3. determinan - Staffsite STIMATA

3. DETERMINAN
Setiap matriks bujur sangkar A selalu mempunyai suatu besaran skalar yang disebut
determinan. Sebaliknya, setiap matriks yang tidak bujur sangkar tidak mempunyai
determinan.
Determinan adalah nilai real yang dihitung berdasarkan nilai elemen-elemennya, simbol
det(A) atau |A|. Jika nilai determinan itu nol, matriks bujur sangkar tersebut singular, artinya
tidak memiliki invers. Jika nilai determinan tidak nol, berarti matriks A tersebut non singular,
yaitu matriks tersebut mempunyai invers.
1. Perhitungan determinan matriks bujur sangkar
a. Determinan Matriks ordo 2 x 2
Misalkan diketahui matriks A = [
]
Determinan matriks A didefinisikan sebagai berikut:
] = a11 a22 – a21a12
det(A) = [
Contoh :
A=[
] maka det(A) = 1.5 -3.5 = 5 - 15= -10
b. Determinan matriks ordo 3 x 3
Misalkan diketahui matriks A = [
]
Untuk mencari determinan dari matriks 3 x 3 digunakan metode Sarrus yang langkahlangkahnya adalah sebagai berikut:
_
_
_
a11
a12 a13
a11
a12
a21
a22
a23
a21
a22
a31
a32
a33
a31
a32
+
+
+
det(A) = (a11 a22 a33 + a12 aa23 a31 + a13 a21 a32 ) – (a31 a22 a13 + a32 a23 a11 + a33 a21 a12)
Contoh :
Tentukan determinan matriks A = [
]
Jawab :
-3
4
2
-3
4
det(A) = 2
1
3
2
1
0 -1
1
0
1
= [(-3).1.(-1) + 4.3.1 + 2.2.0] – [1.1.2 + 0.3.(-3) + (-1).2.4]
= (3 + 12 + 0] – [2 + 0 – 8]
= 21
c. Minor dan Kofaktor
Minor dari matriks Aij adalah det(Aij) dan kofaktornya adalah (-1)i+j det(Aij). Disini
Aij adalah matriks A dengan elemen-elemen baris ke-i dan elemen-elemen kolom ke-j
dibuang.
Contoh :
Diketahui matriks A = [
] , tentukan minor dan kofaktor dari A11 dan A32
Jawab :
A11 = matriks A dengan elemen-elemen baris ke-1 dan elemen-elemen kolom ke-1
dibuang.
A11 = [
]=[
]
Minor A11
= det(A11)
= 1.(-1) – 0.3 = -1
Kofaktor A11
= (-1)i+j det(A11)
= (-1)1+1 (-1) = -1
A32 = matriks A dengan elemen-elemen baris ke-3 dan elemen-elemen kolom ke-2
dibuang.
A11 = [
]=[
]
Minor A32
= det(A32)
= (-3).3 – 2.2 = -13
Kofaktor A32
= (-1)i+j det(A32)
= (-1)3+2 (-13) = 13
d. Determinan Matriks ordo n x n
Determinan matriks ordo n x n dihitung menggunakan teorema Laplace.
Teorema Laplace :
Determinan dari suatu matriks sama dengan jumlah perkalian elemen-elemen dari
sembarang baris/kolom dengan kofaktor-kofaktornya.
