Pertemuan 16 - UIGM | Login Student

Pertemuan 16 :
PENERAPAN DIFFERENSIASI
5.1 Persamaan garis singgung
Bentuk umum persamaan garis adalah y = mx + n, dimana m adalah koeffisien
arah atau kemiringan garis dan n adalah penggal garis. Sekarang perhatikan
Gambar 5.1.
y
Kemiringan garis l1 adalah m1 
.
x
y dy
Jika x  0, maka : m1  m  lim
.

dx
x 0 x
y
dy
f(x + x)
y
f(x)
l1
x = dx
f(x)
l
0
x
x+x
x
Gambar 5.1
Jadi dapat disimpulkan bahwa kemiringan garis yang menyinggung titik (x,y)
pada f(x) adalah :
dy
(5.1)
m
 f' (x)
dx
Jika garis tersebut menyinggung titik P(x1,y1) maka kemiringannya adalah :
m
dy
 f' (x1 )
dx x  x
1
(5.2)
Contoh 5.1
Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2 + x -3 di titik P(2,3)
Penyelesaian :
121
dy
 2x  1
dx
Kemiringan garis singgung yang menyinggung titik P(2,3) adalah :
dy
m
 2(2)  1  5
dx x  2
y = x2 + x -3 
Persamaan garis : y = mx + n. Karena menyinggung titik P(2,3) maka :
3 = 5(2) + n  n = -7.
Jadi garis singgung yang menyinggung titik P(2,3) adalah :
y = 5x – 7
5.2 Persamaan garis normal
Garis normal adalah garis yang tegak lurus terhadap garis singgung. Dari
pembahasan terdahulu kita telah mengetahui bahwa dua garis dikatakan saling
tegak lurus jika perkalian kemiringan garisnya sama dengan -1; atau dalam
bentuk rumus dapat ditulis menjadi :
m1.m2 = -1 atau m2  
1
m1
( 5.3 )
dimana m1 adalah kemiringan garis singgung dan m2 adalah kemiringan garis
normalnya.
Contoh 5.2
Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di titik (1,6) pada kurva :
y = 3x2 – 2x + 5
Penyelesaian :
dy
1
1
dy
 
 6x  2 ; m 1 =
 6(1)  2  4 ; m2 = 
dx
m1
4
dx x 1
Jadi : - Persamaan garis singgung :y1 = m1x1 + n1  y1 = 4x1 + 2
25
1
- Persamaan garis singgung :y2 = m2x2 + n2  y1 =  x1 +
4
4
Contoh 5.3
t
dan y = 3t2, tentukan persamaan
1t
garis singgung, garis normal dan titik singgung pada t = 2.
Penyelesaian :
Titik singgung untuk t = 2 adalah (-2,12)
dx
1
dy
dy

 6t
 6t(1  t)2
;
;
2
dt
dx
dt
(1  t)
Jika diketahui persamaan parameter x 
m1 
dy
 6(2)(1  2)2  12
dx t  2
;
122
m2  
1
1

m1
12
Jadi persamaan : garis singgung : y = 12x + 36
1
71
garis normal : y = 
x
12
6
Soal-soal
1. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal dari kurva :
1
1
a) y   x 2  1 di titik (1, )
2
2
b) x2 – xy2 + 3y2 = 13 di titik P(2,3)
2. Tentukan persamaan garis singgung, garis normal dan titik singgung dari
fungsi parameter :

t2
x 

t  1 di titik t  1

y  t  1

t 1
5.3 Kelengkungan (Curvature)
Besarnya kelengkungan suatu kurva di titik tertentu dipengaruhi seberapa
cepatnya perubahan arah dari kurva di titik tersebut. Jika perubahan arah suatu
kurva di titik tertentu terjadi secara berangsur-angsur maka harga
kelengkungannya besar. Sebaliknya jika perubahan arah kurva terjadi secara
mendadak maka kelengkungannya kecil.
5.3.1 Jari-jari kelengkungan
y
C

