n!/ n1! n2! …nk! - E
advertisement
PERULANGAN Teorema Suatu himp terdiri dari n objek dan tersusun atas n1 buah objek sama jenis-1 n2 buah objek sama jenis-2 … nk buah objek sama jenis-k. Jika n1+n2+…+nk= n maka banyaknya permutasi beda yang mungkin dari n objek adalah n!/ n1! n2! …nk! rec play next back contoh-1 contoh1 1. Diberikan 10 data, yaitu x1, x1,x1, x1, x2,x2,x2,x3,x3,x3 Tentukan banyaknya cara untuk menyusun ke 10 data tersebut, sehingga membentuk komposisi yang berbeda. Solusi : Memasang posisi 4 x1 dlm 10 digit : C(10,4) Memasang posisi 3 x2 dlm 6 digit : C(6,3) Memasang posisi 3 x3 dlm 3 digit : C(3,3) Banyaknya permutasi beda C(10,4).C(6,3).C(3,3) = 10.12.7.5 rec play next back contoh-1 contoh1 Menurut Soal, didapat n = 10 n1= 4 n2 = 3 n3 = 3 Maka permutasi yang berbeda adalah = 10! / 4! . 3! . 3! = 10.12.7.5 rec play next back Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) contoh-1 KOEFISIEN BINOMIAL A. SIFAT SIMETRI B. IDENTITAS NEWTON C. SEGITIGA PASCAL rec play next back contoh contoh-1 KOEF. BINOMIAL deskripsi SIFAT SIMETRI SIFAT SIMETRI C(n,r) = C(n,n-r) C(n,n-r) rec play next back contoh-1 KOEF. BINOMIAL deskripsi IDENTITAS NEWTON SIFAT SIMETRI C(n,r) C(r,k) = C(n,k) C(n-k,r-k) C(n,n-r) rec play next back Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) SEGITIGA PASCAL 1. Nilai Batas C(n,0) =C(n,n)= 1 2. Nilai sekunder C(n,1)=C(n,n-1)=n recplaynextback contoh contoh-1 SEGITIGA PASCAL 3. Simetri C(n,k) =C(n,n-k) 4. Jumlah diagonal C(n,0)+C(n,1)+…+C(n+r,r)=C(n+r+1,r) rec play next back contoh contoh-1 SEGITIGA PASCAL 5. Jumlah baris C(n,0)+C(n,1)+…. + C(n,r) + C(n,r+1)+… ….+ C(n,n) = 2n rec play next back contoh Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) contoh-1 SEGITIGA PASCAL 6. Jumlah kolom C(r,r) + C(r+1,r) +…. …+ C(n,r) = C(n+1,r+1) rec play next back contoh contoh-1 TEOREMA BINOMIAL Definisi Misalkan x dan y adalah bilangan riil dan n suatu bilangan bulat non negatif, maka berlaku n (x+y) n = C(n,k) x n-k y k k=0 rec play next back contoh-1 TEOREMA BINOMIAL Maka, banyaknya data yang bertipe x n-k y k adalah atau C(n, k) C(n, n-k) rec play next back Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) contoh-1 Definisi TEOREMA BINOMIAL Misalkan x dan y adalah bilangan riil dan n suatu bilangan bulat non negatif, maka berlaku n (ax+by)n = C(n,k) (ax)n-k (by) k k=0 n (ax+by)n = C(n,k)an-k bk xn-kyk k=0 contoh-1 TEOREMA BINOMIAL Maka, banyaknya data yang bertipe xn-k yk adalah C(n, k) an-k bk atau C(n, n-k) rec play next back contoh-1 TEOREMA MULTINOMIAL contoh 1. Tentukan koefisien dari a. x12 x2 4 dlm ekspresi (x1 + x2) 3 b. x 6 5 y dalam ekspresi (2x – 3y)8 Tentukan banyaknya suku dalam ekspresi di atas rec play next back Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) TEOREMA MULTINOMIAL Definisi Misalkan x1, x2, …, xt adalah bil-2 riil dan n suatu bilangan bulat non negatif, maka berlaku n n (x1+x2+…+xt) = n! / q1! q2!..qt! q1 x1…xt t qt Penjumlahan dilakukan thd semua q1, q2, …,qt dengan q1+q2+…+qt=n Banyak suku pd (x1+x2+…+xt)n adalah C(n+t-1,n) rec play next back contoh-1 TEOREMA MULTINOMIAL contoh 1. Tentukan koefisien dari a. x12 x2 x3 3 x4 4 dlm ekspresi (x1+x2+…+x4) 3 3 10 2 b. x y z dalam ekspresi (2x – 3y + 5z) 8 Tentukan banyaknya suku dalam ekspresi di atas rec play next back contoh-1 TEOREMA MULTINOMIAL Solusi a. Misal x1=2x, x2=-3y dan x3=5z. Maka (2x3y+5z) 8 = (x1+x2+x3) 8 Koefisien dari x13 x2 3 x32 adalah 8! / 3! 3! 2! = 560. Sehingga koef x3 y3 z2 adalah (2)3 (-3)3 (5)2 560 = -3.024.000 Banyak suku = C(n+t-1, n) = C(8+3-1, 8)= 45 rec play next back Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) contoh-1 TEOREMA MULTINOMIAL Solusi a. Koefisien dari x12 x2 x3 3 x44 adalah 10! / 2! 0! 1! 3! 4! = 12600 Banyak suku = C(n+t-1, n) = c(10+4-1, 10) = 1001 rec play next back contoh-1 TEOREMA MULTINOMIAL Solusi a. Misal x1=2x, x2=-3y dan x3=5z. Maka (2x3y+5z) 8 = (x1+x2+x3) 8 Koefisien dari x13 x2 3 x32 adalah 8! / 3! 3! 2! = 560. Sehingga koef x3 y3 z2 adalah (2)3 (-3)3 (5)2 560 = -3.024.000 Banyak suku = C(n+t-1, n) = C(8+3-1, 8)= 45 rec play next back Contoh-contoh 1. Tentukan banyaknya tipe data, sebagai berikut a. x14 x25 x37 dalam komposisi (x1 + x2 + x3 )16 b. x16 x25 x312 dalam komposisi (7x1 + 4x2 + 6x3 )23 Jawab : a. berdasarkan soal, diperoleh n = 16, q1 = 4, q2 = 5, q3 = 7 maka banyak data bertipe x14 x25 x37 dalam komposisi (x1 + x2 + x3 )16 adalah n! / q1! q2! q3! = 16! / 4! 5! 7! = 16.15.14.13.12.11.10.9.8 / 4.3.2.1 . 5.4.3.2.1 = 16 . 14.13.3.11.10.11 (cek lagi) Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) b. berdasarkan soal, diperoleh n = 23, q1 = 6, q2 = 5, q3 = 12, a=7, b=4, c=6 maka banyak data bertipe x14 x25 x37 dalam komposisi (7x1 + 4x2 + 6x3 )23 adalah ! ! ! ! aq1 bq2 cq3 = ! ! ! ! 76 44 612 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)