STK 221 TEORI STATISTIKA I

STK 221
TEORI STATISTIKA I
IV. PEUBAH ACAK GANDA
IV. Peubah Acak Ganda
1
Peubah Acak Ganda
• Jika Y1 dan Y2 adalah masing-masing peubah acak,
maka (Y1, Y2) kita sebut peubah acak ganda dua
• Secara umum, jika Y1, Y2, Y3, …, Yn adalah peubah
acak, maka (Y1, Y2, Y3, …, Yn ) adalah peubah acak
ganda n.
• Untuk selanjutnya dalam pembahasan kita akan fokus
pada peubah acak ganda dua.
IV. Peubah Acak Ganda
2
Peubah Acak Ganda Diskret
Jika Y1 dan Y2 adalah peubah acak diskret, fungsi peluang
bersama bagi Y1 dan Y2 adalah
untuk semua (y1, y2) ∈ RY1Y2 yang merupakan daerah asal bagi
(Y1, Y2).
Syarat fungsi tersebut adalah fungsi peluang bersama adalah :
IV. Peubah Acak Ganda
3
Ilustrasi 4.1.
Sebuah kantong berisi 3 bola merah, 4 bola putih dan 5 bola biru.
Kemudian diambil 3 bola secara acak.
Y1 = banyaknya bola merah yang terambil
Y2 = banyaknya bola putih yang terambil
Akan diperoleh :
dan seterusnya untuk
IV. Peubah Acak Ganda
4
Ilustrasi 4.1.
(cont)
Jika sajikan nilai-nilai peluang yang sudah diperoleh dalam bentuk
tabel, kita akan mendapatkan tabel sbb.
Jml baris
Jml kolom
IV. Peubah Acak Ganda
5
Ilustrasi 4.2.
Perhatikan ilustrasi 4.1.
Jika kita ingin mengetahui P(Y1 ≤ 1, Y2 ≤ 1), berarti kita akan
menghitung peluang berdasarkan kejadian A = {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)}.
Kita bisa menggunakan formulasi berikut
dan akan diperoleh :
Bentuk ini,
kumulatif bersama (Y1, Y2)
, adalah fungsi sebaran
IV. Peubah Acak Ganda
6
Peubah Acak Ganda Kontinu
Jika Y1 dan Y2 adalah peubah acak kontinu, fungsi kepekatan
peluang bersama bagi Y1 dan Y2 adalah
untuk semua (y1, y2) ∈ RY1Y2 yang merupakan daerah asal (Y1, Y2).
Syarat fungsi tersebut adalah fungsi kepekatan peluang bersama
adalah :
IV. Peubah Acak Ganda
7
Hubungan fungsi sebaran dan fkp
Jika Y1 dan Y2 adalah peubah acak kontinu dengan fungsi
kepekatan peluang bersama
, fungsi sebaran
bersamanya adalah :
fkp dapat diperoleh dengan cara menurunkan fungsi tsb.
Peluang (Y1, Y2) ∈ A, untuk
adalah
IV. Peubah Acak Ganda
8
Ilustrasi 4.3
Jika Y1 dan Y2 adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan
peluang bersama sbb.
(a)
(b)
(c)
Tentukan c
Hitung P(Y1 > 15, Y2 < 1)
Hitung P(Y2 > Y1/5)
IV. Peubah Acak Ganda
Ilustrasi 4.3
9
(cont)
(a) Kita tahu bahwa
, sehingga
, dan
(b) Misalkan
, maka
IV. Peubah Acak Ganda
10
Ilustrasi 4.3
(cont)
(c) Misalkan
, maka
IV. Peubah Acak Ganda
11
Sebaran Marginal
Misal (Y1, Y2) adalah peubah acak ganda dengan fmp
atau fkp
, maka sebaran marginal didefinisikan :
(a) fmp/fkp marginal Y1 adalah
∀ y2
, jika Y2 disikret
, jika Y2 kontinu
(b) fmp/fkp marginal Y2 adalah
∀ y1
, jika Y1 diskret
, jika Y1 kontinu
IV. Peubah Acak Ganda
12
Ilustrasi 4.4
Diberikan fkp bersama peubah acak (Y1, Y2)
y lainnya
Tentukan fkp marginal masing-masing Y1 dan Y2
Jadi
y lainnya
Jadi
y lainnya
IV. Peubah Acak Ganda
13