R
R
Q
s
P
0
 +

x
Gambar 5.2
Pada Gambar 5.2 dapat dilihat bahwa garis normal CP dan CQ
berpotongan di titik C. Panjang busur PQ = s. Jika jarak titik P dan titik Q
sangan kecil, maka CP = CQ = R dan panjang busur s  0. Telah
diketahui bahwa panjang busur suatu lingkaran yang dibatasi oleh sudut 
adalah R. Sehingga panjang busur :
123
PQ = s = R. atau
Jadi :
1
1


=
. Sehingga : lim
= lim
s
R
s0 R
s 0 s
1
d

R
ds
( 5.4 )
s

y
x
Gambar 5.3
Perhatikan Gambar 5.3
dy
dx
Jika s  0 maka
 tan  dan
 cos 
dx
ds
dy
d dy
d
 tan  
.

(tan )
dx
ds dx
ds
d2 y
d
d
d dx dy
d d
.

(tan ) 
(cos ) 
(tan )
2
dx ds dx
d ds
d
ds
dx
d2 y
3
d
d2 y
d
d

 sec3 
 (sec2 ) 2
(cos )  sec 
2
2
ds
ds
ds
dx
dx
2
3
3
3
22
22


d y
d 
1
d 
 dy 
 dy 
 (1  tan2 ) 2
 1   
 1   
2
ds
dx
ds
dx
R




 
 
dx
2


Jadi jari-jari kelengkungan di titik (x,y) adalah :


3
R 
22

1   dy  

 dx  

( 5.5 )
d2 y
dx 2
Sedangkan jari-jari kelengkungan di titik (x1,y1) adalah :
R 


1 





 dy



x

x
1
 dx
y  y1 

3
22





d2 y
dx 2 x  x1
y  y1
Contoh 5.4
Tentukan jari-jari kelengkungan dari hiperbola xy = 9 si titik (3,3)
124
( 5.6 )
Penyelesaian :
dy
0 
dx
xy = 9  y  x
x
d2 y

dx 2
R 
dy
dy
y

 1
 
dx
x
dx x  3
y 3
dy
y
d2 y
2
dx


2
2
3
x
dx x  3
y 3


1 





 dy



x

x
1
 dx
y  y1 

3
22





3
1  (1)2 2  3 2
=
2
3
d2 y
dx 2 x  x1
y  y1
5.3.2 Pusat kelengkungan ( Center of Curvature )
y
C

R
k
L
P(x,y)

0
x
h
x1
Gambar 5.4
Dari Gambar 5.4 didapat :
LC = R cos 
LP = R sin 
h = x1 – LP
k = y1 + LC
Sehingga :
h = x1 – R sin 
125
( 5. 7 )
k = y1 + R cos 
Contoh 5.5
Tentukan pusat kelengkungan dari kurva pada contoh 5.4
Penyelesaian :
dy
y
x1 = 3 ; y1 = 3 ; R = 3 2 ;
  ( didapat dari contoh 5.4 )
dx
x
tan  =

dy

radian ; sin ( )  1 ;
 1   = 
4
4
dx x  3
cos (
y 3
h = 3 – ( 3 2 )(-1) = 3(1+ 2 ) ;
k = 3 + ( 3 2 )(-1) = 3(1 -
Jadi pusat kelengkungan adalah : C((3(1+ 2 ), 3(1 -

)1
4
2)
2 ))
Soal-soal
1. Tentukan jari-jari kelengkungan dan pusat kelengkungan untuk kurva :
a) y = x2 + lnx–24 di titik (1,-23)
y2
x2

