Perumusan Fungsi Green Sistem Osilator Harmonik
advertisement
Perumusan Fungsi Green Sistem Osilator Harmonik dengan Menggunakan Metode Integral Lintasan (Path Integral) Sutisna Abstract: The path integral is a method that often used in the quantum problems calculation. For example; the calculation of quantum system energy that has complex potential form. The method gives more easily than perturbation method. The method is also used to derive Green function, which usually used Fourier transformation. The Green function has widely application in quantum physics, since it used to compute solution of inhomogen differential equation as Schrodinger equation. In the particle physics, the Green function used as propagator in Feynman’s diagram. Considering the importance of Green function, and the powerfull of path integral method, in the paper, the method used to derive the formula of Green function for quantum harmonic oscillator system. The system has widely application to give more information of physical phenomena, for example, the atomic vibration in solid state. The result was also compared with Fourier transformation method and both give the same result as hoped. Keywords: Green function, harmonic oscillator, path integral method PENDAHULUAN Fungsi sebagai Green merupakan propagator di dalam diagram Feynman (Ryder, H. L., salah satu metode penting dalam 1985). fisika, baik dalam tinjauan klasik Cara yang biasa digunakan maupun tinjauan kuantum. Secara untuk merumuskan fungsi Green umum fungsi Green digunakan untuk adalah mengkonstruksi solusi persamaan transformasi Fourier. Tetapi metode diferensial tak homogen, misalnya ini kurang sesuai jika diterapkan ke persamaan Schrodinger. Sedangkan dalam dalam mekanika kuantum yang kompleks. medan adalah kuantum relativistik (teori fungsi Green kuantitas yang kuantum), suatu Cara dengan menggunakan masalah-masalah lainnya menggunakan dalam adalah dengan metode integral menyatakan ekspektasi dari perkali- lintasan. Integral lintasan merupakan an operator-operator medan dalam salah satu metode yang banyak waktu yang terurut (Ismail, 2000:1). digunakan Di dalam fisika partikel, fungsi Green berbagai pada Beberapa umumnya juga digunakan Staf Pengajar Jurusan Fisika, FMIPA, Universitas Jember. 65 untuk menyelesaikan problem keuntungan kuantum. dari 66 Jurnal Fisika FLUX, Vol. 6 No. 1, Pebruari 2009 (65 – 77) penggunaan metode integral memiliki aplikasi yang luas dalam lintasan adalah (Gross, 1993): membahas berbagai fenomena fisis. 1. Integral lintasan dapat digunakan Misalnya di dalam fisika atom, untuk mendapatkan solusi-solusi vibrasi atom di dalam molekul dan secara eksak dan numerik dari zat padat dapat dihampiri dengan teori medan (dimana teori interaksi kuat gerak osilator harmonik. Sedangkan perturbasi tidak di dalam fisika inti potensial rata-rata dapat mengerjakannya). 2. Integral lintasan cara yang perhitungan nukleon di dalam inti juga sering menyediakan mudah dalam kuantisasi ekspresi-ekspresi fungsi yang erat berkaitan dan Green dengan dihampiri dengan potensial harmonik. Selanjutnya osilator harmonik sederhana model merupakan yang sebagai banyak model sebuah digunakan pendekatan dari amplitudo dalam proses fisika sistem dengan potensial yang lebih seperti peristiwa hamburan dan kompleks. Meskipun osilasi di alam peluruhan partikel. yang kita jumpai adalah gerak osilasi 