Sesi 11.indd

Se
11
VEKTOR
A.
DEFINISI VEKTOR
Vektor adalah ruas garis yang memiliki nilai dari arah. Nilai vektor disini adalah panjang
vektor. Vektor adalah notasi untuk arah pergerakan suatu subjek. Setiap subjek yang
bergerak dapat dinyatakan dengan vektor.
a.
Unsur-Unsur Vektor
Vektor memiliki unsur-unsur sebagai berikut:
1.
Pangkal vektor
2.
Ujung vektor
3.
Panjang vektor
Perhatikan gambar dibawah ini!
A
B
A adalah pangkal vektor, B adalah ujung vektor, dan panjang garis AB adalah panjang
vektor AB.
b.
Notasi Vektor
Vektor dinotasikan dengan penulisan huruf pangkal dan ujung disatukan dengan
dilengkapi tanda panah dibagian atasnya. Vektor pada gambar diatas dapat dinyatakan
1
GAN
MATEMATIKA
BUN
si
AS
A - K U RIKUL
I IP
UM
GA
KEL
XI


dengan AB , yang menunjukkan pergerakan objek dari A ke B sejauh AB. Penulisan AB

dengan BA tentunya berbeda, karena vektor terakhir menunjukkan arah gerak yang
berlawanan dengan vektor pertama.
c.
Vektor Satuan pada Sumbu
Vektor satuan adalah vektor yang memiliki panjang 1. Vektor satuan pada sumbu adalah
vektor yang berimpit pada sumbu koordinat dan memiliki pangkal tepat di titik pusat.
Untuk sumbu x, y, dan z berturut-turut vektor satuannya didefinisikan

i = [1 0 ] atau [1 0 0 ]

j = [ 0 1] atau [ 0 1 0 ]

k = [ 0 0 1]
B.
VEKTOR POSISI
Vektor akan ditempatkan dalam sistem koordinat. Vektor posisi adalah vektor yang memiliki

pangkal di pusat koordinat O. Bila disebutkan vektor OA itu berarti vektor tersebut memiliki

pangkal di O dan ujung vektor di titik A. Vektor posisi OA dapat dinyatakan dalam bentuk

a , begitu pula vektor-vektor posisi yang lain.
a.
Koordinat Vektor Posisi di Sistem Koordinat Dua Dimensi
Vektor posisi dalam sistem koordinat kartesius dinyatakan dalam bentuk 3 macam bentuk,
yaitu bentuk matriks baris, matriks kolom atau dalam bentuk vektor satuan.
Perhatikan gambar berikut!
y
10
9
8
7
6
B
5
4
A
3
2
1
0
1
2
3
4
2
5
6
7
8
9
10
x

Terlihat bahwa koordinat titik A adalah (8, 3), maka vektor OA dapat dinyatakan dalam 3
bentuk penulisan, yaitu
 
8 
OA = a = [ 8 3] =   = 8i + 3j
3
 
3 
Demikian pula dengan vektor OB = b = [3 5] =   = 3i + 5j
5 
b.
Koordinat Vektor Posisi pada Sistem Tiga Dimensi
Koordinat vektor posisi tiga dimensi tidak berbicara posisi secara vertikal dan horizontal,
tetapi melibatkan arah masuk dan keluar. Prinsipnya tidak jauh berbeda dengan sistem
dua dimensi. Bila dua dimensi hanya melibatkan posisi x dan y, sedangkan vektor untuk
tiga dimensi melibatkan posisi x, y, dan z.
z
z
P (x, y, z)
k
i
p
O
i
y
y
x
x

Vektor OP dapat dinyatakan
x 

  
OP = [ x y z ] =  y  = xi + y j + zk
 z 
c.
Panjang Vektor
Vektor posisi baik untuk dua dimensi atau tiga dimensi dapat ditentukan dengan mudah
menggunakan dalil Pythagoras.



