Model Transien Aliran Gas pada Pipa

Model Transien Aliran Gas pada Pipa
TUGAS AKHIR
Diajukan untuk Memenuhi Persyaratan
Sidang Sarjana Program Studi Matematika ITB
Oleh:
Nur aini
101 03 031
Program Studi Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Teknologi Bandung
2007
”Dan bahwasanya seorang manusia tiada
memperoleh selain apa yang telah diusahakannya.
Dan bahwasanya usahanya itu kelak akan diperlihatkan.”
(Q.S. 53 : 40)
Malam siang berlalu
Gerhana kesayuan, tiada berkesudahan
Detik masa berganti, tiada berhenti
Oh syahdunya..
Sejenak ku terkenang
Hakikat perjuangan, penuh onak dan cabaran
Bersama teman - teman, arungi kehidupan
Oh indahnya..
”Dan (ingatlah juga) tatkala Rabbmu berkata :
Sesungguhnya jika kamu bersyukur pasti
Kami akan menambah nikmat kepadamu
dan jika kamu mengingkari nikmat-Ku,
maka sesungguhnya azab-Ku sangat pedih.”
(Q.S. 14 : 7)
Abstrak
Pemodelan aliran gas alam dalam pipa transmisi sering dilakukan dengan membuat
asumsi bahwa aliran bersifat tunak, yaitu kondisi aliran gas tidak berubah terhadap
waktu. Pada beberapa kondisi, asumsi ini memberikan hasil yang tidak dapat diterima, oleh karena itu operasi sistem transmisi gas alam pada keadaan transien
dengan temperatur tak konstan dapat dikembangkan untuk kondisi ini. Model transien aliran gas dalam pipa diturunkan dari persamaan kontinuitas, persamaan momentum, persamaan energi dan persamaan keadaan gas nyata. Keempat persamaan
tersebut khususnya persamaan kontinuitas, persamaan momentum, dan persamaan
energi membentuk satu sistem persamaan diferensial parsial jenis hiperbolik nonlinier orde satu. Persamaan tersebut sangat sulit dipecahkan secara analitik karena
sistem persamaan ini bersifat tidak linear dan hiperbolik. Sebagai alternatif, digunakan metode numerik untuk mendapatkan solusinya. Dalam tugas akhir ini,
digunakan skema numerik Lax-Wendroff untuk mengetahui distribusi dari tekanan,
laju alir, temperatur, dan sifat aliran gas lainnya. Keadaan tunak digunakan sebagai
syarat awal, sedangkan untuk syarat batas diperoleh dari data lapangan. Adapun
tujuan dari tugas akhir ini adalah memprediksi distribusi dari sifat aliran gas seperti
tekanan, laju alir, dan temperatur. Selain itu, ditampilkan juga contoh dari hasil
simulasi numerik.
iii
ABSTRAK
Kata kunci: Transien dengan Temperatur Tak Konstan, Lax-Wendroff.
iv
Abstract
The modeling of gas flow through the transmission pipe is often done using an assumption that the flow is in a steady state, the condition for which the gas flows
independent of time. However, there are some situations for which steady state
assumption is not valid anymore. Then the transient non-isothermal gas flow can
adequately be applied to this condition. The transient flow model here govern the
continuity, the momentum, and the energy equations, together with the real gas
equation of state. Those equations, especially the continuity, the momentum, and
the energy equations are nonlinear conservative hyperbolic partial differential equations, and if we combined them together with real gas equation of state, it will
become a nonlinear hyperbolic partial differential system. Those equations are hard
to solve analytically due to the properties of that system which are nonlinear and
hyperbolic. As an alternative, a numerical method can be used to determine its solution. In this final project the Lax-Wendroff numerical scheme will be applied to
compute the distributions of the gas pressure, gas flow rate, and gas temperature.
The steady-state condition is used as the initial condition and the observation field
data as the boundary conditions. The main objective in this final project is to predict
the distribution of the gas flow properties, such as the gas pressure, gas flow rate,
and gas temperature via numerical simulations.
v
ABSTRACT
Keywords: Transient Non-Isothermal, Lax-Wendroff.
vi
Prakata
Puji syukur kehadirat Allah SWT. atas segala limpahan rahmat dan hidayah-Nya
kepada penulis, sehingga tugas akhir ini dapat terselesaikan. Ucapan rasa terima
kasih yang tulus kepada yang terhormat Bapak Dr. Agus Yodi Gunawan dan Bapak Dr. Ir. Leksono Mucharam yang telah memberikan kesempatan, bimbingan
dan motivasi yang sangat berharga kepada penulis.
Rasa terima kasih juga penulis ucapkan kepada:
1. Bapak Prof. Edy Soewono dan Ibu Dr. Janny Lindiarni sebagai penguji yang
telah memberikan masukan dalam seminar tugas akhir.
2. Ibu Dr. Pudji Astuti selaku dosen wali yang telah membimbing penulis selama 4 tahun sehingga penulis berhasil meraih cita-citanya menjadi seorang
sarjana matematika.
3. Untuk Papa dan Mama tercinta, Tofan, Kakakku dan Adikku, terima kasih
atas segala dorongan, dukungan, perhatian, kasih sayang, dan doa yang tak
pernah putus selama penulis menjalani studi di ITB ini.