3. Integral lintasan memiliki teredam (damped) atau terpaksa kerangka kerja yang lebih umum (forced) namun simpangan kecilnya secara teoritik. terhadap titik kesetimbangan dapat 4. Lebih jauh, hubungan yang erat antara mekanika mekanika statistik kuantum, dan atau teori sangat akurat dihampiri dengan osilator harmonik sederhana (Paken P., 2004). medan statistik dan teori medan Sebagai kuantum diperoleh, akan dihitung juga fungsi dengan terlihat sederhana menggunakan integral lintasan. Dari mengingat dengan yang menggunakan metode transformasi Fourier. uraian di pentingnya atas, peranan fungsi Green dan sifat powerfull dari metode Green pembanding hasil integral lintasan, maka METODOLOGI Pembahasan dalam paper ini dilakukan dengan pendekatan dalam paper ini metode tersebut metode teoretik. Secara garis besar, akan digunakan untuk merumuskan langkah-langkah yang fungsi Green dari sistem osilator adalah sebagai berikut: pertama harmonik mencari solusi fungsi Green dengan kuantum. Sistem ini dilakukan 67 Sutisna, Perumusan Fungsi Green .............. menggunakan metode transformasi metode transformasi Fourier, dimulai Fourier, dengan mula-mula mendefi- dengan nisikan gaya eksternal J k dalam gerak dari ruang momentum. Dari definisi gaya (osilator harmonik) menuliskan persamaan sistem yang ditinjau mq m 2 q J t , ......... eksternal ini, kemudian digunakan (1) untuk mencari solusi umum dari Dimana m adalah massa partikel, ω persamaan gerak osilator harmonik frekwensi sudut, q koordinat umum dengan menggunakan transformasi dan Fourier, yang selanjutnya digunakan eksternal. Dengan mengasumsikan untuk merumuskan fungsi Green J t dari sistem yang ditinjau. Kedua menggunakan fungsi hasil dari gaya suatu e J t dt ......... ikt (2) menyesuaikan dimana integral lintasan yang telah ada dengan 1 2 J k mendefinisikan fungsi Green secara kemudian sebagai sumber dituliskan (dalam ruang momentum) metode integral lintasan, dengan mula-mula umum, adalah transformasi Fourier maka dapat adalah merumuskan fungsi Green dengan J t Green k adalah bilangan gelombang. tersebut. Langkah terakhir adalah menerap- Nilai J t harus menuju nol kan fungsi Green tersebut untuk untuk t yang besar, sehingga q t menghitung dan energi dari sistem osilator harmonik. turunan Substitusi 1 2 J k Untuk menyelesaikan fungsi J k 1 2 m dengan permisalan q k 1 2 e ikt q t dt ............ (4a) (1) ke e mq m q dt , ikt 2 atau menggunakan d 2 q t ikt 1 e dt 2 dt 2 persamaan persamaan (2), maka diperoleh: Penurunan Fungsi Green dengan Menggunakan Metode Transformasi Fourier dengan akan mendekati nol untuk t yang besar. HASIL DAN PEMBAHASAN Green pertamanya m qt e 2 ikt dt .......................... (3) maka persamaan (3) dapat ditulis menjadi: 68 Jurnal Fisika FLUX, Vol. 6 No. 1, Pebruari 2009 (65 – 77) 1 2 J k m . d 2qt ikt e dt m 2qk dt 2 ................ (4b) Integral suku pertama persamaan (4b) memberikan 1 2 qt 1 2 J t ' eikt'dt ikt k 2m m 2 e dk Gt , t 'J ' t 'dt', ............................................ ikt d 2 q t ikt dq ikt dq d e m dt 2 e dt dt e dt dt dq ik e ikt dt. dt (7a) dimana G t , t ' 1 2 e ik t t ' 1 dk e ik t t ' dk . 