Sistem Bilangan Riil

Sistem Bilangan Riil
Sistem bilangan
N : bilangan
asli
Z : bilangan bulat
Q : bilangan rasional
R : bilangan real
N:
1,2,3,….
Z:
…,-2,-1,0,1,2,..
Q:
q=
a
, a, b ∈ Z , b ≠ 0
b
R = Q ∪ Irasional
Contoh Bil Irasional
2 , 3, π
MA 1114 Kalkulus 1
2
Garis bilangan
Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebut
dengan garis bilangan(real)
2
-3
0 1
π
Selang
Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang
MA 1114 Kalkulus 1
3
Selang
Jenis-jenis selang
Himpunan
{x x < a}
{x x ≤ a}
{x a < x < b}
{x a ≤ x ≤ b}
{x x > b}
{x x ≥ b}
{x x ∈ ℜ}
selang
(- ∞, a )
Grafik
a
(- ∞, a]
a
(a, b)
[a, b]
(b, ∞)
a
b
a
b
b
[b, ∞)
b
(∞, ∞)
MA 1114 Kalkulus 1
4
Sifat–sifat bilangan real
•  Sifat-sifat urutan :
q Trikotomi
Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku
salah satu dari x < y atau x > y atau x = y
q Ketransitifan
Jika x < y dan y < z maka x < z
q Perkalian
Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz,
sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz
MA 1114 Kalkulus 1
5
Pertidaksamaan
l Bentuk umum pertidaksamaan :
A(x ) D(x )
<
B (x ) E ( x )
l dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah suku
banyak (polinom) dan B(x) ≠ 0, E(x) ≠ 0
MA 1114 Kalkulus 1
6
Pertidaksamaan
l  Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah
mencari semua himpunan bilangan real yang
membuat pertidaksamaan berlaku. Himpunan
bilangan real ini disebut juga Himpunan
Penyelesaian (HP)
l  Cara menentukan HP :
1.  Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :
P( x)
<0
Q( x)
MA 1114 Kalkulus 1
7
Pertidaksamaan
2.  Faktorkan P(x) dan Q(x) menjadi faktor-faktor
linier dan/ atau kuadrat
3.  Tentukan titik pemecah (pembuat nol faktor
linear) . Gambarkan titik-titik pemecah tersebut
pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda
(+, -) pertidaksamaan di setiap selang bagian
yang muncul
MA 1114 Kalkulus 1
8
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
1
13 ≥ 2 x − 3 ≥ 5
13 + 3 ≥ 2 x ≥ 5 + 3
16 ≥ 2 x ≥ 8
8≥ x≥4
4≤ x≤8
Hp = [4,8]
4
MA 1114 Kalkulus 1
8
9
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
2
− 2 < 6 − 4x ≤ 8
− 8 < −4 x ≤ 2
8 > 4 x ≥ −2
− 2 ≤ 4x < 8
1
− ≤x<2
2
⎡ 1 ⎞
Hp = − ,2 ⎟
⎢ 2
⎣
⎠
−
1
MA 1114 Kalkulus 1
2
2
10
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
2
2
x
− 5x − 3 < 0
3
(2x +1)(x − 3) < 0
1
Titik Pemecah (TP) : x = −
dan
2
++
--
−
1
x=3
++
3
2
⎛ 1 ⎞
Hp = ⎜ − ,3 ⎟
⎝ 2 ⎠
MA 1114 Kalkulus 1
11
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
4 2 x − 4 ≤ 6 − 7 x ≤ 3x + 6
dan 6 − 7 x ≤ 3 x + 6
2x − 4 ≤ 6 − 7x
2x + 7x ≤ 6 + 4
9 x ≤ 10
10
x≤
9
10
x≤
9
dan − 7 x − 3 x ≤ −6 + 6
dan
− 10 x ≤ 0
dan
10 x ≥ 0
dan
x≥0
MA 1114 Kalkulus 1
12
10 ⎤
⎛
Hp = ⎜ − ∞, ⎥ ∩ [0, ∞ )
9 ⎦
⎝
0
10
9
Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :
⎡ 10 ⎤
Hp = ⎢0, ⎥
⎣ 9 ⎦
MA 1114 Kalkulus 1
13
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
1
2
<
5.
