Medan magnet oleh simpal arus

Matakuliah
Tahun
Versi
: K0014/010
: 2005
: 0/0
Pertemuan 22-23
Medan Magnet
1
Learning Outcomes
Pada akhir pertemuan ini, diharapkan mahasiswa
akan mampu :
• Menerangkan medan magnet : hukum BiotSavart dan gaya gerak listrik → C2 (TIK 22)
2
Outline Materi
• Materi 1
Pendahuluan
- Satuan medan magnet
• Materi 2
Hukum Amper
- Solinoida dan toroida
• Materi 3
Hukum Biot-Savart
- Medan magnet oleh simpal berarus
• Materi 4
Gaya magnetik
- Gaya Lorentz
• Materi 5
Induksi magnet
• Materi 6
Induktansi
3
ISI
• Pertemuan terdahulu pokok bahasan meliputi
masalah muatan listrik , pertemuan ini akan
membahas asal usul medan magnet dan interak
-sinya dengan muatan listrik
. Aplikasi dari medan magnet di antaranya
terdapat dalam pengeras suara , mikrofon , tabir
pendar (monitor) , bantalan magnetik pada
kereta api moderen , industri alat pengendali ,
industri peralatan elektronik , industri alat musik ,
industri pesawat terbang , industri persenjataan
dan lain-lain
4
1. Pendahuluan
Sejak zaman Yunani kuno manusia telah mengenal akan sejenis
batuan yang dapat menarik potongan-potongan besi kecil .
Batuan ini disebut magnetit . Asal kata magnetisme diambil dari
tempat dimana ditemukannya jaenis batuan ini , yaitu di daerah
Magnesia di Asia Kecil . Tahun 1600 William Gilbert menemukan
bumi merupakan magnet alam yang besar dimana kutub-kutub
nya berdekatan dengan kutub utara selatan bumi .
Oersted pada tahun 1820 menemukan bahwa kawat berarus
listrik dapat mempengaruhi kompas .
- Sumber medan magnet
. Magnet batang
. Muatan yang bergerak (lawat penghantar berarus listrik)
- Satuan medan magnet dan flux magnet
5
- Kuat medan medan magnet , H [Amp(A)/m]
- Induksi medan magnet , B [Weber(Wb)/m2] = 1 Tesla(T) =
104 Gauss
- Flux magnet , Φ=Ψ [Weber(Wb)]
- Permeabilitas dalam hampa , μ0 [Wb/(A.m)] = [Henry(H)/m]
2. Hukum Ampere
Hukum Ampere sering pula disebut Hukum integral Ampere
yang bentuk matematisnya adalah sebagai berikut :
 B  dL  
I
0 enc
....................(13-01)
C
Ienc = arus yang memotong lintasan tertutup
- Medan magnet sekitar kawat penghantar panjang berarus listrik .
6
B
Ienc
B
Gambar 13-1
Kawat panjang berarus I
R
lintasan berupa lingkaran jejari R
B menyinggung lintasan dan besarnya konstan
Aturan arah medan B (aturan tangn kanan) :
Arah medan magnet B sesuai dengan arah jari jemari tangan
kanan yang melingkari ibu jari yang menyatakan arah arus .
Dengan persamaan (13-01) besar medan magnet B pada jarak
R dari penghantar beraus I adalah :
∳ B . dL = B ∳ dL= B ( 2πR ) = μ0 I →
B = μ0 I / 2πR
…………………..(13-02)
- Kuat medan magnet B dalam toroida
7
r
Gambar 13-03
Toroida yang digulung rapat dengan
jejari dalam Ra dan luar Rb
I
Ra
Rb
Besarnya B dalam toroida dengan N lilitan dan berarus I
adalah::
B = ( μ0 N I / 2 π r ) ; Ra < r < Rb
............(13-04)
Untuk r < Ra tidak ada arus yang melalui lingkaran berjejari r
sehingga B = 0 , demikian pula untuk r > Rb , B = 0 karena
total arus yang ada dalan lingkaran r > Rb adalah nol (arus
yang masuk pada permukaan luar toroida sama dengan arus
yang keluar dari permukaan dalam toroida)
B = 0 untuk r < Ra dan r > Rb
8
- Kuat medan magnet B dalam solenoida
a
b
I
B
Gambar 13-03 Solenoida panjang L dengan N lilitan padat
Diambil persegi panjang dengan sisi-sisi a dan b yang tegak
lurus lilitan seperti tergambar . Kalau kerapatan lilitan n = N/L
maka arus yang dicakup oleh lintasan tertutupnya adalah n a I
sehingga :
∳ B . dL = B a = μ0 n a I →
B = μ0 n I
……………..(13-05)
3. Hukum Biot-Savart
Hukum Biot-Savart merupakan hasil experimen .