2
2
a = [ x y ] maka panjang a ditulis a = x + y
dan



2
2
2
a = [ x y z ] maka panjang a ditulis a = x + y + z
3
CONTOH SOAL
1.
Perhatikan gambar berikut!
y
10
9
A
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7 8
9
10
x

Carilah koordinat vektor a dan panjangnya!
Pembahasan:
 8 

Karena koordinat A (3, 8) maka a =   dan a = 82 + 32 = 73
3
2.
Perhatikan gambar berikut!
z
6
A
8
x
7
y

Koordinat vektor OA dan panjangnya adalah ….
4
Pembahasan:
8 
   
OA = 7  fi OA = 82 + 72 + 62 = 141
6 
C.
VEKTOR NONPOSISI
Vektor nonposisi adalah suatu vektor yang pangkalnya tidak tepat di titik pusat. Perhatikan
gambar berikut:
y
10
9
8
7
6
B
5
4
A
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x

Vektor AB adalah contoh vektor nonposisi karena pangkalnya ada di titik A (8, 3).

Kemudian bagaimana menyatakan vektor AB ? Karena vektor didefinisikan sebagai besar
dan arah perpindahan, maka bisa kita simpulkan bahwa pergeseran dari titik A menuju

B dengan menggeser 5 satuan ke kiri (-5) dan 2 satuan ke atas (+2), sehingga vektor AB
dapat dinyatakan sebagai berikut:

-3
AB = [ -3 2] =   = -3i + 2j
2
Hanya saja tidak setiap vektor praktis untuk digambar, maka diperlukan bentuk umum
atau rumus mencari vektor nonposisi. Rumus umum untuk mencari vektor posisi baik di
dua dimensi atau tiga dimensi adalah


  
AB = b − a
Dimana a dan b adalah vektor-vektor posisi.
5
CONTOH SOAL
1.
Bila diketahui bidang R2 dimana P(2, 4) dan Q(-1 ,5), maka dan panjangnya adalah ….
Pembahasan:


Karena P(2, 4) maka p = [2 4 ] dan q = [ -1 5] , maka
  
QP = p - q = [2 4 ] - [ -1 5] = [3 -1] (sifat pengurangan sebagaimana pengurangan matriks)

Maka panjang QP = 32 + (-1)2 = 10
2.


Bila diketahui bidang R3 dimana A(-1, 3, 4) dan B(-3, 4, 5) maka vektor AB dan AB adalah ….
Pembahasan:
-3 -1 -4 
        
AB = b − a =  4  −  3  =  1 
 5   4   1 

AB =
a.
( -4 )
2
+12 +12 = 18
Kesamaan Dua Vektor
Dua vektor dikatakan sama bila memenuhi dua syarat, yaitu:
1.
Panjang kedua vektor sama.
2.
Arah kedua vektor sama.
CONTOH SOAL
1.
Perhatikan gambar berikut ini!
y
10
9
8
7
6
5
4 A
3
2
1
0
Q
L
P
K
B
D
C
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
6
Manakah vektor-vektor yang sama pada gambar di atas?
Pembahasan
 
AB = PQ karena panjang dan arahnya sama (panjangnya 29 dan arahnya ke atas),
 
 
sedangkan AB ≠ LK karena arahnya saling berlawanan, juga AB ≠ CD karena arahnya
tidak sama walaupun panjangnya sama.
2.
Perhatikan gambar jajaran genjang berikut!
D
A(2, 1, 3)
C(1, 4, 3)
B(4, 1, 5)
Gunakan sifat kesamaan vektor untuk menemukan koordinat D!
Pembahasan:
D
A(2, 1, 3)
C(1, 4, 3)
B(4, 1, 5)
Vektor-vektor sama yang bisa diambil adalah
 
AB = DC
   
b−a=c−d
   
d= a−b+c
2   4   1  -1
        
d =  1 −  1  +  4  =  4 
3  5   3   1 
Maka koordinat D (-1,4,1)
7
b.
Vektor Satuan Dari Vektor Nonposisi
Perhatikan gambar berikut!
Q
D
C
B
A
P

Bila panjang vektor PQ adalah 5 satuan panjang, kemudian dibagi 5 bagian, maka
    
akan terbentuk vektor-vektor yang memiliki panjang 1. Vektor PA = AB = BC = CD = DQ


semuanya adalah vektor satuan PQ , dinotasikan e PQ
dimana
1 

e PQ
=  PQ
PQ
CONTOH SOAL
1.

