MODUL 1
advertisement
Modul 1 Gerak dan Gaya Drs.Mulyatno,M.Si . P EN D A H UL UA N D alam modul ini akan kita pelajari beberapa pengertian dasar seperti besaran, satuan dan dimensi, dan juga sifat kuantitatif dari gerak seperti kecepatan, percepatan dan gaya. Dalam ilmu fisika, keadaan suatu benda dideskripsikan secara kuantitatif dalam bentuk persamaan-persamaan matematis. Karena itu sifatsifat benda didefinisikan secara kuantitatif sehingga dapat diukur. Dalam mempelajari sifat kuantitatif dari benda tersebut kita akan mengenal besaran, satuan dan dimensi, dan dengan pengenalan sifat kuantitatif ini kemudian dapat kita kembangkan pengetahuan kita sampai kepada deskripsi keadaan benda. Dalam modul ini, selain akan dibahas bermacam-macam gerak benda juga akan kita pelajari penyebab geraknya , yang dikenal sebagai gaya. Dalam mempelajari gaya, kita akan mengenal hukum-hukum tentang gerak yang dikenal sebagai Hukum Newton. Selanjutnya, Hukum Newton tentang gerak kita kenal sebagai hukum dasar dalam mekanika. Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat : 1. menjelaskan besaran, sistem satuan dan dimensi dalam fisika. 2. menerapkan prinsip-prinsip hitung vektor. 3. menjelaskan konsep gerak, kecepatan dan percepatan. 4. menerapkan konsep gerak, kecepatan, dan percepatan dalam persoalan kinematika. 5. menjelaskan konsep gaya dalam Hukum-Hukum Newton. 6. menerapkan konsep gaya dan Hukum-Hukum Newton dalam persoalan dinamika. 1.2 Fisika Umum I Kegiatan Belajar 1 Besaran, Satuan, dan Dimensi A. Besaran Besaran adalah sifat kuantitatif yang dimiliki oleh benda. Sebagai contoh, jumlah partikel yang terkandung di dalam suatu benda dinyatakan dengan besaran massa, besarnya ruang yang dimiliki (ditempati) oleh massa benda dinyatakan dengan besaran volume, dan sebagainya. Banyak sekali macam besaran yang dimiliki oleh suatu benda, dan kita akan mempelajarinya satu persatu di dalam setiap pokok bahasan di dalam matakuliah Fisika Umum I ini. Dalam mekanika kita kenal ada tiga besaran dasar atau besaran pokok yaitu massa, panjang dan waktu. Besaran-besaran ini sudah biasa kita kenali dalam kehidupan sehari-hari. Pada saat kita menimbang suatu benda, kita sebetulnya sedang mngukur massa benda tersebut. Demikian pula pada saat kita mengukur sesuatu dengan menggunakan mistar (penggaris), kita sedang mengukur panjang dari sesuatu yang kita ukur itu. Dalam mengukur waktu, kita dapat menggunakan arloji (jam) atau stopwatch. Besaran-besaran dasar biasanya dituliskan dengan simbol huruf latin atau huruf Yunani dengan huruf miring (italic). Massa dituliskan dengan simbol m, panjang dengan simbol l dan waktu dengan simbol t. Besaran-besaran lain dapat diturunkan dari besaran dasar sehingga disebut besaran turunan. Masing-masing besaran turunan juga dituliskan dengan satu simbol. Contoh dari besaran turunan adalah kecepatan (v), percepatan (a), gaya (F), energi (E), luas (A), volume (V), dan sebagainya. B. Dimensi Hubungan antara besaran dasar dan besaran turunan dapat diketahui dari definisi yang diberikan pada besaran turunan. Untuk menyatakan hubungan ini dipergunakan analisis dimensi, yaitu suatu cara untuk melihat asal dari suatu besaran turunan. Ada beberapa cara untuk menuliskan simbol dimensi, salah satunya yang akan kita pergunakan dalam modul ini adalah dengan memberi tanda kurung tegak di antara simbol besaran. Sebagai contoh, dimensi dari besaran-besaran dasar kita tuliskan sebagai [m], [l] dan [t]. Setiap besaran turunan dalam mekanika dapat dinyatakan ke dalam dimensi besaran dasar. Sebagai contoh, kita ambil besaran kecepatan, yang 1.3 BIOL4119/MODUL 1 didefinisikan sebagai jarak yang ditempuh persatuan waktu, dimensinya dapat dituliskan sebagai. v l t Demikian pula dengan dimensi luas misalnya, dimana kita ketahui untuk bentuk yang sederhana, seperti empat persegi panjang, luas adalah panjang dikali lebar. Karena panjang dan lebar mempunyai dimensi yang sama yaitu [l], maka dimensi luas dapat dinyatakan sebagai , A l 2 Dalam menuliskan dimensi, angka-angka tidak perlu dituliskan, misalkan untuk luas suatu permukaan bola yang berjari-jari r, besarnya dinyatakan dengan A = 4r , tetapi dimensinya cukup dituliskan sebagai [A] = [l]2. Konsep dimensi juga dipergunakan untuk mengecek suatu persamaan keadaan. Sebagai contoh, misalkan suatu besaran P didefinisikan dalam bentuk Persamaan matematis, 2 P Q Rt St 2 dimana t adalah waktu. Dalam fisika, setiap suku dalam Persamaan tersebut harus mempunyai dimensi yang sama. Jadi, dapat kita tuliskan, P Q Rt S t 2 Jika P misalkan mempunyai dimensi kecepatan, yaitu l t maka dimensi dari Q, R dan S adalah : 1 [Q] [ P] [l ][t ]1 P l / t 1.4 Fisika Umum I [ R] [ P] [l ][t ]1 [l ][t ]2 [t ] [t ] [S ] [ P] [l ][t ]1 [l ][t ]3 [t ]2 [t ]2 Kegunaan lain dari konsep dimensi adalah untuk menurunkan satuan. C. Satuan Setiap besaran fisika mempunyai satuan yang merupakan ukuran dari besaran. Dengan adanya satuan maka besaran-besaran fisika dapat diukur, sehingga dapat dinyatakan secara kuantitatif. Satuan-satuan itu ditetapkan dengan perjanjian oleh sekelompok masyarakat. Karena itu, setiap bangsa atau suku bangsa mempunyai sistem satuan masing-masing. Karena banyaknya sistem satuan di dunia ini, maka diperlukan suatu sistem satuan standar yang berlaku secara internasional. Pada tahun 1960, berdasarkan hasil konferensi internasional tentang satuan, ditetapkan sistem satuan standar yang dikenal sebagai Sistem Internasional (SI). Dalam sistem ini ditetapkan satuan standar dari besaran dasar mekanika adalah : meter (m) untuk satuan panjang, kilogram (kg) untuk satuan massa, detik (s) untuk satuan waktu. Sistem satuan ini diadopsi dari sistem MKS (kependekan dari meter, kilogram, dan second/ detik), yaitu sistem satuan yang sebelumnya sudah dipergunakan di banyak negara. Definisi dari satuan standar sampai saat ini sudah mengalami beberapa kali perubahan. Satu meter mula-mula didefinisikan sebagai panjang yang sama dengan sepersepuluh juta panjang ekuator (garis lintang terbesar pada permukaan bumi). Kemudian, definisi satuan meter Gambar 1-1. mengalami perubahan dan didefinisikan Meter standar, berbentuk batang sebagai panjang yang sama dengan dengan penampang berbentuk huruf x ,tersimpan di Sevres, 1.650.763,73 kali panjang gelombang Perancis. cahaya cerah merah jingga yang (Dari Online Conversion.com) 1.5 BIOL4119/MODUL 1 dipancarkan oleh atom kripton. Definisi yang terbaru dari satu meter adalah panjang yang sama dengan jarak yang ditempuh cahaya di dalam ruang vakum dalam interval waktu 1/299.792.458 detik. Ukuran dari satu meter standar dibuat dari bahan platina-iridium yang salah satunya tersimpan di Biro Pengukuran Internasional di dekat kota Paris, sedangkan beberapa yang lainnya tersimpan di laboratorium-laboratorium yang tersebar di seluruh dunia. Definisi dari satu kilogram mulamula adalah massa yang sama dengan massa satu liter air murni pada o temperatur 20 C dan tekanan 1 atm. Kemudian sesuai dengan perkembangan sains dan teknologi, definisinya berubah menjadi massa yang sama dengan 5,978716 × 1026 kali massa atom hidrogen. Gambar 1-2. Kilogram standar, terbuat dari Definisi dari satu detik mula-mula paltina-iridium, tersimpan di Sevres, adalah interval waktu yang sama dengan Perancis. (Dari Online Conversion.com) 1/86.400 rata-rata satu hari matahari (a mean solar day). Saat ini definisi dari satu detik adalah interval waktu yang sama dengan waktu yang dibutuhkan oleh radiasi dari atom caesium untuk bergetar sebanyak 9.192.637.770 kali. Dalam praktik pengukuran, skala MKS kadang-kadang terlalu kecil atau terlalu besar. Karena itu, diperlukan satuan-satuan lain yang skalanya lebih kecil atau lebih besar. Dalam sistem MKS atau dikenal sebagai Sistem Metrik, penulisan satuan biasanya menggunakan awalan yang menunjukkan 3 kelipatan 10. Sebagai contoh, satu kilogram menunjukkan 10 gram, satu 2 centimeter menunjukkan 10 meter, dan sebagainya. Kata-kata awalan yang biasa dipergunakan dalam sistem metrik diberikan pada Tabel 1.1. Kata-kata awalan itu mengikuti kata meter, gram atau detik sesuai dengan jenis besaran yang diukur. Contohnya adalah kilo-gram, centi-meter, milidetik, dan sebagainya. 1.6 Fisika Umum I Tabel 1.1 Awalan pada Sistem Metrik Awalan Arti Simbol Faktor Awalan Arti Awalan Simbol Faktor Awalan konvensi konvensi Tera Giga Mega Kilo setrilyun semilyar Sejuta Seribu T G M k Hekto Seratus h Deka sepuluh da 10 12 10 9 10 6 10 3 2 10 10 Desi Centi Mili Mikro sepersepuluh seperseratus sepersribu sepersejuta d c m 10 -1 10 -2 10 -3 10 -6 Nano sepersemilyar n 10 -9 Piko sepersetrilyun p 10 -12 Meter, gram, dan detik (second) sebagai satuan diberi simbol m, g dan s. Simbol satuan ditulis dengan huruf tegak. Jadi, simbol satuan standar (SI) 3 adalah m, kg dan s, dimana 1 kg = 10 g (lihat Tabel 1.1). Dari Tabel 1.1 kita ketahui besarnya, 1 m = 10-3 km = 103 mm = … dan seterusnya 6 1 kg = 103 g = 10-6 Gg = 10 mg = ... dan seterusnya 1 s = 10-3 ms = 10-6 s = 10-9 ns = … dan seterusnya. Untuk satuan waktu yang lebih besar dari 60 s biasanya dikonversi terhadap satuan menit, jam, hari, tahun, dan seterusnya, dengan faktor konversi sebagai berikut : 1 tahun = 365,25 hari 1 hari = 24 jam 1 jam = 60 menit 1 menit = 60 detik Penulisan satuan dari besaran turunan dapat ditentukan berdasar-kan analisis dimensi. Berikut ini adalah beberapa contoh penulisan satuan dari besaran turunan, 1.7 BIOL4119/MODUL 1 Besaran Luas Volume Kecepatan Dimensi 2 Satuan (SI) [A] = [l] [V] = [l]3 [v] = [l]/[t] =[l][t] -1 m2 m3 m/s = ms-1 Beberapa satuan dari besaran turunan diberi nama sendiri, biasanya sebagai penghargaan terhadap orang-orang yang telah berjasa besar di bidang fisika. Berikut ini adalah beberapa satuan dari besaran turunan dalam mekanika dengan faktor konversinya, Besaran Gaya Satuan newton dyne Simbol N dyne Konversi ke-SI 1N = 1 kg.m/s2 1 dyne = 105 N Energi joule erg J erg 1 J = 1 Nm 1 erg = 107 J Daya watt W 1 W = 1 J/s Penulisan satuan lain yang tidak mempunyai nama khusus dituliskan berdasarkan analisis dimensinya. Sebagai contoh, besaran momentum (p) didefinisikan sebagai hasil kali antara massa dan kecepatan maka dimensinya adalah : [ p] [m][v] [m][l ][t ]1 sehingga satuannya dalam SI adalah kg.ms-1 . Beberapa besaran turunan dinyatakan dalam besaran spesifik, yaitu dinyatakan persatuan volume atau persatuan massa. Berikut ini adalah beberapa contoh besaran spesifik : Besaran Kerapatan massa Kerapatan energi Simbol = m/V = E/V Satuan kg/m3 J/m3 1.8 Fisika Umum I Kerapatan massa adalah massa persatuan volume, sering disebut massa jenis. Kerapatan energi adalah energi persatuan volume, juga sering disebut energi jenis. Penggunaan satuan harus konsisten, khususnya dalam menyelesaikan masalah fisika. Jika satu besaran kita nyatakan dalam SI maka besaran lainnya harus kita konversi ke satuan SI. Sebagai contoh, misalkan kita akan menghitung besarnya gaya yang menyebabkan sebuah benda yang massanya m = 100 gram dapat bergerak dengan percepatan a = 5 m/s2 , dengan menggunakan rumus F = ma. Jika kita akan menggunakan satuan SI, maka satuan massa harus diubah ke dalam kg, atau m = 100 g = 0,1 kg. Dengan 2 2 demikian, kita dapatkan, F = (0,1 kg)(5 m/s ) = 0,5 kg m/s = 0,5 N. Selain SI ada beberapa sistem satuan lain yang sering dipergunakan, misalkan sistem cgs, yaitu kependekan dari centimeter, gram, dan second, dimana besaran-besaran dasar dinyatakan dalam satuan-satuan ini sebagai satuan standarnya. Sistem satuan yang lain adalah sistem Inggris (British Unit) yang menggunakan satuan standar feet (ft), pound (lb) dan second (s), masing-masing untuk satuan panjang, gaya dan waktu. Kita lihat pada sistem Inggris, gaya yang merupakan besaran turunan, dipakai sebagai standar. Pada sistem ini, massa yang merupakan besaran dasar, satuannya diturunkan dari satuan gaya. Satuan massa pada sistem ini adalah slug. Konversi satuan sistem Inggris terhadap SI adalah sebagai berikut : 1 ft = 0,305 m 1 lb = 4,45 N 1 slug = 14,6 kg Dalam BMP Fisika Umum I ini kita lebih banyak menggunakan satuan SI dalam menyelesaikan masalah-masalah fisika. Karena itu, jika ada penggunaan sistem satuan lain di dalam soal-soal, baik pada Contoh Soal, Latihan maupun Tes Formatif, maka dalam penyelesaian soal akan lebih mudah jika kita konversikan dahulu sistem satuannya ke dalam SI. 1.9 BIOL4119/MODUL 1 D. Ukuran Benda-Benda Ukuran panjang satu meter dalam kehidupan sehari-hari kirakira sama dengan rata-rata tinggi badan anak Sekolah Dasar kelas3. Kelipatan sepuluhnya, yaitu dalam orde puluhan meter kirakira sama dengan rata-rata tinggi pepohonan (tanaman keras). Kemudian, dalam orde ratusan meter kira-kira sama dengan tinggi gedung-gedung pencakar langit. Ukuran jarak atau panjang lainnya dalam skala 10-18 m – 1027 m di alam semesta ini dapat dilihat pada Tabel 1.2. Ukuran waktu yang biasa kita alami adalah detik, menit, jam, hari, bulan dan