Integral

a home base to excellence
Mata Kuliah
Kode
SKS
: Kalkulus
: TSP – 102
: 3 SKS
Integral
Pertemuan - 6
a home base to excellence
• TIU :
 Mahasiswa dapat memahami integral fungsi dan aplikasinya
• TIK :
 Mahasiswa mampu mencari integral fungsi
 Mahasiswa mampu menggunakan integral untuk menghitung
persamaan diferensial orde satu
 Mahasiswa mampu menghitung integral tak tentu dengan teknik
substitusi
 Mahasiswa mampu menghitung luas di bawah kurva
 Mahasiswa mampu menghitung integral dengan menggunakan sifat
integral tertentu, aturan pangkat dan substitusi umum
a home base to excellence
• Sub Pokok Bahasan :
 Integral Tak Tentu
 Persamaan Diferensial Orde Satu
 Notasi Jumlah dan Sigma
 Integral Tentu
 Teorema Dasar Kalkulus
 Integral Tak Tentu dengan Substitusi
Definisi
F adalah anti turunan dari fungsi f pada interval I, jika
Dx(F(x)) = f(x) pada I, F’ x = f(x) untuk semua x dalam I.
Contoh : x4 adalah anti turunan dari 4 x3 sebab Dx(x4)= 4 x3
untuk semua x pada (-,).
Note: x4 + c adalah solusi umum anti turunan dari 4 x3 sebab
Dx(x4+c)= 4 x3 untuk tiap nilai x pada (-,) untuk tiap
konstan c.
Notasi : Anti turunan dari F(x)   F(x)dx
  tanda integral
F(x) integran
Contoh :  4 x3 dx = x4 + c
 Teorema Dasar Integral
x r 1
1.  x dx 
C
r 1
r
untuk semua bilangan rasional r kecuali  1
2.  sin x dx   cos x  C
3.  cos x dx  sin x  C
4.  kf ( x) dx  k  f ( x) dx
5.  [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x) dx   g ( x) dx
r 1
[
(
)]
g
x
6.  [ g ( x)]r g ' ( x) dx 
 C r  -1
r 1
 Contoh :
Temukan anti turunan dari fungsi berikut :
1.  x 4 / 3 dx
6. sin10 x cos xdx
2.  (3 x  4 x)dx



8. x  4  xdx
9. x / 2  3 x dx
7. x  6 x 6 x 2  12 dx
2
3.  (u
3/ 2
 3u  14)du
4.  (1 / t  t )dt
2

5.  x  3 x
4
 4 x
30
3
5
2
10
2
3

 3 dx
2
2
Problem Set 3.8 No. 1 – 42
 Persamaan Diferensial Orde Satu
• Sembarang persamaan dengan sesuatu yang tidak diketahui
adalah berupa fungsi, dan
yang melibatkan turunan
(diferensial) dari fungsi yang tidak diketahui ini, disebut
dengan persamaan diferensial
• Fungsi seperti itu, ketika disubstitusikan ke dalam persamaan
diferensial, menghasilkan sebuah kesamaan yang disebut
solusi dari persamaan diferensial
 Persamaan Diferensial Orde Satu
Contoh :
1. Cari persamaan-xy dari kurva yang melalui (-1,2) dan yang
kemiringannya pada setiap titik pada kurva itu sama dengan
dua kali absis titik itu
2
dy
x

3
x
2. Selesaikan P.D  2 , cari solusi yang memenuhi y = 6
dx
y
bila x = 0
3. Percepatan suatu obyek yang bergerak sepanjang suatu
garis koordinat diberikan oleh a(t) = (2t+3)– 3 dalam m/s2.
Jika kecepatan pada saat t=0 adalah 4m/s, carilah kecepatan
2 detik kemudian
4. Problem Set 3.9 No. 1 – 20
 Notasi Jumlah dan Sigma
Barisan : Sebuah fungsi yang domainnya adalah bilangan bulat
atau suatu himpunan bagian lain dari bilangan bulat.
Contoh : a(n)=n2 atau an=n2 dengan n=1, 2, ,…
 {an}: a1, a2, a3, a4,…= 1, , 9, 16, …
Notasi Sigma :
n
a
i 1
i
4
a
i 1
i
 a1  a 2 ...  an
 a1  a 2  a3  a4
1
1
1 4 1
1 1 1 25
j1 j  1  2  ...  n  j1 j  1  2  3  4  12
n
n
3
i 1
i 1
 c  c  c  ...  c  nc   5  5  5  5  15
 Notasi Jumlah dan Sigma
Kelinieran S :
n
1.
 ca
i 1
i
n
 c  ai
i 1
n
2.
n
n
 a  b   a  b
i 1
i
i
i 1
i
i 1
i
 Notasi Jumlah dan Sigma
Contoh :
100
100
100
i 1
i 1
i 1
1. Andaikan  ai  60 dan  bi  11 hitung  (2ai  3bi  4)
n
2. Tunjukkan  (ai 1  ai )  an 1  an
i 1
 Integral Tentu
• Jumlah Riemann ditafsirkan sebagai jumlah aljabar dari luas
untuk f yang berpadanan dengan partisi P.
n
RP   f  xi xi
i 1
6
 f x x
i 1
i
i
 A1  A2  A3  A4  A5  A6
 Integral Tentu
Contoh :
Hitung jumlah Riemann untuk f(x) = (x+1)(x-2)(x-4) = x3 – 5x2 +
2x + 8 pada interval [0,5] dengan menggunakan partisi P dengan
titik partisi 0 < 1,1 < 2 < 3,2 < 4 < 5 dan titik sampel yang
berpadanan x1  0,5; x2  1,5; x3  2,5; x4  3,6; x5  5
 Integral Tentu
Definisi
Anggap f suatu fungsi yang didefinisikan pada interval tertutup [a,b]. Jika
n
 