 1 di titik (0,4)
25 16
c) y2 = - x2 +4x – 3 di titik (1,0)
b)
2. Tentukan jari-jari dan pusat kelengkungan dari fungsi parametrik :
x  3 sec 

pada  

4
y  2 tan 
5.4 Nilai ekstrim
Misal terdapat suatu hasil pengukuran seperti yang situnjukkan pada Gambar
5.5. Pengukuran tersebut dapat berupa pengukuran temperatur, tekanan atau
pertumbuhan suatu jenis bakteri terhadap waktu atau pengukuran lainnya. Jika
y
0
x0 = a
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x
Gambar 5.5
kita perhatikan Gambar 5.5, harga pengukuran meningkat pada [x 0,x1],
menurun pada [x1,x2] dan seterusnya hingga konstan pada selang [x6,x7].
Definisi 5.4.1
Misal suatu fungsi terdefinsi pada selang I. Jika x1 dan x2 adalah dua buah
bilangan yang terletak pada selang I, maka :
126
i) fungsi f naik pada selang I, jika x1 < x2 menghasilkan f(x1) < f(x2)
ii) fungsi f naik pada selang I, jika x1 < x2 menghasilkan f(x1) > f(x2)
iii) fungsi f konstan selang I jika f(x1) = f(x2) untuk setiap harga x1 dan x2
Teorema 5.4.2
Jika suatu f kontinu pada selang tertutup [a,b] maka f setidak-tidaknya
mempunyai satu nilai maksimum dan minimum [a,b].
Contoh 5.6
Jika diketahui f(x) = x2 + 5x + 6, tentukan nilai ekstrim f untuk selang-selang
berikut : a) [-2,0]
b) (-3, 1)
c) [-3,-2)
d) (-1,1]
Penyelesaian :
y
y
x
-2 0
-3
(a)
0
(b)
y
-3
x
1
-2 0
y
x
(d)
(c)
Gambar 5.6
Pada selang [-2,0]
Maksimum =f(0)=6
Minimum = f(-2) = 0
a) Pada selang (-3,1)
Maksimum tidak ada (f tak kontinu pada x=-3)
Minimum tidak ada (f tak kontinu pada x = 1)
c) Pada selang [-3,-2)
Maksimum =f(-3)=0
Minimum tidak ada (f tak kontinu pada x = -2)
127
-1
1
x
d) Pada selang (-1,1]
Maksimum tidak ada (f tak kontinu pada x = -1
Minimum = f(1) = 12
5.4.1 Nilai Ekstrim Lokal
Istilah nilai ekstrim lokal sering digunakan apabila terdapat suatu selang
terbuka yang mengandung bilangan c sedemikian rupa sehingga f
mempunyai nilai terbesar (maksimum) atau terkecil (minimum). Setiap
harga f yang mempunyai harga maksimum atau minimum disebut ekstrim
lokal.
Definisi 5.4.3
Jika c adlah bilangan yang terletak dalam daerah definisi (domain) fungsi,
maka :
i) f(c) adalah maksimum lokal f jika terdapat suatu selang terbuka (a,b)
yang mengandung c sedemikian rupa sehingga f(x)  f(c) untuk setiap
x pada (a,b).
ii) f(c) adalah minimum lokal f jika terdapat suatu selang terbuka (a,b)
yang mengandung c sedemikian rupa sehingga f(x)  f(c) untuk setiap
x pada (a,b).
y
Maksimum
lokal
0
a
x
Minimum
lokal
b
x1
c
x
Gambar 5.7
Teorema 5.4.4
Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang terbuka (a,b). Suatu
fungsi f dikatakan mempunyai ekstrim lokal pada titik c jika f’(c) = 0.
Teorema 5.4.5
Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang terbuka (a,b). Suatu
fungsi f dikatakan tidak mempunyai ekstrim lokal pada titik c jika f’(c) ada
dan tidak sama dengan 0.
Teorema 5.4.6
Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang tertutup [a,b]. Suatu
fungsi f dikatakan mempunyai ekstrim lokal pada titik c jika f’(c) = 0.
Teorema 5.4.7
Jika c merupakan daerah definisi dan merupakan bilangan kritis f, maka
f’(c) = 0.
128
5.4.2 Nilai Ekstrim Mutlak
Jika f(c) adalah nilai maksimum mutlak dari fungsi f, maka kita dapat
menyimpulkan bahwa titik (c, f(c)) merupakan titik tertinggi pada garafik