tahun. Ukuranukuran lainnya, misalkan mikrodetik, satu tahun cahaya, dan sebagainya hanya kita jumpai di laboratorium atau secara teoritis saja. Interval waktu dari beberapa peristiwa di alam semesta ini, dalam skala 10-24 s – 1018 s , dapat dilihat pada Tabel 1.3. Ukuran massa satu kilogram adalah massa dari satu liter air. Kelipatan sepuluhnya, yaitu dalam orde puluhan kilogram adalah massa dari anak-anak sampai orang dewasa. Selanjutnya, dalam orde ratusan kilogram adalah berat hewan-hewan seperti Tabel 1.2 Ukuran Jarak/panjang di alam semesta Meter 1027 Batas pandangan alam semesta 1024 Galaksi terdekat 1021 Radius galaksi kita 1018 Bintang terdekat (alpha centauri) 1 tahun cahaya 1015 Radius orbit Pluto 1012 Jarak Bumi-Matahari 109 Jarak Bumi-Bulan 106 Jarak Anyer-Panarukan 103 Tinggi gunung-gunung di dunia Tinggi manusia 1 1 cm 103 Ukuran kristal garam 6 10 Ukuran virus Radius atom hidrogen 109 12 10 Radius nuklir (inti atom) 1015 Tabel 1.3 Ukuran interval waktu di alam semesta Detik (s) 1018 15 10 1012 9 Umur alam semesta Umur Bumi Manusia pertama Umur piramida 10 Umur hidup manusia 106 1 tahun = 3,156 ´107 s 1 hari = 8,64 ´104 s 103 1 Waktu tempuh cahaya Matahari sampai ke Bumi Interval detak jantung 10-3 -6 Perioda gelombang bunyi 10 Perioda gelombang radio 10-9 Cahaya merambat sejauh 1 ft 10-12 Perioda vibrasi molekul 10-15 Perioda vibrasi atom -18 10 10-21 -24 10 Cahaya merambat sejauh diameter atom Perioda vibrasi nuklir Cahaya merambat sejauh diameter nuklir 1.10 Fisika Umum I kerbau, sapi, kuda,dan sebagainya. Ukuran massa lainnya dalam skala 1030 kg – 1050 kg di alam semesta ini dapat dilihat pada Tabel 1.4. kilogram 1050 1040 E. Ketelitian dan Angka Berarti (Significant Number) 30 Dalam menyajikan angka-angka hasil pengukuran biasanya dituliskan dalam bentuk angka berarti (angka signifikan). Jika mengukur suatu besaran, misalkan panjang suatu benda, dengan menggunakan suatu alat ukur secara berulang-ulang, maka kita dapatkan hasil pengukuran yang tidak tepat sama, atau berbeda-beda, disebabkan oleh ketidak-telitian kita membaca hasil pengukuran. Hasil yang kita sajikan biasanya berupa angka rata-rata diikuti dengan kesalahannya. Misalkan x adalah rata-rata hasil pengukuran dan x adalah kesalahan pengukuran, maka hasil pengukuran dinyatakan dengan x x . Harga x dan x dinyatakan dalam bentuk angka berarti (angka signifikan), atau angka yang dapat dipercaya tingkat ketelitiannya. Dalam mengukur panjang suatu benda dengan menggunakan mistar biasa, tingkat ketelitian yang tertera pada alat adalah mencapai 1 mm. Misalkan dari hasil pengukuran kita dapatkan Tabel 1.4 Ukuran massa di alam semesta Alam semesta Galaksi kita 10 Matahari 1020 Bumi Bulan 1010 Kapal penumpang terbesar 1 1 gram 10-10 10-20 10-30 Tetes air Atom uranium Proton Elektron Gambar 1-3 Model tata surya kita. (Diambil dari http://billchair.wordpress.com) Gambar 1-4 Mikro organisme. (Diambil dari http://educorolla2.blogspot.com) BIOL4119/MODUL 1 1.11 x 217 mm 21,7 cm x 1 mm 0,1 cm , dan maka hasil pengukurannya kita tuliskan sebagai 21,7 0,1 cm , artinya hasil pengukurannya berkisar antara 21,6 cm s.d. 21,8 cm. Hasil perkalian dari dua angka signifikan dituliskan dalam angka signifikan yang paling rendah ketelitiannya. Misalkan kita akan mengalikan dua angka signifikan 21,7 ´ 5,65 maka kita dapatkan hasilnya 122,605 dan kita tuliskan 122,6 sesuai dengan angka signifikan dengan ketelitian yang terendah. F. Panjang Karakteristik dan Kekuatan Organisme Sifat-sifat biologis dari suatu organisme tergantung pada sifat geometrinya seperti panjang, luas, dan volume dari tubuhnya. Untuk bendabenda yang bentuk geometrinya teratur, lebih mudah menghubungkan sifatsifat ini. Untuk melakukan hal itu, kita pergunakan istilah panjang karakteristik (L) dari setiap benda. Untuk benda berbentuk kubus, panjang karakteristiknya adalah panjang rusuknya. Untuk benda berbentuk lingkaran, panjang karakteristiknya adalah jari-jari lingkaran. Selanjutnya, kita ketahui bahwa luas bidang/permukaan benda sebanding dengan L2 dan volume benda sebanding dengan L3. Lebih jauh lagi, jika benda mempunyai kerapatan massa yang homogen maka massanya sebanding dengan L3. Panjang karakteristik dari organisme lebih sulit ditentukan karena bentuknya yang tidak persis seperti kubus atau lingkaran, namun masih dapat ditentukan secara pendekatan. Sebagai contoh, panjang karakteristik untuk manusia dianggap sama dengan tingginya dan untuk seekor anjing kira-kira sama dengan panjang tubuhnya. Salah satu sifat biologis yang berhubungan dengan panjang karakteristik organisme adalah kekuatannya. Seorang manusia dewasa (massanya ≅ 60 kg) hanya mampu mengangkat beban yang beratnya kira-kira sama dengan berat tubuhnya, tetapi seekor belalang (massanya ≅ 1 g) mampu mengangkat beban yang beratnya sampai 15 kali berat tubuhnya. Kunci dari kekuatan ini adalah pada otot-ototnya. Semua otot tersusun dari sekumpulan serat-serat otot. Serat-serat otot ini besarnya hampir sama dan termuat dengan kerapatan yang hampir sama pada otot-otot dari organisme yang berbeda. Kekuatan otot secara pendekatan sebanding dengan banyaknya serat otot yang terkandung di dalamnya. Luas otot pada suatu organisme secara pendekatan sebanding 1.12 Fisika Umum I dengan luas penampang karakteristiknya, sehingga dapat kita katakan bahwa kekuatan organisme ∝ L2 (∝ artinya sebanding). Untuk membandingkan kekuatan dari dua organisme yang berbeda kita bandingkan kekuatan spesifiknya, yaitu kekuatan persatuan massa. Dari pembahasan di atas, kekuatan spesifik dapat dinyatakan dengan, kekuatan L2 1 Kekuatan spesifik = massa L3 L Jika kita misalkan L (manusia) ≅ 160 cm dan L (belalang) ≅ 2 cm maka dapat kita tuliskan Kekuatan spesifik belalang 1 L (belalang) Kekuatan spesifik manusia 1 L (manusia) 1 2 (cm) 1 160 (cm) 160 (cm) 2 (cm) 80 Perkiraan di atas ternyata terlalu besar karena kenyataannya perbandingan kekuatan spesifik antara belalang dan manusia hanya 15. Ini berarti ada faktor lain yang ikut menentukan kekuatan organisme, salah satunya adalah bagaimana organisme dapat memanfaatkan kapasitas ototnya seefisien mungkin. Contoh 1.1 : Besaran percepatan (a) didefinisikan sebagai perubahan kecepatan persatuan waktu. Tuliskan dimensi dan satuan dari percepatan. Penyelesaian : Dari definisi dapat kita tuliskan, a perubahan kecepatan v perubahan waktu t 1.13 BIOL4119/MODUL 1 dengan (delta) menyatakan simbol perubahan. Dimensi dari v adalah dimensi kecepatan dan dimensi dari t adalah dimensi waktu sehingga dapat kita tuliskan [v ] [a] [v][t ]1 [t ] Dari uraian sebelumnya diketahui, [v] [l ][t ]1 sehingga, [a] [l ][t ]1[t ]1 [l ][t ]2 dan berdasarkan dimensinya maka satuan percepatan dalam SI adalah ms-2. Contoh 1.2 : Berdasarkan definisi dari meter standar, perkirakanlah besarnya jejari bumi. Penyelesaian : Kita misalkan bumi berbentuk bola dengan jejari R. Panjang ekuator bumi adalah keliling lingkaran dengan jejari R, L 2R Berdasarkan definisi meter standar, kita dapatkan, 1m L 2R 6 40 ´10 40 ´106 R 4 ´ 107 6,37 ´ 106 m 2 Contoh 1.3 : Diketahui massa jenis air murni (air) besarnya 1 g/cm3. Nyatakan besarnya massa jenis air dalam SI. 1.14 Fisika Umum I Penyelesaian : Kita ketahui, 1 kg = 10 3 g 1 cm = 10 -2 m 1 g = 10 -3 kg 1 cm3 = (10 -2)3 m3 = 10 -6 m3 . Jadi kita dapatkan, air 1 g/cm3 103 kg/m3 103 kg/m3 106 Contoh 1.4 : Berapakah besarnya 1 km jika dinyatakan dalam satuan ft ? Penyelesaian : 1 ft 0,305 m 1 km 103 m 103 ´ 1m 1 ft 0,305 1 ft 3278, 689 ft 0,305 G. Besaran Skalar dan Besaran Vektor Dalam fisika dikenal ada besaran-besaran yang hanya dicirikan oleh besar atau nilainya saja dan ada juga besaran-besaran yang dicirikan dengan besar dan arahnya. Besaran yang hanya mempunyai besar saja dan tidak mempunyai arah dikenal sebagai besaran skalar. Contohnya adalah massa, volume, massa jenis, waktu dan seterusnya. Besaran yang mempunyai besar dan arah dikenal sebagai besaran vektor. Contohnya adalah kecepatan, percepatan, gaya dan seterusnya. Seperti telah dijelaskan sebelumnya, setiap besaran dapat dinyatakan dengan simbol besaran. Untuk membedakan besaran vektor dengan besaran skalar, biasanya besaran vektor dituliskan dengan cetak tebal atau dengan tanda garis diatasnya. Sebagai Contoh, vektor gaya dituliskan dengan simbol F (huruf dengan cetak tebal) atau F (huruf F miring dengan tanda panah di atasnya). Ada kalanya suatu besaran vektor hanya ditinjau besarnya saja sehingga dituliskan seperti simbol besaran skalar. Sebagai Contoh, jika vektor gaya 1.15 BIOL4119/MODUL 1 hanya kita tinjau besarnya saja maka (a) dituliskan dengan simbol F saja (tanpa cetak tebal atau tanda garis di atasnya). Besaran vektor biasanya direpresentasikan dengan (c) (b) gambar, yaitu dengan gambar anak panah Gambar 1.5. seperti pada Gambar 1.5, dimana Gambar 1.5a Representasi vektor dengan menunjukkan vektor tampak dari samping, gambar. Gambar 1.5b menunjukkan vektor tampak dari belakang dengan arah vektor tegak lurus v1 bidang gambar menjauhi kita, dan Gambar v 2 = 2v1 1.5c menunjukkan vektor tampak dari depan (a) dengan arah vektor tegak lurus bidang gambar menuju kita. Dengan menampilkan gambar ini (b) panjang vektor menunjukkan perbandingan v3 = - v1 besar vektor, dan arah panah (ujung vektor) menunjukkan arah vektor. Gambar 1.6. Perbandingan vektor Gambar 1.6 menunjukkan perbandingan dua vektor yang sejenis, masing-masing dengan arah yang sama dan dengan arah yang berlawanan. Vektor yang sejenis maksudnya adalah vektor yang menunjukkan besaran fisika yang sama. H. Vektor Satuan Setiap vektor dapat dituliskan ke dalam vektor satuan-nya. Sebagai contoh, misalkan û adalah vektor satuan yang searah dengan vektor v , dan besar vektor v adalah v maka vektor v dapat dituliskan dalam bentuk. v v uˆ û v = 2uˆ Gambar 1.7. Vektor satuan (1.1) dengan besar vektor satuan u =1. Gambar 1.7 menyatakan vektor satuan û yang searah dengan v . Jadi, vektor satuan dapat dikatakan sebagai vektor yang besarnya (harganya) satu. Vektor satuan dituliskan dengan simbol yang bertanda ‘payung’ di atasnya atau dituliskan dengan huruf tebal. Vektor 1.16 Fisika Umum I satuan pada arah sumbu x, y dan z, biasanya dinyatakan dengan simbol i , j dan k . I. Penjumlahan Vektor Beberapa vektor (sejenis) dapat dijumlahkan sehingga menghasilkan sebuah vektor baru yang dikenal sebagai vektor resultan. Ada beberapa cara penjumlahan vektor, diantaranya adalah dengan metode jajaran genjang dan metode uraian. Di sini kita akan mempelajari kedua metode ini. 1. Metode Jajaran Genjang Menjumlahkan vektor dengan metode ini pada prinsipnya adalah membentuk jajaran genjang dari setiap dua vektor yang akan dijumlahkan, dan diagonal panjangnya menyatakan vektor resultannya. Sebagai contoh, misalkan kita akan menjumlahkan dua buah vektor v1 dan v 2 seperti pada Gambar 1.8. vr v1 O v2 Gambar 1.8. Metode jajaran genjang. Cara menjumlahkan adalah sebagai berikut : 1. Letakkan titik pangkal kedua vektor pada satu titik pangkal (berhimpit) 2. Bentuklah jajaran genjang dengan sisi-sisi sejajarnya adalah vektor v1 dan v 2 3. Tariklah diagonal jajaran genjang melalui titik pangkalnya, dan diagonal ini menunjukkan vektor resultan v r . Vektor resultan tersebut menyatakan hasil penjumlahan antara vektor v1 dan v 2 , atau kita tuliskan, vr v1 v2 (1.2) Besar vektor resultan dinyatakan dengan, vr v12 v2 2 2v1v2 cos (1.3) 1.17 BIOL4119/MODUL 1 dengan v1 dan v2 menyatakan besar vektor v1 dan v 2 , dan adalah sudut yang dibentuk oleh vektor v1 dan v 2 . Jika kita ingin menjumlahkan lebih dari dua vektor maka kita harus membuat jajaran genjang kedua, ketiga, dan seterusnya, dengan vektor-vektor resultan menjadi salah satu sisi jajaran genjang. Sebagai contoh, misalkan kita akan menjumlahkan tiga buah vektor v1 , v 2 , v3 seperti pada Gambar 1.9. Dengan metode jajaran genjang untuk penjumlahan vektor v1 dan v 2 kita dapatkan vektor resultan v r1 v1 v2 vr 2 O v3 Gambar 1.9. Penjumlahan 3 buah vektor dengan metode jajaran genjang. v r1 . Selanjutnya, dengan cara yang sama kita jumlahkan vektor v r1 dengan v3 menghasilkan vektor resultan vr 2 . Jadi dapat kita tuliskan, vr1 v1 v2 (1.4) vr 2 vr1 v3 v1 v2 v3 (1.5) dengan besar vektornya, vr1 v12 v22 2v1v2 cos 1 (1.6) vr 2 vr21 v32 2vr1v3 cos 2 (1.7) dengan 1 adalah sudut antara v1 dan v2 , dan 2 adalah sudut antara vr1 dan v3 . Dengan cara yang sama kita dapat menjumlahkan banyak vektor dengan metode jajaran genjang. Penjumlahan vektor dapat pula berupa pengurangan vektor. Jika vektor v r merupakan hasil pengurangan vektor v1 dengan v 2 maka dapat kita tuliskan, 1.18 Fisika Umum I vr v1 v2 v1 (v2 ) vr v1 v 2 (1.8) dengan vektor v2 adalah vektor yang besarnya sama dengan v2 tetapi arahnya o berlawanan (berbeda 180 ) dengan vektor v 2 . Gambar 1.10 menunjukkan v1 -v2 Gambar 1.10. Pengurangan vektor. dinyatakan dengan, v2 vr = v1 v2 Gambar1.11. Dua vektor sejajar Dari Persamaan (1.9) kita dapatkan bentuk khusus jika besarnya 0o, 90o, 180o, dan seterusnya. Untuk = 0o, artinya vektor v1 dan v2 sejajar atau berhimpit, maka cos = 1 sehingga besar vektor resultannya v1 v2 (1.10) Untuk = 90o , artinya vektor v1 dan v2 saling tegak lurus, maka cos = 0, sehingga besar vektor resultannya, vr v12 v22 v1 (1.9) dengan adalah sudut antara vektor v1 dan v2 . vr v12 v22 2v1v2 v2 O pengurangan vektor yang dinyatakan oleh Persamaan (1.8). Dari Gambar tersebut besar vektor v r dapat vr v12 v22 2v1v2 cos (1.11) vr = v12 v22 v2 O v1 Gambar1.12. Dua vektor saling tegak lurus. 