distribusi kontinu - FMIPA Personal Blogs

DISTRIBUSI KONTINU
•
•
•
Uniform
Normal
Gamma & Eksponensial
MA 2181 Analsis Data
Utriweni Mukhaiyar
Oktober 2011
By NN 20088
Distribusi Uniform
2

Distribusi kontinu yang paling sederhana

Notasi: X ~ U (a,b)
( , )

f.k.p:
f(x)
 1
, a xb

f(x) =  b  a
0
, x lainnya
Rataan :
a
Variansi :
b
ba
2
(b - a ) 2
Var ( X ) 
12
E[ X ] =
Distribusi Normal (Gauss)
3
Karl Friedrich Gauss
1777-1855



- Banyak digunakan
- Aproksimasi Binomial
- Teorema limit pusat
Penting dipelajari
Notasi: X ~ N ( , 2)
f.k.p:
1
f ( x) 
e
 2
 = 3.14159…
rataan
1  x 
 2   
2
, - < x < 
Simpangan baku
/standar deviasi
e = 2.71828…
• N(0,1)
N(0 1) disebut normal standar (baku)
Kurva Normal
Modus tunggal
gg
Titik belok
Titik belok
Total luas
daerah di
bawah kurva =1
Simetri
terhadap
x=
http://www.comfsm.fm/~dleeling/statistics/normal_curve.gif
4
Peluang X di
sekitar
kit 11, 2,
2
dan 3
Pengaruh  dan 
Kurva normal
dengan 
yang sama
1 < 2 < 3

2
Kurva normal
g y
yang
g
dengan
sama
3
 parameter
p
skala

1 < 2 < 3
 parameter
lokasi
5



Luas di bawah kurva Normal
P(  X  )  1
6
X ~ N(,)

P (z1 < Z < z2)
P(a < X < b)
X ~ N(,)
Z ~ N(0,1)
a-m
z1 =
s
0
z2 =
b-m
s
Menghitung Peluang Normal
7
Sulit !!!
Harus dihitung
secara numerik
1. Cara langsung
b
1
e
2
a 
P ( a  X  b)  
2.
1  x 
 2   
Dengan tabel normal standar P (Z  z)
2
dx
Z
X 

N(0,1)
Arti Tabel Normal
8

Misal Z ~ N(0,1)
N(0 1) dan z  R,
R -3,4
-3 4  z  3,4
34
z
P( Z  z ) 


P(Z  z )
1
2
e
 x2 / 2
dx
P(Z
(  z)) DITABELKAN
untuk -3.4  z  3.4
Membaca Tabel Normal
9
P(Z  1,24 )
Hitung P (0  Z  1,24 )
10
P(0  Z  1,24 ) = P(Z  1,24 ) - P(Z  0 )
= 0,8925 – 0,5 = 0,3925
P(Z  0 )
P(Z  1,24 )
Contoh 1
11
Suatu perusahaan listrik
menghasilkan bola lampu yang
umurnya berdistribusi normal
dengan rataan 800 jam dan
standar deviasi 40 jam.
http://www.nataliedee.com/101906/nightshift-atthe-factory-factory.jpg
Hitunglah peluang suatu bola lampu
dapat menyala antara 778 dan 834 jam
http://ismailfahmi.org/wp/wpcontent/uploads/2007/07/light-bulb.jpg
Jawab
12
Misal X : umur bola lampu
X ~ N (800,402)
X -m
=
Z
D
Dengan
transformasi
f
i
:
s
834  800 
 778  800
P(778  X  834)  P 
Z

40
40


,  Z  0,85)
, )
 P(0,55
 P ( Z  0,85)  P ( Z  0,55)
 0,8023  0, 2912
 0,5111
Contoh 2
13
Suatu pabrik dapat memproduksi
voltmeter dengan kemampuan
pengukuran
k
ttegangan, rataan
t
40 volt
lt
dan standar deviasi 2 volt. Misalkan
tegangan tersebut berdistribusi
normal.
Dari 1000 voltmeter yang
diproduksi, berapa voltmeter
yang ttegangannya melebihi
l bihi
43 volt?
Jawab
14
Misal X : tegangan voltmeter
X ~ N (40, 4)
X -m
D
Dengan
transformasi
f
i Z= s
X  43 