4. Seluruh Staff Pengajar FMIPA Program Studi Matematika ITB yang telah
memberikan bekal ilmu kepada penulis.
5. Prof Septoratno Siregar, Pak Darmadi, Mas Del, Teh Didit, Bu Ellis, Icha,
vii
PRAKATA
viii
Mba Silvy, Teh Rela, Mas Andrey, dan Teman-teman RC-OPPINET yang
lain yang tidak dapat disebutkan satu persatu terima kasih untuk pengalaman,
ilmu dan kesenangan yang sangat berharga.
6. Seluruh Staff Tata Usaha FMIPA Program Studi Matematika ITB, khususnya
Ibu Dyah.
7. Seluruh staff Perpustakaan Pusat dan Perpustakaan Program Studi Matematika
ITB.
8. Seluruh anggota HIMATIKA dan rekan-rekan matematika angkatan 2003,
khususnya Cica, Dita, Rity, Amru, Ismail, iQs, dan Andrew.
9. Teman - teman kost Pelesiran 18, terima kasih atas canda tawa dan kesenangan yang sangat berharga.
10. Teman - teman di mesin, khususnya Rico, Bayu, Cupu, Black, Brur atas pelajaran perpindahan panas yang diberikan dan canda tawanya.
11. Semua pihak yang telah membantu selama mengikuti pendidikan sarjana di
ITB yang tidak bisa penulis sebutkan satu persatu.
Penulis menyadari bahwa tugas akhir ini masih jauh dari kesempurnaan karena
Allah SWT. yang Maha Sempurna. Oleh karena itu dengan segala kerendahan
hati penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun demi kesempurnaan
tulisan ini. Akhirnya penulis berharap semoga tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi
diri penulis dan pembaca serta berguna dalam pengembangan ilmu pengetahuan.
Bandung, Juni 2007
Penulis
Daftar Isi
Abstrak
iii
Abstract
v
Prakata
vii
1 Pendahuluan
1
1.1
Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4
Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.5
Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.6
Metodologi Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.7
Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
ix
DAFTAR ISI
x
2 LANDASAN TEORI
7
2.1
Persamaan Keadaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2
Faktor Deviasi (Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3
Massa Jenis (ρg ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4
Specific Grafity (γg ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5
Viskositas (µg ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.6
Faktor Gesekan ( fg ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.7
Kecepatan Suara (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.8
Specific Heat (Cv dan C p ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.9
Persamaan Aliran
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.9.1
Persamaan Kontinuitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.9.2
Persamaan Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.9.3
Persamaan Energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.10 Newton Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.11 Hubungan Laju Alir Gas (Q) dan Fluks Massa Gas (m) . . . . . . . 27
3 Pemodelan Matematika dan Metode Numerik
29
3.1
Model Keadaan Tunak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2
Model Keadaan Transien
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
DAFTAR ISI
3.3
xi
Metode Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.1
Analisis Dimensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.2
Syarat Awal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.3
Syarat Batas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.4
Skema Lax-Wendroff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Analisis Hasil Simulasi
50
5 Kesimpulan dan Saran
59
5.1
Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Lampiran - Penurunan Rumus
63
Daftar Tabel
3.1
Data Masukan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2
Hasil Perhitungan ρ, Z, c dan fg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3
Syarat Batas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.1
Perbandingan Tekanan Gas di Inlet dengan Data Lapangan. . . . . . 56
4.2
Perbandingan Tekanan Gas di Outlet dengan Data Lapangan. . . . . 56
xii
Daftar Gambar
2.1
Segmen S Sembarang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2
Kesetimbangan Gaya Fluida Mengalir di dalam Pipa. . . . . . . . . 22
2.3
Iterasi Newton Raphson dalam Menentukan Akar. . . . . . . . . . . 27
3.1
Segmen x sampai dengan x + ∆x pada Kontrol Volum. . . . . . . . . 30
3.2
Perpindahan Panas secara Konveksi di dalam Pipa. . . . . . . . . . 32
3.3
Perpindahan Panas Konveksi dan Konduksi di dalam Pipa. . . . . . 36
3.4
Tekanan pada Keadaan Tunak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5
Temperatur pada Keadaan Tunak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.6
Laju Alir di Inlet Waktu Simulasi 7 jam. . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.7
Laju Alir di Outlet Waktu Simulasi 7 jam. . . . . . . . . . . . . . . 48
3.8
Stencil Skema Lax-Wendroff Dua Langkah. . . . . . . . . . . . . . 49
4.1
Laju Alir Gas Sepanjang Pipa pada Keadaan Transien dan Syarat
Batas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
xiii
DAFTAR GAMBAR
4.2
xiv
Temperatur Gas Sepanjang Pipa pada Keadaan Transien dan Syarat
Batas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3
Tekanan Gas Sepanjang Pipa pada Keadaan Transien dan Syarat
Batas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4
Validasi Tekanan Gas di Inlet dengan Data Lapangan. . . . . . . . . 56
4.5
Validasi Tekanan Gas di Outlet dengan Data Lapangan. . . . . . . . 57