Tentukan vektor satuan dari vektor AB = [3 4 ] !
Pembahasan:
vektor satuan dari vektor
1
1
1 
3

3 4 ] = [3 4 ] = 
e AB
=  AB =
[
5
5
AB
32 + 4 2
4
5 

kita bisa buktikan bahwa e AB
=1
c.
Minus Suatu Vektor
Minus suatu vektor akan mengubah arah dari suatu vektor tanpa mengubah panjangnya,
 
sehingga AB = -BA
8
CONTOH SOAL
1.
2
 a -1 
    
 
Diketahui AB = -3 ,PQ = b + 2  , dan AB = QP , maka nilai dari a, b dan c adalah ….
 


 1 
 c + 3 
Pembahasan:
 
AB = QP
 
AB = -PQ
2
 a -1 
-3 = - b + 2 
 


 1 
 c + 3 
Kita kerjakan sebagaimana kita mengerjakan matriks
 2   -a +1 
-3 = -b − 2 
  

 1   -c − 3 
-a +1= 2 → a = -1
-b − 2 = -3 → b = 1
-c − 3 = 1 → c = -4
D.
OPERASI-OPERASI PADA VEKTOR
Pengertian geometris operasi penjumlahan, pengurangan dan kali konstanta pada
vektor.


Diketahui pada bidang R2 vektor a = [ x1 y1 ] dan b = [ x 2 y 2 ] maka berlaku
 
1.
a – b = [ x1 – x 2 y 1 – y 2 ]

2. untuk k konstanta tidak nol, maka berlaku ka = [kx1 ky1 ]
CONTOH SOAL
1.


  
Jika vektor a = [5 12] ,b = [3 4 ] maka nilai dari a a + b b = ….
Pembahasan:


a = 13, b = 5 , maka
9
  
a a + b b = 13 [5 12] + 5 [3 4 ]
= [ 65 156 ] + [15 20 ]
= [ 80 176 ]
2.
  1

Jika vektor a =   maka panjang dari vektor 5a adalah ….
2 
Pembahasan:

 1  5 
5a = 5   =  
2  10 

Maka 5a = 52 +102 = 125
3.



 

Diketahui a = 3i - 2j,b = -i + 4j dan r = 7i − 8j . Jika r = ka − mb , maka k + m = ….
Pembahasan:
  3   -1
 7
a =   ,b =   dan r =   , maka
-2 
4
-8 
 

r = ka − mb
7
3
-1
-8  = k -2  − m  4 
 
 
 
7
3k
+
m
  

-8  = -2k − 4m
  

Dengan eliminasi akan didapatkan nilai k = 2 dan m = 1
a.
Penjumlahan Vektor
Perhatikan gambar berikut!


Misal didefinisikan bentuk vektor a dan b

a

b
10
 
Maka hasil atau resultan dari a + b adalah

a

b
 
a+b
Menghubungkan ujung vektor a dengan pangkal vektor b. Hasilnya dengan
menghubungkan pangkal vektor a pada ujung vektor b (metode segitiga)
atau

a

b
 
a+b
Menghubungkan kedua pangkal vektor, kemudian membuat garis sejajar vektor a pada
ujung vektor b, dan membuat garis sejajar vektor b pada ujung vektor a. Resultannya
adalah dari pertemuan titik pangkal ke titik potong dua garis sejajar. (metode jajaran
genjang).
Dengan menggunakan metode segitiga dapat disimpulkan resultan dari penjumlahan
vektor-vektor adalah vektor yang memiliki pangkal vektor pertama dan memiliki ujung
vektor terakhir, sebagai contoh







AB + CD + EF = AF
CONTOH SOAL
1.
2
2 
  
  

Diketahui vektor AB = -1 dan AC =  1 , maka panjang vektor CB adalah ….
 3 
6 
11
Pembahasan:
  
CB = CA + AB
 
= - AC + AB
2   2 
= -  1 + -1
6   3 
0
= -2 
 -3

Maka panjang vektor CB = 02 + (-2)2 + (-3)2 = 13
2.