P ( X  43)  P  Z 

2


 P ( Z  1,5)
 1  P( Z  1,5)
 1  0,9332
,
 0, 0668
Banyaknya voltmeter yang
tegangannya
g g
y lebih dari 43
volt adalah
1000 unit x 0,0668
 66 unit
Aproksimasi Binomial dengan Normal
15
Jika
k n   maka
k B(n,p)
( )  N (,2)
dimana  = np dan  2=np(1-p)
np (1  p )
B (6;0,2)
B (15;0,2)
Semakin besar n, binomial semakin dekat
ke normal
Contoh 3
16
Misal peluang seorang pasien
sembuh dari suatu penyakit
demam berdarah adalah 0,4.
http://www.bratachem.com/abate/imag
es/demam.jpg
Bila diketahui ada 100 pasien demam
berdarah, berapa peluangnya bahwa yang
sembuh
a. tepat 30 orang
g dari 30 orang
g
b. kurang
Jawab
17
Misal X : banyaknya pasien yang
sembuh
X ~ B(n,p) , n = 100 ; p = 0,4
Rataan:  = npp = 100 x 0,4 = 40
St.Dev:   np(1  p)  40  0, 6  4,899
a Peluang bahwa
a.
banyaknya pasien
yang sembuh tepat
30 orang adalah:
P( X  30)  P(29,5  X  30,5)
30,5  40 
 29,5  40
 P
Z 
4,899 
 4,899
 P (2,14  Z  1,94)
 P ( Z  1,94)  P( Z  2,14)
 0, 0262  0, 0162
 0,, 01
Jawaban lanjutan
18
b. Peluang bahwa banyaknya
pasien yang sembuh akan
kurang dari 30 adalah:
29 5  40 
29,5

P( X  30)  P  Z 
4,899 

 P ( Z  2,14)
2 14)
 0, 0162
Distribusi Gamma


Notasi X ~ Gamma(,)
f.k.p
 1
x 1e  x / 


f ( x)   ( ) 
0

,0  x  
, x lainnya
  0 dan   0

() disebut fungsi gamma

( )   y  1e  y dy
0



19
dimana (1) = 1 dan () = ( -1)!, jika  > 1
E[X]
[ ] = 
 dan Var(X)
( ) = 
2
Digunakan untuk memodelkan waktu tunggu
Keluarga Gamma(,): distribusi eksponensial, khi kuadrat,
Weibull dan Erlang
Weibull,
Distribusi Eksponensial



Keluarga distribusi
gamma (1, 1/)
Notasi: X ~ Exp ()
f.k.p
 e   x
f ( x)  
0
,0  x  
, x lainnya
y
• E[X] = 1/ 
• Var(X) = 1/ 2
• Digunakan
g
untuk memodelkan waktu antar kedatangan
g
20
Contoh 4
21
Misalkan lama pembicaraan telepon
dapat dimodelkan oleh distribusi
eksponensial, dengan rataan 10
menit/orang.
http://www.beritajakarta.com/images/foto/antri-pasar-muraha.jpg&imgrefurl=http://pdpjaktim.blogspot.com/2007/09/
Bila seseorang tiba-tiba
tiba tiba
mendahului anda di suatu
telepon umum, carilah
peluangnya bahwa anda harus
menunggu:
a. lebih
l bhd
dari 10 menit
b. antara 10 sampai 20 menit
Jawab
22
Misalkan X : lama pembicaraan telepon
Dik. X ~ exp(1/10) sehingga
f ( x)  101 e  x /10
Tapi lama pembicaraan setara dengan waktu
gg .
menunggu
Jadi,
a.
P ( X  10)  1  P ( X  10)
10
 1   101 e  x /10 dx  1  0, 368  0, 632
0
b.
20
P (10  X  20) 

10
1
10
e  x /10 dx  0, 233
Referensi
23
 Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H.,
Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan
Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995.
 Walpole,
p , Ronald E.,, et.al,, 2007,, Statistitic ffor
Scientist and Engineering, 8th Ed., New Jersey:
Prentice Hall.
 Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.
edited 2011 by UM