2 2 m m 2 k 2 2 mk .................... (7b) adalah fungsi Green untuk sistem Sehingga persamaan (4b) dapat osilator harmonik. ditulis menjadi: Penurunan Fungsi Green dengan Metode Integral Lintasan imk 2 J k dq dt e ikt dt m 2 q k . Fungsi dengan J k mk 2 m 2 qk , ......... (5) Green amplitudo direlasikan untuk proses fisika seperti hamburan dan proses peluruhan. Dalam mekanika kuan- atau q k tum fungsi Green secara umum J k ................... (6a) k m m 2 2 dengan menggunakan transformasi Fourier sifat maka dari persamaan (4a) dapat kita dituliskan q t 1 2 qk e ikt dk , diekspresikan oleh persamaan di bawah ini (Ryder, H. L., 1985) G n t1 , t 2 , . . . , t n 0 Tˆ qˆ t1 qˆ 2 t 2 . . . qˆ n t n 0 dengan T̂ , menyatakan perkalian urutan waktu (time ordered product). Untuk merumuskan fungsi Green ini, mula-mula harus membuat integral yang dengan mensubtitusikan ke lintasan dalam bentuk representasi persamaan (6a) akan didapatkan Heisenberg. Operator q̂ t adalah operator Heisenberg, yang dikaitkan q t 1 2 k 2 J k e ikt dk .(6b) 2 m m Dengan menggunakan definisi dari J k pada persamaan (2), persamaan (6b) akan menjadi dengan operator Schrodinger q̂ oleh qt eiHt e iHt . Keadaan eigen dari operator Heisenberg q, t ; qˆ t q, t q q, t , adalah dan hu- bungannya dengan keadaan eigen Sutisna, Perumusan Fungsi Green .............. dilakukan adalah menuliskan “fungsi bebas waktu adalah q, t e iHt q . 2-titik” sebagai berikut (Ryder, H. L., Kemudian integral lintasan dapat 1985) ditulis sebagai berikut K q' e iHT q q ' , T q ,0 D qe iS ......................... q ' , T T qˆ t1 qˆ 2 t 2 q,0 .............. (9) . Kemudian akan dipilih suatu metode (8) untuk menentukan kontribusi vakum Dengan integral lintasan ini nantinya pada tingkat awal dan akhir (tanpa akan dicari “fungsi 2-titik (two point sumber eksternal). function)” Gt1 ,t2 , yaitu fungsi yang dievalusi antara 69 dua titik Untuk t1 t 2 , persamaan (9) yang menjadi: berdekatan. Langkah pertama yang q ' , T Tˆ qˆ t1 qˆ2 t 2 q,0 q ' , T Tˆ qˆ t1 qˆ2 t 2 q,0 dq1dq2 q ' , T q1 , t1 q1 , t1 qˆ t1 q2 t2 q2 , t 2 q2 , t2 q,0 q1 ,t1 q1 q 2 q2 , t2 dq1dq2 q1q2 q ' , T q1 , t1 q1 , t1 q2 , t 2 q2 , t 2 q ,0 . Masing-masing elemen persa- lintasan, maan ini merupakan suatu integral menjadi: sehingga dapat ditulis q ',T q1 ,t1 q 2 ,t 2 q ' , T T qˆ t1 qˆ 2 t2 q,0 dq1dq 2 q1q2 Dqe iS Dqe iS Dqe iS .......... (10) q1 ,t1 q 2 ,t 2 q ,0 Persamaan (10) terdiri dari adalah perubahan posisi q1 ke q ' . beberapa ekspresi integral lintasan, Selanjutnya kita dapat mengkombi- pertama perubahan posisi awal q nasikan tiga integral lintasan ini ke posisi sehingga q2 , kedua perubahan posisi q2 ke q1 , dan yang ketiga q ' , T Tˆ ( qˆ t1 qˆ 2 t2 ) q ,0 q ',T q ,0 persamaan (10) dapat ditulis menjadi: D q q t1 q t2 e iS t1 t 2 ............................ (11) Selanjutnya untuk semua waktu dapat ditulis menjadi: q ',T q ' , T T qˆ t1 qˆ2 t 2 .....qˆn t n q,0 Dq qt1 qt2 .....qt n eiS ............................. (12) q ,0 70 Jurnal Fisika FLUX, Vol. 6 No. 1, Pebruari 2009 (65 – 77) Untuk mendapatkan elemen Dimana angka “0” menandakan vakum-ke-vakum, dilakukan dengan fungsi gelombang suatu keadaan cara memperluas tingkat q ' , T dan dasar/ground state. q,0 Untuk dalam bentuk fungsi eigen bahkan interval waktu menjadi sangat kecil, kontribusi untuk fungsi Green, dilakukan dengan menam- Hamiltonian. Dan jika kita buat maka menghitung elemen seluruh T qˆ t1 qˆ t 2 . . . qˆ tn persamaan berkaitan tingkat lainnya akan hilang secara ke (13) yang dengan faktor relatif ke tingkat dasar. Sehingga qt1 qt 2 . . . qˆ n dalam integralnya, didapatkan