9
. Hukum Biot-Savart dalam bentuk vektor
dB 
atau
 0 I dL x r
4
r3

I dL x a r
dB 
4
r2
0
…………………(13-06)
………………….(13-07)
. Hukum Biot-Savart dalam bentuk skalar
 0 I dL sin 
dB 
4
r2
………………….(13-08)
Dalam persamaan (13-06) r = r ar dimana = ar vektor satuan
arah r .
Besar dan arah kuat medan B di sebuah titik yang berjarak r
dari elemen arus IdL berbanding terbalik dengan jarak kuadrat
10
I
 0 I dL x ar
dBP 
4
r2
dL
r
P
- Kuat medan magnet B disekitar penghantar panjang
berarus I :
A
O L dL
B
I
aΘ r
OP = a
Θ2 Θ1
a tan Θ = L
P
dL = a sec2 Θ dΘ =
Gambar 13-04 Penghantar berarus listrik
11
dL = r2/a dΘ
sehingga berdasarkan persamaan (13-08) :
dB = (μ0 /4π) I/a cos Θ dΘ
B = (μ0I/4πa)( ∫0Θ2cos Θ dΘ + ∫0Θ1cos Θ dΘ )
B = (μ0I / 4πa)( sin Θ1 + sin Θ2 )
................(13-09)
Untuk titik B menuju tah berhingga Θ1 → 900 sehingga
sin Θ1 =1 ; bila titik A menuju ke tak berhingga Θ2 → 900
sehingga sin Θ2 = 1 maka untuk kawat penghantar panjang :
B = μ0I / 2πa
................(13-
10)
sama dengan persamaan (13-02) yang diperoleh dengan
mempergunakan hukum Ampere .
- Medan magnet oleh simpal arus
12
. Medan magnet yang dibangkitkan oleh simpal arus berbentuk
lingkaran ..
P
Komponen medan di titk P
dBV
dB
r
Θ
I
P
dBH
dL
R
Gambar 13-05. Ismpal arus benebntuk lingkaran
Karena simpal arus berbentuk lingkaran maka kuat medan
magnet di titik P adalah simetris sehingga komponen medan
magnet arah horisontal akan saling meniadakan sedangkan
komponen vertikal saling menguatkan .
13
Dengan mempergunakan persamaan (13-07) diperileh kuat
medan magnet di titik P :
 0 I dL x ar  0 Idl
dB 

2
4
4 R 2  z 2
r
Komponen vertkal memberikan :
 R
dBz  dB sin   dB 
 z2  R2





Besar total komponen vertikal :
0IR
Bz   dBz 
dL
2
2 
4 z  R 
14
Integral keliling sepanjang simpal arus memberikan 2πR
sehingga besarnya kuat medan magnet di titik P menjadi :
 0 2 R 2 I
Bz 
4 z 2  R 2  3
2
.....................(13-11)
dan bila titik P berada jauh sekali z >> R sehingga ( z2 + R2)3/2
menjadi z3 dan diperolah :
 0 2m
Bz 
4 z 3
.................. (13-12)
dimana π R2 = A (luasan) dan IA = m , momen magnetik dipol:
Apabila z = 0 maka diperoleh medan magnet B di pusat
simpal arus yang besarnya adalah :
B = B = μ0I / 2R
15
- Medan magnet oleh muatan bergerak
Untuk suatu muatan titik q yang bergerak dengan kecepatan
V maka medan magnet yang dibangkitkannya adalah :
 0 q V x aˆ r
B 
4
r2
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(13-13)
Contoh soal 1 :
Muatan q = 10 nC bergerak dengan kecepatan V = 4 x 107
m/s sejajar sumbu sumbu X .Tentukanlah besarnya medan
magnet B yang dibangkitkan di pusat sistem salib sumbu
bila mula-mula muatan tersebut berada di titik (-4,3)m .