1.19 BIOL4119/MODUL 1 Untuk = 180o , artinya vektor v1 dan v2 saling tegak lurus, maka cos = 1, sehingga besar vektor resultannya, vr v12 v22 2v1v2 v2 (1.12) v1 v2 vr = v1 - v2 O v1 Gambar1.13. Dua vektor berlawanan arah. dengan tanda harga mutlak menunjukkan bahwa besar vektor selalu berharga positif. 2. Metode Uraian Kita ketahui bahwa dua buah vektor dapat dijumlahkan dan menghasilkan sebuah vektor baru yang disebut vektor resultan. Secara logika kita dapat menganggap setiap vektor sebagai vektor resultan yang dapat diuraikan ke dalam komponen-komponennya. Gambar 1.14 menunjukkan penguraian sebuah vektor ke dalam komponen-komponennya. Gambar 1.14a menunjukkan uraian vektor v ke dalam komponen-komponennya pada arah sembarang. Vektor v1 dan v 2 adalah komponen dari vektor v . v v2 O v1 (a) y v vy O vx x (b) Gambar 1.14. Uraian vektor : (a) pada sembarang arah (b) pada arah sumbu - x dan y Gambar 1.14b menunjukkan uraian vektor v pada sistem koordinat Cartesian dengan v x dan v y masing-masing adalah vektor komponen pada arah sumbu - x dan y. Vektor v dapat dinyatakan sebagai, 1.20 Fisika Umum I v vx v y (1.13) Jika i dan j menyatakan vektor-vektor satuan pada arah sumbu x dan y, maka komponen vektor v dapat kita tuliskan sebagai vx vx i dengan vx dan v y dan v y vy j (1.14) masing-masing menyatakan besar vektor v x dan v y . Jadi, dengan menggunakan vektor satuan dapat kita tuliskan v vx i vy j (1.15) Jika vektor v arahnya membentuk sudut terhadap sumbu x positif maka besarnya vektor komponen dapat dinyatakan dengan vx v cos (1.16) vy v sin (1.17) dengan v adalah besar vektor v . Dengan metode uraian kita dapat menjumlahkan beberapa vektor dengan terlebih dahulu menguraikan masing-masing vektor ke dalam komponennya pada arah sumbu – x dan y. Sebagai contoh, misalkan kita akan menjumlahkan dua buah vektor v1 dan v2 seperti pada Gambar 1.15. Cara menjumlahkannya adalah sebagai berikut : y vr vry v2 y v2 v1 v1 y O v2 x v1x vrx x Gambar 1.15. Penjumlahan dua buah vektor dengan metode uraian 1) Uraikan vektor v1 dan v2 ke dalam komponennya pada arah sumbu - x dan y, sehingga kita dapatkan vektor komponen v1x , v1 y , v2 x dan v2 y . Jika 1 dan 2 adalah sudut-sudut 1.21 BIOL4119/MODUL 1 v1 dan v2 terhadap sumbu – x, maka besar komponen vektor v1 dan v2 adalah : antara v1x v1 cos 1 , v1 y v1 sin 1 v2 x v2 cos 2 , v2 y v2 sin 2 2) Jumlahkan vektor-vektor komponen pada arah sumbu x sehingga dihasilkan vektor resultan pada arah sumbu – x, vrx v1x v2 x (1.18) dengan besar vektor vrx v1x v2 x (1.19) 3) Jumlahkan vektor-vektor komponen pada arah sumbu - y sehingga dihasilkan vektor resultan pada arah sumbu – y, vry v1 y v2 y (1.20) dengan besar vektor, vry v1 y v2 y (1.21) 4) Vektor resultan v r didapat dengan menjumlahkan vektor resultan vrx dan vry dengan metode jajaran genjang, vr vrx vry (1.22) dengan besar vektor, vr vrx2 vry2 Arah vektor resultan terhadap sumbu - x positif adalah, (1.23) 1.22 Fisika Umum I tan r vry (1.24) vrx atau, vry vrx r tan 1 (1.25) Secara umum, jika kita akan menjumlahkan n buah vektor, misalkan v1 , v2 , v3 , . . . , vn maka besar vektor resultan pada arah sumbu - x dan y dapat dinyatakan dengan, n vrx v1x v2 x . . . vnx vix (1.26) i 1 atau, n vry v1 y v2 y . . . vny viy (1.27) i 1 Contoh 1.5 : Dua buah vektor yaitu v1 dan v2 membentuk sudut , dan besar masingmasing vektor adalah v1 4 satuan dan v2 6 satuan . Gambarkan dengan metode jajaran genjang dan tentukan besarnya : o a. v1 v2 untuk = 60 b. v1 v2 untuk = 120 c. v1 v2 untuk = 60 d. v1 v2 untuk = 120 o o o Penyelesaian : Dengan metode jajaran genjang dapat kita tentukan resultannya sebagai berikut: 1.23 BIOL4119/MODUL 1 a) vr v12 v22 2v1v2 cos 4 6 2(4)(6) cos 60 2 . 2 v2 vr o 8, 72 satuan 60o v1 b) vr v12 v22 2v1v2 cos vr v2 42 62 2(4)(6) cos120o 5, 29 satuan 60o v1 v2 c) vr v12 v22 2v1v2 cos 42 62 2(4)(6) cos 60o 5, 29 satuan 60o v1 -v2 d) vr v12 v22 2v1v2 cos 42 62 2(4)(6) cos120o 8, 72 satuan vr v2 120o v1 vr -v2 Gambar 1.16. Contoh penerapan metode jajaran genjang. Contoh 1.6 : o Tiga buah vektor v1 , v2 dan v3 , masing-masing membentuk sudut 30 , 120 o o dan 210 terhadap sumbu - x positif, dan besarnya adalah v1 4 satuan , 1.24 Fisika Umum I v2 2 satuan dan v3 3 satuan . Tentukan besar dan arah vektor resultan dengan metode uraian. Penyelesaian : Dengan metode uraian kita dapatkan, y v2 v1 v1 y v2 y 120o v3x 210 30o o vrx v2 x v1x v ry vr v3 y v3 Gambar 1.17 Contoh penerapan metode uraian. v1x v1 cos30o (4)(0,87) v1 y v1 sin 30 (4)(0,5) o 3, 46 satuan 2 satuan v2 x v2 cos120 (2)(0,5) v2 y v2 sin120 (2)(0,87) 1, 73 satuan o o 1 satuan v3 x v3 cos 210 (3)(0,87) 2,59satuan o v3 y v3 sin 210o (3)(0,5) 1,5 satuan Besar vektor resultan pada arah sumbu - x dan y adalah : vrx v1x v2 x v3 x 3, 46 1 3,85 1,39 satuan vry v1 y v2 y v3 y 2 1, 73 1, 75 1,98 satuan x 1.25 BIOL4119/MODUL 1 Besar vektor resultannya adalah : vr vrx2 vry2 (0,13)2 (2, 23)2 2, 23 satuan Arah vektor resultan (terhadap sumbu - x positif) adalah tan vry vrx 2, 23 -0,13 - 17,15 tan 1 -17,15 8, 66o 273,33o Contoh 1.7 : Dua buah vektor pada sistem koordinat kartesian dinyatakan dengan, v1 3i 4 j dan v2 i 2 j . Tentukan vektor resultan dari v1 v2 dalam vektor satuan i dan j . Penyelesaian : y v1 j i x v2 Gambar 1.18 Contoh penerapan metode uraian dengan vector satuan. v1 3 i 4 j v1x 3 , v1 y 4 v2 i 2 j v2 x 1 , v2 y 2 1.26 Fisika Umum I vrx v1x v2 x 3 1 4 vry v1 y v2 y 4 2 2 vr v1 v2 vrx i vry j 4 i 2 j J. Perkalian Vektor Perkalian vektor yang sudah kita kenal dari pembahasan sebelumnya adalah perkalian vektor dengan skalar. Suatu vektor v1 jika dikalikan dengan skalar k akan menghasilkan vektor baru, misalkan v 2 , yang panjangnya (besarnya) k kali panjang vektor v1 , dan arahnya sama dengan arah v1 jika k positif, atau berlawanan dengan arah v1 v1 v2 = 3v1 v3 = - 2v1 Gambar 1-19. Perkalian vektor dengan skalar. jika k negatif. Gambar 1.19 menunjukkan contoh perkalian vektor dengan skalar. Selain perkalian vektor dengan skalar, dalam perkalian vektor juga dikenal perkalian antara vektor dan vektor. Ada dua macam perkalian vektor dengan vektor yaitu perkalian titik (dot product) dan perkalian silang (cross product). Perkalian titik menghasilkan suatu skalar, dan karena itu perkalian ini disebut juga produk skalar (scalar product). Perkalian silang menghasilkan vektor baru dan karenanya perkalain ini disebut juga produk vektor (vektor product). Perkalian titik antara dua buah vektor A dan B didefinisikan sebagai : A B AB cos (1.28) dengan A dan B adalah besar masing-masing vektor, dan adalah sudut yang dibentuk oleh kedua vektor. Jika kita perhatikan, A cos adalah panjang proyeksi vektor A pada vektor B . Jadi, A B dapat kita katakan sebagai hasil perkalian antara panjang proyeksi vektor A pada vektor B , dengan panjang vektor B . Besaran fisika yang dihasilkan dari hasil perkalian titik dari dua besaran vektor contohnya adalah kerja (usaha), yang diberi symbol W. Kerja adalah 1.27 BIOL4119/MODUL 1 hasil perkalian titik antara vektor gaya (F) dan vektor perpindahan/lintasan (s). Jadi, dapat dituliskan W = F s Fs cos dengan W adalah besaran scalar. F A A cos B (a) F cos s (b) Gambar 1-20. (a) Perkalian titik menghasilkan scalar. (b) Kerja adalah hasil perkalian titik antara gaya dengan lintasan. Perkalian silang antara vektor A dan B didefinisikan sebagai : A ´ B AB sin . u (1.29) dengan u adalah vektor satuan yang arahnya tegak lurus vektor A dan B . Besar vektor A ´ B adalah : A ´ B AB sin (1.30) Gambar 1.21a menunjukkan hasil perkalian silang antara dua vektor A dan B. Besaran fisika yang dihasilkan dari hasil perkalian silang dari dua besaran vektor contohnya adalah momen gaya (). Momen gaya adalah hasil perkalian silang antara vektor jarak (r) dan vektor gaya (F). Jadi, dapat dituliskan, τ = r ´ F rF sin .u dengan adalah besaran vektor yang searah dengan vektor satuan u , yaitu tegak lurus vektor r dan F. 1.28 Fisika Umum I =rxF C = Ax B B F r sin A r (b) -C = B x A (a) Gambar 1-21. (a) Perkalian silang menghasilkan vektor yang vector A dan B. (b) Momen gaya merupakan hasil perkalian silang antara vektor jarak dengan gaya. Dalam menentukan arah A ´ B atau B ´ A dipergunakan aturan sekrup kanan atau aturan tangan kanan. Dengan aturan sekrup kanan perkalian silang diandaikan dengan pemasangan sekrup. Jika sekrup kita putar kekanan maka sekrup akan bergerak maju. Perkalian silang A ´ B diandaikan sebagai perputaran kekanan vektor A ke vektor B sehingga A ´ B seperti arah gerak sekrup jika diputar kekanan. Analogi ini digambarkan seperti pada Gambar 1.22a. Aturan tangan kanan pada prinsipnya sama dengan aturan sekrup kanan. Dengan posisi tangan kanan seperti pada Gambar 1.22b, dimana perkalian silang digambarkan sebagai gerak mengepal jari-jari tangan (kecuali ibu jari) sedangkan arah ibu jari menunjukkan arah vektor hasil perkalian silangnya. Dari gambar 1.22a kita ketahui bahwa arah vektor A ´ B berlawanan dengan arah B ´ A , atau kita tuliskan, A ´ B = -B ´ A (1.31) sedangkan besar vektornya sama yaitu AB sin , dimana adalah sudut antara vektor A dan B . 1.29 BIOL4119/MODUL 1 (a) (b) Gambar 1-22. (a) Sekrup kanan (b) Aturan tangan kanan. Contoh 1.8 : Dua buah vektor, yaitu v1 dan v2 masing-masing besarnya 2 satuan dan 3 satuan, dan keduanya membentuk sudut 60o. a. Tentukan besarnya v1 v2 b. Tentukan besar dan arah dari v1 ´ v2 Penyelesaian : Dari soal diketahui v1 2 satuan, v2 3 satuan dan 60o. a. Kita pergunakan Persamaan (1.28) : v1 v2 v1v2 cos 2 3 cos 60o 3 satuan v1 60o v2 (a) b. Kita pergunakan Persamaan (1.30) v1 ´ v2 v1v2 sin 2 3 sin 60o 3 3 satuan Arah v1 ´ v2 adalah seperti pada gambar. v1 x v2 v2 60 o (b) v1 1.30 Fisika Umum I Contoh 1.9 : Besar vektor hasil perkalian titik dan perkalian silang antara dua vektor v1 dan v2 adalah sebagai berikut : v1 v2 = 3 satuan v1 ´ v2 = 2 satuan Tentukan besarnya sudut antara kedua vektor tersebut. Penyelesaian : Dari persamaan (1.28) dan (1.30) dapat kita tuliskan, v1 v2 v1v2 cos 3 v1 ´ v2 v1v2 sin 2 Dengan membagi kedua persamaan ini kita dapatkan, v1 ´ v2 v1 • v2 sin 2 tan cos 3 tan 1 32 33, 69o Catatan : Dalam operasi penjumlahan vektor, dimana vektor-vektornya merepresentasikan besaran fisika, maka hanya vektor-vektor yang sejenis yang dapat dijumlahkan, misalkan antara sesama vektor kecepatan, sesama vektor gaya, dst. Dalam operasi perkalian vektor kita dapat mengalikan dua buah vektor yang sejenis maupun yang tidak sejenis. Sebagai contoh kita dapat mengalikan dua buah vektor panjang sehingga menghasilkan vektor luas, atau kita dapat mengalikan vektor panjang/jarak ( r ) dengan vektor gaya ( F ) dengan perkalian silang sehingga menghasilkan vektor momen gaya ( ), atau dengan perkalian titik sehingga menghasilkan besaran skalar yaitu kerja (W). BIOL4119/MODUL 1 1.31 L AT IH A N 1 Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Berapakah faktor konversi dari cm3 ke in3 (inchi kubik) jika diketahui 1cm = 0,3937 in. Berapakah faktor konversinya jika kita akan mengkonversi dari in3 ke cm3? 2) Besaran gaya didefinisikan sebagai perkalian antara massa dan percepatan. Tentukan dimensi gaya. 3) Sebuah balok mempunyai ukuran panjang 16 cm, lebar 4 cm, dan tebal 1 cm, dan massanya 200 g. Tentukan massa jenis balok dalam sistem cgs dan SI. 4) Diketahui dua vektor A dan B dengan besar vektor A = 3 satuan dan B = 5 satuan. Kedua vektor membentuk sudut 30o. 5) Tentukan : a. A B b. A B c. B A d. B A dengan metode jajaran genjang, dan tentukan besar vektornya. 6) Dua buah vektor v1 dan v2 membentuk sudut 45o dan besar masingmasing vektor v1 3 satuan dan v2 4 satuan . a. Tentukan besarnya v1 v2 b. Tentukan besar dan arah dari v1 ´ v2 Petunjuk Penyelesaian Latihan 1) Jika 1 cm = 0,3937 in, maka 1 cm3 = (0,3937)3 in3 0,061 in3 Jadi faktor konversinya 0,061. Dengan cara yang sama dapat ditentukan faktor konversi dari in3 cm3. 1.32 Fisika Umum I 2) Berdasarkan definisinya, dimensi gaya dapat dituliskan sebagai, F ma ml t 2 , karena a l t . 2 3) Massa jenis () adalah, m V untuk balok, volumenya adalah V = panjang ´ lebar ´ tebal Jadi, massa jenis dapat ditentukan. 4) Untuk pertanyaan a) dan b) lihat Contoh 1.5. Untuk pertanyaan c) dan d), misalkan vektor A 2 A (vektor yang searah dengan A dan panjangnya 2A), maka 2 A B A B , demikian pula 2 A B A B , kemudian kerjakan seperti Contoh 1.5. 