sehingga integral lintasan akan menjadi: q ' , T q ,T 0, T 0, T Dqe iS .. (13) 0, T Tˆ qˆ t1 qˆ 2 t2 . . . qˆ n t n 0, T Dq q t1 qt 2 . . . qt n e iS ........................... (14) Dari ekspresi tingkatannya berbeda. Oleh karena sebelah kiri tidak sesuai dengan itu tingkatan ini harus dieleminasi, definisi fungsi Green seperti apa sehingga yang persamaan diinginkan ini, Green dapat dituliskan menjadi: 0, T karena fungsi G n t1 , t2 , . . . , tn 0 Tˆ qˆ t1 qˆ2 t 2 . . . qˆn t n 0 0, T Tˆ qˆ t1 qˆ2 t2 . . . qˆn t n 0,T 0, T 0,T Dq qt qt . . . qt e Dqe 1 2 n iS ........................ (15) iS . Untuk kehadiran sumber eksternal dapat dituliskan sebagai integral J t fungsional Z J sebagai berikut propagator dapat ditulis menjadi: i S dtJ t q t i S dtJ t q t Dq e K Dqe iS . .............. (16) Persamaan di atas mengandung sumber eksternal J t sehingga Dq e Z J Dqe iS . .......... (17) Jika dioperasikan Z J dengan i i J t1 , akan memberikan Sutisna, Perumusan Fungsi Green .............. 71 Dq q t e i S dtJ t q t 1 1 Z J iS Dqe i J t1 J 0 J 0 Dq qt e Dq e iS 1 iS 0, T qˆ t1 0,T 1 Z J 0 qˆ t1 0 0, T 0,T i J t1 J 0 Dan turunan fungsional n kali terhadap eksternal untuk j 0 integral sumber sumber dengan fungsi Green persamaan keadaan bebas ternyata identik (15), yaitu sebagai berikut: Dq q t1 . . . q t n eiS 1 ... Z J 0 Tqˆ t1 . . . qˆ t n 0 . ........ (18) iS i J t1 J tn J 0 Dqe Dalam persamaan di atas, fungsional Z J dinamakan sebagai fungsional pembangkit untuk fungsi Green, karena fungsional Z J harmonik yang dirumuskan sebagai berikut: 1 1 S o dt mq 2 m 2 q 2 , 2 2 dapat membangkitkan seluruh fungsi Sehingga persamaan (19) menjadi Green untuk keadaan vakum. 1 1 N0 Dqt exp dt mq 2 m2q2 Jq 2 2 ................................................. (20) Untuk menghitung Z J , mula-mula uji numerator persamaan (17) di bawah ini N Dq e i S dtJ t q t Dengan 1 dt 2 mq S 2 Kemudian melakukan integral lintasan terhadap variabel baru q’ . ............... (19) (dimana q t qc t q ' t , dan qc adalah aksi osilator adalah solusi klasik) sebagai berikut: 1 1 1 2 2 m2 q2 J qt dt mqcJ t q' t m 2 qcJ t q' t 2 2 2 J qcJ t q' t 72 Jurnal Fisika FLUX, Vol. 6 No. 1, Pebruari 2009 (65 – 77) 1 1 dt mq c2 t m 2 qc2 J t qc t dt mq cJ t q ' t m 2 qc t q' t J t q ' t 2 2 1 1 2 2 2 dt 2 mq ' t 2 m q ' t . Karena suku kedua ruas kanan dan q' t , maka dapat dituliskan persamaan ini mengandung qc t sebagai berikut: dt mq t q ' t m q t q ' t J t q ' t dt mq t m 2 cJ c 2 cJ qcJ t J t q ' t . Karena persamaan ini memenuhi (1), maka nilainya akan menjadi nol, persamaan gerak osilator harmonik seperti di bawah ini, dt mqcJ t m 2 q cJ t J t q ' t dt 0 q ' t 0 Selanjutnya persamaan (20) dapat ditulis sebagai berikut: 1 1 1 1 N 0 Dq exp dt mqc2 m 2 qc2 J t qc t dt mq '2 m 2 q ' 2 2 2 2 2 e iSEc qc Dalam Dy exp dt persamaan ini 1 1 2 2 2 mq ' m q' 2 2 integral terhadap variabel q’ adalah konstan S0 J 1 dt J t qc t . ............. (21) 2 (karena bebas dari J ) sebut saja C, Dengan sehingga numerator dapat dituliskan: bahwa qc t adalah sesuai dengan N 0 CeiS0 J qc , mengunakan kenyataan persamaan gerak osilator harmonik. dimana Solusi persamaan gerak ini bisa 1 1 S 0 J dt mq c2 m 2 q c2 Jq c 2 2 1 1 dt q c mqc m 2 q c J . 