det(A) = ∑
(
(
)
)
(
)
(
)
dengan i sembarang disebut ekspansi baris ke-i, atau
det(A) = ∑
(
)
(
)
(
)
(
)
dengan j sebarang disebut ekspansi baris ke-j. Kof(Aij) adalah kofaktor dari Aij
Contoh :
Hitung determinan matriks A = [
]
Ekspansi kolom ke-1 :
det(A) = 2. [
] - 0. [
= 2. [
] - 0. [
= 2. [
]
] + 0. [
] + 0. [
]-0. [
] - 0. [
]
]
Ekspansi baris ke-1 :
det(A) = 2.0. [
] - 2.3. [
] + 2.0. [
]
= 0 – 6.(-6) +0 = 36
2. Sifat-sifat Determinan
1. Nilai determinan tidak berubah bila semua baris diubah menjadi kolom atau semua
kolom diubah menjadi baris, dengan kata lain :
det(A) = det(AT)
Contoh :
A=[
], maka AT = [
]
det(A) = 6.0 – 2.5 = -10
det(AT) = 6.0 – 5.2 = -10
2. det(AB) = det(A) det(B)
Contoh :
A=[
], dan B = [
] maka AB =[
][
]=[
]
det(A) = 6.0 – 2.5 = -10
det(B) = 10.0 – 4.15 = -60
det(A) det(B) =(-10).(-60) = 600
det(AB) = 75.8 -0.74 = 600
3. Jika dua baris/kolom dipertukarkan tempatnya, tanda determinan berubah
Contoh :
A=[
] maka B = H12(A) = [
] + 1.[
] dan C = K12(A) = [
det(A) = 0.[
]- 0.[
det(B) = 2.[
]- 0.[
] 0.[
] = 2 ekspansi kolom ke-1
det(C) = 0.[
]- 0.[
] + 1.[
] = 2 ekspansi baris ke-3
]
] = -2 ekspansi baris ke-3
4. Pada suatu determinan terdapat 2 baris atau 2 kolom yang identik, maka harga
determinan itu = 0
Contoh :
A=[
] , baris ke-1 dan ke-2 sama, maka |A|= 0
5. Bila nilai determinan tidak berubah, jika elemen-elemen sebuah baris/kolom ditambah
atau dikurangi dengan suatu kelipatan nilai real dari elemen-elemen dari baris/kolom
lain.
] maka, B = H13(-2) =[
A =[
] + 1.[
], C = K21(3)(A) =[
det(A) = 0.[
]- 0.[
det(B) = 0.[
]- 0.[
] 1.[
] = -2 ekspansi baris ke-3
det(C) = 0.[
]- 0.[
] + 1.[
] = -2 ekspansi baris ke-3
]
] = -2 ekspansi baris ke-3
6. Besar determinan menjadi β kali, bila suatu baris/kolom dikalikan dengan skalar β.
Contoh :
] maka, B = H3(2) =[
A =[
] + 1.[
], C = K1(2)(A) =[
det(A) = 0.[
]- 0.[
det(B) = 0.[
]- 0.[
] 2.[
] = -4 ekspansi baris ke-3
det(C) = 0.[
]- 0.[
] + 1.[
] = -4 ekspansi baris ke-3
]
] = -2 ekspansi baris ke-3
7. Apabila semua unsur dalam satu baris atau kolom = 0, maka harga determinan = 0
Contoh :
A=[
]
det(A) = 0.5 – 0.4 = 0 – 0 = 0
8. Jika suatu matriks merupakan matriks segitiga atas atau segitiga bawah, maka hasil
determinanya merupakan hasilkali dari elemen-elemen yang terletak pada diagonal
utamanya.
Contoh :
A=[
] maka | |
B=[
] maka | |
9. Jika A adalah matriks segitiga n x n, maka det(A) adalah hasil kali elemen-elemen
pada diagonal utama.
Contoh :
|
|
| = (2) (-3) (6) (9)(4) = -1296
|
Latihan soal :
1. Hitunglah nilai determinan dari matriks-matriks berikut :
A=[
] B=[
] C=[
]
2. Hitunglah nilai determinan dari matriks-matriks berikut :
A=[
] B=[
] C=[
3. Diketahui dua buah matriks berikut :
A=[
] B=[
]
Hitung determinan dari (AB)T
4. Berapakah nilai x jika |
| = 0 adalah ....
]
5. Nilai-nilai a yang memenuhi [
] = 0 adalah ...