5) Lihat Contoh 1.8. R A NG K UM A N Besaran adalah sifat kuantitatif dari suatu benda/sistem. Dalam mekanika dikenal tiga besaran dasar yaitu panjang, massa, dan waktu. Besaran lainnya merupakan turunan dari besaran-besaran dasar tersebut. Dimensi adalah cara menyatakan besaran ke dalam besaran dasarnya. Satuan adalah ukuran dari besaran. Satuan besaran dasar menurut SI adalah kilogram (kg) untuk satuan massa, meter (m) untuk satuan panjang dan detik (s) untuk satuan waktu. Besaran skalar adalah besaran yang hanya mempunyai besar dan tidak mempunyai arah. Besaran vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Besaran-besaran vektor dapat dijumlahkan dengan menggunakan metode jajaran genjang maupun dengan metode uraian. Dua buah vektor dapat dikalikan dengan perkalian titik (dot product) dan perkalian silang (cross product). Perkalian titik menghasilkan sebuah besaran skalar, dan 1.33 BIOL4119/MODUL 1 perkalian silang menghasilkan sebuah vektor baru dengan arah kedua vektor asal. T E S F OR MA TIF 1 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Massa jenis adalah massa persatuan volume. Dimensi dari massa jenis adalah : A. B. ml 3 ml 2 C. D ml 3 ml 2 2) Sebuah papan mempunyai ukuran panjang 4 m, lebar 30 cm, dan tebal 25 mm. Volume papan tersebut adalah : A. 3 m3 C. 0,03 m3 3 B. 0,3 m D. 0,003 m3 3) Dua buah vektor besarnya masing-masing 2 satuan dan 3 satuan. Jika kedua vektor dijumlahkan dihasilkan vektor resultan yang besarnya 4 satuan. Besarnya sudut antara kedua vektor adalah : A. 75,5o C. 15,5o o B. 65,5 D. 45,5o 4) Dua buah vektor besarnya masing-masing 4 satuan dan 6 satuan, dan masing-masing membentuk sudut 30o dan 60o terhadap sumbu - x positif pada sistem koordinat Cartesian. Jika kedua vektor dijumlahkan dengan cara uraian maka komponen resultan pada arah sumbu - x besarnya . . . A. 2 3 3 satuan C. 3 2 3 satuan B. 2 3 2 satuan D. 3 2 2 satuan 5) Dari soal No.4), komponen resultan pada arah sumbu - y besarnya . . . A. 2 3 3 satuan C. 3 2 3 satuan B. 2 3 2 satuan D. 3 2 2 satuan 6) Dari soal No.4), besarnya vektor resultan adalah: A. 9,72 satuan C. 5,28 satuan B. 7,93 satuan D. 3,92 satuan 1.34 Fisika Umum I 7) Dua buah vektor besarnya masing-masing 4 satuan dan 5 satuan, dan keduanya mem-bentuk sudut 60o. Hasil perkalian titik kedua vektor tersebut adalah : A. 20 satuan C. 10 satuan B. 20 3 satuan D. 10 3 satuan 8) Dari soal No.7), hasil perkalian silang kedua vektor besarnya . . . A. 20 satuan C. 10 satuan B. 20 3 satuan D. 10 3 satuan Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1. Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar ´ 100% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan : 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila Anda mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai. 1.35 BIOL4119/MODUL 1 Kegiatan Belajar 2 Kinematika Gerak Satu dan Dua Dimensi P ada Kegiatan Belajar 2 ini kita akan mempelajari tentang gerak benda tanpa memandang penyebab geraknya. Pembahasan ini dikenal sebagai kinematika. Pembahasan tentang gerak dengan memperhitungkan penyebab geraknya dikenal sebagai dinamika, yang akan kita pelajari pada kegiatan belajar berikutnya. Dalam pembahasan kinematika dan dinamika, khususnya untuk Modul 1 dan 2, bentuk dan ukuran benda (yang kita bahas) diabaikan, dan setiap benda dianggap sebagai benda titik sampai nanti kita mempelajari mekanika benda tegar pada Modul 3, dimana kita akan mempelajari bentuk dan ukuran benda berpengaruh pada sifat gerak benda. Pembahasan tentang gerak dalam mekanika pada pokok bahasan ini kita batasi hanya pada gerak satu dan dua dimensi. Pada pembahasan tentang gerak dua dimensi kita akan mempelajari gerak lengkung pada bidang datar, diantaranya, adalah gerak peluru dan gerak melingkar. Di samping itu, sebagai penerapan dari apa yang telah kita pelajari pada kegiatan belajar sebelumnya, yaitu tentang vektor, kita juga akan mempelajari tentang gerak relatif. A. Gerak dan Kerangka Acuan Gerak adalah perubahan posisi pada suatu kerangka acuan. Pada dasarnya kita bebas menentukan kerangka acuan, tetapi untuk memudahkan menganalisa sebaiknya kita memilih kerangka acuan yang sederhana. Sistem koordinat Cartesian dapat kita pilih sebagai kerangka acuan. Dalam sistem koordinat ini, posisi suatu benda dinyatakan sebagai satu titik koordinat, dan perubahan posisi benda adalah perubahan koordinatnya. Gambar 1.23 merepresentasikan perubahan posisi benda dari titik y (x1 , y1 ) y1 (x2 , y2 ) y2 x1 x2 Gambar 1-23. Perubahan posisi pada sistem koordinat kartesian. x 1.36 x1 , y1 Fisika Umum I ke titik x2 , y2 pada sistem koordinat Cartesian. B. Kecepatan dan Percepatan Marilah kita pandang gerak benda pada satu lintasan lurus, misalkan gerak sepanjang sumbu-x seperti pada Gambar 1.24. Titik-O merupakan titik acuan. Misalkan benda bergerak melalui titik A dan B. Ketika benda melalui titik A, yang berjarak x1 dari titik-O, kita catat waktu tempuhnya t1 . Kemudian ketika melalui titik B, yang berjarak x2 dari titik-O, kita catat waktu tempuhnya t2 . Jadi dalam selang waktu t t2 t1 benda menempuh jarak x x2 x1 . Kecepatan rata-rata benda v dalam selang waktu t didefinisikan sebagai, v x t (1.32) O x1 B A x x2 Gambar 1-24. Gerak sepanjang sumbu - x Jika selang waktu t sangat kecil, atau t 0, maka benda dapat dianggap belum beranjak dari tempatnya sehingga kecepatan rata-ratanya dapat dianggap sebagai kecepatan sesaat, yaitu kecepatan pada saat benda mulai diamati. Karena itu, kecepatan sesaat v dapat didefinisikan sebagai, v lim t 0 x t (1.33) Persamaan (1.33) dapat dinyatakan dalam bentuk diferensial, v dx dt (1.34) 1.37 BIOL4119/MODUL 1 dan Persamaan (1.34) menyatakan bahwa kecepatan (sesaat) merupakan turunan pertama dari lintasan (perpindahan/perubahan posisi) terhadap waktu. Satuan dari kecepatan adalah satuan panjang (jarak) persatuan waktu. Dalam SI satuannya adalah meter perdetik (m/s). Secara umum perubahan lintasan dinyatakan dengan s, dan kecepatan rata-rata serta kecepatan sesaat dinyatakan dengan : v s t v lim t 0 (1.35) s ds t dt (1.36) Jadi, secara matematis dapat kita katakan bahwa kecepatan adalah turunan pertama lintasan terhadap waktu. Satuan kecepatan menurut SI adalah meter per second (m/s). v1 O v2 A B x t Gambar 1-25. Gerak sepanjang sumbu – x dengan perubahan kecepatan. Apabila kecepatan suatu benda tidak konstan artinya berubah terhadap perubahan waktu maka dikatakan benda mengalami percepatan. Gambar 1-25 menunjukkan gerak sepanjang sumbu-x dengan perubahan kecepatan. Pada saat t1 benda berada di titik A dengan kecepatan v1 dan pada saat t2 benda berada di titik B dengan kecepatan v2 , maka dalam selang waktu t t2 t1 besarnya perubahan kecepatan adalah v v2 v1 . Percepatan rata-rata a dalam selang waktu t didefinisikan sebagai : a v t (1.37) 1.38 Fisika Umum I dan jika t sangat kecil, atau percepatan sesaat, t 0, maka percepatan rata-rata menjadi v t 0 t a lim (1.38) atau dalam bentuk diferensial, a dv dt (1.39) Jadi, dapat kita katakan bahwa percepatan adalah turunan pertama kecepatan terhadap waktu. Satuan percepatan menurut SI adalah meter persecond kuadrat (m/s2). Dari pembahasan di atas kita ketahui bahwa jika lintasan gerak suatu benda diketahui maka dapat ditentukan kecepatan dan percepatannya dengan menggunakan Persamaan (1.36) dan (1.39). Sebaliknya, kita juga dapat menentukan kecepatan atau lintasan suatu benda jika diketahui percepatan atau kecepatannya, yaitu dengan cara mengintegrasi percepatan atau kecepatan terhadap t. v a dt (1.40) s v dt (1.41) Contoh 1.10 : Seorang pengendara mobil mengamati perubahan penunjukan kilometer pada speedometer terhadap waktu sebagai berikut : Pk. Km a. b. c. d. 01.30 120 01.50 140 02.40 150 03.40 200 03.45 200 03.55 205 04.05 215 Buatlah grafik jarak tempuh terhadap waktu dari data-data tersebut. Tentukan besarnya kecepatan rata-rata pada setiap subinterval waktu Apa yang terjadi pada pk. 03.42 ? Tentukan kecepatan rata-rata untuk seluruh selang waktu 1.39 BIOL4119/MODUL 1 Penyelesaian : a. Untuk lebih memudahkan menggambar grafiknya maka data waktu kita ubah dahulu, yaitu dari ‘pk. Berapa’ ke ‘menit ke berapa’ dengan mengambil pk 1.30 sebagai menit ke nol, dan kita dapatkan : mnt Km 0 120 20 140 70 150 130 200 135 200 145 205 155 215 Grafik x terhadap t adalah sebagai berikut : 220 200 x 180 160 140 120 0 50 100 150 200 Gambar 1.26 Grafik perubahan gerak suatu benda. b. Untuk menghitung kecepatan rata-rata pada setiap subinterval kita buat tabel sebagai berikut: i 1 2 3 4 5 6 7 xi (km) 120 140 150 200 200 205 215 t (jam) 1.30 1.50 2.40 3.40 3.45 3.55 4.05 x (km) 20 10 50 0 5 10 t (jam) 1/3 5/6 1 1/12 1/6 1/6 v x t (km/jam) 60 12 50 0 30 60 1.40 c. Fisika Umum I Dari grafik terlihat jarak tempuh mobil antara Pk. 03.40 sampai dengan Pk. 03.45 tetap, dan dari tabel terlihat pada interval tersebut kecepatan rata-ratanya nol, artinya mobil berhenti pada interval waktu tersebut. Jadi pada Pk.03.42 mobil berhenti. d. Selang waktu total t 2 jam 35menit 2 127 jam Jarak tempuh total x = 95 km Kecepatan rata-rata total v x 95 7 36, 77 km/jam t 2 12 Contoh 1.11 : Seseorang mengukur kecepatan suatu benda dalam selang waktu 10 s. Pada t 0 kecepatan benda 20 cm/s dan pada t = 10 s kecepatan benda 100 cm/s. Berapa besar percepatan rata-rata benda dalam selang waktu tersebut? Penyelesaian: Dari soal diketahui, t1 = 0 , v1 = 20 cm/s t2 = 10 s , v2 = 100 cm/s Percepatan rata-rata, a v (100 20) cm/s 2 8 cm/s 2 t (10 0) Contoh 1.12 : Seorang anak mampu mengayuh sepeda dengan percepatan rata-rata 12 m/menit2. Jika ia mula-mula diam, berapakah kecepatannya bersepeda setelah 10 menit? Penyelesaian : Dari soal diketahui, BIOL4119/MODUL 1 t1 = 0 t2 = 10 menit a 1.41 , v1 = 0 , a = 12 m/menit 2 v v2 v1 t t atau, v2 v1 a.t 0 (12)(10) m/menit 120 m/menit C. Gerak Satu Dimensi Gerak satu dimensi adalah vt v0 gerak dengan lintasan berupa garis lurus. Karena itu gerak satu x B A O dimensi sering digambarkan sebagai gerak sepanjang sumbu s0 st koordinat, yaitu sumbu-x atau sumbu-y. Selanjutnya, gerak satu Gambar 1.27. Gerak lurus berubah beraturan dimensi dikenal sebagai gerak lurus. Ditinjau dari percepatan-nya, gerak lurus dibedakan menjadi : 1) Gerak lurus beraturan (GLB), yaitu jika percepatannya nol (a = 0). 2) Gerak lurus berubah beraturan (GLBB), yaitu jika percepatannya konstan (a = konstan, a 0). 3) Gerak lurus berubah tidak beraturan, yaitu jika percepatannya tidak konstan, atau merupakan fungsi dari waktu (a = a(t)) Gerak lurus berubah beraturan dicirikan dengan percepatan yang konstan. Dengan menggunakan Persamaan (1.40) dan (1.41) dapat diturunkan Persamaan-persamaan geraknya, a = konstan vt v0 at (1.42) dengan vt menyatakan kecepatan pada saat t , v0 adalah kecepatan awal, yaitu kecepatan pada saat t = 0, dan t adalah waktu tempuh. Dengan cara yang sama dapat juga kita turunkan persamaan untuk lintasan : 1.42 Fisika Umum I st s0 v0t 12 at 2 (1.43) dengan st menyatakan lintasan gerak, atau jauh jalan yang ditempuh, pada saat t dan s0 adalah lintasan awal, yaitu lintasan benda pada saat t = 0. Pada umumnya jika di dalam soal-soal tidak disebutkan harga s0, maka kita anggap s0 = 0. Percepatan (a) dapat berharga (+) atau ( ). Jika a berharga () dikatakan gerak diperlambat, dan a disebut sebagai perlambatan. Gerak lurus beraturan adalah keadaan khusus dari gerak lurus berubah beraturan, yaitu jika a = 0, sehingga kita dapatkan Persamaan geraknya, vt v0 konstan (1.44) st v0t (1.45) Jadi, gerak lurus beraturan adalah gerak dengan kecepatan yang selalu konstan. Contoh 1.13 : Sebuah benda bergerak lurus dengan kecepatan awal 12 m/s dan dengan percepatan konstan 3 m/s2. Tentukan kecepatan dan lintasannya setelah bergerak selama 8 s. Penyelesaian : Dari soal diketahui v0 12 m/s , a 3 m/s2 dan karena tidak disebutkan maka s0 0 . Untuk t = 8 s , kita dapatkan, vt v0 at 12 (3)(8) m/s 36 m/s dan, st s0 v0t 12 at 2 0 (12)(8) 12 (3)(82 ) m 192 m 1.43 BIOL4119/MODUL 1 Contoh 1.14 : Sebuah mobil mula-mula bergerak dengan kecepatan konstan 60 km/jam. Kemudian mobil direm dan berhenti 20 s setelah direm. Tentukan besarnya perlambatan selama 20 s tersebut, dan tentukan pula setelah berapa jauh sejak direm mobil tersebut berhenti? Penyelesaian : Dari soal diketahui v0 60 km/j , vt 0 , t = 20 s = 20 3600 j = 1 180 j , dan s0 0 . Untuk menentukan a kita pergunakan persamaan, vt v0 at a vt v0 0 60 1 1, 08 ´104 km/j t 180 Jarak berhentinya dihitung dengan persamaan, st s0 v0t 12 at 2 1 1 2 0 (60)( 180 ) 12 (1, 08 ´104 )( 180 ) km 0,1667 km 166, 7 m Contoh 1.15 : Sebuah benda mula-mula diam, kemudian bergerak lurus dipercepat selama 5 s dengan percepatan 2 m/s2, kemudian bergerak lurus beraturan selama 5 s, dan akhirnya bergerak diperlambat selama 10 s lalu berhenti. a. Tentukan kecepatan benda pada t = 5 s b. Tentukan perlambatan benda antara t = 10 s sampai dengan t = 20 s c. Buatlah grafik kecepatan terhadap waktu dari gerakan benda ini d. Tentukan jarak total yang ditempuh benda selama 20 s Penyelesaian: 2 a. Antara detik ke-0 s.d detik ke-5, a = 2 m/s , v0 = 0 , dan t = 5 s , maka : vt v0 at 0 2 5 m/s 10 m/s 1.44 b. Fisika Umum I Antara detik ke-5 s.d. detik ke-10 kecepatannya konstan, vt = 10 m/s. Antara detik ke-10 s.d. detik ke-20, kecepatannya awalnya adalah v0 = 10 m/s , dan kecepatan akhirnya, vt = 0 dan t = (20 - 10) s = 10 s. Besarnya perlambatan a dapat ditentukan dari Persamaan, vt v0 at c. a vt v0 0 10 1 m/s 2 t 10 Grafik v terhadap t adalah sebagai berikut : 15 v 10 5 t 0 0 d. 5 10 15 20 25 Untuk interval waktu t 5 s 0 s 5 s , s0 = 0 , v0 = 0 , st s0 v0t 12 at 2 0 (0)(5) 12 (2)(5)2 m 25m Untuk interval waktu t 10 s 5 s 5 s , s0 = 0 , v0 = v5 = 10 m/s (dari penyelesaian soal di atas) , st v0t 10 5 m 50 m Untuk interval waktu t 20 s 10 s 10 s , v0 = v10 = 10 m/s (dari penyelesaian soal 1.14.b di atas) , dan a = -1 m/s2, st s0 v0t 12 at 2 0 10 10 12 110 Jadi jarak total yang ditempuh benda, stotal = 25 m + 50 m + 50 m = 125 m 2 m 50 m 1.45 BIOL4119/MODUL 1 D. Kecepatan Pelari 12 12 10 10 Kecepatan rata-rata (m/s) Kecepatan rata-rata (m/s) Jika kita amati kecepatan pelari pada berbagai nomor lomba, misalkan pada nomor 50 m, 100 m, 200 m, 400 m dan seterusnya, kita dapatkan bahwa kecepatan pelari ternyata tegantung pada jarak yang ditempuhnya. Kecepatan terbesar dimiliki oleh pelari-pelari jarak pendek, yaitu untuk nomor 100 m Gambar 1.28. dan 200 m, dan kecepatan yang lebih Beberapa sprinter dunia pada kejuaraan kecil didapatkan untuk jarak di atletik. bawah 100 m dan di atas 200 m. (Dari www.empowered athlete.com) Semakin jauh jarak yang ditempuh semakin kecil kecepatannya. Kecepatan pelari sebagai fungsi dari jarak yang ditempuh ditunjukkan oleh grafik v terhadap s pada Gambar 1.29. 