f. Sebaliknya f(c) adalah minimum mutlak dari fungsi f, maka titik (c,f(c))
merupakan titik terendah pada grafik f. Nilai maksimum dan/atau
minimum sering disebut juga dengan nilai ekstrim fungsi f.
Teorema 5.4.8
Misal fungsi f terdefinisi pada suatu himpunan bilangan ril S. Jika c
terletak pada S, maka :
i) f(c) adalah nilai maksimum mutlak f jika f(x)  f(c) untuk setiap nilai x
yang terletak dalam S.
ii) f(c) adalah nilai minimum mutlak f jika f(x)  f(c) untuk setiap nilai x
yang terletak dalam S.
Tuntunan untuk medapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang
kontinu pada selang tertutup [a,b] :
1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b)
2. Tentukan titik ujung
a) Jika fungsi f terletak pada selang tertutup [a,b] maka titik ujungnya
adalah a dan b.
b) Jika fungsi f terletak pada selang terbuka (a,b) maka f tidak
mempunyai titik ujung.
c) Jika fungsi f terletak pada selang setengah terbuka (a,b] maka titik
ujungnya adalah b.
d) Jika fungsi f terletak pada selang setengah terbuka [a,b) maka titik
ujungnya adalah a.
3. Hitung nilai f(c) untuk setiap bilangan kritis c yang didapat dari nomor
1 diatas.
4. Hitung harga f pada setiap titik ujung.
5. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar dan
terkecil yang dihitung pada nomor 3 dan 4 diatas.
Tuntunan untuk medapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang
kontinu pada selang terbuka (a,b) :
1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b).
2. Hitung nilai f(c) untuk seluruh nilai kritis.
3. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar dan
terkecil yang dihitung pada nomor 2 diatas.
Tuntunan untuk medapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang
kontinu pada selang setengah terbuka [a,b) :
1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b).
2. Hitung nilai f(c) untuk seluruh nilai kritis.
3. Hitung nilai f(a)
4. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar dan
terkecil yang dihitung pada nomor 2 dan 3 diatas.
Tuntunan untuk medapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang
kontinu pada selang setengah terbuka (a,b] :
1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b).
2. Hitung nilai f(c) untuk seluruh nilai kritis.
129
3. Hitung nilai f(b)
4. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar dan
terkecil yang dihitung pada nomor 2 dan 3 diatas.
Contoh 5.7
Jika diketahui f(x) = 2x3 - 3x2 – 12x + 10, tentukan nilai maksimum dan
minimum f pada selang tertutup [-4,3]
Penyelesaian :
Menentukan bilangan kritis (lihat teorema 5.4.7)
f(x) = 2x3 - 3x2 – 12x + 10
f’(x) = 6x2 – 6x – 12 = 0
6x2 – 6x – 12 = 0  6(x2 – x – 2) = 0  6(x-2)(x+1) = 0
x1 = 2 ; x2 = -1
f(x1) = f(2) = 16 – 12 – 24 + 10 = -10
f(x2) = f(-1) = -2 – 3 + 12 + 10 = 17
Titik ujung : -4 dan 3
f(-4) = -64 – 48 + 48 + 10 = -54
f(3) = 54 – 27 -36 + 10 = 1
Jadi : f(2) adalah minimum lokal
f(-1) adalah maksimum lokal dan maksimum mutlak
f(-4) adalah minimum mutlak
y
17
-4
-3 -2
-1
1
2 3
0
x
Gambar 5.8
Soal-soal
1. Tentukan nilai-nilai ekstrim dari fungsi berikut ini serta gambarkan
grafiknya !
1 2
x  2x ; [2,5]
a) f(x) =
c) f(x) = 3x2  10x  7 ; [-1,3)
2
b) f(x) = 5  6x2  2x3 ; (-3,1]
d) f(x) = x 4  5x2  4 ; (-2,2)
2. Tentukan nilai-nilai kritis dari fungsi-fungsi berikut ini !