Jawaban :
V = 2 x 107 m/s I dan r = - 4 I + 3 j
16
ar = (- 4m I + 3m j)/5 = - 0.8 i + 0.6 j
V x i = 0.6 V az
Dengan persamaan (13-13)berikut :
 0 q V x aˆ r
B
4
r2
diperoleh :
 0 q (0.6V ) aˆ z
B 
4
r2
7
atau : B   (10 T . m / A)

10 x 10 9 C 0,6 4 x 10 7 m / s
5m2
a
z
sehingga memberikan B = 9.8 x 10 T az
Contoh soal 2
Tentukanlah besar kuat medan di titik P(3,4,0)m yang dibangkit
kan oleh penghantar berarus I = 10 A searah sumbu Z positif
17
serta panjangnya terletak antara titik A(0,0,5)m dan titik
B(0,0,15)m .
Jawaban :
Panjang penghantar L = 15 m – 5 m = 10 m
Jarak antara titik P dengan titik O (pusat sistem salib sumbu)
adalah OP = r = √(32 + 42)m = 5m
Besarnya sudut APO = 450 dan sudut BPO = atan (15/5) ≈ 720
Dengan mempergunakan persamaan (13-09) diperoleh kuat
medan magnet B di titik P :
B = (4π x 107 Tm/A)10 A / (4 π x 5 m))(sin 450 + sin 720)
= 3.3 x 107 T
Contoh soal 3 :
Dua buah kawat penghantar berarus masing-masing 1.7 A
searah sumbu X dan terletak pada x = - 3 m dan x = 3 m .
18
Tentukanlah besar kuat medan magnetik di titik P(0,6,0)m
Jawaban :
Y
B1
B1 = medan magnet di P
P
B
oleh L1
B2
B2 = medan magnet di P
Θ
oleh L2
L1P = L2P = √(62 + 32) m
X
= 3√5
L2
O
L1
Θ = atan (3/6) = 26.60
B1 = B2 = 5.1 x 10-6 T
B = 2 B1 cos Θ = 2 x 5.1 x 10-6 T x 0.984 = 9.1 x 10-6 T
19
4. Gaya magnetik
Interaksi antara muatan listrik yang bergerak dalam medan
magnet menyebabkan muatan tesebut mengalam gaya yang
disebut gaya magnetik
- Muatan listrik q [C] bergerak dalam medan listrik E [N/C = V/m]
F = q E [N]
Hukum Newton 2 : F = m dv/dt → qE = m dv/dt ……….(13-14)
Hukum usaha (Work = W) :
W = ∫S1S2F • dS
……….(1315)
m = massa , S = lintasan
Persamaan (13-14) dan (13-15) memberikan :
W = ∫V1V2 mvdv = q ∫S1S2 E • dS →
W = ½ mv2 = q V
..... ....... (13-16)
Dari persamaan di atas dapat diperpleh kecepatan v muatan q
20
yang ditempatkan dalam medan potensial V , yaitu :
2 qV
……………..(13-17)
v
m
- Muatan listrik q yang bergerak dalam medan magnetik statis B
[T] dengan kecepatan v [m/s]
Muatan llistrik q [C] yang bergerak dalam medan listrik E[N/C]
dan medan magnet B[T=Wb/m2] akan mengalami gaya
sebesar :
F = q E + q v x B (gaya Lorentz) ……….(13-18)
Dalam hal muatannya diam maka yang bekerja hanya gaya
Coulomb
Muatan yang bergerak dalam medan maget B akan
mengalami percepatan a sebesar :
21
a = q/m (v x B) = q/m (v B sin θ) …………………(13-19)
Arah percepatan a adalah tegak lurus kecepatan v dan B
v
Θ
= vektor a menuju layar
a
B
= vektor a menuju mata
Bila Θ = 900 maka a menjadi maximum dan pada muatan akan
bekerja gaya F yang tegak lurus v dan B :yang mana berarti F
tegak lurus v sehingga muatan akan bergerak mrlingkar dengan
jejari R ..
