(Limit dan Fungsi).

BAB II
LIMIT dan FUNGSI KONTINU
2.1
LIMIT
Definisi 2.1
Fungsi y  f (x ) dikatakan mempunyai limit L untuk x mendekati a,
ditulis lim f ( x )  L , jika untuk setiap bilangan  0 (yang bagaimanapun
x a
kecilnya) dapat ditunjuk bilangan  0 (biasanya bergantung pada  ) sedemikian
hingga f ( x)  L   untuk 0  x  a   .
Contoh:
Gunakan Definisi 2.1 di atas untuk membuktikan bahwa lim 3 x  5  1 !
x2
Penyelesaian:
Akan ditunjukkan bahwa jika diberikan sebarang bilangan positif  , maka
dapat ditemukan suatu bilangan positif  sedemikian hingga
3x  5  1  
untuk 0  x  2  
3x  6   untuk 0  x  2  
3 x  2   untuk 0  x  2  
x  2   untuk 0  x  2  
3
Dari (1) didapat  =  . Ini membuktikan bahwa lim 3 x  5  1 .
3
x2
Dalil-dalil Limit:
Jika lim f ( x )  L dan lim g ( x )  M , maka:
x a
1. lim  f ( x )  g ( x )  L  M
x a
x a
2. lim  f ( x ). g ( x )  L.M
x a
1
1
 , jika L  0
x a f ( x )
L
f ( x) L
4. lim
, jika M  0

x a g ( x )
M
3. lim
6
(1)
2.2
FUNGSI KONTINU
Definisi 2.2
Suatu fungsi f(x) dikatakan kontinu di x = a jika:
(i) f (a ) terdefinisi
(ii) lim f ( x ) ada
xa
(iii) lim f ( x ) = f (a )
xa
Ringkasnya f(x) dikatakan kontinu di x = a jika lim f ( x ) = f (a ) .
xa
Jika f (x ) kontinu pada setiap titik dari suatu interval maka f (x ) dikatakan
kontinu pada interval tersebut. Jika satu atau lebih dari syarat-syarat kontinuitas di
atas tidak dipenuhi, maka f (x ) dikatakan diskontinu (tidak kontinu) di x = a.
Contoh:
Diberikan fungsi :
f ( x)  x 2
dan
 x2  4
,

g ( x)   x  2
3 ,

x2
x2
Selidikilah kontinuitas fungsi f (x) dan g(x) di x = 2 !
Penyelesaian:
◄
Akan diselidiki kontinuitas fungsi f (x) di x = 2.
(1) f (2)  22  4
(terdefinisi)
(2) lim f ( x)  lim x2  22  4 (ada)
x 2
x 2
(3) lim f ( x)  f (2)  4
x2
(syarat lim f ( x)  f (a ) dipenuhi)
xa
Jadi f (x) kontinu di x = 2.
◄
Akan diselidiki kontinuitas fungsi g (x) di x = 2.
(1) g ( 2)  3
(terdefinisi)
(2) lim g ( x)  lim
x 2
x 2
x  2x  2  lim x  2  2  2  4 (ada)
x2  4
 lim
x

2
x 2
x2
x2
(3) lim g ( x)  g (2)
x2
(syarat lim g ( x)  g (a) tidak dipenuhi)
xa
Jadi g (x ) diskontinu di x = 2.
7
Soal-soal Latihan 2
 x  1, x  0
1. Selidiki kontinuitas f ( x)  
0 , x  0
di x  0 !
2. Tunjukkan bahwa f ( x) 
1
diskontinu di x  2 !
x2
x 2 ,
3. Selidiki apakah fungsi f ( x)  
 x  2
1  x  1
, 1 x  2
kontinu di x  1!
4. Diberikan fungsi f ( x) 
x2  4
x2
(a) Tunjukkan bahwa fungsi f(x) diskontinu di x  2 !
(b) Dapatkah diskontinuitas ini dihapuskan ?
8
Pembahasan Soal-Soal Latihan 2
 x  1, x  0
1. Akan diselidiki kontinuitas dari fungsi f ( x)  
di x  0
0 , x  0
(1) f (0)  0  1  1
(terdefinisi)
(2) lim f ( x)  0
(limit kiri)
x 0
lim f ( x)  1
(limit kanan)
x 0 
Karena lim f ( x)  lim f ( x) , maka lim f ( x ) tidak ada
x 0
x 0
x0
Jadi, f (x ) diskontinu di x  0 .
2. Akan ditunjukkan bahwa f ( x ) 
(1) f (2) 
1
1

22 0
(2) lim f ( x )  lim
x 2
x 2
Jadi, f ( x ) 
1
diskontinu di x  2
x2
(tidak terdefinisi)
1
x2
(tidak ada)
1
diskontinu di x  2 .
x2
x 2 ,
3. Akan diselidiki apakah fungsi f ( x)  
 x  2
kontinu di x  1
(1) f (1)  12  1
(terdefinisi)
1  x  1
, 1 x  2
(2) lim f ( x)  lim x  1
2
x1
x1
x 1
x 1
lim f ( x)  lim  x  2  1
Karena lim f ( x)  lim f ( x)  1 , maka lim f ( x )  1 (ada)
x 1
x 1
x 1
(3) lim f ( x)  1  f (1)
x 1
Jadi, f (x ) kontinu di x  1.
2
4. Diberikan fungsi f ( x)  x  4
x2
(c) Akan ditunjukkan bahwa fungsi f(x) diskontinu di x  2
22  4 0
(1) f (2) 
(tidak tentu)

22 0
x2  4
 4 (ada)
x 2
x 2 x  2
Jadi, f (x ) diskontinu di x  2 .
(2) lim f ( x)  lim
(d) Diskontinuitas ini dapat dihapuskan dengan menambahkan lagi
ketentuan fungsi sbb:
x2  4

f ( x)   x  2
4

,
x2
,
x2
9