 c1

b2 c 2
 a1  b1  c1
a2
b2
Syarat garis berhimpit
c2
2.9. SUDUT ANTARA DUA GARIS
Jika l1
 y = m1x + b1
l2
 y = m2x + b2
Sb. Y
y = m2 x + b 2
y = m1 x + b 1
Sudut perpotongan =

tg  1 = m1
tg  2 = m2

1
2
Sb. X
1 =  2 + 
 = 1   2
By : Turmudi
E-mail : [email protected]
blog: www.toermoedy.wordpress.com
19
20 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
tg
 = tg  1   2
=
tg 1  tg 2
m  m2
atau tg  = 1
1  m1 m2
1  tg1  tg 2
 = arc. tg
m1  m2
1  m1m2
Kemungkinan-kemungkinannya ;
a.
Untuk
 = 90o  tg 90o =
1  m1m2 
m1  m2
= 
1  m1m2
m1  m2

1  m1m2 = 0
m1m 2 = -1
b.
Untuk
 = 0o  tg 0o = 0
m1  m2
=0
1  m1 m2
m1  m 2 = 0
m1  m 2
Syarat garis sejajar
2.10. JARAK DARI TITIK O (0,0) KE GARIS Ax + By + C = 0
Diketahui : l
 ax + by + c = 0
Ditanya : Jarak titik O ke garis l
 ax + by + c = 0
Penyelesaian:
ax + by + c = 0
Sb. Y
l
: a 2  b2
a
b
c
x
y
0
a2  b2
a 2  b2
a 2  b2
 ax + by + c =
d
0

a
Karena 
 a 2  b 2
Sb. X
2


b
  2

 a  b 2
2

 1

Bab II : Fungsi Linear |
c
Maka d 
a2  b2
d
c
jarak titik ke garis
a 2  b2
2.11. Jarak Antara Dua Garis Sejajar
 a1x + b1y + c1 = 0
Diketahui : l1
Sb. Y
l2
 a2x + b2y + c2 = 0
Ditanya : jarak l1 dan l2
Penyelesaian:
d1 
d2
d
d1
Sb. X
d2 
c1
2
a  b2
c2
a2  b2
0
l1
d = d2 – d1
l2
d
c 2  c1
Jarak antara dua garis sejajar
a2  b2
2.12. JARAK DARI TITIK P(x1,y1) KE GARIS Ax + By + C = 0
Ambil garis l1
 y = mx + b melalui titik P(x1,y1)
Ditanya : jarak titik P(x1,y1) ke garis
Sb. Y
l2
 ax + by + c = 0
Penyelesaian:
l1
d
)
Q(x,y)
m l1 = m Koefisien garis l2
P(x1,y1)
y1
Sb. X
x1
l1
By : Turmudi
 y = mx + b
l2
l2
 ax + by + c = 0
m l2 = 
E-mail : [email protected]
a
b
blog: www.toermoedy.wordpress.com
21
22 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
Persamaan garis l1 // l2 dengan koefisien m
 y – y1 = m2 (x – x1)
y – y1 = 
a
(x – x1)
b
b (y – y1) = - a (x – x1)
by – by1 = - ax + ax1
ax + by – (ax1– by1) = 0, ini berarti c1 = - (ax1+ by1)
karena l1 // l2  d 
d
c1  c 2
a2  b2
ax1  by1  c 2
a2  b2
Jarak dari titik ke garis
2.13. SYARAT 3 GARIS MELALUI SEBUAH TITIK YANG SAMA
l1
 a1x + b1y + c1 = 0
l2
 a2x + b2y + c2 = 0
l3
 a3x + b3y + c3 = 0
Jika l1 memotong l2 di titik P, maka akan diperoleh koordinat titik
 b1c 2  b2 c1 a1c 2  a 2 c1 
,