a) f(x) = 4x2  3x  2
c) f(x) = 2x3  x2  20x  4
b) f(x) = 2x + 5
d) f(x) = 4x3  5x2  42x  7
130
5.5 Kecekungan dan kecembungan
Jika terdapat sebuah persamaan lingkaran x2 + y2 = r2, maka persamaan
tersebut dapat ditulis menjadi :
y   f(x)   r2  x2
atau :
f(x1)  r2  x2
atau
f(x2)   r2  x2
y
y
-r
-r
0
r
r
x
x
(a)
(b)
Gambar 5.9
Jika kita perhatikan Gambar 5.7 (a) maka akan terlihat bahwa garis singgung
yang menyinggung kurva pada sembarang titik selalu berada pada bagian atas
kurva pada selang terbuka (-r,r). Sedangkan pada Gambar 5.7 (b) garis
singgung yang menyinggung kurva selalu berada bagian bawah kurva pada
selang terbuka (-r,r). Bentuk Gambar 5.7 (a) biasanya disebut cembung keatas
atau cekung kebawah dan Gambar 5.7 (b) biasanya disebut cembung kebawah
atau cekung keatas.
Definisi 5.5.1
Kurva f dikatakan cembung ke bawah (cekung keatas) pada selang (a,b) jika
garis singgung yang menyinggung kurva pada sembarang titik pada selang (a,b)
selalu terletak pada bagian bawah kurva f. Sebaliknya kurva f dikatakan
cembung keatas (cekung kebawah) jika garis singgung yang menyinggung
kurva pada sembarang titik pada selang (a,b) selalu terletak pada bagian atas
kurva f.
Kurva f pada Gambar 5.8 cembung keatas pada selang (a,b) dan cembung
kebawah pada selang (b,c).
131
y
cembung ke bawah
cembung keatas
0
a
b
c
x
Gambar 5.8
Definisi 5.5.2
Jika pada selang (a,b) terdapat sembarang bilangan ril x o dan harga turunan
kedua f pada x = xo atau f’’(xo) < 0 maka kurva f pada selang tersebut cekung
kebawah atau cembung keatas. Jika pada selang (a,b) harga f’’(x o) > 0, maka
kurva f pada selang tersebut cekung keatas atau cembung kebawah.
Definisi 5.5.3
Misal kurva f mempunyai persamaan y = f(x) dan kontinu di titik x = x o. Jika
f’’(xo) = 0 dan disekitar x = xo berlaku f’’(x)>0 untuk x<xo dan f’’(x) < 0 untuk
x>xo atau berlaku f’’(x)<0 untuk x<xo dan f’’(x) > 0 untuk x>xo, maka titik
(xo,f(xo)) merupakan titik belok dari kurva tersebut.
Contoh 5.8
Tentukan daerah cembung keatas dan cembung kebawah jika diketahui :
f(x) = 6 – 5x + x2.
Penyelesaian :
f(x) = 6 – 5x + x2 ; f’(x) = -5 + 2x ; f’’(x) = 2
Karena f’’(x) > 0 untuk sembarang bilangan ril xo, maka kurva f cembung
kebawah.
Contoh 5.9
Jika diketahui persamaan f(x) = 2+x+3x 2-x3, tentukan daerah pada kurva f
yang merupakan daerah cembung kebawah, daerah cembung keatas dan titik
belok dari kurva yang dimaksud !
Penyelesaian :
f(x) = 2+x+3x2-x3
f’(x) = 1 + 6x – 3x2
f’’(x) = 6 – 6x
Daerah cembung keatas :
f’’(x) = 6 – 6x < 0  x>1
Daerah cembung kebawah :
f’’(x) = 6 – 6x > 0  x<1
Titik belok :
f’’(x) = 6 – 6x = 0  x=1
Soal-soal
132
Tentukan daerah cembung kebawah, cembung keatas dan titik belok kurva
dari fungsi berikut jika ada !
1. f(x) = x3 – x + 2
6. f(x) = 2x +(3x+1)3/5
2. g(x) = x3 – 5x2 + 7
7. g(x) = x(6-x)2
3. h(x) = (x-a)3 , a = bilangan konstan
8. h(x) = 1/(x2+1)
4. f(x) = x2e-x – 5
9. f(x) = 5x -
x 1
2
x  6x  8
10. g(x) =
x
x2ex
5. g(x) =
x 1
5.6 Kecepatan dan percepatan sesaat
5.6.1 Kecepatan
Sebelum kita membahas kecepatan dan percepatan sesaat, kiranya kita
perlu mengetahui apa yang dimaksud dengan kecepatan dan percepatan
rata-rata. Kecepatan rata-rata ( v ) pada bidang datar didefinisikan sebagai
s  s1 s
v 2