8 6 4 8 6 4 2 2 0 0 500 1000 1500 5 10 15 20 Waktu (s) Jarak (m) Gambar 1.29. Grafik v terhadap s untuk pelari. Gambar 1.30. Grafik v terhadap t untuk sprinter. Berdasarkan penelitian, pada nomor-nomor sprinter, yaitu untuk jarak pendek, pelari bergerak dipercepat hanya pada dua detik pertama, setelah itu pelari bergerak lurus beraturan pada kecepatan puncaknya. Kecepatan ratarata pada periode dua detik pertama ini besarnya kira-kira setengah kali 1.46 Fisika Umum I kecepatan puncaknya, dan kecepatan puncaknya rata-rata 10,5 m/s. Grafik v terhadap t untuk pelari jarak pendek ditunjukkan oleh Gambar 1.30. Kita ketahui bahwa pelari mempunyai energi yang terbatas. Kecepatan puncak hanya dapat dihasilkan oleh pelari-pelari jarak pendek. Pelari-pelari jarak jauh berlari dengan kecepatan yang lebih rendah agar tetap dapat bertahan dan dapat menyelesaikan lomba. Contoh 1.16 : Misalkan seorang sprinter dapat memacu kecepatannya dari mula-mula diam sampai mencapai kecepatan puncaknya 10,2 m/s dalam waktu 1,8 s. Jika ia berlomba pada nomor 200 m, berapa lama ia menempuh jarak tersebut? Penyelesaian : Dari soal diketahui selama 1,8 s pertama sprinter bergerak dipercepat dengan v0 0 dan vt 10, 2 m/s . Dalam selang waktu ini dapat dihitung besarnya percepatan, vt v0 at a vt v0 10, 2 0 5, 67 m/s2 t 1,8 dan jarak yang ditempuh dalam selang waktu ini adalah, st v0t 12 at 2 0 12 (5,67)(1,8)2 m 9,19 m st 200 st 190,81 m , pelari bergerak lurus beraturan dengan kecepatan konstan v0 vt 10, 2 m/s Pada sisa jarak yang harus ditempuhnya, yaitu , sehingga dapat kita tuliskan persamaan, st v0 .t t st 190,81 s 18, 71 s v0 10, 2 dengan t menyatakan waktu yang diperlukan untuk menempuh sisa jarak tersebut. Jadi, total waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak 200 m adalah : t = (1,8 + 18,71) s = 20,51 s 1.47 BIOL4119/MODUL 1 E. Gerak Jatuh Bebas Gerak jatuh bebas adalah gerak lurus vertikal ke bawah tanpa kecepatan awal karena pengaruh percepatan gravitasi bumi (g). Arah g adalah vertikal ke bawah (menuju ke pusat bumi) dan besarnya kira-kira , g 9,8 m/s 2 , dan di dalam v0 0 g yt soal-soal sering dibulatkan menjadi g = 10 m/s . Persamaan gerak jatuh analog dengan persamaan gerak lurus berubah beraturan tanpa kecepatan awal, dan dapat kita tuliskan sebagai, vt gt yt gt 1 2 ht Gambar 1.31. Gerak jatuh bebas (1.46) 2 h0 vt 2 (1.47) ht h0 yt h0 gt 1 2 2 (1.48) dengan vt adalah kecepatan benda pada waktu t, yt adalah jarak vertikal yang ditempuh benda dalam waktu t, h0 adalah ketinggian awal benda dan ht adalah ketinggian benda pada waktu t. Kebalikan dari gerak jatuh adalah gerak naik vertikal. Pada gerakan ini g merupakan perlambatan karena arahnya berlawanan dengan arah gerak. Untuk gerak naik vertikal persamaan geraknya dapat dinyatakan dengan, v0 g vt hmax v0 yt ht h0 Gambar 1.32. Gerak naik vertikal. vt v0 gt (1.49) yt v0t 12 gt 2 ht h0 yt h0 v0t 12 gt (1.50) 2 dengan hmax adalah ketinggian maksimum yang dicapai benda. (1.51) 1.48 Fisika Umum I Contoh 1.17 : Sebuah benda dijatuhkan bebas dari ketinggian 19,6 m. a. Tentukan waktu yang dibutuhkan untuk sampai di tanah b. Tentukan kecepatannya sesaat sampai di tanah Penyelesaian : a. Pada saat mencapai tanah jarak vertikalnya adalah ht = 0. Dari persamaan (1.48) kita dapatkan 0 h0 21 gt 2 t 2h0 g 2 Dari soal diketahui h0 = 19,6 m dan g = 9,8 m/s sehingga kita dapatkan : t b. 2(19, 6) s 2s 9,8 Kecepatan saat mencapai tanah menggunakan persamaan (1.46) : dapat kita tentukan dengan vt gt (9,8)(2) m/s 19,6 m/s Contoh 1.18 : Sebuah benda dilontarkan ke atas dari permukaan tanah dengan kecepatan awal 49 m/s. a. Tentukan waktu yang diperlukan untuk mencapai ketinggian maksimum b. Tentukan ketinggian maksimumnya. Penyelesaian : a. Mencapai ketinggian maksimum, vt 0 . Untuk gerak naik vertikal, 0 v0 gt t v0 g 1.49 BIOL4119/MODUL 1 Dari soal diketahui v0 = 49 m/s dan g = 9,8 m/s2 sehingga kita dapatkan, t b. 49 s 5s 9,8 Ketinggian maksimum dapat dicari dengan menggunakan persamaan (1.51), ht h0 v0t 12 gt 2 Dengan ht = hmax dan h0 = 0 kita dapatkan, hmax h0 v0t 12 gt 2 0 49 5 12 9,8 5 2 m 122,5 m F. Gerak Dua Dimensi Gerak dua dimensi adalah gerak pada bidang datar. Pada pembahasan ini kita akan mempelajari dua macam gerak pada bidang, yaitu gerak peluru dan gerak melingkar. Gerak peluru adalah gerak dengan lintasan seperti lintasan peluru, yaitu gerak lengkung pada bidang vertikal, seperti lintasan peluru meriam. Gerak melingkar adalah gerak dengan lintasan berupa lingkaran. Berikut ini akan kita pelajari satu persatu dari kedua macam gerak dua dimensi tersebut. 1. Gerak Peluru Jika kita melemparkan sebuah bola ke atas dengan sudut elevasi (sudut kemiringan terhadap horizontal) tertentu maka akan kita lihat bola bergerak dengan lintasan yang lengkung sampai jatuh di tanah. Bentuk lintasan ini dikenal sebagai lintasan peluru karena menyerupai lintasan peluru yang ditembakkan dari sebuah meriam. Gerak peluru dipengaruhi oleh percepatan gravitasi bumi (g) yang arahnya vertikal ke bawah. Karena pengaruh percepatan gravitasi bumi ini lintasan benda menjadi melengkung, dan untuk ketinggian benda yang tidak terlalu jauh dari permukaan bumi, dimana g dianggap konstan, dapat dibuktikan bahwa lintasan peluru berbentuk parabola. 1.50 Fisika Umum I y vy = 0 v0 x vt vy v0 x v0 v0 y yt ymax g O v0 x xt xmax 2 x xmax Gambar 1.33. Gerak Peluru Gerak peluru pada umumnya dideskripsikan pada sistem koordinat dua dimensi, dengan sumbu-x dan y sebagai sumbu-sumbu koordinatnya. Pada sistem koordinat ini gerak benda dapat diuraikan ke dalam komponen geraknya pada arah x dan y. Komponen gerak pada arah x merupakan gerak lurus beraturan (kecepatan konstan), dan komponen gerak pada arah y merupakan gerak lurus berubah beraturan dengan percepatan / perlambatan g. Untuk mendeskripsikan gerak peluru, marilah kita bayangkan sebuah peluru ditembakkan dari suatu tempat (di permukaan tanah) dengan kecepatan awal v0 dan sudut elevasi (sudut kemiringan) . Tempat peluru ditembakkan kita anggap sebagai pusat koordinat. Gambar 1.31 merepresentasikan gerak peluru secara grafis. Komponen kecepatan gerak peluru setiap saat dapat kita nyatakan dengan vx dan vy sedangkan komponen kecepatan awalnya kita nyatakan degan v0x dan v0y. Posisi benda setiap saat kita nyatakan dengan (x,y). Secara vektoris kecepatan awal dan kecepatan pada saat t dapat dituliskan sebagai, dengan, v0 v0 x i v0 y j (1.52) vt vx i vy j (1.53) v0 x v0 cos (1.54) BIOL4119/MODUL 1 v0 y v0 sin 1.51 (1.55) Komponen gerak pada arah sumbu-x merupakan gerak lurus beraturan, dimana untuk waktu t tertentu dapat dituliskan persamaan-persamaan geraknya, vx v0 x xt v0 x .t (1.56) (1.57) Komponen gerak pada arah sumbu-y merupakan gerak lurus berubah beraturan dengan percepatan adalah percepatan gravitasi bumi (g). Untuk waktu t tertentu persamaan geraknya adalah : vy v0 y gt (1.58) y v0 y t 12 gt 2 (1.59) Ada dua keadaan yang menarik untuk dipelajari pada gerak peluru ini. Pertama adalah keadaan pada saat peluru mencapai ketinggian maksimum, dan yang kedua saat peluru jatuh di tanah, atau peluru mencapai jarak horizontal maksimum, karena keduanya berhubungan dengan kecepatan awal v0 dan sudut kemiringan pada saat peluru pertama kali ditembakkan. 1.1. Peluru Mencapai Ketinggian Maksimum Pada saat peluru mencapai ketinggian maksimum kecepatan arah vertikalnya v y 0 . Jika tm menyatakan waktu untuk mencapai ketinggian maksimum, maka dari Persamaan (1.58) dapat kita tuliskan, tm v0 y g v0 sin g (1.60) dan jika ym menyatakan ketinggian maksimum, maka dari Persamaan (1.59) kita dapatkan, 1.52 Fisika Umum I ym v02y (1.61) 2g 1.2. Peluru Jatuh di Tanah Waktu yang dibutuhkan peluru sejak mulai ditembakkan sampai jatuh kembali di tanah sama dengan waktu yang dibutuhkan oleh komponen gerak vertikalnya untuk bergerak naik - turun. Jika tb menyatakan waktu yang dibutuhkan peluru untuk kembali ke tanah, maka dapat dibuktikan bahwa : tb 2tm 2voy g 2vo sin g (1.62) Selanjutnya, dengan mensubstitusikan Persamaan (1.62) ke dalam Persamaan (1.57) dan dengan manipulasi trigonometri kita dapatkan jarak maksimum yang dicapai peluru, xm vo2 sin 2 g (1.63) Contoh 1.19 : Sebuah peluru ditembakkan dari permukaan tanah dengan kecepatan awal 100 m/s dan sudut elevasi 30o. Jika g = 10 m/s2 , tentukan: a. Kecepatan vertikal dan horisontal pada 4 detik pertama b. Ketinggian peluru pada 4 detik pertama c. Waktu untuk mencapai ketinggian maksimum d. Ketinggian maksimum e. Jarak maksimum sampai jatuh di tanah Penyelesaian: Dari soal diketahui, v0 100 m/s v0 x v0 cos 100 cos 30o m/s 86, 6 m/s v0 y v0 sin 100 sin 30o m/s 50 m/s BIOL4119/MODUL 1 a. 1.53 Kecepatan vertikal dan horisontal pada t = 4 s vx v0 x 86, 6 m/s v y v0 y gt 50 10 4 m/s 10 m/s b. Ketinggian peluru pada t = 4 s y v0 y t 12 gt 2 50 4 12 10 42 m 120 m c. Waktu mencapai ketinggian maksimum tm d. g 50 s5s 10 Ketinggian maksimum ym e. v0 y voy2 2g 502 m 125 m 2 10 Jarak maksimum lontaran peluru, xm 2 o v02 sin 2 100 sin 60 m 866 m g 10 Contoh 1.20 : Sebuah bola dilemparkan ke atas dengan sudut kemiringan 45 o dan mencapai ketinggian maksimum dalam waktu 1 s. Jika g = 10 m/s2 tentukanlah : a. Kecepatan awal bola b. Ketinggian maksimum bola Penyelesaian : a. Mencapai ketinggian maksimum, 1.54 Fisika Umum I tm b. v0 y g v0 sin g v0 gtm 101 m/s 14,1 m/s sin sin 45o Ketinggian maksimum, o v 2 sin 2 14,1 sin 45 ym 0 m5m 2g 2g (2)(10) v02y 2 2 1.3. Lompat Jauh Seberapa jauh seseorang dapat melakukan lompat jauh dengan awalan lari dapat kita perkirakan dengan menggunakan teori gerak peluru. Kita misalkan gerak pelompat sebagai gerak pusat massanya (yaitu suatu titik yang dianggap merepresentasikan seluruh massa pelompat) yang bergerak peluru. Kecepatan awalan pelompat kita misalkan sama dengan kecepatan puncak seorang pelari, yang sudah kita bahas sebelumnya, yaitu 10,5 m/s. Gambar 1.35. Gerakan seorang pelompat jauh. (Dari www.grandmall10.wordpress. com) Berdasarkan penelitian, daya melam-bung maksimum seorang atlet adalah sekitar 0,6 m, sehingga dapat kita tentukan komponen kecepatan awal arah vertikal (v0y) dengan menggunakan persamaan (1.61). ym v02y 2g atau, v0 y 2 gym (2)(9,8)(0,6) m 3, 43 m 1.55 BIOL4119/MODUL 1 Gambar 1.35. Gerakan seorang pelompat jauh. (Gambar diambil dari www.grandmall10.wordpress.com) Dengan metode penjumlahan vektor dapat ditentukan besarnya kecepatan awal (v0), v0 v02x v02y (10,5)2 (3, 43)2 m/s 11,05 m/s dan juga dapat ditentukan besarnya sudut kemiringan dari persamaan, v0 y v0 sin atau, sin v0 y v0 3, 43 0,31 11.05 sin 1 (0,31) 18, 06o Besarnya sudut kemiringan di atas adalah prediksi teoritis. Dalam kenyataannya, misalkan dalam suatu kompetisi, harga pada umumnya lebih besar dibandingkan dengan prediksi teoritis. y v0 ymax O yA v0 x A x1 B x2 x Gambar 1.36. Gerakan pusat massa pelompat jauh. 1.56 Fisika Umum I Jika kita perhatikan gerak pelompat jauh, pada saat awal melompat ia dalam posisi jongkok. Gambar 1.36 menggambarkan gerak titik pusat massa dari seorang pelompat jauh. Dalam keadaan tegak pusat massa ini letaknya kira-kira 0,6 m di atas tanah, dan dalam posisi jongkok posisi pusat dianggap sama dengan permukaan tanah. Dari gambar 1.36 kita dapat menentukan jarak lompatan, yaitu x x1 x2 . Pertama-tama kita tinjau komponen gerak horisontal OA dan AB. Pada gerakan OA, dimana posisi awal dan akhir adalah dalam posisi horisontal, maka jarak OA x1 dapat dihitung dengan menggunakan x1 Persamaan (1.63). v02 sin 2 (11, 05)2 sin 36,12o 7,34 m g 9,8 Selanjutnya, dapat dibuktikan bahwa vA v0 hanya arahnya yang berbeda, dimana vektor kecepatan membentuk sudut sebesar 341,94 o terhadap horisontal. Untuk menentukan besarnya jarak tempuh AB x2 , terlebih dahulu kita tentukan waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak x2 . Waktu ini sama dengan waktu yang diperlukan untuk gerak jatuh vertikal dari ketinggian yA 0,6 m dengan kecepatan awal vAy 3, 43 m , yA vAy t 12 gt 2 atau, 1 2 gt 2 vAy t yA 0 4,9 t 2 3, 43 t 0, 6 0 Kita dapatkan Persamaan kuadrat dalam t, dan salah satu penyelesaiannya adalah t 0,14 s. Selanjutnya, jarak x2 dapat kita tentukan dengan menggunakan Persamaan, x2 vAx t Karena kecepatan pada arah horisontal tidak berubah, vAx v0 x 10,5 m/s dan kita dapatkan, 1.57 BIOL4119/MODUL 1 x2 10,5 0,14 m 1, 47 m Jadi, jarak total lompatan, x x1 x2 7,34 1, 47 m 8,81 m Jarak lompatan ini adalah jarak rata-rata yang didapatkan dari prediksi teoritis. 