 a1b2  a2 b1 a1b2  a 2 b1 
P
l3 melalui titik P
 a3  b1c 2  b2 c1  + b3  a1c 2  a2 c1  + c3 = 0
 a1b2  a 2 b1 
ab a b 
 1 2
2 1 
x ( a1b2  a2b1 )
a3 b1 c 2  b2 c1  + b3 a1c 2  a 2 c1  + c3 a1b2  a 2 b1  = 0
a3 b1c2 - a3 b2 c1 + a2 b3c1 - a1b3c2 + a1b2 c3 - a2 b1 c3 = 0
a1b2 c3 + a2 b3c1 + a3 b1c2 - a1b3c 2- a2b1 c3 - a3 b2 c1 = 0
Catatan : Untuk mudah diingat
(+)
(-)
Bab II : Fungsi Linear |
23
2.14. BERKAS GARIS
Berkas suatu garis adalah garis-garis yang melalui sebuah titik yang sama (satu titik tetap) sedangkan
arahnya berlainan.
Jika g1 (P) = 0 dan g2 (P) = 0
Maka diperoleh persamaan
1 g1 +  2 g2 = 0
p
g1 +
g1
Titik
tetap
2
g2 = 0
1
Misalkan
g2
Maka diperoleh : g1 +
 g2 = 0
: 1
2
=  (sebarang konstanta)
1
persamaan berkas garis-garis
Contoh 6:
1.
Tentukan persamaan garis yang melalui titik asal dan melalui titik potong garis-garis
x + y – 4 = 0 dan 2x – 3y + 6 = 0
Penyelesaian:
Berkas garis : g1 +
(2x – 3y + 6) +
 g2 = 0
 (x + y – 4) = 0 .................(i)
Karena garis yang diminta itu melalui O (0,0) maka ;
2  0  3  0  6  0   0  0  4  0
 4  6
 1
1
................(ii)
2
Subs. (ii)  (i)
 Persamaan garis yang dimaksud adalah
(2x – 3y + 6) + 1 1 (x + y – 4) = 0
2
1
1
1
3 x  1 y  0 , atau y  2 x
2
2
2
By : Turmudi
E-mail : [email protected]
blog: www.toermoedy.wordpress.com
24 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
2.
Tentukan persamaan garis yaqng melalui titik potong garis-garis 3x – 4y + 5 = 0 dan
5x + y = 7 serta sejajar dengan garis y = x + 5 !
Penyelesaian :
g1 +
 g2 = 0
 (5x + y – 7) = 0
(3x – 4y + 5) +
(3 + 5  )x + (4 -
 )y + (5 - 7  ) = 0
y
m1 =
3  5
5  7 ..........................(i)
x
4
4
3  5
4
Gradien graris y = x + 5, yaitu m2 = 1
Syarat dua garis sejajar, m1 = m2
3  5
1
= 1   = ..............................(ii)
4
6
Subs. (ii)  (i)
 persamaan garis yang dimaksud adalah (3x – 4y + 5) + 1 (5x + y – 7) = 0
6
x–y+1=0
3.
Diketahui l1
 x – y + 2 = 0, l2  2x - y – 1 = 0 dan l3  x – 3y + 2 = 0
Tentukanlah persamaan garis yang melalui titik potong l1 dan l2 serta tegak lurus l3 !
Penyelesaian :
l4
(x – y + 2) +
 l1 +  l2 = 0
 (x - y – 1) = 0
(1+2  )x – (1+  )y + (2 -
)=0
y=
ml4 =
1  2
1
, ml3 =
1 
3
Syarat : l3  l4  m3  m4 = - 1
1  2
2
x
1 
1 
 1  2  1

  1
 1  3
=

4
5
 Persamaan garis yang
dimaksud y = - 3x + 14
Bab II : Fungsi Linear |
25
2.15. LATIHAN II :
1.
2.
Diketahui  ABC dengan A(1,1), B(5,4) dan C(3,6)
a.
Hitunglah luas  ABC !
b.
Hitunglah garis-garis tinggi dari titik A, B, dan C !
Tentukan persamaan :
a.
Garis melalui titik (-4,0) dan (0,-3) !
b.
Garis yang memotong sumbu x negatif 5 cm (titik A) dan memotong sumbu Y positif di titik B
hingga OB = 5 cm!
c.
3.
Garis melalui titik (-4,0) dan memotong sumbu Y positif 5 cm!
Tentukan persamaan garis lurus melalui titik (3,2), garis tersebut memotong kedua sumbu koordinat
sedemikian hingga membentuk sustu segitiga denagn luas 12 satuan luas!
4.
Suatu garis memotong sumbu X dan sumbu Y, titik P(2,3) terletak di tengah dari segmen garis yang
menghubungkan kedua titik potong di atas. Tentukanlah persamaan garis lurus tersebut !
5.
6.
7.
Tentukan persamaan garis yang melalui A(1,3) dan
a.
Bersudut 135o dengan garis 2x + 3y + 1 = 0 !
b.
Tegak lurus pada garis 2x + 3y + 1 = 0 !
c.
Sejajar dengan garis 2x + 3y + 1 = 0 !
Tentukan Jarak ;
a.
Titik A(2,1) ke garis 2y = x – 4 !
b.
Titik asal ke garis x + 2y 2 = 5 !
Sebuah garis melalui titik A(4,0) dan memotong sumbu Y positif di titik B, sedemikian hingga AB = 5cm;
a.
Tentukanlah persamaan garis itu dengan rumus segmen garis !
b.
Dari persamaan yang didapat itu, tentukanlah persamaan normalnya !
8.
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3,4) dan titik positif garis-garis y = x dan 3x + 5y = 15 !
9.
Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong garis-garis : 2x – 3y + 6 = 0 dan
3x – 2y = 0 serta tegak lurus pada garis 4x – 3y = 12 !
10. Dari segitiga ABC dengan titik sudutnya A(3,0), B(6,2), dan C(2,4). Tentukanlah :
a.
Panjang garis-garis tingginya !
b.
Tentukanlah persamaan garis-garis bagi sudut-sudut segitiga itu!
By : Turmudi
E-mail : [email protected]
blog: www.toermoedy.wordpress.com