x + 1 3x − 1
1
2
−
<0
x + 1 3x − 1
(3x − 1) − (2 x + 2) < 0
(x + 1)(3x − 1)
x −3
<0
(x + 1)(3x − 1)
1
,3
TP : -1, −
3
--
++
-1
−1
-3
++
3
⎛ 1 ⎞
Hp = (− ∞,−1) ∪ ⎜ − ,3 ⎟
⎝ 3 ⎠
MA 1114 Kalkulus 1
14
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
6.
x +1
x
≤
2− x 3+ x
x +1
x
−
≤0
2− x 3+ x
(x + 1)(3 + x ) − x(2 − x ) ≤ 0
(2 − x )(3 + x )
2x2 + 2x + 3
≤0
(2 − x )(x + 3)
MA 1114 Kalkulus 1
15
Untuk pembilang 2 x 2 + 2 x + 3 mempunyai nilai
Diskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalu
positif, Jadi TP : 2,-3
Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah.
--
++
--
-3
Hp =
2
(∞,−3)∪ (2, ∞)
MA 1114 Kalkulus 1
16
Pertidaksamaan dgn nilai
mutlak
l Definisi :
⎧ x , x ≥ 0
x = ⎨
⎩− x , x < 0
Arti Geometris |x| : Jarak dari x ke titik 0(asal)
MA 1114 Kalkulus 1
17
Pertidaksamaan nilai mutlak
l  Sifat-sifat nilai mutlak:
1
2
x = x2
3
x ≤ a, a ≥ 0 ↔ − a ≤ x ≤ a
x ≥ a, a ≥ 0 ↔ x ≥ a atau x ≤ − a
4
x ≤ y
5
x
x
=
y
y
↔ x2 ≤ y 2
6. Ketaksamaan segitiga
x+ y ≤ x + y
x− y ≥ x − y
MA 1114 Kalkulus 1
18
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Contoh :
1. 2 x − 5 < 3
Kita bisa menggunakan sifat ke-2.
⇔ −3 < 2 x − 5 < 3
⇔ 5 − 3 < 2x < 3 + 5
⇔ 2 < 2x < 8
⇔1< x < 4
Hp = (1,4)
1
MA 1114 Kalkulus 1
4
19
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
2.
2x − 5 < 3
Kita bisa juga menggunakan sifat ke-4,
karena ruas kiri maupun kanan keduanya positif.
2
⇔ (2 x − 5) < 9
2
⇔ 4 x − 20 x + 16 < 0
⇔ 4 x 2 − 20 x + 25 < 9
2
⇔ 2 x − 10 x + 8 < 0
⇔ (2x − 2)(x − 4) < 0
++
-1
Hp =
++
4
(1,4)
TP : 1, 4
MA 1114 Kalkulus 1
20
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian pake definisi
3.
2x + 3 ≥ 4x + 5
Kita bisa menggunakan sifat 4
2
2
⇔ (2 x + 3) ≥ (4 x + 5)
2
2
⇔ 4 x + 12 x + 9 ≥ 16 x + 40 x + 25
2
⇔ −12 x − 28 x − 16 ≥ 0
2
⇔ 3x + 7x + 4 ≤ 0
TP :
4 , -1
−
3
MA 1114 Kalkulus 1
21
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Jika digambar pada garis bilangan :
++
--
−4
3
++
-1
4
Hp = ⎡− , ∞ ⎞⎟ ∩ (− ∞,−1]
⎢ 3
⎣
⎠
MA 1114 Kalkulus 1
22
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
4.