2. Gerak Melingkar Gerak melingkar adalah gerak pada bidang datar dengan lintasan berbentuk lingkaran. Pada gerak melingkar lintasan yang ditempuh untuk interval waktu tertentu merupakan busur lingkaran. Dalam interval waktu tersebut kita juga dapat menguGambar 1.37. Gerak orbit melingkar dari satelit. kur sudut yang ditempuh oleh (Dari www.aerospaceweb.org) gerakan benda, seperti yang ditunjukkan oleh gambar 1.38. Hubungan antara busur yang ditempuh s dan sudut yang ditempuh dalam waktu yang sama t dinyatakan dengan persamaan : s R (1.64) dengan R adalah jejari lingkaran. Sudut biasanya dinyatakan dalam satuan radian (rad), dimana 360o 2 dengan 3,14. Dari besaran kemudian dapat diturunkan besaran-besaran lain seperti kecepatan angular ( ) dan percepatan angular (). 1.58 Fisika Umum I 2.1. Kecepatan dan Percepatan Angular Benda yang bergerak melingkar mempunyai kecepatan angular (kecepatan sudut, ) yang didefinisikan sebagai besarnya sudut yang ditempuh persatuan waktu, lim t 0 d t dt (1.65) dengan satuan adalah radian perdetik (rad/s). Selain kecepatan angular, benda yang bergerak melingkar juga mempunyai percepatan angular (), yang didefinisikan sebagai perubahan kecepatan angular persatuan waktu : d lim t 0 t dt t 0t t vt R s v0 x (1.66) dengan satuan adalah rad/s2. Untuk konstan, hubungan antara , dan pada gerak melingkar dinyatakan dengan persamaan-persamaan : t 0 t 1 2 y 2 Gambar 1.38. Gerak melingkar (1.67) (1.68) dengan 0 adalah kecepatan angular awal, t adalah waktu tempuh, t adalah besarnya kecepatan angular pada saat t , dan t adalah sudut yang ditempuh setelah waktu t. Contoh 1.21 : Sebuah benda, yang mula-mula diam, bergerak melingkar dengan percepatan angular yang konstan = 0,5 rad/s2. Tentukan besarnya kecepatan angular BIOL4119/MODUL 1 1.59 dan sudut yang ditempuh setelah bergerak selama 2 s, jika jejari lingkarannya 1 m. Penyelesaian : Dari soal diketahui = 0,5 rad/s2, kecepatan angular awal 0 = 0, R = 1 m dan t = 2 s. Kecepatan angular dan sudut yang ditempuh dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan (1.67) dan (1.68), t 0 t 0 0,5 2 rad/s 1 rad/s t 0t 12 t 2 0 12 0,5 22 rad 1 rad Contoh 1.22 : Sebuah benda bergerak melingkar dengan percepatan angular 2 rad/s2. Setelah 1 s kecepatan angular benda besarnya 3 rad/s. a. Tentukan kecepatan angular awal benda. b. Tentukan sudut yang ditempuh setelah 1 s. Penyelesaian : a. Untuk menentukan kecepatan angular awal kita pergunakan Persamaan (1.67) t 0 t 0 t t 3 21 rad/s 1 rad/s b. Untuk menentukan sudut yang ditempuh kita pergunakan Persamaan (1.68), t 0t 12 t 2 11 12 2 12 rad 2 rad 2.2. Gerak Melingkar Beraturan Sifat gerak melingkar ditentukan oleh percepatan angularnya. Jika konstan maka berubah terhadap waktu (fungsi waktu), dan geraknya disebut gerak melingkar berubah beraturan. Jika = 0, maka konstan, maka geraknya disebut gerak melingkar beraturan. Pada pembahasan 1.60 Fisika Umum I berikutnya kita lebih banyak terfokus pada gerak melingkar beraturan, yang mempunyai persamaan gerak sebagai berikut : konstan (1.69) t t (1.70) Pada gerak melingkar beraturan, waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu kali putaran selalu konstan dan disebut perioda T . Kita ketahui sudut yang ditempuh untuk satu putaran adalah 2 rad. Jika benda bergerak melingkar beraturan dengan kecepatan angular maka untuk satu putaran berlaku : 2 T atau, T 2 (1.71) Persamaan (1.71) menunjukkan hubungan antara perioda dan kecepatan angular. Benda yang bergerak melingkar mempunyai kecepatan linear (v) yang arahnya setiap saat menyinggung lintasan (busur lingkaran). Untuk gerak melingkar beraturan besarnya kecepatan linear selalu konstan, hanya arahnya yang setiap saat berubah. Hubungan antara lintasan dan kecepatan dapat dinyatakan dengan, s vt dan untuk gerak satu putaran s = 2R dapatkan hubungan, 2 r v atau, 2 dan t T 2 sehingga kita 1.61 BIOL4119/MODUL 1 v R (1.72) yang menyatakan hubungan antara kecepatan linear dengan kecepatan angular. 2.3. Percepatan Centripetal Pada gerak peluru, percepatan gravitasi bumi yang mempengaruhi gerak benda arahnya selalu vertikal ke bawah, atau tegak lurus pada arah kecepatan horisontal, sehingga membentuk lintasan yang melengkung (parabola). Gerak melingkar juga dipengaruhi oleh percepatan yang arahnya selalu tegak lurus pada kecepatan linearnya, atau arahnya selalu menuju ke pusat lingkaran. Percepatan ini dikenal sebagai percepatan centripetal (ac). Arah percepatan ini berarti berlawanan dengan arah radial (arah jari-jari). Pada gerak melingkar beraturan, percepatan centripetal dihasilkan dari adanya perubahan vektor kecepatan linear. Kita ketahui bahwa besar kecepatan tidak berubah, hanya arahnya yang berubah. Perubahan vektor ini diGambarkan seperti pada Gambar 1.39. Percepatan centripetal didefinisikan sebagai, v v v ac s v R Gambar 1.39. Perubahan arah kecepatan linear menyebabkan timbulnya percepatan centripetal. v (1.73) t Dapat dibuktikan bahwa besarnya percepatan centripetal dapat dituliskan sebagai, ac lim t 0 ac v2 R (1.74) Jika kita substitusikan harga v seperti pada persamaan (1.72) , maka percepatan centripetal juga dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan : ac 2 r (1.75) 1.62 Fisika Umum I Contoh 1.23 : Sebuah benda dapat melakukan dua putaran setiap sepuluh detik. Tentukanlah : a. Perioda gerak melingkarnya. b. Kecepatan angularnya. c. Kecepatan linearnya. d. Percepatan centripetalnya. Penyelesaian : a. Jika benda dapat melakukan dua putaran per-10 detik maka periodanya, 10 5s 2 Kecepatan angular dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan (1.71), T b. T 2 atau, 2 2 rad/s 1, 26 rad/s T 5 c. Kecepatan linear dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan (1.72), v R 25 (2) m/s 2,52 m/s d. Percepatan centripetal kita tentukan dengan menggunakan persamaan (1.74), ac v2 R (2,52)2 m/s2 3,18 m/s 2 2 1.63 BIOL4119/MODUL 1 Contoh 1.24 : Sebuah satelit mengorbit bumi dengan lintasan berbentuk lingkaran pada ketinggian 1,6 ´105 m dari muka bumi. Jika jejari bumi R 6, 4 ´106 m , dan g = 10 m/s2, berapa kali satelit tersebut mengorbit bumi dalam sehari ? Penyelesaian : Misalkan ketinggian satelit kita nyatakan dengan h, berarti jejari orbitnya diukur dari pusat bumi adalah, Satelit r R h 6, 4 ´106 m 1, 6 ´105 m Bumi 6,56 ´106 m Pada waktu mempelajari gerak peluru, Gambar 1.40. percepatan gravitasi kita anggap arahnya vertikal Satelit mengorbit Bumi. ke bawah. Sebenarnya ini adalah suatu pendekatan. Arah percepatan gravitasi bumi sebenarnya adalah menuju ke pusat bumi, tetapi untuk ketinggian yang rendah dari permukaan bumi arah percepatan gravitasi bumi dianggap vertikal ke bawah. Untuk gerak satelit dimana ketinggannya mencapai 160 km di atas permukaan bumi, arah percepatan gravitasi bumi harus dipandang menuju ke pusat bumi, dan percepatan ini menjadi percepatan centripetal untuk gerak melingkar satelit. Jadi, kita dapatkan hubungan : g ac 2 r atau, g r dan periode satelit adalah, T 2 2 g r 2 10 / 6,56 ´10 6 5,1´103 s 84,8 menit 1.64 Fisika Umum I Jadi, untuk sekali mengorbit bumi satelit membutuhkan waktu 84,8 menit, atau dalam sehari satelit dapat mengorbit sebanyak sekitar 17 kali. L AT IH A N 2 Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Sebuah benda mula-mula bergerak lurus beraturan dengan kecepatan 12 m/s, kemudian dipercepat dengan percepatan 3 m/s2 selama 8 s. Berapa besar kecepatan akhirnya? dan berapa jauh jalan yang ditempuh benda selama bergerak dipercepat? 2) Seorang penerjun payung mulai membuka payung pada saat kecepatannya 100 km/jam, dan dua detik kemudian kecepatannya turun menjadi 30 km/jam. Selanjutnya, ia bergerak turun dengan kecepatan konstan. Berapa besar perlambatan yang dialaminya selama dua detik tersebut. 3) Sebuah peluru ditembakkan dengan kecepatan awal v0 dan sudut kemiringan dari permukaan tanah. Jika jarak horisontal maksimum empat kali ketinggian maksimumnya, berapa besarnya ? 4) Seorang anak yang sedang bermain di pantai melemparkan sebuah batu dengan arah horisontal dari atas sebuah batu karang. Jika batu dilontarkan dengan kecepatan 20 m/s dan empat detik sejak dilemparkan batu menyentuh permukaan air laut, berapa ketinggian anak dari permukaan laut? 5) Berapa besar kecepatan angular bumi mengorbit matahari? 6) Berapa besar kecepatan angular ujung jarum jam yang penunjuk detik? 1.65 BIOL4119/MODUL 1 7) Sebuah benda yang bergerak melingkar beraturan mendapat percepatan centripetal 10 m/s2. Jika jejari lingkaran 5 m, tentukan besarnya kecepatan linear, kecepatan angular, dan periodanya. Petunjuk Penyelesaian Latihan 1) Karena mula-mula bergerak lurus beraturan maka v0 = 12 m/s. 2 Kemudian diketahui a = 3 m/s dan t = 8 s. Kecepatan akhir dan jauh jalan yang ditempuh dapat dicari dengan menggunakan persamaan : vt v0 at st v0t 12 at 2 2) Pergunakan persamaan : vt v0 at a vt v0 t 3) Dari soal diketahui, xm = 4 ym dengan, xm v02 sin 2 g dan ym v02y 2g v02 sin 2 2g maka dapat dicari. 4) yt y0 v0t 12 gt 2 Jatuh di permukaan laut dengan g = 9,8 m/s 2 yt = 0. maka y0 dapat dicari. 5) Periode bumi mengelilingi matahari adalah T = 1 tahun 365,25 hari. 1.66 Fisika Umum I Kecepatan angular 2 T (nyatakan dalam SI) 6) Jarum detik mempunyai periode, T = 60 s. 2 Kecepatan angular T 7) Percepatan centripetal, ac v2 2 R R dengan R = 5 m dapat ditentukan v dan . Perioda dicari dengan cara seperti soal No.2.6. R A NG K UM A N Kecepatan dan percepatan adalah besaran-besaran yang menggambarkan sifat kuantitatif dari gerak benda. Kecepatan didefinisikan sebagai perubahan posisi/jarak persatuan waktu, sedangkan percepatan didefinisikan sebagai perubahan kecepatan persatuan waktu. Gerak satu dimensi dengan percepatan konstan dinyatakan dalam persamaan gerak, vt v0 at st s0 v0t 12 at 2 Gerak jatuh adalah gerak lurus pada arah vertikal karena pengaruh percepatan gravitasi bumi (g) dengan persamaan gerak : vt vo gt yt yo vo t 12 gt 2 Gerak jatuh bebas adalah gerak jatuh dengan v0 = 0. Gerak peluru dan gerak melingkar adalah contoh dari gerak dua dimensi. Gerak peluru dinyatakan dengan persamaan gerak : 1.67 BIOL4119/MODUL 1 v0 x v0 cos vx v0 x v0 y v0 sin v y v0 y gt x v0 x t y y0 v0 x t 12 gt 2 dengan adalah sudut elevasi. Ketinggian maksimum peluru dinyatakan dengan persamaan : ym v02y 2g dan jarak horizontal maksimum yang dicapai peluru dinyatakan dengan persamaan : xm vo2 sin 2 g Gerak melingkar dinyatakan dengan persamaan gerak : konstan 0 t 0 t 12 t 2 Gerak melingkar beraturan adalah gerak melingkar dengan konstan. Periode gerak melingkar beraturan dinyatakan dengan : T 2 sedangkan percepatan centripetalnya dinyatakan dengan Persamaan, ac v2 2R R 1.68 Fisika Umum I T E S F OR MA TIF 2 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Sebuah benda bergerak dengan persamaan gerak st 2t 2 3t 10 , st dinyatakan dalam meter (m). Besarnya percepatan benda (a) adalah . .. A. 2 m/s2 C. 4 m/s2 2 B. 3 m/s D. 10 m/s2 2) Dari soal No.1, besarnya kecepatan awal benda (v0) adalah . . . A. A. 2 m/s C. 4 m/s B. B. 3 m/s D. 10 m/s 3) Dari soal No.1, besarnya kecepatan benda pada A. 2 m/s C. 5 m/s B. 3 m/s D. 7 m/s t = 2 s adalah . . . 