2 2 dinyatakan Dengan gerak mengingat osilator persamaan harmonik mq m 2 q 2 J , maka adalah dalam bentuk fungsi Green, untuk ini ambil G t ,t ' yang merupakan solusi dari d2 m 2 2 G t , t ' t t ' .. (22) dt Dari persamaan ini dapat dituliskan qc dt ' G t , t 'J t ' ................. (23) Sutisna, Perumusan Fungsi Green .............. Dengan mensubtitusi persamaan (23) ke dalam persamaan (21), G t , t ' 1 dk 1 e ik t t ' .(27) 2 m 2 k 2 Karena di dalam ruang momentum Sehingga numerator menjadi 1 N 0 C exp dtdt ' J t G t , t 'J t ' (24) 2 membagi 2 1 dt J t dt ' Gt , t 'J t ' . 2 Dengan 1 m k 2 ik t t ' maka akan diperoleh S0 J dk 2 e 73 numerator ini t t ' dk 2 e ik t t ' dan d2 2 2 k 2 2 , dan dt fungsional pembangkit Z J sebagai dari persamaan (27) ini terlihat berikut: bahwa 1 Z J exp dtdt ' J t G t , t 'J t ' ..(25) 2 d2 2 2 mempunyai nilai eigen dt dengan C maka akan didapatkan Untuk merumuskan fungsi Green dari persamaan dengan (25), dilakukan merubah persamaan (22) k 2 operator 2 . Dapat diferensial dilihat bahwa fungsi Green yang didapat dengan transformasi Fourier sama dengan menjadi: d2 m 2 2 G t , t ' t t ' dt , fungsi Green yang dirumuskan dengan metode integral lintasan. atau G t , t ' dan t t ' ............. (26) d2 m 2 2 dt dengan tranformasi menggunakan Fourier dalam ruang momentum, maka fungsi Green Penerapan Fungsi Green untuk Menghitung Energi Sistem Osilator Harmonik Tinjau osilator persamaan persamaan harmonik (1), gerak sederhana dengan solusi umumnya adalah sebagai berikut: osilator harmonik menjadi: q t 1 2 dt J t ' e ik t t ' 2 m 2 dk mk dengan G t , t 'J ' t ' dt ', Kemudian 1 dk e ik t t ' Gt , t ' . m 2 k 2 2 dengan mengevaluasi G t ,t ' ini, maka dapat dituliskan 74 Jurnal Fisika FLUX, Vol. 6 No. 1, Pebruari 2009 (65 – 77) sebagai 1 e ik t t ' dk (28) 2m k k1 k k 2 G t , t ' k1 dimana Kemudian dan untuk C sepanjang akses samapai k 2 . yaitu +K suatu lintasan real yang dari –K berbentuk setengah lingkaran yang berjari-jari mempermudah pengerjaan integral ini mula-mula K. Gambar 1 menunjukkan t t ' 0 , meninjau persamaan (28) sebagai sedangkan jika t t' 0 , daerah ditunjukkan oleh kontur dari suatu integral permukaan dalam bidang-k. Kontur setengah yang sesuai, misalkan dilabelkan bidang akan tertutup atasnya yang dirumuskan sebagai berikut: 1 e ik t t 'dk 1 e ik t t ' dk 2m C k k1 k k2 2m K k k1 k k2 K I i 1 e ik t t 'e iKei d 2m K Kei k1 Kei k 2 K ...................... (29) Gambar 1. Kontur yang digunakan untuk mengevaluasi fungsi Green untuk sistem osilator harmonik. Dalam bentuk pertama pada sebelah kanan persamaan diambil sepanjang ini, integral akses real, sedangkan bentuk kedua diambil integral sepanjang setengah lingkaran dengan jari-jari K, yang mana k Kei dan dk iKe i d , e ik t t ' dk C k k k k 1 2 2mI Lim K e ik1 t t ' e ik2 t t ' 2i . k 2 k1 k1 k 2 Dengan memasukkan nilai k1 dan k 2 , didapatkan sin t t ' . m dan dievaluasi mulai dari 0 I sampai . Dari persamaan Karena (29) didapatkan pertama pada K , sebelah bentuk kanan Sutisna, Perumusan Fungsi Green .............. persamaan (29) tidak lain menjadi Gt ,t ' persamaan (28), sehingga sin t t ' Gt , t ' Lim R , K m dimana i 1 e ik t t ' e R iKei d i i 2m K Ke k1 Ke k 2 K Tetapi integral ini menghilang karena 75 Kemudian dapat diringkas, sin t t ' ................ (32) m G t , t ' Dan solusi umumnya akan menjadi: sin t t 'J t 'dt ' , t0 m q t t dimana t0 adalah kondisi awal yang dipakai. Jika dimisalkan bentuk sumber eksternal adalah: K , oleh karena itu J t J 0e t , sin t t ' G t , t ' , t t' . m yang dimulai pada saat t 0 , dan Singularitas sistem diasumsikan akan berhenti dalam konturnya, pada posisi kesetimbangan pada sehingga, G t , t ' 0, t t ' . t 0 , maka persamaan (33) menjadi sin t t 'e t dt ' J 0 sin t J 2 0 2 e t 2 2 0 m m q t J 0 dimana tan t , dengan dalam kuadran pertama atau dalam kuadran kedua. sebagai catatan bahwa kondisi batas (30) E T V 1 1 mq 2 m 2 q 2 2 2 2 J0 2m 2 2 q 0 0 , q 0 0 , dipenuhi. Ketika waktu menjadi sangat besar, maka didapatkan solusi gerak dari osilator harmonik yaitu sebagai berikut: J sin t . .............. (35) q t 0 m 2 2 Dari hasil ini dapat dihitung energi akhir dari sistem sebagai berikut: KESIMPULAN Fungsi Green merupakan suatu metode untuk mengkontruksi solusi persamaan deferensial tak homogen. Dari pembahasan yang telah dikerjakan bahwasanya fungsi Green dapat diturunkan dengan menggunakan dua metode yaitu metode transformasi Fourier dan metode integral lintasan. Perumusan (31) Sekarang jik 76 Jurnal Fisika FLUX, Vol. 6 No. 1, Pebruari 2009 (65 – 77) fungsi Green dengan menggunakan DAFTAR PUSTAKA metode transformasi Fourier adalah Arthur, Beiser. 1987. Konsep Fisika Modern. Erlangga: Jakarta diawali dengan mendefinisikan gaya J k eksternal dalam ruang momentum, dari definisi ini, dicari solusi dari persamaan gerak osilator harmonik dengan menggunakan transformasi fourier dan sifat-sifat integral. Dan selanjutnya mencari solusi umum osilator persamaan harmonik selanjutnya yang gerak didapat mendefinisikan fungsi Greennya. Sedangkan perumusan fungsi Green dengan menggunakan metode integral dimulai lintasan dengan adalah mendefinisikan fungsi Green secara umum dalam mekanika kuantum. Kemudian menyesuaikan integral lintasan yang telah ada dengan fungsi Green tersebut dan mencari integral fungsionalnya. Dengan menggunakan integral lintasan ini, diperoleh rumusan fungsi Green dalam mekanika kuantum. Dari pembahasan juga terlihat bahwa rumusan fungsi Green yang diperoleh kedua metode adalah sama yaitu sebagai berikut: G t , t ' 1 dk 1 e ik t t ' . 2 m 2 k 2 Boas, L. Mary. 1983. Mathematical Methods In The Physical Sciences, 2nd Edition. New York : John Wiley & Son. B. Bornales, Jinky. 2000. Feynman’s Path Integral Formulation : A Short Introduction. MSU-Iligan Institute of Technology : Iligan City Gasiorowicz, S. 1974. Quantum Physics. Singapore: John Wiley & Sons. Inc. Greiner, W., Reinhardt, J. 1986. Field Quantization. Berlin: Springer-Verlag. Ismail. 2000. Propagator Photon untuk Kondisi Gauge FockSchwinger hingga Orde-2. Bandung: Jurusan Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung. Resnick, Halliday. 1978. Fisika Universitas Jilid I. Erlangga : Jakarta Ryder, H. Lewis. 1985. Quantum Field Theory. New York: Cambridge University Press. Sakita, B. 1982. Quantum Theory Of Many-Variable Systems and Field. New York: World Scientific. Sakurai, J. J. 1985. Modern Quantum Mechanics. California: The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc. Menlo Park, W. Bryan, Frederick. 1970. Mathematics Of Classical And Quantum Physics. Daver Publication : New York. Sutisna, Perumusan Fungsi Green .............. Yariv, Amnon. 1982. An Introduction to Theory and Application of Quantum Mechanics. John Wiley and Sons, Inc : New York. 77 http://en.wikipedia.org/wiki/Green%2 7s_functin http://pk.ut.ac.id/jmst/jurnal_2005.1/p andiangan.htm