lim  f x i xi
P 0
i 1
b
ada, dikatakan bahwa f terintegrasikan pada [a,b]. Lebih lanjut
 f ( x)dx
a
disebut integral tentu (integral Riemann) f dari a ke b, diberikan oleh :
 f ( x)dx  lim  f x x
b
a
n
P 0
i
i 1
i
 Integral Tentu
b
Definisi :
 f ( x)dx menyatakan luas bertanda daerah yang terkurung
a
di antara kurva y = f(x) dan sumbu-x dalam interval [a,b]
b
 f ( x)dx  A
atas
 Abawah
Aatas
a
Abawah
Integral Tentu
Teorema Keintegrasian
Jika f terbatas pada [a,b] dan f kontinu di sana kecuali pada sejumlah titik yang
berhingga, maka f terintegrasikan pada [a,b]. Khususnya, jika f kontinu pada seluruh
interval [a,b], maka f terintegrasikan pada [a,b]
• Sebagai konsekuensi dari teorema ini, fungsi berikut terintegrasikan
pada tiap interval tertutup [a,b] : fungsi polinomial, fungsi sinus dan
kosinus, fungsi rasional, asalkan interval [a,b] tidak memuat titik
yang mengakibatkan penyebut nol.
Teorema Sifat Tambahan Pada Interval
Jika f terintegrasikan pada sebuah interval yang memuat titik a, b, dan c, maka
c
b
c
a
a
b
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
 Teorema Dasar Kalkulus Pertama
Anggaplah f kontinu pada interval tertutup [a,b] dan anggaplah x
sebagai sebuah titik (perubah) pada (a,b). Maka
x

d 
  f ( x)dx   f ( x)
dx  a

Contoh : Selesaikan dengan Teorema Dasar Kalkulus Pertama
x
d  3 
1.   t dt 
dx  0

x

d  t 3/ 2
2.  
dt 
dx  1 t 2  7 
Teorema Dasar Kalkulus Pertama
Kelinearan Integral
Andaikan bahwa f dan g terintegrasikan pada [a,b]
dan bahwa k konstanta. Maka kf dan f+g
terintegrasikan dan :
b
b
a
a
b
b
b
a
a
a
1.  kf ( x)dx  k  f ( x)dx
2.  f  g dx   f ( x)dx   g ( x)dx
 Teorema Dasar Kalkulus Kedua
Anggaplah f kontinu pada interval tertutup [a,b] dan anggaplah F
sembarang anti turunan f pada [a,b], maka
b
 f x dx  F b   F a 
a
Contoh :
2


1.  4 x  6 x 2 dx
1
8


2. x1/ 3  x 4 / 3 dx
1
x
3.Dx  3 sin tdt
0
 Aturan Substitusi untuk Integral Tak Tentu
Jika g adalah fungsi yang terdiferensiasi and anggap F adalah anti
turunan dari f, maka :
 f g x g x dx  F g x   C
/
Contoh :
1. sin 3 xdx
2. x sin x dx
2
3. x 3 x 4  11dx
4
4. x 2  x 2 x  1dx
0
 /4
5.  sin 3 2 x cos 2 xdx
0
 Aturan Substitusi untuk Integral Tentu
Jika g mempunyai turunan kontinu pada [a,b], dan f kontinu pada
range g, maka : b
g (b )
f  g  x g /  x dx 

g (a)
a
x 1
1
Contoh :
1.
0
x
2
 2x  6
 f u du

2
 2 /4
cos x
 x dx
2
 /9
2.
Problem Set 4.4 No. 1 - 52
dx