F = qvB
F = m a = m v2 / R
Dari ke dua persamaan di atas akan diperoleh jejari R lintasan
muatan q m yaitu ::
R = mv / qB [m]
..................(13-20)
22
Frekuensi muatan q dalam bergerak melingkar adalah :
v = ωR = 2πfR
f = q B /(2 π m) Hz
………………(13-21)
- Gaya magnetik pada kawat penghantar berarus listrik I[A]
F = qv x B
dF = dq (v x B) ; v = dL/dt
I = dq / dt
Dari ke tiga persamaan di atas didapatkan :
dF = I dL x B atau
F = IL x B
………………..(13-22)
- Gaya magnetik antar dua kawat pengantar berarus listrik
Dua kawat penghantar paralel berarus I1 dan I2 yang searah
23
L1
I1
d
L2
L1 = pengahanter 1
L2 = penghantar 2
I2
d = jarak antara ke dua
BL1
penghantar
Gambar 13-06 Penghantar sejajar berarus
Besarnya medan magnetik pada kawat L2 oleh arus I1 :
BL1 = μ0 I1 / 2πd
Besar gaya magnetik pada L2 yang panjangnya a menurut
persamaan (13-22) adalah :
F = I2a x BL1 = μ0 I2 I1 a / 2πd
................. (13-23)
- Momen gaya pada simpal arus dan momen magnetik
Suatu simpal kawat berbentuk persegi dengan panjang a dan
lebar b berarus I .diletakkan dalam medan magnet B ..........
24
seperti tergambar di bawah ini
FL
n
I
sumbu simpal
a
B
B
b
FR
Gambar 13-07 Simpal arus dalam medan magnet B
Simpal persegi panjang berarus I dengan sisi-sisi a dan b
berada dalam medan magnet yaang arah medannya sejajar
bidang simpal . Pada sisi simpal yang panjangnya a bekerja
gaya magnetik yang arahnya berlawanan tetapi dengan besar
yang sama , yaitu :
FL = FR = I a B
sedangkan pada sisi b gayanya adalah nol karena sisi b
sejajar B sehingga pada simpal bekerja suatu kopel .........
25
yang momen gayanya adalah :
г = FL b = I a b B = I A B
dimana A = luas simpal
Momen gaya ini akan memutar simpal , sehingga normal
bidang n menjadi sejajar dengan B .
Kedudukan simpal setiap saat dapat dinyatakan dalam bentuk :
г = N I A B sin Θ
……………..(13-24)
N = jumlah liitan simpal
Θ = sudut antara n dan B
- Momen dipol magnetik , m :
m = NIAn
....................(13-25)
Maka momen gaya persamaan .(13-24) dapat dinyatakan
dalam bentuk vektor :
г = m x B
....................(13-26)
26
5. Induksi magnetik
Sebagaiman telah dibahas didepan , disekeliling kawat
penghantar berarus lilstrik dibangkitkan medan magnet dan
sebaliknya bila medan magnet berubah besarnya terhadap waktu
maka suatu penghantar yang berada dlam medan yang berubah ,
didalamnya akan dibangkitkan arus listrik sebagaimana yang
ditemukan oleh Faraday (tahun 1830).
- Flux magnetik
Seperti halnya dalam medan listrik dikenal garis gaya elektrik
dan flux elektrik , maka dalam medan magnet dikenal pula garis
gaya magnetik dan flux magnetik , Φm , yang berhubungan
dengan banyaknya garis gaya magnetik yang memotong suatu
luasan tertentu..