x
+7 ≥ 2
2
x
⇔ +7 ≥ 2
2
x
⇔ ≥ −5
2
⇔ x ≥ −10
atau
atau
atau
[
x
+ 7 ≤ −2
2
x
≤ −9
2
x ≤ −18
]
Hp = −10, ∞) ∪ (− ∞,−18
-18
-10
MA 1114 Kalkulus 1
23
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
5. 3 x − 2 − x + 1 ≥ −2
Kita definisikan dahulu :
⎧ x + 1 x ≥ −1
x + 1 = ⎨
⎩− x − 1 x < −1
⎧ x − 2 x ≥ 2
x − 2 = ⎨
⎩2 − x x < 2
Jadi kita mempunyai 3 interval :
I
(− ∞,−1)
-1
II
III
[− 1,2)
[2, ∞)
2
MA 1114 Kalkulus 1
24
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
I. Untuk interval x < −1
(− ∞,−1)
3 x − 2 − x + 1 ≥ −2
atau
⇔ 3(2 − x) − (− x − 1) ≥ −2
⇔ 6 − 3x + x + 1 ≥ −2
⇔ 7 − 2 x ≥ −2
⇔ −2 x ≥ −9
⇔ 2x ≤ 9
9
⇔x≤
2
atau
9 ⎤
⎛
⎜ − ∞, ⎥
2 ⎦
⎝
MA 1114 Kalkulus 1
25
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
9
Jadi Hp1 = ⎛⎜ − ∞, ⎤⎥ ∩ (− ∞,−1)
2 ⎦
⎝
-1
9
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
bahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah (− ∞,−1)
sehingga Hp1 = (− ∞,−1)
MA 1114 Kalkulus 1
26
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
II. Untuk interval − 1 ≤ x < 2
atau
[− 1,2)
3 x − 2 − x + 1 ≥ −2
⇔ 3(2 − x) − (x + 1) ≥ −2
⇔ 6 − 3x − x − 1 ≥ −2
⇔ 5 − 4 x ≥ −2
⇔ −4 x ≥ −7
⇔ 4x ≤ 7
7
⇔x≤
4
7 ⎤
⎛
atau ⎜ − ∞, ⎥
4 ⎦
⎝
MA 1114 Kalkulus 1
27
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
7
Jadi Hp2 = ⎛⎜ − ∞, ⎤ ∩ [− 1,2 )
⎥
4 ⎦
⎝
-1
7
4
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
7 ⎤
bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah ⎡
⎢− 1, 4 ⎥
⎣
⎦
⎡ 7 ⎤
sehingga Hp2 = ⎢− 1, ⎥
4 ⎦
⎣
MA 1114 Kalkulus 1
28
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
III. Untuk interval
x≥2
atau
[2, ∞)
3 x − 2 − x + 1 ≥ −2
⇔ 3(x − 2) − (x + 1) ≥ −2
⇔ 3x − 6 − x − 1 ≥ −2
⇔ 2 x − 7 ≥ −2
⇔ 2x ≥ 5
5
⇔x≥
2
atau
⎡ 5 ⎞
⎢ 2 , ∞ ⎟
⎣
⎠
MA 1114 Kalkulus 1
29
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Jadi Hp3 = ⎡ 5 , ∞ ⎞⎟ ∩ [2, ∞ )
⎢
⎣ 2
⎠
2
5
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah ⎡ 5 ⎞
sehingga
⎢ 2 , ∞ ⎟
⎣
⎡ 5 ⎞
Hp3 = ⎢ , ∞ ⎟
⎣ 2 ⎠
MA 1114 Kalkulus 1
⎠
30
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Hp = Hp1 ∪ Hp2 ∪ Hp3
⎡ 7 ⎤ ⎡ 5 ⎞
Hp = (− ∞,−1) ∪ ⎢− 1, ⎥ ∪ ⎢ , ∞ ⎟
⎣ 4 ⎦ ⎣ 2 ⎠
Untuk lebih mempermudah, masing-masing interval
digambarkan dalam sebuah garis bilangan
MA 1114 Kalkulus 1
31
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
-1
7
-1
7
-1
7
4
5
2
5
4
4
5
2
2
7 ⎤ ⎡ 5 ⎞
⎡
Jadi Hp = ⎢− ∞, ⎥ ∪ ⎢ , ∞ ⎟
4 ⎦ ⎣ 2 ⎠
⎣
MA 1114 Kalkulus 1
32
Soal Latihan
Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
1 x − 2 ≥ 1− x
4 − 2x
7. x + 1 − x + 2 ≤ 2
x − 2 x +1
≤
2
2
x
x+3
3 2 − x + 3 − 2x ≤ 3
4 x +1 2 + 2 x + 2 ≥ 2
5 2x + 3 ≥ 4x + 5
6 x + 3x ≤ 2
MA 1114 Kalkulus 1
33