 1 

Vektor PQ = [2 0 1] dan vektor PR = [1 1 2] . Jika PS = PQ , maka vektor RS = ….
2
Pembahasan:

 1 
PS = PQ
2
1
= [2 0 1]
2
1

= 1 0

2


Maka

  

RS = RP + PS
 

= -PR + PS

= - [1 1 2] + 1 0

3


= 0 -1 - 
2

Pengurangan Vektor
 
Resultan dari a − b adalah

-b
( )

a - b 
=a+ 
-b
b.
1
2 

a
12
c.
Perkalian Angka dengan Vektor

ka

ka
dengan k > 1

ka
dengan 0 < k < 1

ka
dengan k < -1

ka
dengan -1 < k < 0
Perkalian suatu vektor dengan angka, akan mengubah panjang dan arah vektor. Terlihat
jelas dalam gambar bila k >1 maka vektor memiliki arah sama tetapi lebih panjang, bila
0 < k < 1 vektor menjadi lebih pendek tetapi arahnya sama, bila k < -1 vektor menjadi lebih
panjang akan tetapi arahnya berlawanan, dan bila -1 < k < 0 maka vektor menjadi lebih
pendek dan berlawanan arah dengan sebelumnya. Bila kalian perhatikan semua vektor
yang telah dikalikan memiliki posisi yang sejajar, oleh karena itu bisa diambil kesimpulan
sebagai berikut


 


a  b atau a berimpit dengan b . Jika dan hanya jika terdapat k ≠ 0 sehingga b = ka .
CONTOH SOAL
1.
Diketahui A(1, 2, 3), B(3, 3, 1), C(7, m, -3). Jika A, B, dan C segaris (kolinear), maka nilai k
adalah ….
Pembahasan:
Dari garis yang mengandung A, B, dan C dapat dibentuk vektor sejajar atau berimpit,


misal AB dan BC , maka akan berlaku


AB = kBC
 
 
(b − a) = k c − b
(
)
  7  3  
 3  1 
   
   
=
k
3
−
2
 m  −  3  
   
 -3  1 
  1 3 
   
   
2
 4 
 1  = k m − 3
 


-2 
 -4 
13


AB = kBC
 
 
(b − a) = k c − b
(
)
  7  3  
 3  1 
   
   
=
k
3
−
2
 m  −  3  
   
 -3  1 
  1 3 
   
   
2
 4 
 1  = k m − 3
 


-2 
 -4 
Maka didapat dari baris pertama
2 = 4k → k =
1
2
Sehingga pada baris kedua
1= k(m − 3)
1
1= (m − 3)
2
2=m−3
m=5
d.
Perbandingan Vektor
 
Didefinisikan vektor OC : OB sebagaimana gambar berikut:
A

a
C


 mb + na
c=
m+n
O

b
B

 
Dimana diketahui perbandingan AC : CB = m : n , maka vektor C dapat ditentukan


 mb + na
c=
m+n
 
Karena AC : CB =searah
m : n maka m dan n memiliki kesamaan tanda (sama-sama positif atau
 
sama-sama negatif ). Apabila AC : CB =tidak
m : nsearah maka m dan n berlawanan tanda. Kasus
m dan n berlawanan bila titik C membagi AB di luar garis.
14
CONTOH SOAL
1.
Diketahui titik A(3, 1, -4), B(3, -4, 6), dan C(-1, 5, 4). Titik P membagi AB sehingga AP : PB =
3 : 2, maka vektor p adalah …
Pembahasan:
Dengan menggunakan rumus di atas


 
 3b + 2a
AP : PB = 3 : 2 → p =
5
3
3


3 -4  + 2  1 

6
-4 
p=  
5
15
 
-10 
 
  10 
p=
5
3
  
p = -2 
 2 
2.
Bila diketahui A(5, 2) dan B(1, 4). Bila C membagi di luar dengan perbandingan AC : CB =
3 : 1, maka koordinat C adalah …
Pembahasan:
 