4) Sebuah benda yang mula-mula diam kemudian bergerak lurus dengan percepatan 2 m/s2. Kecepatan benda setelah 5 detik adalah . . . A. 5 m/s C. 25 m/s B. 10 m/s D. 50 m/s 5) Dari soal No.4, jauh jalan yang ditempuh setelah 5 s adalah . . . A. 5 m C. 25 m B. 10 m D. 50 m 6) Sebuah benda dijatuhkan bebas dari ketinggian 100 m. Jika g = 9,8 m/s2, waktu yang dibutuhkan untuk mencapai tanah adalah . . . A. 4,51 s C. 11,3 s B. 5,70 s D. 15,6 s 7) Dalam kejuaraan atletik pada nomor 200 m. Seorang pelari dapat mempercepat larinya pada 2 detik pertama. Selanjutnya, ia berlari dengan kecepatan konstan 10,5 m/s sampai garis finish. Besarnya percepatan pelari pada 2 detik pertama adalah . . . A. 1,6 m/s2 C. 3,2 m/s2 2 B. 2,6 m/s D. 5,3 m/s2 1.69 BIOL4119/MODUL 1 8) Sebuah peluru ditembakkan dengan kecepatan awal 100 m/s dari permukaan tanah. Peluru jatuh kembali di tanah pada jarak horizontal 500 m dari tempat semula. Jika g = 9,8 m/s2, maka besarnya sudut elevasi . . . o o A. 14,7 C. 44 o o B. 29,3 D, 58,7 9) Sebuah peluru ditembakkan dengan sudut elevasi 45 o dan kecepatan awal 50 m/s. Ketinggian maksimum peluru adalah . . . A. 31,9 m C. 95,7 m B. 63,8 m D. 127,6 m 10) Sebuah benda mula-mula diam kemudian bergerak melingkar dengan percepatan angular 2 rad/s2. Banyaknya putaran yang telah ditempuh benda setelah bergerak selama 10 s adalah . . . A. 7 putaran C. 17 putaran B. 10 putaran D. 20 putaran 11) Sebuah benda yang bergerak melingkar beraturan dengan periode 10 s mempunyai kecepatan angular sebesar . . . A. 5 rad/s C. 0,5 rad/s B. 2 rad/s D. 0,2 rad/s Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2. Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar ´ 100% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan : 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang 1.70 Fisika Umum I Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 3. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai. 1.71 BIOL4119/MODUL 1 Kegiatan Belajar 3 Dinamika Gaya dan Hukum Newton P ada pokok bahasan sebelumnya kita telah mempelajari gerak benda, baik satu atau dua dimensi, tanpa memandang penyebab geraknya. Deskripsi semacam itu dikenal sebagai kinematika. Pada pokok bahasan ini kita mulai mempelajari keadaan gerak benda dengan memandang penyebab geraknya, yaitu gaya. Pembahasan tentang ini dikenal sebagai dinamika. Sebelum mempelajari tentang dinamika, terlebih dahulu kita akan mempelajari besaran gaya sebagai besaran vektor, khususnya dalam hal penjumlahan gaya. Selanjutnya kita akan mempelajari hukum alam yang menjadi hukum dasar dari gerak benda. Hukum dasar ini pertama kali dikemukakan oleh Sir Isaac Newton (1642 1727) dan dikenal sebagai hukum-hukum Newton tentang gerak. Dinamika pada dasarnya adalah pembahasan hukum-hukum Newton dan penerapannya. A. Gaya Sebagai Besaran Vektor Gaya dapat dikatakan sebagai penyebab perubahan gerak. Gaya adalah besaran vektor. Jika pada suatu benda bekerja lebih dari sebuah gaya, maka gaya-gaya tersebut dapat dijumlahkan dengan cara F F penjumlahan vektor sehingga menghasilkan sebuah Gambar 1.41. Representasi resultan gaya. Dalam menjumlahkan beberapa vektor gambar dari sebuah gaya dapat dipergunakan metode penjumlahan vektor gaya. seperti metode jajaran genjang atau metode uraian. Gambar 1.41 adalah representasi gambar dari sebuah gaya F. Pada gambar tersebut panjang anak panah merepresentasikan besarnya gaya dan arah panah mereprentasikan arah gaya. Satuan gaya dalam sistem internasional (SI) adalah newton (N) dan 5 dalam satuan cgs adalah dyne, dimana 1 N = 10 dyne. Penurunan satuan gaya secara dimensional akan kita pelajari pada pembahasan selanjutnya. Pemberian nama satuan newton adalah sebagai penghargaan terhadap Sir Isaac Newton, penemu hukum-hukum alam tentang gerak. 1.72 Fisika Umum I Contoh 1.25 : Dua buah gaya bekerja pada titik pangkal yang sama. Besar masing-masing gaya adalah 5 N dan 10 N, dan keduanya membentuk sudut 60o. Tentukan besar dan arah resultan gayanya. Penyelesaian : Misalkan kedua buah gaya tersebut adalah dengan F1 5 N dan F2 10 N . F1 dan F2 Fr F2 Dengan metode jajaran genjang kita dapatkan vektor resultan gayanya seperti pada gambar. Besarnya resultan gaya dapat dicari dengan menggunakan Persamaan (1.3) : 60o F1 Fr F F 2 F1 F2 cos 60 2 1 2 2 o Gambar 1.42. Penjumlahan gaya. 5 10 2(5)(10)(0,5) 2 2 13, 21 N arah Fr seperti pada gambar. Contoh 1.26 : Tiga buah gaya yang sama besarnya bekerja sebidang dengan titik pangkalnya adalah pusat koordinat kartesian xy. Sudut yang dibentuk oleh masing-masing gaya terhadap o o y F1 F1 y Fr F2 y F2 o sumbu-x positif adalah 60 , 150 dan 225 , dan besarnya masing-masing gaya adalah 10 N. Tentukan besar dan arah dari resultan gayanya. Penyelesaian : Misalkan gaya-gaya tersebut adalah dengan F1 = F2 = F3 = 10 N dan masing-masing F2 x F1x F3x x F3 y F3 Gambar 1.43. Tiga buah gaya bekerja koordinat kartesian. membentuk sudut 1 = 60 , 2 = 150 dan 3 = 225 . Dengan metode uraian kita dapatkan besarnya komponen-komponen gaya pada arah sumbu-x dan y, o o o BIOL4119/MODUL 1 1.73 F1x F1 cos 60o 10 0,5 N 5 N F2 x F2 cos150o 10 0,87 N 8, 7 N F3 x F3 cos 225o 10 0, 71 N 7,1 N Frx F1x F2 x F3 x 5 N 8, 7 N 7,1 N 10,8 N F1 y F1 sin 60o 10 0,87 N 8, 7 N F2 y F2 sin150o 10 0,5 N 5 N F3 y F3 sin 225o 10 0, 71 N 7,1 N Fry F1 y F2 y F3 y 8, 7 N 5 N 7,1 N 6, 6 N Besarnya resultan gaya kita cari dengan menggunakan Persamaan (1.23) : Fr Frx2 Fry2 10,82 6,62 12,7 N Sudut yang dibentuk oleh Fr dengan sumbu x positif adalah, tan r Fry Frx 6, 6 0, 6 10,8 tan 1 (0, 6) 149o B. Hukum-Hukum Newton Tentang Gerak Hubungan antara gaya dan perubahan kecepatan telah diselediki oleh seorang fisikawan besar yang berasal dari Inggris yaitu Sir Isaac Newton (1642 1727). Penyelidikan Newton didasarkan pada hasil eksperimen Galileo Galilei (1564 1642) yang menghasilkan konsep percepatan. Newton mendapatkan hubungan antara percepatan dengan pengaruh luar yang dikenal sebagai gaya, dan menemukan adanya empat hukum alam yang mendasari gerak benda. Keempat hukum tersebut kemudian oleh para fisikawan diberi nama Hukum-Hukum Newton. Pernyataan dari hukumhukum Newton dapat dituliskan sebagai berikut: 1.74 Fisika Umum I Hukum Newton I : Jika tidak ada gaya luar yang bekerja pada suatu benda maka benda akan diam atau bergerak lurus beraturan. Hukum Newton II : Percepatan yang ditimbulkan oleh suatu gaya besarnya sebanding dengan besarnya gaya tersebut, dan arahnya searah dengan arah gaya. Secara matematis hukum Newton II dinyatakan dalam persamaan: F m a Gambar 1.44. Gaya menyebabkan timbulnya percepatan. F ma (1.76) dengan m adalah massa benda yang merupakan sifat inersial (lembam) dari benda. Hukum Newton I dapat diturunkan dari Hukum Newton II, yaitu jika F 0 maka a 0 , artinya benda dalam keadaan tetap diam atau bergerak lurus beraturan. Dalam keadaan ini benda dikatakan setimbang. Hukum Newton III : Jika sebuah benda mengerjakan gaya pada benda lain maka benda kedua juga akan melakukan gaya terhadap benda pertama. Dalam keadaan setimbang gaya aksireaksi ini sama besar, hanya arahnya berlawanan. Hukum Newton III dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan, Faksi Freaksi Gambar 1.45. Gaya aksi-reaksi. (Dari muse.tau.ac.il) (1.77) Hukum Newton IV : Pada dua benda yang berjarak tertentu akan timbul gaya tarik-menarik (gaya gravitasi) yang arahnya pada garis hubung kedua benda, dan 1.75 BIOL4119/MODUL 1 besarnya sebanding dengan massa kedua benda dan berbanding terbalik dengan kuadrat jaraknya. Untuk dua benda yang massanya r, m1 dan m2 dan keduanya berjarak m1 menurut hukum Newton IV pada keduanya akan terjadi gaya gravitasi sebesar. -F F m2 r Gambar 1.46. Gaya gravitasi antara dua benda. m1m2 (1.78) r2 G adalah konstanta gravitasi universal yang besarnya G 6,67 ´1011 F G Nm2 kg 2 Gaya gavitasi adalah salah satu dari gaya-gaya alam. Gaya-gaya alam lainnya adalah gaya elektromagnetik, gaya interaksi kuat dan gaya interaksi lemah. Gaya elektromanetik adalah gaya yang dihasilkan oleh medan elektromagnetik. Gaya interaksi kuat dan interaksi lemah adalah gaya-gaya yang mengikat partikel-partikel di dalam inti atom. Pada pembahasan sebelumnya kita telah mengenal percepatan gravitasi bumi yang besarnya g 9,8 m/s2. Dengan adanya percepatan gravitasi bumi ini maka setiap benda di permukaan bumi akan menderita gaya gravitasi bumi sebesar, F mg m F r mB Gambar 1.47. Gaya gravitasi bumi. (1.79) dengan m adalah massa benda. Kita ketahui dari hukum Newton IV bahwa gaya gravitasi bumi yang bekerja pada suatu benda dapat dinyatakan sebagai, mmB (1.80) r2 adalah massa bumi dan r adalah jarak benda dengan pusat F G dengan mB bumi. 1.76 Fisika Umum I Gaya gravitasi bumi yang dinyatakan oleh Persamaan (1.79) dan (1.80) adalah identik, sehingga percepatan gravitasi bumi dapat dinyatakan sebagai, m (1.81) g G 2B r Persamaan (1.81) menunjukkan bahwa g sebenarnya adalah fungsi dari r. Harga g 9,8 m/s 2 adalah harga pendekatan untuk tempat-tempat yang dekat dengan permukaan bumi, dengan anggapan r RB dimana RB adalah jejari bumi, RB = 6,378 ´ 10 m. 6 C. Gaya-gaya mekanik Gaya-gaya mekanik, atau gayagaya kontak adalah gaya-gaya reaksi dari suatu benda terhadap gaya luar. Gaya-gaya mekanik antara lain adalah gaya normal, gaya gesek, dan gaya tegangan tali. Gaya normal N adalah gaya N F f w (a) N f pada suatu bidang yang arahnya wx tegak lurus bidang, dan merupakan wy reaksi dari gaya tekan. Gaya tekan w adalah gaya luar yang bekerja pada (b) bidang pada arah tegak lurus bidang. Gambar 1.48. Jika kita meletakkan sebuah Gaya normal dan gaya gesek, pada bidang datar pada bidang miring benda di atas meja maka berat benda (gaya gravitasi bumi terhadap benda, w ) menjadi gaya tekan terhadap permukaan meja, dan sebagai reaksinya pada permukaan meja akan timbul gaya normal bidang yang besarnya sama dengan berat benda dan arahnya tegak lurus bidang ke atas (berlawanan dengan arah gaya tekan). Jika benda kita letakkan pada suatu bidang miring maka yang menjadi gaya tekan adalah komponen gaya berat yang arahnya bidang miring. Pada Gambar 1.48b, gaya tekan pada bidang miring adalah w y , dimana besarnya wy w cos , dimana adalah sudut kemiringan bidang, dan gaya normal bidangnya adalah seperti pada gambar, N w y . 1.77 BIOL4119/MODUL 1 Gaya gesek adalah gaya pada suatu bidang yang arahnya sejajar bidang dan merupakan reaksi dari gaya luar yang arahnya sejajar bidang. Gaya gesek arahnya berlawanan dengan arah gerak benda. Terjadinya gaya gesek disebabkan oleh keadaan permukaan yang pada umumnya kasar, sehingga terjadi hambatan pada gerak benda. Jika kita letakkan sebuah benda di atas meja, dan kemudian benda kita beri gaya F yang arahnya sejajar dengan bidang (Gambar 1.48a), maka menyebabkan reaksi gaya oleh permukaan meja berupa gaya gesekan f. Jika benda dalam keadaan tetap diam maka berlaku Hukum Newton I, f F . Jika benda bergerak maka berlaku hukum Newton II, F - f = ma . Demikian pula jika kita meletakkan sebuah benda pada sebuah bidang miring (Gambar 1.47b). Pada benda bekerja gaya berat w , maka komponen gaya berat yang arahnya sejajar bidang, yaitu w x , yang besarnya wx w sin menyebabkan timbulkan gaya gesek f yang berlawanan dengan w x . Jika benda tetap diam maka f wx , dan jika benda bergerak meluncur ke bawah maka wx f ma . Pada umumnya untuk gaya luar tidak terlalu besar didapatkan hubungan linear antara gaya gesek dan gaya normal. Pada keadaaan tepat akan bergerak atau bergerak besar gaya gesek dapat dinyatakan sebagai, f N (1.82) dengan adalah koefisien gesekan yang harganya 0 < < 1. Jika = 0 maka f = 0, artinya tidak ada gesekan, dan permukaannya dikatakan permukaan licin. Harga koefisien gesekan untuk keadaan diam pada umumnya lebih besar dari harga koefisien gesekan untuk benda yang bergerak. Koefisien gesekan untuk benda yang diam disebut koefisien gesekan statis ( s ) dan untuk benda yang bergerak disebut koefisien gesekan kinetis ( k ), dan s s . T w Gambar 1.49. Gaya tegang tali. Gaya tegangan tali T adalah reaksi terhadap gaya luar pada tali dan bekerja sepanjang tali. Jika kita menarik seutas tali, atau kita gantungkan sebuah beban pada seutas tali, maka pada ujung tali terjadi gaya reaksi, dan gaya aksi-reaksi ini diteruskan pada setiap titik pada tali sehingga terjadi 1.78 Fisika Umum I tegangan tali. Pada Gambar 1.49, gaya tegangan tali dapat dinyatakan sebagai T = -w. Contoh 1.27 : Sebuah benda dengan massa 2 kg digantung dengan dua utas tali seperti pada Gambar 1.50. Masing-masing o o 30o A 60 o T3 tali membentuk sudut 60 dan 30 terhadap atap dinding. Jika g = 10 2 m/s , tentukan besarnya gaya tegangan pada masing-masing tali. C T2 y T3 T 2y T3 y T2 T3 x B x T2 x T1 T1 Penyelesaian : Pada benda terjadi kesetimbangan gaya, sehingga berlaku : m w mg F 0 T1 w 0 T1 w mg (1) Gambar 1.50 Sistem tegangan tali Pada titik B, gaya-gaya T2 dan T3 dapat diuraikan ke dalam komponenkomponennya pada arah x dan y , dimana : T2 x T2 cos 30o 0,87 T2 T3 x T3 cos 60o 0,5 T3 T2 y T2 sin 30o 0,5 T2 T3 y T3 sin 60o 0,87 T3 Dalam keadaan setimbang pada titik B berlaku, F x 0 T2 x T3 x 0 F y 0,87 T2 0,5 T3 0 (2) 0 T1 T2 y T3 y 0 T1 0,5T2 0,87T3 0 (3) 1.79 BIOL4119/MODUL 1 Dari Persamaan (1) kita ketahui, T1 mg 210 N 20 N Sehingga persamaan (3) menjadi, 0,5T2 0,87T3 20 (4) Selanjutnya, dengan mengalikan Persamaan (2) dengan 0,5 dan Persamaan (4) dengan 0,87 dan kemudian kedua