t2  t1
t
( 5.8 )
dimana s2 dan s1 adalah masing-masing posisi akhir dan awal terhadap
titik acuan. Sedangkan t2 dan t1 adalah waktu yang dibutuhkan untuk
mencapai posisi akhir dan posisi awal. Untuk selisih waktu (t) yang
cukup besar, maka persamaan 5.8 hanya dapat digunakan untuk
menentukan kecepatan rata-rata saja; tidak dapat digunakan untuk
menghitung kecepatan untuk suatu saat tertentu. Sebetulnya persamaan
5.8 dapat digunakan untuk menentukan kecepatan untuk suatu saat
tertentu, dengan catatan t sangat kecil atau dalam bentuk rumus :
s
lim v  lim
t  0
t  0 t
 v
ds
dt
( 5.9 )
dimana v adalah kecepatan sesaat dan ds/dt adalah turunan pertama dari
lintasan. Lintasan (s) adalah fungsi waktu atau dapat ditulis dalam bentuk
s = s(t).
5.6.2 Percepatan
Percepatan rata-rata ( a ) pada bidang datar didefinisikan sebagai
a
v2  v1
v

t2  t1
t
( 5.10 )
dimana v2 dan v1 adalah masing-masing posisi akhir dan awal terhadap
titik acuan. Sedangkan t2 dan t1 adalah waktu yang dibutuhkan untuk
mencapai posisi akhir dan posisi awal. Untuk selisih waktu (t) yang
cukup besar, maka persamaan 5.8 hanya dapat digunakan untuk
menentukan percepatan rata-rata saja; tidak dapat digunakan untuk
menghitung percepatan untuk suatu saat tertentu. Sebetulnya persamaan
5.10 dapat digunakan untuk menentukan percepatan untuk suatu saat
tertentu, dengan catatan t sangat kecil atau dalam bentuk rumus :
133
v
lim a  lim
t 0
t 0 t
 a
dv d2s

dt dt2
( 5.11 )
dimana a adalah kecepatan sesaat dan dv/dt adalah turunan pertama dari
kecepatan.
Contoh 5.10
Lintasan sebuah partikel ditunjukkan oleh persamaan s = 3t 2 – 5t + 2,
dimana t dalam detik dan s dalam satuan meter. Tentukan panjang
lintasan, kecepatan dan percepatan pada saat t = 15 detik.
Penyelesaian :
s = t(3t – 5)
ds
 v  6t  5
dt
d2s dv

a6
dt
dt2
Untuk t = 15 detik :
Didapat : s = 15(45-5) = 600 meter
v = 90 – 5 = 85 m/detik
a = 6 m/detik2
Soal
Berikut adalah lintasan partikel yang bergerak dengan percepatan
konstan. Tentukan panjang lintasan dan kecepatan partikel pada waktu t
= 50 detik !
s (meter)
240
110
0
10
15
134
t (detik)
135