Per definisi flux magnetik , Φm . adalah :
27
Φm [Wb] = B[T] S[m2]
dimana S asalah luasan
atau
Φm = ∫S B•dS
∫S = integral bidang
........................(13-27a)
........................(13-27)
- Gaya gerak listrik , ε [volt = V].
Berdasarkan percobaan yang dilaksanakan oleh Faraday dan
lain-lain , gaya gerak listrik dibangkitkan dalam suatu
rangkaian tertutup bila rangkaian tersebut ditempatkan dalam
medan magnet yang berubah besarnya. .
Hukum Faraday :
ε = ∮E•dL = - dΦm /dt
….……….(13-28)
Gaya gerak listrik merupakan kerja atau usaha dari suatu gaya
per satuan muatan yang disebut medan listrik E .Medan ini
dibangkitkan oleh medan manetik yang berubah .
28
dan medan ini tidak konservatif sehingga integralnya tak nol .
Tanda negatif pada hukum Faraday menyatakan bahwa arus
induksi yang dibangkitkan oleh gaya gerak listrik dalam
rangkaian , mempunyai arah sedemikian rupa sehingga –
arah flux magnetik yang dbangkitkan akan melawan flux
magnetik yang membangkitkan gaya gerak listrik sebagaimana
yang diperlihatkan pada Bambar 13-08
S
U
V
I = arah arus induksi
I
Gambar 13-08 Arah arus induksi
29
Contoh soal : Kumparan dengan 100 lilitan dan tahanan 50 Ω
serta jejari 10 cm ditempatkan tegak lurus terhadap medan
magnet yang berubah ternyata menghasilkan arus sebesar
5.0 A.. Tentukanlah kecepatan perubahan medan magnetnya .
Jawaban :
ε = I R → ε = 5.0 A x 50 ΩI = 250 volt
Φm = N B S N B π R2 ; N = 100 lilitan
250 V = dΦm/dt = 100 x π x (0.1m)2 dB/dt
dB/dt = 250 V / (π m2 ) ≈ 80 T/s
6. Induktansi
Suatu kumparan/lilitan kawat penghantar dialiri arus searah maka
dalam kumparan/lilitan akan terdapat medan magnet B yang
besarnya konstan . Apabila arusnya berubah-ubah maka dalam
kumparan/lilitan akan bangkit medan B yang berubah-ubah ......
30
yang mana menurut Faraday dalam kumparan akan timbul gaya
gerak listrik .induksi . Peristiwa ini disebut induksi diri .
Per definisi , induktansi diri adalah :
Φm = L I
……………..(13-29)
L = induktansi diri dan I = kuat arus listrik dalam amper
Satuan induktansi adalah Henry [H] :
1 H (Henry) = 1 Wb/A = 1 T m2 / A
Untuk solenoida :
B = μ0 n I
Jumlah flux magnetik yang memotong penampang solenoida :
Φm = N B S = μ0 n2 S I l , l = panjang solenoida
Maka induktansi solenoida menjadi :
L = Φm / I = μ0 n2 S I
……………… (13-30)
31
- Induktansi bersama (M)
Definisi induktansi bersama :
Φm2 = L2 I2 + M12 I1
……………..(13-31)
M12 = induktansi bersama antara dua rangkain
L2
= induktansi diri ramgkaian ke dua
Untuk sepasang solenoida yang kosentrik dan sama panjang ,
induktansi bersamanya adalah :
M12 = M21 =: μ0 n1 n2 l (π r12)
………………(1331)
l = panjang solenoida
r1 = jejari solenoida 1
n1 = banyaknya lilitan per satuan panjang solenoida 1
n2 = banyaknya lilitan per satuan panjang solenoida 2
32
1. b
33
<< CLOSING>>
Setelah menyelesaikan dengan baik
mata kuliah ini dan materi–materi
sebelumnya mahasiswa diharapkan
sudah mampu membuat dan menyelesaikan masalah-masalah yang berhubungan dengan medan magnet khusus
-nya dalam bidang ilmu pengetahuan .
34