Persamaan kita kurangkan, kita dapatkan : 0, 435 T2 0, 25T3 0 0, 435 T2 0, 7569 T3 17, 4 1, 019T3 17, 4 T3 17, 4 N 17 N 1, 019 Selanjutnya dari Persamaan (2) dapat kita tentukan besarnya T3 , 0,87 T2 0,5 T3 0 0,87 T2 0,5 T3 T2 0,5 T3 0,517 N 9,8 N 0,87 0,87 Jadi kita dapatkan : T1 20 N, T2 9,8 N dan T3 17 N . Contoh 1.28 : Sebuah balok yang massanya 2 kg mula-mula ditahan diam dipuncak suatu bidang miring. Benda kemudian dilepas dan meluncur pada bidang miring dan sampai di dasar bidang miring dalam waktu 1,5 s. Jika panjang bidang o miring 5 m, sudut kemiringannya 30 , dan g = 10 m/s2 , tentukanlah : 1.80 a. b. Fisika Umum I Percepatan benda Koefisien gesekan benda dengan bidang miring Penyelesaian : a. Gerak benda sepanjang bidang miring adalah gerak lurus dipercepat beraturan. Percepatan benda dapat dihitung dengan Persamaan : f a N wx m wy 30O w Gambar 1.51. Gerak balok pada bidang miring. st v0t 12 at 2 atau, a 2( st v0t ) t2 Dari soal diketahui st 5 m , v0 0 , t = 1,5 s, sehingga kita dapatkan, a 2(5 0) 4, 44 m/s 2 (1,5)2 b. Karena benda bergerak sepanjang miring maka berlaku hukum Newton II : F x ma w sin 30o f ma f w sin 30o ma mg sin 30o ma (2)(10)(0,5) (2)(4, 44) N 1,12 N Kita ketahui bahwa, f N f N 1.81 BIOL4119/MODUL 1 dengan N adalah gaya normal yang merupakan reaksi dari gaya tekan N w cos30o mg cos30o 210 0,87 N 17, 4 N Jadi, kita dapatkan, 1,12 0, 06 17, 4 Jadi, koefisien gesekan bidang miring adalah = 0,06. Contoh 1.29 : Sebuah benda massa m1 = 2 kg diletakkan pada bidang horisontal dan dihubungkan dengan benda lain yang massanya m2 = 1 kg dengan seutas tali, dan benda kedua menggantung melalui sebuah katrol. Jika koefisien gesekan antara benda dan bidang = 0,4 , dan a N T f w1 T w2 2 g = 10 m/s , berapa besar percepatannya gerak benda? Gambar 1.52. Gerak sistem dua benda yang dihubungkan dengan tali. Penyelesaian : Uraian gaya-gaya pada masing-masing benda adalah seperti pada gambar. Untuk benda m1 yang hanya bergerak pada arah horizontal berlaku Persamaan gaya, N w1 0 N w1 m1 g 210 N 20 N f N 0, 4 20 N 8 N T f m1a T 8 2a 2a T 8 (1) Untuk benda m2 berlaku persamaan gaya, 1.82 Fisika Umum I w2 T m2 a m2 g T m2 a 110 T 1 a a 10 T (2) Jika kita jumlahkan persamaan (1) dan (2) kita dapatkan, 2 m/s 2 0,67 m/s 2 3 Jadi percepatan dari sistem ini besarnya a 0,67 m/s2 . 3a 2 a D. Gaya-gaya pada Tubuh Manusia Setiap sel pada tubuh kita menderita gaya gravitasi. Gaya-gaya gravitasi tersebut menghasilkan suatu resultan gaya yang N2 N1 arahnya ke bawah (ke pusat bumi). Titik M tangkap gaya resultan tersebut di dalam tubuh kita dikenal sebagai titik berat. w N2 N1 Selain gravitasi, atau sering disebut w gaya berat, tubuh kita juga menderita gaya (a) (b) lain sebagai reaksi dari gaya berat, yaitu gaya normal bidang yang bekerja pada Gambar 1.53. Gaya-gaya total pada tubuh kedua kaki kita dan arahnya ke atas. Dalam manusia. keadaan setimbang, jumlah gaya aksi-reaksi ini sama dengan nol. Gambar 1.53 menunjukkan gaya-gaya total yang bekerja pada tubuh kita dengan w menyatakan gaya berat, dan N1 dan N 2 adalah gaya-gaya normal yang bekerja pada kedua kaki kita. Dalam keadaan setimbang besarnya gaya-gaya dapat kita tuliskan sebagai, F 0 w N1 N2 Keadaan setimbang juga dapat terjadi pada bagian-bagian tubuh lain seperti tangan, badan, kaki, dan bagian lainnya, yaitu pada saat bagian tubuh itu dalam keadaan diam atau bergerak beraturan. Jika keadaan setimbang terjadi pada salah satu kaki misalnya, maka jumlah gaya-gaya yang bekerja pada kaki tersebut jumlahnya sama dengan nol. Gambar 1.54. 1.83 BIOL4119/MODUL 1 menggambarkan gaya-gaya yang bekerja pada salah satu kaki yang berada dalam keadaan setimbang. Pada kaki tersebut bekerja dua buah gaya yang arahnya condong ke bawah, yaitu gaya yang bekerja pada tulang kaki, dan sebuah gaya yang arahnya condong ke atas, yang merupakan gaya normal bidang. Jumlah gayagaya ini besarnya sama dengan nol, atau dapat kita tuliskan, F 0 N F1 F2 N F2 N F1 F2 F1 (b) (a) Gambar 1.54. Gaya-gaya pada kaki manusia. Ada dua macam kesetimbangan gaya, yaitu kesetimbangan translasi dan kesetimbangan rotasi. Kesetimbangan yang dibahas di atas adalah jenis kesetimbangan translasi. Jenis kesetimbangan yang lain adalah kesetimbangan rotasi. Jenis kesetimbangan ini akan kita jumpai pada saat kita mempelajari momen gaya. E. Kekuatan Tulang Kering (tibia) Pada saat seseorang terjatuh atau melompat dari suatu ketinggian dan mendarat dengan kakinya terlebih dahulu maka ia menderita stress tekan (gaya tekan persatuan luas penampang) sepanjang tulang kakinya. Daerah yang terkena stress yang terbesar adalah tibia (tulang kering), khususnya pada bagian yang luas penampangnya kecil, yaitu sedikit di atas tulang engkel (mata kaki). Tibia dapat menahan gaya tekan sampai kira-kira 5 ´104 N , atau jika seseorang jatuh dengan bertumpu pada dua kakinya 5 maka tulang tibianya dapat menahan gaya tekan kira-kira 10 N. Gaya sebesar ini kira-kira sama dengan 167 kali berat badan manusia jika kita misalkan rata-rata massa manusia 60 kg. Gaya sebesar ini hanya dapat dihasilkan dari tumbukan dan disebut gaya impulsif. Pada modul berikutnya kita akan mempelajari sifat gaya impulsif ini. Pada saat seseorang jatuh dalam keadaan tegak, terjadi gaya tekan yang sangat besar pada kedua kakinya, dan tulang kakinya akan mengalami perubahan panjang (pemendekan). Ketinggian maksimumnya dari jatuhnya seseorang yang tidak mengakibatkan patah tulang kaki dapat dinyatakan dengan, 1.84 Fisika Umum I h Fx w (1.83) dimana: h = ketinggian maksimum w = mg = berat badan manusia F = 10 N 167 w = gaya tekan maksimum x = perubahan panjang tulang kering 5 Jika seseorang jatuh dalam keadaan tegak, maka gaya tekan maksimumnya akan menyebabkan panjang tulang keringnya berkurang 2 (terkompresi) kira-kira 1 cm, atau kira-kira 10 m. Dengan demikian dapat diperkirakan ketinggian maksimum seseorang untuk jatuh atau terjun dalam keadaan selamat adalah, h (167 w)(102 ) 1, 67 m w Jadi jika seseorang jatuh atau terjun bebas dari ketinggian h > 1,67 m, dan jatuhnya dalam keadaan tegak, akan menyebabkan patah tulang keringnya. Stress tekan yang dialami seseorang pada tulang keringnya pada saat dia jatuh dapat dikurangi dengan cara menekuk lututnya, dengan menekuk lutut pada saat jatuh seseorang membuat perlambatan, dan sampai ia mencapai posisi jongkok seolah-olah ia mengalami perlambatan sejauh 0,6 m. Ini berarti memperbesar x pada persamaan di atas sebesar kira-kira 60 kalinya sehingga ketinggian maksimum (h) yang tidak menyebabkan patah tulang kering menjadi kira-kira 60 ´ 1,67 m = 100,2 m. Namun demikian, jatuh dari ketinggian ini bukan berarti akan selamat karena tulang telapak kaki ternyata hanya mampu menahan kira-kira seperduapuluh kali stress maksimum. Jika ini diperhitungkan maka ketinggian maksimum untuk jatuh dengan selamat hanya tinggal kira-kira 5 m. Namun demikian, ketinggian 5 m masih dianggap beresiko, sehingga tidak dianjurkan bagi seseorang untuk terjun bebas dari ketinggian 5 m ! 1.85 BIOL4119/MODUL 1 L AT IH A N 3 Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Dua buah gaya bekerja pada bidang - xy pada koordinat Cartesian. Gayagaya tersebut adalah F1 = 10 N dan F2 = 12 N masing-masing o o membentuk sudut 30 dan 135 terhadap sumbu - x positif. Tentukan besarnya resultan gaya yang dihasilkan 2) Dua buah benda dalam keadaan setimbang pada sistem bidang miring seperti pada Gambar 1.55. Diketahui m1 = 4 kg, m2 = 2 kg, = 30o dan g = 10 m/s2. Jika katrol licin, berapakah besarnya koefisien gesekan bidang miring ? N T T m1 w 1x m2 f 30 O w 1y w1 w2 Gambar 1.55. Sistem dua benda pada bidang miring. 3) Sebuah balok mula-mula ditahan diam dipuncak sebuah bidang miring yang sudut kemiringannya 45o. Ketika dilepas, balok meluncur pada bidang miring dengan percepatan 2 m/s2. Jika g = 10 m/s2 , berapa besarnya koefisien gesekan balok dengan bidang miring ? 4) Jika seseorang jatuh bebas dari ketinggian 1,67 m, berapa besar kecepatannya pada saat mendarat di tanah dan berapa lama proses perlambatannya ? 1.86 Fisika Umum I Petunjuk Penyelesaian Latihan 1) Uraian gaya-gaya pada bidang-xy, y F2 F2 y F1 F1 y 135o F2 x 30o F1 x O x F1x F1 cos30o F2 x F2 cos135o F1 y F1 cos30o F2 y F2 sin135o Rx Fx F1x F2 x Ry Fy F1 y F2 y R Rx2 Ry2 Catatan : Gunakan Kalkulator 2) Benda m2 setimbang, T w2 m2 g N T m1 w 1x Benda m1 setimbang, T w1 sin f T (1) m2 f (2) 30 O w 1y w1 Dari (1) dan (2) dapat ditentukan f, dan dicari dari hubungan, f N f N w2 1.87 BIOL4119/MODUL 1 dengan, N w1 y w1 cos m1 g cos . 3) F w sin f N f a w sin N w sin w cos w (sin - cos ) wx m wy w dengan w = mg. Hukum Newton II, F ma w (sin - cos ) m a mg (sin - cos ) m a Dari persamaan di atas dapat dicari besarnya koefisien gesekan . 4) Dari persamaan gerak jatuh bebas, ht h0 v0t 12 gt 2 dengan v0 = 0 (jatuh bebas) dan ht = 0 (jatuh di tanah) didapat, t2 2h0 g t 2h0 g atau, Kecepatan pada saat jatuh, vt v0 gt , v0 0 dengan h0 = 1,67 dan g = 9,8 m/s2 maka vt dapat dicari. 1.88 Fisika Umum I R A NG K UM A N Gaya adalah penyebab perubahan gerak dan merupakan besaran vektor. Dengan konsep gaya, Newton memformulasikan hukum-hukum tentang gerak benda dan gravitasi sebagai berikut: F 0 F ma setimbang (diam atau bergerak lurus beraturan) Faksi Freaksi Fg G m1m2 r2 Diantara gaya-gaya mekanik yang kita kenal adalah gaya tegangan tali, gaya gesekan dan gaya normal. Hubungan antara gaya gesekan dan gaya normal dinyatakan dengan : f N dengan adalah koefisien gesekan. Hukum-hukum Newton dapat diterapkan untuk memecahkan persoalan sistem tegangan tali, sistem bidang miring dan sistem ketahanan tulang manusia. T E S F OR MA TIF 3 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Dua buah gaya sama besarnya, yaitu masing-masing 10 N, bekerja pada titik pangkal yang sama. Perpaduan dua gaya tersebut menghasilkan resultan gaya sebesar 15 N. Besarnya sudut apit kedua gaya tersebut adalah … A. 60 o C. 75,5 o o B. 68 D. 82,8 o 1.89 BIOL4119/MODUL 1 2) Dua buah gaya masing-masing besanya 4 N dan 6 N bekerja pada bidang - xy pada sistem koordinat Cartesian. Gaya yang besarnya 4 N membentuk sudut 60o terhadap sumbu-x positif dan yang lain membentuk sudut 150o. Besarnya resultan gaya pada arah - x adalah… 2 3 3 N 3 2 3 N A. Rx 2 3 3 N C. Rx 3 2 3 N B. Rx D. Rx 3) Dari soal No.2, besarnya resultan gaya pada arah - y adalah . . . . 2 3 3 N 3 2 3 N A. Ry 2 3 3 N C. Ry 3 2 3 N B. Ry D. Ry 4) Dari soal No.2, besarnya resultan gaya pada bidang - xy adalah . . . . A. R 13 N C. R 10 N B. R 2 13 N D. R 2 10 N 5) Sebuah benda dengan massa 5 kg diletakkan pada sebuah bidang miring yang sudut kemiringannya . Jika koefisien gesekan bidang miring = 0,6 dan g = 10 m/s2, dan benda dalam keadaan diam, maka besarnya sudut = . . . . A. 23o C. 31o o B. 28 D. 36o 6) Jika pada soal No.5 sudut kemiringan diperbesar sampai = 45o dan g = 10 m/s2 maka benda bergerak dengan percepatan . . . . A. 2 2 m/s 2 C. 12 2 m/s2 B. 2 m/s2 D. 1 4 2 m/s2 7) Dua buah benda berada pada sistem bidang miring seperti pada Gambar 1.56. Diketahui m1 = 3 kg, m2 = 2 kg, 2 = 30o dan g = 10 m/s . Jika sistem dalam keadaan setimbang, maka besarnya koefisien gesekan antara benda dan bidang adalah . . . . N T T 1 w 1x m f 30 O m2 w 1y w1 w2 Gambar 1.56. Sistem dua benda pada bidang miring. 1.90 Fisika Umum I A. 0,2 B. 0,3 C. 0,4 D. 0,5 8) Pada soal No.7, besarnya tegangan tali T adalah, A. 10 N B. 20 N C. 30 N D. 40 N 9) Jika seorang dengan massa 60 kg menjatuhkan diri dari ketinggian 0,75 m dengan posisi jatuh tegak pada kedua kakinya, maka tulang keringnya akan mengalami kompresi (pengurangan panjang) sebesar, A. 4,5 ´102 m C. 4,5 ´103 m B. 2, 2 ´102 m D. 2, 2 ´103 m Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 3 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 3. Tingkat penguasaan = Jumlah jawaban yang benar ´ 100% Jumlah soal Arti tingkat penguasaan : 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 3, terutama bagian yang belum dikuasai. 1.91 BIOL4119/MODUL 1 Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 Tes Formatif 2 Tes Formatif 3 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) D C A C C B C D C B D B C A D A B C D D B C B C A A B C 1.92 Fisika Umum I Daftar Pustaka Cromer, A.H. (1981). Physics for The Life Science, Second Edition. International Student Edition. Giancoli, D.C. (1995). Physics, Fourth Edition. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall International, Inc. Hobbie, R.K. and Roth, B.J. (2007). Intermediate Physics for Medicine and Biology. Fourth Edition. Springer. Marion, J.B. (1979). General Physics with Bioscience Essays. New York: John Willey & Sons, Inc. Marion, J.B. & Hornyak, W.F. (1984). Principles of Physics. Student College Publishing. O’Dwyer, J.J. (1984). College physics. Second Edition. Wadsworth Publishing Company. Serway, R.A. (1982). Physics for Scientist and Engineers. Second Edition. Sounders College Publishing.