Karena C membagi AB di luar maka AC : CB = 3 : -1 sehingga
 
 3b − a 3 [1 4 ] − [5 2]
c=
=
= [ -1 5]
2
2
Maka koordinat C (-1, 5)
3.
Perhatikan gambar berikut!
C
M
A
E
B
15
Pada segitiga ABC, E adalah titik tengah BC dan M adalah titik berat segitiga tersebut. Jika

 
 
u = AB dan v = AC maka ruas garis berarah ME dapat dinyatakan ….
Pembahasan:
   
 
 AB + AC u + v
E adalah titik tengah BC, maka BE : EC = 1: 1 → AE =
=
2
2
Karena M titik berat dan AE adalah garis berat maka selalu berlaku
 
 1  1  u + v  1  
ME = AE = 
 = u+ v
3
3  2  6
(
)
LATIHAN SOAL
1.
Perhatikan gambar berikut!
y
Q
P
x
0
Vektor p dapat dinyatakan …
A.
8 
2 
 
B.
2 
8 
 
C.
7 
2 
 
D.
2 
7 
 
E.
6 
2 
 
16
2.
Vektor q dapat dinyatakan ….
A.
8 
2 
 
D.
2 
7 
 
B.
2 
8 
 
E.
6 
2 
 
7 
2 
 

Vektor QP dapat dinyatakan ….
C.
3.
4.
A.
6 
6 
 
D.
7 
6 
 
B.
6
-6 
 
E.
-6 
 -7 
 
C.
-6 
6
 
Perhatikan gambar berikut!
Z
7 W
V
T
U
O
P
8
R
y
6

Vektor p adalah ….
0 
A. 8 
 
0 
B.
0 
0 
 
8 
C.
8 
0 
 
0 
x
Q
D.
8 
0 
 
 1
E.
8 
 1
 
0 
17
5.
6.
7.
8.

Vektor PR adalah ….
A.
0 
8 
 
0 
B.
0 
0 
 
8 
C.
8 
0 
 
0 
D.
8 
0 
 
 1
E.
8 
 1
 
0 

VP = ….
A.
140
D.
150
B.
145
E.
152
C.
149
5
2 
2
  
     



Jika vektor a =  1 ,b =  4  dan c = -1 maka vektor a − 2b + 3c sama dengan ….
 5 
 1
-2 
A.
13 
10 
 
20 
D.
 13 
-10 
 
-20 
B.
 13 
-10 
 
 20 
E.
 13 
-10 
 
 10 
C.
 -13 
-10 
 
 20 
 




Jika a = 3i − 2j + k,b = 2i − 4j − 3k dan c = 3i − 2j + k , maka 2a + b − 4c adalah …
A.
39
D.
42
B.
40
E.
43
C.
41
18
9.
10.
11.
12.
13.
14.
   

  
 
Diketahui AB = ti − 2j + hk dan PQ = ( t + 2 ) i + 2j + 3k . Jika AB = QP , maka nilai dari h dan
t berturut-turut ….
A. -3 dan -1
D. -1 dan 3
B. 3 dan -1
E. 1 dan 3
C. -1 dan -3
Diketahui segi enam beraturan ABCDEF.
    
AB + AC + AD + AE + AF = … .
 
 
A. 3u + 3v
D. 6u + 3v
 
 
E. 6u + v
B. 3u + 6v
 
C. 6u + 6v
Jika
 
AB = u
dan
 
AF = v
maka



Pada jajaran genjang ABCD, vektor-vektor posisinya a = (1,2,3),b = (2, -1,5), dan c = (4,1,3)

maka BD = …
 3 
Jika titik P  2, - ,1 , Q (1, 0, 0 ) dan R(4,3, a) terletak pada satu garis lurus, maka a = …
 2 

 

 

Diketahui a = -5i + 2j , jika PQ = a dan PQ berlawanan arah dengan a , maka koordinat
titik Q adalah ….
PT
= 2 , maka
Ditentukan titik-titik P(-1, 2, 11) dan Q(-4, 2, 5). Jika T pada ruas garis PQ dan
QT
vektor posisi T adalah ….
19